資源簡介

第28計 三角開門 八面玲瓏?
●計名釋義?
三角函數是溝通平面幾何，立體幾何、解析幾何、向量和函數的重要工具.它具有以下特點：?
1.公式多，變換多，技巧多；?
2.思想方法集中，特別是函數方程思想、數形結合思想和特殊一般思想；?
3.應用廣泛，學科內自身應用和跨學科的綜合應用.??
●典例示范?
【例1】 設a,b∈R，a2+2b2=6，則a+b的最小值是 （ ）?
?A.-2 B. C.-3 D.?
【解答】 a2+2b2=6=1. 設(θ∈［0，2π］)，則
a+b=cosθ+sinθ=3cos(θ-φ)，其中cosφ=，sinφ=，∴a+b≥-3，選?C?.?
【點評】 本例實施代數與解析幾何、三角函數之間的轉換，利用三角函數的有界性破題.??
【例2】 已知正數x,y滿足3x2+2y2=6x，則x2+y2的最大值是 .
【思考】 對于本題，以下解法并不鮮見；?
由條件y2=3x-x2.?
∴x2+y2=x2+x2+3x=(x-3)2+.?
∴當且僅當x=3時，（x2+y2）max =.?你能發現這種解法有什么毛病嗎？?
先檢驗一下，如x=3,會有什么情況發生，將x=3代入已知條件，得：?
3×9+2y2=18. ∴2y2=-9.?
顯然，我們得到了一個錯誤的等式，毛病在哪里呢？是沒有分析條件所暗示的變量x,y的范圍，正確的解法是:?
∵y2=3x-x2≥0，∴x2-2x≤0. 得x∈［0,2］，而x2+y2=(x-3)2+.?
令z=(x-3)2+，則當x≤3時，z為增函數，已求x∈［0,2］，故當x=2時，
zmax =(2-3)2+= 4，即(x2+y2)max= 4.?
【評注】 本題若用三角代換，可以避開陷阱，達到八面玲瓏.由條件得：
(x-1)2+y2=1.?
設，?則?
x2+y2=(1+cosθ)2+sin2θ=cos2θ+2cosθ+(cosθ-2)2+.?
由于cosθ∈［-1,1］,故當cosθ=1時，(x2+y2)max =+=4.?
此時，x=2，y=0.??
【例3】 設拋物線y2=4px(p>0)的準線交x軸于點M，過M作直線l交拋物線于A
、B兩點，求AB中點的軌跡方程.?
【解答】 拋物線y2=4px的準線為x= -p，交x軸于M(-p,0),?
設過M的直線參數方程為：(t為參數)代入y2=4px：?
t2sin2θ-4ptcosθ+4p2=0 (1)?
方程(1)有相異二實根的條件是：?
?1,?
設方程(1)之二根為t1，t2，則t1+t2=?
設AB之中點為Q(x,y)， ∵t=.?
∴，?消去θ得：y2=2p(x+p),?
∵|cotθ|>1，∴|y|>2p，即所求AB中點的軌跡方程為：y2=2p(x+p)(|y|>2p).?
【點評】 直線的參數方程即直線的三角形式，在處理解析幾何中直線與曲線的關系中，常起重要作用，由于它能減少變量(由x,y兩個變量減為一個變量t).所以其運算過程常比一般方程簡便.?
但在起用直線的參數方程時，必須用其標準式：?
其中P(x0，y0)為定點，θ是直線的傾斜角:參數t表示動點M(x,y)與定點P(x?0，y0)所連有向線段的數量，若M在P上方則t>0，反之t<0.??
【例4】 兩圓O1與O2外離，其半徑分別為r1，r2，直線AB分別交兩圓于
A、C、D、B,且AC=DB，過A，B
的切線交于E，求證：?.
?【思考】 本例是平面幾何題嗎?
不是，誰要試圖僅用平幾知識證明，
肯定難以成功，但若引入三角，則不然.?
【解答】 作兩圓直徑AF，BG，連
CF，DG，命∠EAB=∠F=∠α,∠EBA=∠G=∠β,?
那么AC=2r1sinα，BD=2r2sinβ,?
已知AC=BD，∴2r1sinα=2r2sinβ， 例4題圖
,?
△EAB中，由正弦定理：∴.??
【例5】某礦石基地A和冶煉廠B在鐵路MN的兩側，A距鐵路m千米，B距鐵路n千米. 在鐵路上要建造兩個火車站C與D，并修兩條公路AC與BD. A地的礦石先用汽車由公路運至火車站C，然后用火車運至D，再用汽車運到冶煉廠B（如圖所示）A、B在鐵路MN上的投影A′、B′距離為l千米.若汽車每小時行u公里，火車每小時行v公里（v>u）,要使運輸礦石的時間最短，火車站C、D應建在什么地方？?
【分析】 求的是C、D建的地方，
為了將問題簡化，暫不考慮車站D，
設法求出從A經過C到B′所需最短時間.?
【解答】 ∵AC=A′C=mtanA,?
∴CB′=A′B′-A′C=l-mtanA?
∴從A經過C到B′所需時間為? 例5題圖
t=
由于，，為常數，問題轉化為求y=?的最小值.?
∵y′=，令y′=0,得時，?sinA<1.?
?sinA<時，y′<0,?sinA>時，y′>0.?
故函數y，從而函數t當sinA=時，取得極小值：
∵?sinA=，∴A′C=mtanA=，即車站C距A′為千米，它與l的長短無關.
同理，站D距B′為千米.?
【點評】 本例再次映證了求導法在求最值中的重要作用.??
●對應訓練?
1?已知方程x2+xsin2θ- sinθcotθ=0(π<θ<π)之二根為α,β，求使等比數列1,，…前100項之和為零的θ值.?
2?設實數對(x,y)滿足方程x2+y2-2x-2y+1=0，求的最小值.?
3?已知圓的方程是x2+y2=1，四邊形PABQ為該圓內接梯形，底邊AB為圓的直徑且在x軸上，當梯形ABCD的周長l最大時，求P點的坐標及這個最大的周長.?
4?△ABC中，已知三內角滿足關系式y=2+cos Ccos (A-B)- cos2C.?
(Ⅰ)證明任意交換A、B、C位置y的值不變；?
（Ⅱ）求y的最大值.?
5.一條河寬1km，相距4km?(直線距離)的兩座城市A與B分別位于河的兩岸，現需鋪設一條電纜連通A與B. 已知地下電纜的修建費為每千米2萬元，水下電纜的修建費為每千米4萬元. 假定兩岸是平行的直線.問應如何鋪設電纜可使總的修建費用最少???
●參考答案?
1?由條件：,?
∴，即等比數列的公比q=2sinθ，∴S100=?.?
已知S100=0，∴(2sinθ)100=1且2sinθ≠1,于是2sinθ= -1,?sinθ=,
∵θ∈(π，π), ∴θ=π.?
2?圓(x-1)2+(y-1)2=1的圓心為C(1,1)，半徑r=1，此圓在第一象限且與兩軸相切，為求的最小值，先求的最大值.?
如圖，表示圓上的點(x,y)與
定點P(-1,0)連線的斜率,?PA，PB為
圓C的切線，則，連PC,
設∠BPC=∠APC=θ，則tanθ=,? 第2題解圖
tan∠BPA=tan2θ=,? 即，從而.?
3?如圖所示，有A(1,0),B(-1,0),
⊙方程為x2+y2=1，∴設P(cosθ，sinθ)為
圓上一點，不妨設P在第一象限，
則有Q(-cosθ,?sinθ).?
∴|PQ|=2cosθ,?Rt△PAB中∠PBA=,
∴|BQ|=|PA|=|AB| sin=2sin，
l=2+2cosθ+4sin=2+2(1-2sin2)+4sin=5-4(sin)2,? 第3題解圖
當且僅當sin=，即θ=60°(若θ在四象限則為300°)時，lmax=5，此時
點P的坐標為.?
4?(Ⅰ)y=2+cos C［cos (A-B) - cosC］
=2+cos C［cos (A-B)+cos (A+B)］=2+2cos Acos Bcos C?
此為關于A、B、C的對稱輪換式，故任意交換A、B、C的位置，y的值不變.?
(Ⅱ)y=2-［cos Ccos (A-B)］2 +cos2(A-B),為求y的最大值必須［cosCcos (A-B)］2取得最小而cos2(A-B)取得最大.?
∵［cosCcos (A-B) 2≥0，且cos+(A-B)≤當且僅當時以上兩條同時成立.?
∴ymax =，此時故△ABC為正三角形.?
5.解法一:如圖所示，設OM=x km，則AM=-x，BM=. 總修建費?
S=2（-x）+4?
=2++x+3(-x)?
=2+（+x）+≥2+2?
由+x=,得當x=時，
S取最小值?2+2，?此時，
AM≈3.3，BM≈1.2.?
故當先沿岸鋪設3.3 km地下電纜，
再鋪設1.2 km水下電纜連通A與B時， 第5題解圖
總的修建費用最少，此時修建費為11.4萬元.?
解法二：如圖所示，設∠OBM=α(0<αAM=AO-MO=-tanα，總修建費?S=2-tanα)+=2+
設t=，則sinα+tcosα=2? ∴ sin(α+φ)=
由及t>0，得t≥， ∴ S≥2+2?
將t=代入sinα+tcosα=2，解得α=
∵ 0<故Smin =2×３．３＋４×１．２＝１１．４.??
第29計 向量開門 數形與共?
●計名釋義?
非數學問題數學化，說的是數學建模，非運算問題運算化，向量是典型的代表.?
向量是近代數學的最重要和最基本的概念之一，有深刻的幾何背景，是解決幾何問題的有力工具.同時，它又具有代數運算的功能.因此，它像一個媒婆，牽起了一根線，一頭連著代數，另一頭連著圖形，只要經它輕輕一拉，數形便能結合成一家人.??
●典例示范?
【例1】 α,β為銳角，且sinα-sinβ=,?cosα-cosβ=，求tan(α-β)之值.?
【解答】 如圖，設A(cosα,?sinα),
B(cosβ,?sinβ)為單位圓上兩點，
由條件知：0<α<β<.?
那么：
=（cosα- cosβ,?sinα- sinβ）
=.?
∴||=，||=||=1.? 例1題解圖
△OAB中,由余弦定理：cos(α-β)= cos (β-α) =.?
∴?sin(α-β)=,??tan(α-β)=.?
【點評】 如果說本例用向量求三角函數值中沒有太大的優越性，那么利用向量
模型證明不等式則有其獨到的簡便之處，再看下例.??
【例2】 設a,b,c,d∈R，證明：ac+bd≤?
【解答】 設m=（a,b），n=（c,d），則mn=ac+bd，|m|·|n|=
?∵m·n=|m|·ncos（m,n）≤|m|·|n|.? ∴ac+bd≤.?
【點評】 難以置信的簡明，這正是向量的半功偉績之一，那么，向量在解析幾
何中又能起作用嗎???
【例3】 在平行六面體ABCD—A1B1C1D1中，以頂點A為端點的三條棱長都是1，且兩兩夾角均為60°，則對角線AC1?之長為 .?
【思考】 求線段的長度常用的手段是歸結為解三角形.利用勾股定理或余弦定理，顯然，這種方法需要較大的計算量，例如，確定AC1與平面ABCD所成角的大小就不是省油的燈.有無更好的方法呢？這個平行六面體的各個表面不都是邊長相等且夾銳角為60°的菱形嗎？利用向量豈不更為省事??
向量的數量積公式可以保駕護航.?
對！走向量法解題的道路.?
【解答】 如圖所示，
∴?
=
=1+1+1+2(cos60°+ cos60°+ cos60°)=6?
∴||=.? 例2題解圖
【點評】 向量運算的優越性，由本例已可一覽無遺，特別是||2=的運用奇妙.?注意：與所成角等于與所成角，是60°而不是120°.
??●對應訓練?
1?如圖,在棱長為a的正方體
ABCD—A′B′C′D′中，E、F
分別是AB、AC上的動點，滿足AE=BF.?
(Ⅰ)求證：；?
(Ⅱ)當三棱錐B′—BEF的體積取得最大值時，
求二面角B′—EF—B的大小(結果用反三角函數表示).? 第1題圖
2?已知a,b∈R+，且a≠b，求證：(a3+b3)2<(a2+b2)(a4+b4).?
3?在雙曲線xy=1上任取不同三點A,B,C,證明△ABC的垂心也在該雙曲線上.??
●參考答案?
1.(1)如圖，以B為原點，直線BC,BA,BB′分別為x,y,z軸建立空間直角坐標系，并設=x,則有:A′(0,a,a),C′(a,0,a). E(0,a-x,0)，F(x,0,0),∴=(x,-a,-a)，=(-a,a-x,-a).?
∵·=(x,-a,-a)(-a,a-x,-a)=-ax-a2+ax+a2=0，
∴?⊥.?
(2)VB′—BEF?=S△EEF·||=·(a-x)·x·a
=a(a-x)·x≤a·，
當且僅當a-x=a，即x=時,?
(VB′—BEF)max =，
此時E、F分別為AB,BC的中點,必EF⊥BD.?
設垂足為M，連B′M,∵BB′⊥平面ABCD, 第1題圖
由三垂線定理知B′M⊥EF,∠BMB′是二面角B′—EF—B的平面角,?
設為θ,∵||= ∴?tanθ=.?
即θ=arctan2，則二面角B′—EF—B的大小為arctan2.?
2?設m=(a,b)，n=(a2,b2), ∵m·n≤|m|·|n|.?
∴a3+b3≤，即是(a3+b3)2≤(a2+b2)(a4+b4).?
3?如圖,設A(x1,)，B(x2,),
C(x3，)，△ABC的垂心為H(x0，y0),
則,?
,? 第3題解圖
∵,?∴(x0-x3)(x2-x1)+(y0-·.?
∵x1≠x2，∴x0-x3.?
∴x0+ (1)?
同理：x0+.?
∴x2-x1=y0.
∵x1≠x2，∴y0=-x1x2x3，代入 (1)：x0-=x3=0,?
∴x0y0=1，即H(x0，y0)在雙曲線xy=1上.??
第30計 統計開門 存異求同?
●計名釋義?
甲問：什么是“可能一統”？乙答：就是“可能性”完成大一統.?
甲：此話怎講？乙：排列、組合講的是“可能狀態”，概率講的是“可能比值”，而統計則是對“各種可能”的計算，故稱“可能一統”.?
甲：這有什么意義呢？乙：現實意義，實際意義，應用意義.你不知道嗎，如今的數學應用題幾乎全部轉入到“可能一統”之中.?
甲：不錯！以往的高考應用題，多在函數、方程、不等式上打主意，自從新課標普及以來，應用題轉到概率和統計上了.不過，這是否在實用方面有點偏離高中數學的主干內容呢？?乙：大概命題人也想到這點，因此近年的概統應用題，似乎都在想方設法往函數、方程、不等式方面拉關系!??
●典例示范?
【例1】 假設關于某設備的使用年限x和所支出的維修費用y（萬元），有如下的統計資料：?
x
2
3
4
5
6
y
2．2
3．8
5．5
6．5
7．0
若由資料可知y對x呈線性相關關系.試求：?
（1）線性回歸方程；?
（2）估計使用年限為10年時，維修費用是多少？?
【分析】 本題告訴了y與x間呈線性相關關系，倘若記住了公式，便可以迅速解答出此題.?
注：設所求的直線方程為=bx+a，其中a、b是待定系數．?
相應的直線叫做回歸直線，對兩個變量所進行的上述統計分析叫做回歸分析.?
解：（1）列表如下：?　
i
1
2
3
4
5
xi
2
3
4
5
6
yi
2.2
3．8
5．5
6．5
7．0
xiyi
4．4
11．4
22．0
32．5
42．0
x
4
9
16
25
36
于是b=，?
a=0.08.? ∴線性回歸方程為：=bx+a=1.23x+0.08.?
（2）當x=10時，=1.23×10+0.08=12.38（萬元）?
即估計使用10年時維修費用是12.38萬元.?
【點評】 本題若沒有告訴我們y與x間是呈線性相關的，應首先進行相關性檢驗.如果本身兩個變量不具備線性相關關系，或者說它們之間相關關系不顯著時，即使求出回歸方程也是沒有意義的，而且其估計與預測也是不可信的.??
【例2】 某種燈泡的使用時數在1000小時之上的概率是0.7,求：?
（1）3個燈泡在使用1000小時之后恰壞1個的概率；?
（2）3個燈泡在使用1000小時之后最多只壞1個的概率.?
【思考】 本題的實質是檢查3個燈泡，可視為3次獨立重復試驗.(1)中3個燈泡在使用1000小時之后恰壞1個，相當于在3次獨立重復試驗中事件A恰好發生2次（事件A是“燈泡的使用時數在1000小時以上”）；（2）中指“恰好壞1個”與“3個都未壞”這兩種情況，即事件A發生2次和發生3次，可用獨立重復試驗的方法求解.?
【解答】 設“燈泡的使用時數在1000小時以上”為事件A，則P（A）=0.7,檢查3個燈泡可視為3次獨立重復試驗.?
(1)3個燈泡在使用1000小時之后恰好壞1個，相當于在3次獨立重復試驗中事件A恰好發生2次.?
∴P3(2) =C(0.7)2(1-0.7)3-2=3×0.49×0.3=0.441.?
(2)“3個燈泡在使用1000小時之后最多只壞1個”包括了“恰好壞1個”和“3個都未壞”這兩種情況，它們彼此互斥，相當于A發生2次和發生3次的概率和，即所求概率為P3（2）+P3(3)=0.441+C0.73=0.784.?
【點評】 用獨立重復試驗的概率公式Pn(k)=C·Pk·(1-p)n-k來求概率的步驟：①首先判斷是不是獨立重復試驗；②求一次試驗中事件A發生的概率P；③利用公式計算在n次獨立重復試驗中事件A恰好發生k次的概率.??
【例3】 甲、乙兩人參加一次英語口語考試，已知在備選的10道試題中，甲能答對其中的6題，乙能答對其中的8題，規定每次考試都從備選題中隨機抽出3題進行測試，至少答對2題才算合格.?
(1)求甲答對試題數ξ的概率分布及數學期望;?
(2)求甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率.?
【思考】 本題主要考查概率統計的基礎知識，離散變量的概念，數學期望的定義；首先要弄清ξ的取值范圍,ξ=0,1,2,3,然后再求概率.?
【解答】 （1）依題意，甲答對試題數ξ的概率分布如下：?
ξ
0
1
2
3
P
甲答對試題數ξ的數學期望.?
Eξ=0×+1×+2×+3×=?
(2)設甲、乙兩人考試合格的事件分別為A、B，則?
P(A)= P(B)=
因為事件A、B相互獨立,?
方法一：∴甲、乙兩人考試均不合格的概率為?
?
∴甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率P=1-P（）=1-?
方法二：∴甲、乙兩人至少有一人考試合格的概率為?
P=P(A·)+P（·B）+P(A·B)=P(A)P()+P()·P(B)+P(A)P(B)=×+×+×=?
【點評】 ①要分清對立事件與互斥事件的關系，獨立事件、互斥事件的相互區別.②在數學中必須強調隨機變量的概念，分布列的定義與求法，熟悉常用的分布列：0~1分布、二項分布，數學期望與方差的計算等.??
●對應訓練?
1.在袋里裝30個小球，其彩球中有n(n≥2)個紅球，5個藍球，10個黃球，其余為白球.若從袋里取出3個都是相同顏色的彩球（無白色）的概率是，求紅球的個數，并求從袋中任取3個小球至少有一個是紅球的概率.?
2.某突發事件，在不采取任何預防措施情況下發生的概率為0.3,一旦發生，將造成400萬元的損失.現在甲、乙兩種相互獨立的預防措施可供采用，單獨采用甲、乙預防措施所需的費用分別為45萬元和30萬元，采用相應預防措施后此突發事件突不發生的概率分別為0.9和0.85，若預防方案允許甲、乙兩種預防措施單獨采用、聯合采用或不采用，請確定預防方案使總費用最少.(總費用=采取預防措施的費用+發生突發事件損失的期望值)?
3.公共汽車門的高度是按照確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞設計的，如果某地成年男子的身高ξ～N（173，72）（cm），問車門應設計多高？?
4.為考慮廣告費用x與銷售額y之間的關系，抽取了5家餐廳，得到如下數據：?
廣告費用（千元）
1．0
4．0
6．0
10．0
14．0
銷售額 （千元）
19．0
44．0
40．0
52．0
53．0
現要使銷售額達到6萬元，則需廣告費用為 （保留兩位有效數字）.??●參考答案?
1.取3個小球的方法數為C=4060.?
設“3個小球全是紅球”為事件A，“3個小球全是藍球”為事件B，“3個小球全是黃球”為事件C，則P(B)=，P(C)=.?
∵A、B、C為互斥事件，∴P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C).?
即=P(A)++P(A)=0.?∴紅球的個數≤2，又∵n≥2，故n=2.?
記“3個小球至少有一個是紅球”為事件D，則?為“3個小球沒有一個紅球”.?
P(D)=1-P()=1.?
2.①不采取任何預防措施時，總費用即損失期望值為400×0.3=120(萬元);?
②若單獨采取措施甲，則預防措施費用為45萬元，發生突發事件的概率為1-0.9=0.1,損失期望值為400×0.1=40(萬元)，所以總費用為45+40=85（萬元）.?
③若單獨采取預防措施乙，則預防措施費用為30萬元，發生突發事件的概率為1-0.85=0.15,損失期望值為400×0.15=60(萬元)，所以總費用為30+60=90（萬元）?
④若聯合采取甲、乙兩種措施，則預防措施費用為45+30=75(萬元)，發生突發事件的概率為（1-0.9）(1-0.85)=0.015，損失期望值為400×0.015=6(萬元)，所以總費用為75+6=81(萬元)?綜合①、②、③、④，比較其總費用可知，應選擇甲、乙兩種預防措施聯合采用，可使總費用最少.?
3.設公共汽車門的設計高度為x cm?，由題意，需使P（ξ≥x）＜1%.?
∵ξ～N（173，7?2），∴P（ξ≤x）=Φ（）＞0.99.?
查表得＞2.33，∴x＞189.31，即公共汽車門的高度應設計為190 cm?，可確保99%以上的成年男子頭部不跟車門頂部碰撞.?
點評：本題將正態分布的計算帶入實際生活中，但本質上仍然是考查對正態分布的掌握.?
4.類似于例1，根據公式，先求出回歸方程=bx+a，令=6，得x=1.5萬元.?
答案：1.5萬元?
點評：仍然是運用公式求回歸直線的例子，只要掌握了例4中提到有關回歸直線的公式，便可迅速解答并且最終求出結果.???
第31計 解幾開門 軌跡遙控?
●計名釋義?
求動點的軌跡圖形及軌跡方程是解析幾何中的核心，體現了用代數方法研究幾何問題的數學思想.軌跡是解析幾何的靈魂，它就象一個遙控器，指揮著我們行動的方向.由方程研究曲線和已知曲線求其方程是解析幾何的兩大研究方向，在圖形與方程問題遇到困難的人，往往疏忽了“軌跡”二字.正是“軌跡”二字告訴了動點的性質，動點的性質才是圖形性質和方程性質的根基.??
●典例示范?
【例1】 動橢圓過定點M（1，2），以y軸為準線，離心率e=. (1)求動橢圓左頂點的軌跡方程；（2）求橢圓長軸長的最大值和最小值.?
【思考】 如M（1，2）為右頂點，則左頂點為?P（1-2a,2）.?橢圓中心為(1-a,2)，左準線為y軸.?∴-a=0，?而e=. ∴=2，有-3a+1=0，a=. 得點P1(,2)；如M（1，2）為左頂點，有?P2（1，2），?∴P1P2中點為（，2）.?
由以上可以預見,所求軌跡是中心為O′(,2)的橢圓.?
【解答】 （1）設橢圓左頂點為M(x,y)，則左焦點為F（x0，y0）=F(x+a-c，y)，?
∵e=，且左準線為y軸, ∴=0,?
得a=x，c==，有：F，由橢圓第二定義：= e=.?
∴ ，化簡得： ①?
(2)橢圓①的長半軸a′=，∴-≤x-≤，得x∈.?
原橢圓長半軸為a=x，∴2a=2x∈.?故原橢圓長軸最大值為2，最小值為.??
【例2】 已知雙曲線的兩個焦點分別為F1，F2，其中F1又是拋物線y2=4x的焦點，點A（-1，2），B（3，2）在雙曲線上，（1）求點F2的軌跡方程；（2）是否存在直線y=x+m與點F2的軌跡有且只有兩個公共點，若存在，求出實數m的值，不存在，說明理由.?
【思考】 F1（1，0）為定點，∴|AF1|=2=|BF1|為定值，設F2(x，y)，則|F2A|-2=±(F2B-2).得|F2A|=|F2B|或|F2A|+|F2B|= 4，知動點F2的軌跡為直線AB的垂直平分線或以A、B為焦點的橢圓.?
【解答】 （1）點F2的軌跡方程為直線l：x=1或橢圓.(不含短軸兩端，即不含（1，0），（1，4）解法略).?
（2）如圖，當橢圓與直線y=x+m相切時，直線與所求軌跡恰有兩交點（-為切點，另-為切線與直線x=1的交點），其他情況下，若直線y=x+m過橢圓短軸端點時與所求軌跡僅有一個公共點，若不過短軸兩端點而經過橢圓內部時則有三個公共點，由
?∴3x2+(4m-10)x+2m2-8m+1=0.?
此方程應有相等二實根，
∴Δ=(4m-10)2-12(2m2-8m+1)=0.?
化簡得：m2-2m-11=0,∴m=1±2.?
【小結】 探求軌跡，一要注意
其完備性也就是充分性：只要符合
條件的點都適合軌跡方程；二要
注意其純粹性也就是必要性：只要
適合軌跡方程的點都符合軌跡條件. 例3題圖
以例2為例：若忽視了直線x=1(不含（1，0），（4，0）)則不完備，若不除去（1，0），（4，0）則又不純粹.??
●對應訓練?
1.已知雙曲線過坐標原點O，實軸長為2，其中一個焦點坐標為F1（6,0），另一個焦點F2為動點.?
(1)求雙曲線中心的軌跡方程;?
(2)雙曲線離心率最大時，求雙曲線方程.?
2.已知定直線l和線外一定點O，Q為直線l上一動點，△OQP為正三角形（按逆時針方向轉），求點P的軌跡方程.?
3.已知雙曲線過坐標原點O，實軸長為2，其中一個焦點坐標為F1（6，0），另一個焦點F2為動點.(1)求雙曲線中心的軌跡方程；（2）雙曲線離心率最大時，求雙曲線方程.?
4.已知拋物線C：y2=4x，(1)若橢圓左焦點及相應準線與拋物線C的焦點及相應準線分別重合.(1)求橢圓短軸端點B與焦點F所連線段的中點P的軌跡方程；（2）若M（m,0）是x軸上的一個定點，Q是（1）中所求軌跡上任意一點，求|MQ|的最小值.??
●參考答案?
1.設F2(x0，y0), ∵O(0,0)在雙曲線上,?
∴|OF2| - |OF1| =±2，|OF1|=6,?
∴|OF2|=6±2，如|OF2|=8，則x20+y20=64 ①?如|OF2|=4，則x20+y20=16 ②?
當O、F1、F2共線時，F1、F2應在點O兩側，故上述軌跡中應分別不含（8，0），（4，0）?設雙曲線中心為M（x，y）,則?
③?
③代入①：(2x-6)2+(2y)2=64， 即(x-3)2+y2=16(x≠7)?
③代入②：（2x-62+(2y)2=16， 即(x-3)2+y2=4(x≠5)?
(2)∵a=1，∴e== c，且c=|MF1|=,?
如M的軌跡為(x-3)2+y2=16， 則c=
∵-4≤x-3<4，∴-1≤x<7?
當x=-1時，cmax=7.?
如M的軌跡為(x-3)2+y2=4，則
∵-2≤x-3<2，∴1≤x<5，當x=1時，cmax=5,?
于是取c=7，a=1，∴b2=48，又當x=-1時，由（x-3）2+y2=16，得y=0,即雙曲線中心為(-1,0),一個焦點為F1(6,0),故實軸在x軸上，則所求方程為：(x+1)2-=1.?
2.如圖作OA⊥l于A，以直線OA為x軸，
過O且垂直于OA的直線為y軸建立
如圖的直角坐標系，設A（a,0），則有
直線l：x=a，設|OQ|=|OP|=d
∠AOQ=θ，則∠AOP=θ+
設P(x,y)，∵d=，
∴x= d cos (θ+)=(cosθ-sinθ) 第2題解圖
?=(1-tanθ),?
y=dsin(θ+)=(sinθ+cosθ)= (tanθ+).?
于是得點P的參數方程：（θ為參數） 消去參數得：x+y=2a.
3.(1)設F2(x0，y0)，∵O (0,0)在雙曲線上，∴|OF2| - |OF1|=±2，|OF1|=6，∴|OF2|=6±2，如|OF2|=8，則x20+y20=64 ①；如|OF2|=4，則x20+y20=16 ②，當O，F1，F2共線時，F1，F2應在點O兩側，故上述軌跡中應分別不含（8，0），（4，0）.?
設雙曲線中心為O′(x，y)，則 ③?
③代入①：(2x-6)2+(2y)2=64, ?即 (x-3)2+y2=16 (x≠7).?
③代入②：(2x-6)2+(2y)2=16, 即 (x-3)2+y2=4 (x≠5).?
(2)∵a=1，∴e== c，且c=|MF1|=,?
如M的軌跡為（x-3）2+y2=16,?
則c=.?
∵-4≤x-3<4, ∴ -1≤x<7,?
當x= -1時，cmax =7.?
如M的軌跡為(x-3)2+y2=4，則c=.?
∵-2≤x-3<2，∴1≤x<5當x=1時，cmax =5.?
于是取c=7，a=1. ∴b2=48，又當x= -1時，由(x-3)2+y2=16，得y=0，即雙曲線中心為（-1，0），一個焦點為F1（6，0），故實軸在x軸上，則所求方程為：(x+1)2=1.?
4.（1）如圖設橢圓中心為O′(x?0,0)，
由于左焦點F（1，0），左準線x= -1，
∴x0=c+1，且x0+1=.?
∴a2=c(x0-1)=x20-1，
b2=a2-c2=(x20-1) - (x0-1)2=2x0-2，
得橢圓短軸端點B（x0，）.? 第4（1）題解圖
設FB的中點為P(x，y)，則：?
消去x0：y2=x-1(x≥1).?
(2)曲線y2=x-1(x≥1)的圖形如圖中虛線所示，其頂點為F（1，0）.?
顯然當m≤1時，|MQ| min=1-m，即點M（m,0）到拋物線頂點F最近，當m>1時，以M（m,0）為圓心，R為半徑的圓的方程為：?(x-m)2+y2=R2.(*)?
由x2+(1-2m)x+m2-1-R2=0.?
命Δ≥0，即（1-2m）2-4(m2-1-R2)=0,? ∴R2≤. (1)?
當m≥時，R min=，? 即|MQ|的最小值為.?
當1注：此題選自陜西師大“中學數學教學參考”04·1～2期P72，63題，原題答案為：
當≤1，即m≤時，|MQ|無最小值；當>1，即m>時，?|MQ| min=.筆者以為不妥，故重解如上，不當之處，請各位同仁指正.??
第32計 立幾開門 平面來風?
●計名釋義?
空間型試題感到困難怎么辦？退到平面去，平面是立體幾何的基礎，“空間幾何平面化”是我們的基本手段.“平面化”的主要形式有：（1）展開圖，把空間展到平面；（2）三視圖，從不同的角度看平面；（3）射影圖，把一個平面放到另一個平面去；（4）截面圖，把我們關心的平面進行特寫.如此等等，可以把直觀圖中的錯覺或誤差分別轉移到平面上作“真實分析”.??
●典例示范?
【例1】 “神舟六號”飛船上
使用一種非常精密的滾球軸承，
如圖所示，該滾球軸承的內
外圓的半徑分別為1mm、3mm?，
則這個軸承里最多可放
滾珠 個. 例1題圖?
【解答】 6如圖，設兩滾球P，Q相切
于點T，軸承中心為O，連接OT，
設滾球半徑為d，內、外圓半徑
分別為r、R，則R=3，d=r=1.?
在Rt△OTP中，∠POT=，OP=2，PT=1,?
則有sin=，
得α=2×=，即在圓心角為的軌道內， 例1題解圖
可放一個滾珠，故圓心角為周角（2π弧度）
時可放的滾珠為=6個.?
【點評】 本題考查了球體知識的相切問題，把復雜的空間立體圖形簡化成平面圖形來解決.??
【例2】 在正四棱柱ABCD—A1B1C1D1中，底面四邊形ABCD邊長為3，高為4，在棱C1B1，C1D，CC?上分別取一點M、N、L使C1M＝C1N＝1，C1L＝.?
(1)求證：對角線AC1⊥面MNL；? （2）求四面體D—MNL的體積；?
（3）求AM和平面MNL所成夾角的正弦值.?
【思考】 (1)本題并不難，但其手法還是“退”，由證線面垂直退到證線線垂直.根據對稱性，只需證AC1與LM、LN之一垂直即可;?
(2)四面體D—MNL的體積不好求，可退而求四面體C1—MNL的體積，這兩個四面體等底不等高，再退而求四面體對應高之比，然后將所求四面體C1—MNL的體積適當擴大即可；?
（3）AM與面MAC1夾角的正弦不好求，可退而求AM、AC1夾角的余弦.?
【解答】 （1）如圖所示，以D1為原點，直線D1A1，D1C1，D1D分別為x,y，z軸建立空間坐標系，?
則有：A（3，0，4），C?1（0，3，0）?
∴=(-3,3,-4)；L，N(0,2,0),?
∴=∵·=0+3-3=0,?
∴⊥,根據圖形對稱性，
同理有⊥，故AC1⊥平面MNL.? 例2題解圖
(2)四面體D—MNL與C1—MNL同底不等高，設其高分別為h1，h2，連C1D交NL于E.?
∵D(0,0,4),?
∴=(0,-3,4),且·=(0,-3,4)·=0.?
∴⊥，知L、E、D、C在同一個圓上，||·?||?=||·||,
即·4=||·5.
∴||=，從而||=5-=.?
h1∶h2=.?
易求VC?1－MNL＝·C1M·C1N·C1L=×1×1×，∴VD-MNL?==(立方單位).?
(3)設AM與平面AC1成θ角，已證AC1⊥平面MNL，∴∠MAC1=90°-θ.?
∵M(1,3,0),∴=(-2,3,-4), ·=(-2,3,-4)·(-3,3,-4)=6+9+16=31.?
又｜｜=,
｜｜= .?
∴cos (90°-θ)=.?從而?sin?θ=，即AM與平面MNL所成角的正弦值為.?
【評注】 本題第（2)問另一解法：∵VD-MNL?=VM-DNL，而S△DNL?易求，且MC1⊥面DNL，從而VD-MNL =·S△DNL?·MC1也不失為另一有效解法.??
【例3】 （04·全國卷Ⅲ）如圖，
四棱錐P—ABCD中，底面ABCD為矩形，
AB=8，AD=4，側面PAD為等邊
三角形，并且與底面所成二面角為60°.?
(Ⅰ)求四棱錐P—ABCD的體積；?
（Ⅱ）求證：PA⊥BD.?
【分析】 1.題目沒有講是“正”四棱錐，
不要粗心地亂加條件“按正棱錐”解題，
否則是“瞎子點燈”——白費蠟，
因此，頂點在底面的射影不一定是底面的中心.? 例3題圖
2.圖中的三角因素很多，證垂直的最好辦法是利用向量.因而制定三角加向量的解題策略.?
【解答】 （Ⅰ）設O為P在底面的射影，作OE⊥AD于E，連PE，則∠PEO是二面角P—AD—O的平面角，有∠PEO=60°.已知△PAD為正三角形，且邊長為4.
∴|PE|=4sin60°=6，PO=6sin60°=3.?
∴VP—ABCD=·S□ABCD?·PO=·8·4·3]=96(立方單位).?
(Ⅱ)以O為原點，平行于AD的直線為x軸，平行于AB的直線為y軸，垂線OP所在直線為z軸建立如圖的空間直角坐標系.?
則有P(0,0,3)，A(2,-3,0)，B(2,5,0),D(-2,-3,0),?
∴=(2,-3,-3),?=(-4,-8,0),?
∵·=-24+24+0=0.? ∴⊥.??
●對應訓練?
1.如圖所示，ABCD是邊長
為2a的正方形，
PB⊥平面ABCD，
MA∥PB，且PB=2MA=2a，
E是PD的中點??
(1)求證：ME∥平面ABCD;?
(2)求點B到平面PMD的距離;?
(3)求平面PMD與平面
ABCD所成二面角的余弦值??? 第1題圖
2.在正三棱錐S—ABC中，底面是邊長為a的正三角形，點O為△ABC的中心，點M為邊BC的中點，AM=2SO，點N在棱SA上，且SA=25SN.?
(Ⅰ)求面SBC與底面ABC所成二面角的大小；?
（Ⅱ）證明：SA⊥平面NBC.?
3.如圖,邊長為2的正方形ADEF所在的
平面垂直于平面ABCD，AB=AD，
AB⊥AD，AC=3，AC⊥BD，
垂足為M，N為BF的中點.?
(1)求證：MN∥平面ADEF；?
（2）求異面直線BD與CF所成角的大小；?
（3）求二面角A-CF-D的大小.? 第3題圖
?●參考答案?
1.(1)延長PM、BA交于F，連接FD，FD、BC延長交于G，連接PG，?
∵MAPB=a，?
∴M為PF中點，又E為PD中點，?
∴ME為△PFD中位線，ME∥FD，
而FD平面ABCD,?
∴ME∥平面ABCD.?
(2)MA?PB時，A為FB的中點.?
∵四邊形ABCD是正方形，∴AD∥BC，DC∥AB，
∴D、C分別為FG、BG的中點. 第1題解圖
∵AB=BC=2a. ∴BF=BG=4a. ∴BD⊥FG，∵PB⊥平面ABCD，∴PB⊥FG，故FG⊥平面PBD. 作BH⊥PD于H，必FG⊥BH，
故BH⊥平面PFG，BH之長是點B到平面PFG(也就是平面PMD)的距離.?
?Rt△PBD中，PB=2a，BD=2a.?
∴PD==2a，BH=a，即所求距離為a.?
(3)由(2)知FG⊥DB，FG⊥DP. ∴∠PDB是二面角P-FG-B的平面角，且
cos∠PDB=，即所求二面角的余弦值為.?
點評： (1)解立體幾何題有兩句格言:一是空間問題平面化，一是不規則圖形規則化.本解中“規則化”的手段是補形，最終補成底面為等腰直角三角形且高與底面垂直的規則四面體，以下的分析計算也就方便了.?
(2)將正方體截下一個角，所得四面體由于有三條側棱兩兩垂直，我們稱這樣的四面體為直角四面體，直角四面體有許多重要性質，其中最重要的有3條：?
①若用S，S1，S2，S3分別表示直角四面體的底面積和三個側面積,那么：S2=S 21+S 22+S 23?
②若直角四面體的三條側棱之長依次為a，b，c，則其底面積：S=
③若直角四面體的三條側棱之長，依次為a，b，c，且直角頂點到底面的距離為h，那么?
h=.?
根據公式③本題第2問可輕而易舉地解決：圖中B—PFG為直角四面體，且BP=2a，BF=BG=4a?
∴BH=?
2.(1)如圖，正△ABC邊長為a時，
AM=a，OM=AM=a.
SO=AM=a.?
∠SMA是二面角S—BC—A的平面角，
設為α，則tanα=.
∴面SBC與面ABC成arctan的角.? 第2題解圖
(2)以O為原點，直線AM、OS分別為x,z軸，過O且平行于BC的直線為y軸建立如圖的空間直角坐標系，則有B(a,,0)，M(a，0,0)，C (a,,0)，S (0,0, a).?
∵a，有A(-a，0，0).?
∵=(-a，0，-a)，=（0，a，0）， ∴?·=0,?⊥.?
又=，故有N(a，0，a). =a，0，-a).?
故·=（- a,0,- a）·（a,0,-a）= -a2 +0+a2 =0.?
∴?⊥，從而SA⊥平面NBC.?
3.方法一：（1）∵AB=AD，AC⊥BD，垂足為M，∴M為BD的中點，∵N為BF中點，∴MN∥DF?
∵MN面ADEF，DF面ADEF，∴MN∥平面ADEF.?
(2)∵平面ADEF⊥平面ABCD，又∵FA⊥AD，∴FA⊥面ABCD，?
∵AC是FC在平面ABCD內的射影，BD⊥AC，∴BD⊥CF，?
∴異面直線BD與CF所成角的大小為90°.?
（3）在平面ACF內過M作MH⊥CF于H，連DH，?
∵BD⊥AC，BD⊥CF，AC∩CF=C，?
∴BD⊥面ACF，斜線DH在平面ACF內的射影是MH，?
又CF⊥MH，∴CF⊥DH，∴∠MHD是二面角A-CF-D的平面角.?
在等腰Rt△ABD中，DM=，AM=，∵AC=3，∴CM=2，CF=,?
∵△CMH∽△CFA,∴，∴MH=,?tanMHD =,?
∴二面角A-CF-D的大小為?arctan.?
方法二：（1）同法一；?
（2）∵平面ADEF⊥平面ABCD，又∵FA⊥AD，∴FA⊥面ABCD，?
∴平面FAC⊥平面ABCD，在平面FAC內作MG⊥AC交FC于點G，?
∴MG⊥平面ABCD.?
如圖，建立空間直角坐標系M-xyz,?
則C（2，0，0），B（0，-，0），D（0，，0），F（-，0，2），?
∴=（0,2,0），=（3,0,-2），∴·=0，∴?⊥.?
∴異面直線BD與CF所成角的大小為90°.?
第3題解圖（1） 第3題解圖（2） 第3題解圖（3）
(3)設n=（x,y,z）是平面CFD的法向量，?
∵=（3，0，-2）,=（，，-2）,?
由，∴，令z=3，則x=，y=2，?
∴n=（，2，3），∵MD⊥AC，∴MD⊥平面ACF?
∴平面ACF的法向量=（0，，0），則cos=.?
∴二面角A-CF-D的大小為arccos.??
第34計 參數開門 賓主謙恭?
●計名釋義?
參數，顧名思義，是種“參考數”.供誰參考，供主變量參考.因此，參數對于主元，是種賓主關系，他為主元服務，受主元重用.?
在數學解題的過程中，反客為主，由參數唱主角戲的場景也異常精彩.?
有趣的是，“參數何在，選誰作參”的問題又成了解題破門的首要問題.此時，你有兩種選擇，一是參數就立足在面前，由你認定；二是參數根本不在，要你“無中生有”.??
●典例示范?
【例1】 P、Q、M、N四點都在橢圓x2+=1上，F為橢圓在y軸正半軸上的焦點，已知與共線，與共線，且·＝0，求四邊形PMQN的面積的最小值和最大值.?
【分析】 四邊形“沒有”面積公式，因此難以用某邊長為參數，建立面積函數式.?
幸好，它有兩條互相垂直的對角線PQ和MN，使得四邊形面積可用它們的乘積來表示，然而，它們要與已知橢圓找到關系，還需要一個參數k，并找到PQ，MN對k的依賴式.這就要“無中生有”了.?
【解答】 如圖，由條件知MN和PQ
是橢圓的兩條弦，相交于焦點F（0，1），
且PQ⊥MN，直線PQ、NM中至少有一條
存在斜率，不妨設PQ的斜率為k.?
【插語】 題設中沒有這個k，
因此是“無中生有”式的參數.
我們其所以看中它，是認定它
不僅能表示|PQ|= f1(k)，還能表示|MN|= f2(k).? 例1題解圖
【續解】 又PQ過點F（0，1），故PQ方程為y=kx+1，將此式代入橢圓方程得（2+k2)x2+2kx-1=0，設P、Q兩點的坐標分別為（x1，y1)，(x2，y2)，則?
x1=，?
從而｜PQ｜2＝(x1-x2)2+(y1-y2)2=,? 亦即|PQ|=.?
【插語】 無論在橢圓方程中，還是P，Q，M，N的坐標中，x,y是當之無愧的主元.而這是新的函數關系|PQ|=f1(k)=標志著主賓易位，問題已經發生了轉程.?
【續解】 (ⅰ)當k≠0時，MN的斜率為-，同上可推得，
?｜MN｜=,?
故四邊形S＝|PQ|·|MN|=.?
令u=k2+，得S=.?
因為u=k2+≥2，當k=±1時，u=2，S=，且S是以u為自變量的增函數，所以
≤S<2.?
【插語】 以上為本題解答的主干，以下k=0時情況，只是一個小小的補充，以顯完善之美.其實，以“不失一般性”為由，設“k≠0”為代表解答亦可.這時，可省去下邊的話.?
【續解】 (ⅱ)當k=0時，MN為橢圓長軸，｜MN｜＝2，|PQ|=，S=|PQ|·|MN|=2.
綜合(ⅰ)(ⅱ)知，四邊形PMQN面積的最大值為2，最小值為.?
【點評】 參數k將F(x，y)=0的方程轉化為關于k的函數，達到“賓主融融”的和諧境界.參數成為解題化歸中的一個重要的角色，有時在“反客為主”中成為主角.??
【例2】 對于a∈［-1,1］,求使不等式恒成立的x的取值范圍.?
【分析】 本題化指數不等式為整式不等式是不難的，問題是下一步應當怎樣走！你是以x為主，討論二次不等式？還是以a為主，討論一次不等式？其難易之分是顯而易見的.?
【解答】 y=為R上的減函數，∴由原不等式得：x2+ax>2x+a+1.?
即a(x-1)+(x2-2x-1)>0當a∈［-1，1］時恒成立.?
令f (a)=a(x-1)+(x2-2x-1).?
只須(-∞,-1)∪(3,+∞)即為所求.【例3】 求函數y=的最大值與最小值.?
【解答一】 設tan=t，則y=
即t2(y-3)-2t+3y-3=0 ①?
∵t=tan∈R,? ∴關于t的方程①必有實數根,? ∴ Δ= 4-4·3(y-3)(y-1)≥0.?
即3y2-12y+8≤0，解得：2-≤y≤2+.
即ymax =2+，ymin =2-.?
【解答二】 原式變形：sin x-y cos x=2y-3，sin (x+φ)=2y-3.?
∵ |sin (x+φ)|≤1，∴≤|2y-3|.?
平方化簡得：3y2-12y+8≤0.(下略)?
【點評】 本例中y是x的函數，而且是由三角函數與有理分式復合而成的函數,
按常法應是由自變量x的討論確定函數的值域，可是本例的兩種解法都是“反客為主”，或
通過轉化為關于t的方程必有實數解，或通過正弦函數的有界性去直接處理函數的值域，理
由是:這樣解法簡單，而且同樣能達到目的.??
【例4】 若cos2θ+2m sinθ-2m-2<0恒成立，試求實數m的取值范圍.?
【解答】 反客為主，不看成關于sinθ的二次式，而看成關于m的一次式.?
原不等式即：2m(sinθ-1)<1+sin2θ,?
如sinθ=1，則0<1恒成立，此時m∈R.?
如sinθ≠1，∵sinθ∈［-1,1］，只能sinθ∈［-1,1)，于是sinθ-1<0.??
∴2m>2-
∵ (1-sinθ)+≥2.?
當且僅當1- sinθ=，即sinθ=1-時，=2,?
∴??=2-2.?
為使2m>恒成立,只需2m>2-2，∴m>1-.?
綜合得：所求m的取值范圍為：m∈(1-，+∞).??
已知動點P為雙曲線=1的兩個焦點，F1，F2的距離之和為定值，且cos∠F1PF2的最小值為.
(1)求動點P的軌跡方程；?
(2)若已知D(0,3)，M、N在動點P的軌跡上，且=λ，求實數λ的取值范圍.?
【思考】 (1)動點的軌跡為橢圓，
當P在橢圓上時，由cos∠F1PF2=<0，
知∠F1PF2必為鈍角且為最大角，
則P應為短軸端點(須證明),據此可
求出橢圓方程.?
(2)M、N在橢⊙上,?=λ時,
?與必共線,可用設參、消參 例5題圖
的方式確定λ的范圍.?
【解答】 (1)設P(x,y)為軌跡上一點，命|PF1|= r1，|PF2|= r2，∵r1+r2=2a為定值，且
F1(,0)，F2(，0)為定點.?
∴點P的軌跡為橢圓，已知(cos∠F1PF2)min=.?
而cos∠F1PF2=，這里>0，且r1r2≤=a2，∴≥，從而
cos∠F1PF2≥-1=1-,?
當且僅當r1=r2，即P為短軸端點時,1-=，∴a2=9，∵c2=5，∴b2=4.?
∴所求動點P的軌跡方程為：=1.?
(2)由(1)知點D(0,3)在橢圓外，設M(m，s)，N(n，t)在橢圓上.?
∵=λ，即(m，s-3)=λ(n，t-3),?
∴ ∴?
消去n2得：??
化簡得：(13λ-5)(λ-1)=6tλ(λ-1)?
如λ=1，則=，M，N重合于一點，且為橢圓與直線DM的切點.?
如λ≠1，有：t=，∵|t|≤2，-2≤≤2，解得λ∈［，5］.?
【點評】 設參、消參及參數的討論，歷來是高考的重點和難點之一，特別當參數較多時，往往感到不得要領或無從下手，對這類問題的基本對策是:當參數多于兩個時，應逐漸消去非主要的參數，最終得到兩個互相依存的參數，最后或通過均值不等式，或通過解一般不等式，或通過三角函數等數學手段去確定所求參數的范圍.??
【小結】 什么樣的問題適合“反客為主”？如果問題本身并不繁難，大可不必畫蛇添足，故弄玄虛.如果問題本身雖然繁難，但題型單一，本來就無主次之分，也就無從反客為主.?
所以，適合“反客為主”的問題，一定是正面比較繁難，而交換主突位置（例如含參變量的方程或函數）則相對容易破解問題.??
●對應訓練?
1.求使A=為整數的一切實數x.?
2.已知方程組同解，求m、n的值.?
3.解關于x的方程：x4-6x3-2(a-3)x2+2(3a+4)x+2a+a2=0.?
4.已知正項數列{an}中，a1=1，且Sn=，求該數列的通項.?
5.解方程x3+(1+)x2-2=0.??
●參考答案?
1.反客為主，讓x為A服務.?
∵A-1= 當A∈Z時，亦有A-1∈Z.?
若x+1=0，則A=1∈Z(x= -1).?
若x+1≠0，有：A-1=∈Z.這有兩種可能.?
(1)=±1. x2-4x+2=0，x=2±；或x2-2x+4=0，無實數解，舍去.?
(2)是分子1的真分數.? 令x2-3x+3=1，得x=1或2.?
故所求實數為x=-1，1，2，2±.相應的整數為A=1，3，4，2.?
2.設兩方程組的相同解為(x0，y0).?
由
代入.?
3.反客為主，原方程改寫為關于a的一元二次方程：?
a2-(2x2-6x-2)a+x4-6x3+6x2+8x=0.? ［a-(x2-3x-1)］2 =(x-1)2?
a=(x2-3x-1)±(x-1)?
有x2-2x-2-a=0 ①? 或x2-4x-a=0 ②?
由①：（x-1）2 = a+3.?
當a≥-3時，x=1±.?
由②：(x-2)2=a+4.?
當a≥-4時，x=2±. 故a<-4時，原方程無實根；?
a∈［-4,-3)時原方程有兩解：x=2±；?a∈［-3，+∞)時，原方程有四解：
x=1±，x=2±.?
4.反客為主，先求Sn再求an，∵2Sn=(S n - Sn-1)+，得：?
2S2n - 2SnSn-1=S2n-2SnSn-1+S2n-1+1.?
∴S2n - S2n-1=1，∵a1=S1=1，令n=2，3，…，n，用疊加法可得S2n - S21=n-1.?
∴Sn=,得an=Sn - Sn-1=，于是?an=.?
5.設a=，原方程轉化為：a2-ax2-x(x2+x)=0，即(a-x2-x)(a+x)=0,?
∴x2+x=a或x= -a,?
∵a=.?
∴x2+x-=0x=± 或x=-.??
第35計 符號開門 來意弄懂?
●計名釋義?
數學老師講“數學語言”,他在黑板上寫了這樣一句話，其中沒有一個漢字：?
3x+2y+z=100?
問學生：“這句話的意思是什么？”?
學生甲說：這是一個故事，馬馱糧食的故事：一匹大馬馱3袋糧食，中馬馱2袋，小馬馱1袋，一共馱走了100袋糧食.?
學生乙說：這是一個方程，三元一次方程，3個未知數x,y,z.這是個不定方程.?
學生丙說：這是一個問題：第1個數乘3，第2個數乘2，第3個數乘1，其和為100.問這3個數各為多少？?
老師很高興：這種用來表示數學語言的“數學文字”，通常稱作數學符號.這里的3，2，1，100，+，=等數學文字都是數學符號.其實，這三個學生對“這句話”的理解是有區別的：甲說的是情境，乙說的是形式，丙說的才是數學本意.單從句式上看，方程不是一個陳述句，也不是感嘆句，而是疑問句.??
●典例示范?
【例1】 計算機中常用的十六進制是逢16進1的計數制,采用數字0～9和字母A～F?共16個計數符號,這些符號與十進制的數的對應關系如下表:?
十六進制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
A
B
C
D
E
F
十進制
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
例如，用十六進制表示：E+D=1B，則A×B= ( )?
?A.6E B.72 C.5F D.B0??
【分析】 本題破門首先是弄懂數學符號?A，B,C，D，E，F?的意思.依題意，他們是16位進制數中后6個數字.說它們是第10，11，12，…，15等數字時，則請注意，這是在借用10進制說話.這里11到15，在10進制中都是十位數，而A到F，在16位進制中都是個位數.?
對于E+D=1B，有人寫成E+D=14+13=27=1B.?這就混淆了數學符號在兩種進制中的意義.這里14，13，1B中的1的意思相同嗎？?
【解答】 我們用符號［x］(10)?,［y］(16)分別表示10進制和16進制中的數，依題意，就是［16］(10)=［10］(16) .?則有A×B=［10×11］(10) =［110］(10) =［6×16+14］(10) =
［610+E］(16)=6E.??
答案為?A?.?
【插語】 這里，解題人的特殊數學語言（10進制數和16進制數）用特別符號（［x］(10)?和［y］(16)?)來與讀者“約定”，使表達式形式準確而簡明.?
【點評】 高考數學新題型中，往往有新的數學符號出現.由于有新符號,所以一定有對新符號的介紹.這時我們的任務是:把新的“符號語言”和我們已經掌握了的“普通語言”完成互譯：（1）把“新符號”譯成“普通話”；（2）把遷移后（解答后）的“普通話”譯成“新符號”.??
【例2】 對于任意的兩個實數對(a1，b1)和(a2，b2), 規定：（a1，b1)=（a2，b2)，當且僅當a1=a2，b1=b2，運算“”為：（a1，b1)(a2，b2)=(a1a2-b1b2，b1a2+a1b2)；運算“”為：（a1，b1)(a2，b2)=(a1+a2，b1+b2). 設p,q∈R，若（1，2）（p,q)=(5,0)，則
(1,2)(p,q)= ( )?
?A.(4,0) B.(2,0) C.(0,2) D?.(0,-4)?
【分析】 本題破門首先是弄清符號?所表示的運算意義：（1）運算對象是有序數對（a,b),運算結果也是有序數對（a,b)；（2）運算法則則是(翻譯）化為普通運算法則進行：
a3=a1a2-b1b2，b3=b1a2+a1b2，同樣對符號進行類似的分析.?于是我們得到如下的解法.?
【解答】 ?B? 由（1，2）?(p,q)=(5，0)得，所以（1，2）(p,q)=(1,2)(1,-2)=(2,0)，故選?B?.?
【插語】 這里的運算、的一種具體形式是復數代數式加法運算和乘法運算. 即(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i? (a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i?.?
由此可以看到，命題人在設計新題型時在如何“推陳出新”. 這里的運算法則、?設計實際上是把一種具體的（復數）運算法推廣到了（有序數對）“一般化”運算.??
●對應訓練?
1.設?是R上的一個運算，A是R的非空子集.若對任意a、b∈A,有ab∈A，則稱A對運算?封閉.下列數集對加法、減法、乘法和除法（除數不等于零）四則運算都封閉
的是 （ ）?
?A.自然數集 B.整數集 C.有理數集 D.無理數集??
2.定義集合運算：A⊙B =｛z︳z= xy(x+y)，x∈A，y∈B｝，設集合A=｛0，1｝，B=｛2，3｝，則集合A⊙B的所有元素之和為 ( )?
?A.0 B?.6 ?C?.12 ?D?.18?
3.為確保信息安全，信息需加密傳輸，發送方由明文→密文(加密),接收方由密文→明文（解密）,已知加密規則為：明文a,b,c,d對應密文a+2b,2b+c,2c+3d,4d. 例如，明文1,2,3,4對應密文5,7,18,16.當接收方收到密文14,9,23,28時，則解密得到的明文為 ( )?
?A?.4,6,1,7 B?.7,6,1,4 C.6,4,1,7 D.?1,6,4,7??
●參考答案?
1.【分析】 這里“封閉”的定義，是說集合A中的任意兩個數經過運算的結果，仍然是集合A中的元素，則稱A對運算是封閉的.?
【解答】 ?A中1－2＝－1不是自然數，即自然數集不滿足條件；?B?中1÷ 2＝0.5不是整數，即整數集不滿足條件；?C?中有理數集滿足條件；?D?中×=2不是無理數，即無理數集不滿足條件，故選擇答案?C?.?
【點評】 本題中的運算?有四個，即加法、減法、乘法和除法（除數不為0），要想這四則運算都封閉，必須經四則運算后的結果，還是所給的數集中的一員.由于是單項選擇題，這就需舉出反例來說明它的不封閉性.?
2.【分析】 集合運算A⊙B實際上兩個集合中元素的積乘以兩個集合中元素的和. 所給集合A中有一個元素0，這使問題簡化了，因為0乘以任何數其結果為0.?
【解答】 ?D 當x＝0時，z＝0，當x＝1，y＝2時，z＝6，當x＝1，y＝3時，z＝12，故所有元素之和為18，選?D?.?
【點評】 所給集合就是兩個元素，我們可以一一把它們的結果列舉出來，因為有0的存在，使得我們的計算大大地省下了一筆.這也是命題人給考生的照顧吧！??
3.【解答】 ?C? 依題意，建立方程組
解得d=7，c=1，b=4，a=6，選?C?.?
【評說】 由信息的傳遞遷移到數學中的方程組，這是通過一些數字遷移到另外一些數字上去，可見數學的神密所在.
第36計 思想開門 人數靈通?
●計名釋義?
為什么要學數學？難道僅僅是為了那幾個公式、那幾項法則、那幾條定理？學過數學的人，到后來多數把那些具體的公式、法則和定理忘得一干二凈，這豈不是說，他們的數學白白學了？?
所謂“數學使人聰明”，就是學過數學的人們，看待問題和解決問題時有一種優質的、高品位的思想. 這種思想，它來自數學公式、法則和定理的學習過程，但它一旦形成了思想，就可以與形成它的數學具體的知識相對分離. 而與人的靈性結合，形成人的自覺行為活動.? 中學數學可以形成的思想（方法），公認的有七種，這七種思想首先要與人的靈性融合，反過來，在解決數學問題時，又能使數學問題也具有靈性，從而達到人與數的溝通、實現“人數合一”的思想境界.??
●典例示范?
【例1】 有一個任意的三角形
ABC（材料），計劃拿它制造一個
直三棱柱形的盒子（有盒蓋）
，怎樣設計尺寸（用虛線表示），
才能不浪費材料（圖右上）？? 例1圖
【思考】 “任意”三角形屬一般情況，
它的對立面是“特殊”的三角形.
我們先從正三角形考慮起.
假設這個尺寸如圖（1）所示.?
（1）三棱柱的底面A1B1C1的
中心G為原三角形的中心.?
（2）柱體的三側面是三個矩形，
矩形的長與底面△A1B1C1的邊長對應相等.?
（3）柱體的上底面（盒蓋）由
三個四邊形拼合，拼成后的三角形與A1B1C1全等.? 例1題解圖（1）
經過以上思考，底面小三角形的三個頂點，如C1，它應滿足兩個條件：其一，C1是GC的中點；其二，C1到∠C兩邊的距離相等，?
因此它在∠C的平分線上.于是在一般的情況下，點G應是△ABC的內心.?
【解答】 作△ABC的∠A和∠B的
平分線相交于內心G，如圖（2）所示.?
分別作GA、GB、GC的中點A1、B1、C1.
△A1B1C1為直三棱柱的一個底面.?
過A1，B1，C1三點分別作對應邊
的垂線（段），所得矩形為柱體的三個側面.?
經過以上截取后，原△ABC三個頂點
處所余下的三個四邊形拼在一起，
作為柱體的另一個底面（盒蓋）.? 例1題解圖（2）
【點評】 本題的設問，只要求講出“設計操作”，形式上“不講道理”.實質上，人的操作是受思想支配的，因此，本質上是在考“思想”.本解法在探索過程中為找到三角形的內心，運用的就是數學上七大基本思想之一——特殊一般思想.??
【例2】 校明星籃球隊就要組建了，需要在各班選拔預備隊員，規定投籃成績A級的可作為入圍選手.選拔過程中每人最多投籃5次，若投中了3次則確定為B級，若投中4次以上則可確定為A級，已知高三（1）班阿明每次投籃投中的概率是.?
(1)求阿明投籃4次才被確定為B級的概率；?
（2）若連續兩次投籃不中則停止投籃，求阿明不能入圍的概率.?
【解答】 (1)求阿明投籃4次才被確定為B級的概率，即求前3次中恰有2次投中且第4次必投中的概率，其概率為P=C23·（）2··=.?
(2)若連續兩次投籃不中則停止投籃，阿明不能入圍，該事件可分為下列幾類：?
①5次投中3次，有C24種可能投球方式，其概率為：P（3）=C24·（）5=；?
②投中2次，其分別有“中中否否”、“中否中否否”、“否中中否否”、“否中否中否”4類投球方式，其概率為：P（2）=（）4+3·（）5=；?
③投中1次，其分別有“中否否”、“否中否否”2類投球方式，?
其概率為：P（1）=（）3+（）4=；?
④投中0次，其僅有“否否”一種投球方式，其概率為：P（1）=（）2=，?
∴P=P(3)+P(2)+P(1)+P(0)=+++ =.?
【點評】 本題是以考生喜聞樂見的體育運動為背景的一種概率應用題，考查或然和必然的思想.??
●對應訓練?
1.函數y=lg的定義域是： ( )?
?A.{x|x<0} B.{x|x>1} C.{x|01}?
2.下面的數表?
? 1=1
3+5=8
7+9+11=27?
13+15+17+19=64?
21+23+25+27+29=125?
所暗示的一般規律是 .??
●參考答案?
1.?D? 利用特殊值.x= -1，2時，函數有意義，排除?A、B?，x=時，函數無意義，排除?C?.?
2.（n2-n+1)+(n2-n+3)+…+［n2-n+(2n-1)］= n3?
設第n行左邊第一個數為an，則a1=1，a2=3，an+1=an+2n. 疊加得an=n2-n+1，而第n行等式左邊是n個奇數的和，故第n行所暗示的一般規律是
（n2-n+1)+(n2-n+3)+…+［n2-n+(2n-1)］=n3.?
【點評】 數表問題由來已久，常作為高考數列開放性探索題.由高中的數學競賽到高考中的楊輝三角問題研究，此類問題走勢也在增強.由已知的有限條件探討到無限的規律中去.?
第33計 導數開門 騰龍起鳳?
●計名釋義?
導數蘊涵著豐富的數學思想和數學文化，它不僅是數學解題的工具，又是一種先進的思維取向.?
近年高考對導數加大了力度，不僅體現在解題工具上，更著力于思維取向的考查.導數，她像是一條騰躍的龍和開屏的鳳，潛移默化地改變著我們思考問題的習慣.數學思想的引領，辨證思想的滲透，幫助著我們確立科學的思維取向.??
●典例示范?
【例1】 （2005年北京卷）過原點作曲線y=ex的切線，則切點的坐標為 ，切線的斜率為 .?
【分析】 本題中沒有給出切線方程，而要我們求切點坐標和切線斜率，似乎太難為我們考生了.?但如果想到導數的幾何意義，我們不妨一試.?
【解答】 對于未給定切點的要先求導數，即y′=（ex）′.?
設切點為(x0，e?)，y′=ex，yx= x=e.? 則切線方程為y-e=e(x-x0),?
∵切線過（0，0）點，0－e=e(0-x0)，∴x0=1，∴e=e,∴切點坐標為（1，e),切線斜率為e.?
【點評】 求導既是一種解題方法，又是一種思維取向，故要求我們將方法與思維并存，表里合一，協調匹配.??
【例2】 若函數f (x)=loga（x3-ax) （a>0,a≠1)在區間(，0)內單調遞增，則a的取值范圍是 ( )?
?A. B. C. D.?
【解答】 ?B? 設u=x3-ax，則u′=3x2-a.?
當a>1時，f (x)在上單調遞增，必須u′=3x2-a>0，即a<3x2在上恒成立.又0<3x2<，∴a≤0，這與a>1矛盾.?
當03x2在上恒成立，?
∴a≥且（-）3 -a (-)>0，即a>,故有≤a<1,故正確答案為?B?.?
【點評】 此題是對數型復合函數，因真數含立方，故宜用導數解決.??
【例3】 已知a∈R，討論函數f (x)=ex(x2+ax+a+1)的極值點的個數.?
【解答】 f′(x)=ex(x2+ax+a+1)+ex(2x+a)=ex［x2+(a+2)x+(2a+1)］.?
令f′（x)＝0得x2+(a+2)x+(2a+1)=0.?
(1)當Δ=(a+2)2-4(2a+1)=a2-4a=a(a-4)>0.?
即a<0或a>4時，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0. 有兩個不同實根x1，x2，不妨設x1f′(x)=ex(x-x1)(x-x2).?
從而有下表：
x
（-∞，x1）
x1
（x1，x2）
x2
（x2，+∞）
fˊ(x)
+
0
-
0
+
f (x)
↗
f (x1)為極大值
↘
f (x2)為極小值
↗
即此時f (x)有兩個極值點.?
(2)當在Δ=0，即a=0或a= 4時，方程x2+(a+2)x+(2a+1)=0有兩個相同的實根x1=x2.于是
f′(x)=ex(x-x1)2.?
故當x0；當x>x2時，f′(x)>0.因此f (x)無極值.?
(3)當Δ<0，即00，f′(x)=ex［x2+(a+2)x+(2a+1)］>0，故f (x)為增函數，此時f (x)無極值.因此 當a>4或a<0時，f (x)有2個極值點，當0≤a≤4時，f (x)無極值點.?
【點評】 此題雖不是求極值，但確定極值點個數實際上還是考查極值，解答時最好列表分析，便于確定極值點的個數.??
●對應訓練?
1.已知函數f (x)=的圖象在點M（-1，f (-1))處的切線方程為x+2y+5=0.?
(1)求函數y=f (x)的解析式；? （2）求函數y=f (x)的單調區間.?
2.已知函數f (x)=，x∈［0，1］.?
(Ⅰ)求f (x)的單調區間和值域；?
（Ⅱ）設a≥1，函數g (x)=x3-3a2x-2a，x∈［0，1］.若對于任意x1∈［0,1］，總存在x0∈［0,1］,使得g (x)=f (x1)成立，求a的取值范圍.?
3.已知a≥0，函數f (x)=(x2-2ax)ex.?
(Ⅰ)當x為何值時，f x)取得最小值？證明你的結論；?
（Ⅱ）設f (x)在［－1，1］上是單調函數，求a的取值范圍.??
●參考答案
1.分析：由已知導出f (-1)=-2，結合f′(-1)= -，易求出a、b的值.?
解析:(1)由函數f (x)的圖象在點M(-1，f (-1))處的切線方程為x+2y+5=0，知-1+2f (-1)+5=0，即f (-1)=-2，f′(-1)= -.?
∵f′(x)=，∴
?
即?
解得a=2，b=3(∵b+1≠0，b= -1舍去）.?所以所求的函數解析式是f (x)=.?
(2)f′(x)=.令-2x2+12x+6=0，解得x1=3-2，x2=3+2，當x<3-2，或x>3+2時，f′(x)<0;?
當3-20.? 所以f (x)= 在(-∞，3-2內是減函數；?
在（3-2，3+2)內是增函數；? 在（3＋2，+∞)內是減函數.?
點評：本題主要考查函數的單調性，導數的應用等知識，考查運用數學知識分析、解決問題的能力.?
2.解析：(Ⅰ)對函數f (x)求導,得f′(x)=，?
令f′(x)=0解得x=或x=.?
當x變化時，f′(x)、f (x)的變化情況如下表：
x
0
（0，）
（，1）
1
fˊ(x)
+
-
0
+
-
f(x)
↘
-4
↗
-3
所以，當x∈(0，)時，f (x)是減函數；?
當x∈(，1)時，f (x)是增函數；?
當x∈［0,1］時，f (x)的值域為［－4，－3］.?
(Ⅱ)對函數g (x)求導，得g′(x)=3(x2-a2).?
因為a≥1，當x∈(0,1)時，g′(x)<3(1-a2)≤0.?
因此當x∈(0,1)時，g (x)為減函數，從而當x∈［0,1］時有g(x)∈［g(1)，g(0)］.?
又g (1)=1-2a-3a2，g(0)= -2a，即當x∈［0,1］時有g (x)∈［1-2a-3a2，-2a］.?
任給x1∈［0，1］，f (x1)∈［-4,-3］,存在x0∈［0，1］使得g(x0)= f (x1)，則
［1-2a-3a2，-2a］［-4,-3］.?
即
解①式得a≥1或a≤-；? 解②式得a≤.?
又a≥1，故a的取值范圍為1≤a≤.?
點評：本小題主要考查函數的單調性、值域、集合的包含關系、解不等式基礎知識，以及邏輯思維能力、運算能力和綜合應用數學知識解決問題的能力.?
3.分析：（Ⅰ)利用導數的性質解決問題.?
(Ⅱ)利用函數f (x)在［－1，1］上是單調函數的充要條件是x2≥1.(x=x2時f (x)取到極小值）
解：(Ⅰ)對函數f (x)，求導數，得：f′(x)=(x2-2ax)ex+(2x-2a)ex=［x2+2x(1-a)x-2a］ex，令
f′(x)=0，得［x2+2(1-a)x-2a］ex=0，從而x2+2(1-a)x-2a=0.?
解得x1=a-1-，x2=a-1+，其中x1當x變化時，f′(x)、f (x)的變化如下表
x
（-∞，x1）
x1
（x1，x2）
x2
（x2，+∞）
fˊ(x)
+
0
-
0
+
f(x)
↗
極大值
↘
極小值
↗
即f (x)在x=x1處取到極大值，在x=x2處取到極小值. 當a≥0時，x1<-1，x2≥0，f (x)在（x1，x2)為減函數，在(x2,+∞)為增函數，而當x<0時，f (x)=x(x-2a)ex>0，當x=0時，f (x)=0.?
所以當x=a-1+時，f (x)取得最小值.?
(Ⅱ)當a≥0時，f (x)在［－1，1］上為單調函數的充要條件是x2≥1，即a-1+≥1,解得：a≥，綜上，f(x)在［－1，1］上為單調函數的充分必要條件為a≥，即a的取值范圍是［，+∞).?
點評：本小題主要考查導數的概念和計算，應用導數研究函數性質的方法及推理和運算能力.復合函數求導是解決極值問題、單調問題的常用方法.??

展開更多......

收起↑