資源簡介

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2024年數學中考一輪單元復習考點講析與達標檢測（人教版通用）
第一部分 29個單元的基礎知識與例題解析
專題18 平行四邊形單元考點講析
(
課標要求
)
（1）理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它 們之間的關系；了解四邊形的不穩定性。
（2）探索并證明平行四邊形的性質定理：平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分。探索并證明平行四邊形的判定定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
（3）理解兩條平行線之間距離的概念，能度量兩條平行線之間的距離。
（4）探索并證明矩形、菱形的性質定理：矩形的四個角都是直角，對角線相等；菱形的四條邊相等，對角線互相垂直。
（5）探索并證明矩形、菱形的判定定理：三個角是直角的四邊形是矩形，對角線相等的 平行四邊形是矩形；四邊相等的四邊形是菱形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之間的包含關系。
注意：本標準中多邊形指凸多邊形。
（6）探索并證明三角形的中位線定理。
(
知識
點梳理
)
知識1.幾種特殊四邊形的定義
（1）平行四邊形定義： 有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
（2）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。
（3）菱形的定義 ：鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。
（4）正方形定義：一個角是直角的菱形或鄰邊相等的矩形叫做正方形。
知識2. 幾種特殊四邊形的性質
知識3. 幾種特殊四邊形的常用判定方法
知識4. 平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關系
知識5. 三角形的中位線定理
三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.
注意：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半. (
方法總結
)
平行四邊形中常用輔助線的添法
平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：
（1）連對角線或平移對角線；
（2）過頂點作對邊的垂線構造直角三角形；
（3）連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構造線段平行或中位線；
（4）連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構造三角形相似或等積三角形；
（5）過頂點作對角線的垂線，構成線段平行或三角形全等。
(
例題解析
)
考點1. 涉及平行四邊形的真假命題問題
【例題1】（2023湖南常德）下列命題正確的是( )
A. 正方形的對角線相等且互相平分 B. 對角互補的四邊形是平行四邊形
C. 矩形的對角線互相垂直 D. 一組鄰邊相等的四邊形是菱形
考點2.平行四邊形的性質與判定問題
【例題2】（2023浙江臺州）如圖，點在線段上（點C在點之間），分別以為邊向同側作等邊三角形與等邊三角形，邊長分別為．與交于點H，延長交于點G，長為c．
（1）若四邊形的周長與的周長相等，則之間的等量關系為________．
（2）若四邊形的面積與的面積相等，則a，b，c之間的等量關系為________．
【變式訓練1】（2023湖南懷化）如圖，矩形中，過對角線的中點作的垂線，分別交，于點，．
（1）證明：；
（2）連接、，證明：四邊形是菱形．
【變式訓練2】 （2023福建）如圖，在平行四邊形ABCD中，為的中點，過點且分別交于點．若，則的長為___________．
【變式訓練3】（2023湖南郴州） 如圖，四邊形是平行四邊形．
（1）尺規作圖；作對角線的垂直平分線（保留作圖痕跡）；
（2）若直線分別交，于，兩點，求證：四邊形是菱形
考點3. 三角形的中位線問題
【例題3】（2023湖南株洲）如圖所示，在中，點D、E分別為的中點，點H在線段上，連接，點G、F分別為的中點．
（1）求證：四邊形為平行四邊形
（2），求線段的長度．
考點4. 特殊平行四邊形的性質與判定問題
【例題4】（2023甘肅蘭州） 如圖，在矩形中，點E為延長線上一點，F為的中點，以B為圓心，長為半徑的圓弧過與的交點G，連接．若，，則（ ）
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5
考點5. 解題思想方法問題
【例題5】（2023甘肅蘭州）綜合與實踐
【思考嘗試】
（1）數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，在矩形ABCD中，E是邊上一點，于點F，，，．試猜想四邊形的形狀，并說明理由；
【實踐探究】
（2）小睿受此問題啟發，逆向思考并提出新的問題：如圖2，在正方形中，E是邊上一點，于點F，于點H，交于點G，可以用等式表示線段，，的數量關系，請你思考并解答這個問題；
【拓展遷移】
（3）小博深入研究小睿提出的這個問題，發現并提出新的探究點：如圖3，在正方形中，E是邊上一點，于點H，點M在上，且，連接，，可以用等式表示線段，的數量關系，請你思考并解答這個問題．
【變式訓練】（2023廣東?。┚C合運用
如圖1，在平面直角坐標系中，正方形的頂點A在軸的正半軸上，如圖2，將正方形繞點逆時針旋轉，旋轉角為，交直線于點，交軸于點．
（1）當旋轉角為多少度時，；（直接寫出結果，不要求寫解答過程）
（2）若點，求的長；
（3）如圖3，對角線交軸于點，交直線于點，連接，將與的面積分別記為與，設，，求關于的函數表達式．
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2024年數學中考一輪單元復習考點講析與達標檢測（人教版通用）
第一部分 29個單元的基礎知識與例題解析
專題18 平行四邊形單元考點講析
(
課標要求
)
（1）理解平行四邊形、矩形、菱形、正方形、梯形的概念，以及它 們之間的關系；了解四邊形的不穩定性。
（2）探索并證明平行四邊形的性質定理：平行四邊形的對邊相等、對角相等、對角線互相平分。探索并證明平行四邊形的判定定理：一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形；兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形；對角線互相平分的四邊形是平行四邊形。
（3）理解兩條平行線之間距離的概念，能度量兩條平行線之間的距離。
（4）探索并證明矩形、菱形的性質定理：矩形的四個角都是直角，對角線相等；菱形的四條邊相等，對角線互相垂直。
（5）探索并證明矩形、菱形的判定定理：三個角是直角的四邊形是矩形，對角線相等的 平行四邊形是矩形；四邊相等的四邊形是菱形，對角線互相垂直的平行四邊形是菱形。正方形既是矩形，又是菱形；理解矩形、菱形、正方形之間的包含關系。
注意：本標準中多邊形指凸多邊形。
（6）探索并證明三角形的中位線定理。
(
知識
點梳理
)
知識1.幾種特殊四邊形的定義
（1）平行四邊形定義： 有兩組對邊分別平行的四邊形叫做平行四邊形。
（2）矩形的定義：有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形。
（3）菱形的定義 ：鄰邊相等的平行四邊形叫做菱形。
（4）正方形定義：一個角是直角的菱形或鄰邊相等的矩形叫做正方形。
知識2. 幾種特殊四邊形的性質
知識3. 幾種特殊四邊形的常用判定方法
知識4. 平行四邊形、矩形、菱形、正方形之間的關系
知識5. 三角形的中位線定理
三角形的中位線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半.
注意：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半. (
方法總結
)
平行四邊形中常用輔助線的添法
平行四邊形（包括矩形、正方形、菱形）的兩組對邊、對角和對角線都具有某些相同性質，所以在添輔助線方法上也有共同之處，目的都是造就線段的平行、垂直，構成三角形的全等、相似，把平行四邊形問題轉化成常見的三角形、正方形等問題處理，其常用方法有下列幾種，舉例簡解如下：
（1）連對角線或平移對角線；
（2）過頂點作對邊的垂線構造直角三角形；
（3）連接對角線交點與一邊中點，或過對角線交點作一邊的平行線，構造線段平行或中位線；
（4）連接頂點與對邊上一點的線段或延長這條線段，構造三角形相似或等積三角形；
（5）過頂點作對角線的垂線，構成線段平行或三角形全等。
(
例題解析
)
考點1. 涉及平行四邊形的真假命題問題
【例題1】（2023湖南常德）下列命題正確的是( )
A. 正方形的對角線相等且互相平分 B. 對角互補的四邊形是平行四邊形
C. 矩形的對角線互相垂直 D. 一組鄰邊相等的四邊形是菱形
【答案】A
【解析】根據正方形、平行四邊形、矩形、菱形的各自性質和構成條件進行判斷即可．
A、正方形的對角線相等且互相垂直平分，描述正確；
B、對角互補的四邊形不一定是平行四邊形，只是內接于圓，描述錯誤；
C、矩形的對角線不一定垂直，但相等，描述錯誤；
D、一組鄰邊相等的平行四邊形才構成菱形，描述錯誤．
故選：A．
【點睛】本題考查平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質和判定，解題的關鍵是熟悉掌握各類特殊四邊形的判定和性質．
考點2.平行四邊形的性質與判定問題
【例題2】（2023浙江臺州）如圖，點在線段上（點C在點之間），分別以為邊向同側作等邊三角形與等邊三角形，邊長分別為．與交于點H，延長交于點G，長為c．
（1）若四邊形的周長與的周長相等，則之間的等量關系為________．
（2）若四邊形的面積與的面積相等，則a，b，c之間的等量關系為________．
【答案】 ①. ②.
【解析】由題意可得：為等邊三角形，四邊形為平行四邊形，，（1）分別求得四邊形的周長與的周長，根據題意，求解即可；（2）分別求得四邊形的面積與的面積，根據題意，求解即可．
【詳解】等邊三角形與等邊三角形中，，
∴和為等邊三角形，，
∴，四邊形為平行四邊形，
又∵等邊三角形與等邊三角形
∴，，，
∴，
（1）平行四邊形的周長為：，
的周長為：
由題意可得：
即：；
（2）過點作，過點作，如下圖：
在中，，，，
∴
則平行四邊形的面積為
在中，，，，
∴
則的面積為：
由題意可得：
化簡可得：
故答案為：；
【點睛】此題考查了平行四邊形的判定與性質，等邊三角形的判定與性質，解直角三角形，解題的關鍵是熟練掌握并靈活利用等邊三角形的性質求得對應線段的長度．
【變式訓練1】（2023湖南懷化）如圖，矩形中，過對角線的中點作的垂線，分別交，于點，．
（1）證明：；
（2）連接、，證明：四邊形是菱形．
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】【分析】（1）根據矩形的性質得出，則，根據是的中點，可得，即可證明；
（2）根據可得，進而可得四邊形是平行四邊形，根據對角線互相垂直的四邊形是菱形，即可得證．
【詳解】（1）證明：如圖所示，
∵四邊形是矩形，
∴，
∴，
∵是的中點，
∴，
在與中
，
∴；
（2）∵
∴，
又∵
∴四邊形是平行四邊形，
∵
∴四邊形是菱形．
【點睛】本題考查了矩形的性質，全等三角形的性質與判定，菱形的判定，熟練掌握特殊四邊形的性質與判定是解題的關鍵．
【變式訓練2】 （2023福建）如圖，在平行四邊形ABCD中，為的中點，過點且分別交于點．若，則的長為___________．
【答案】10
【解析】由平行四邊形的性質可得即，再結合可得可得，最進一步說明即可解答．
∵中，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴,即．
故答案：10．
【點睛】本題主要考查了平行四邊形的性質、全等三角形的判定與性質等知識點，證明三角形全等是解答本題的關鍵．
【變式訓練3】（2023湖南郴州） 如圖，四邊形是平行四邊形．
（1）尺規作圖；作對角線的垂直平分線（保留作圖痕跡）；
（2）若直線分別交，于，兩點，求證：四邊形是菱形
【答案】（1）見解析 （2）見解析
【解析】【分析】（1）根據垂直平分線的作圖方法進行作圖即可；
（2）設與交于點，證明，得到，得到四邊形為平行四邊形，根據，即可得證．
【詳解】（1）如圖所示，即為所求；
（2）∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
如圖：設與交于點，
∵是的垂直平分線，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∴四邊形為平行四邊形，
∵，
∴四邊形為菱形．
【點睛】本題考查基本作圖—作垂線，平行四邊形的判定和性質，全等三角形的判定和性質，菱形的判定．熟練掌握菱形的判定定理，是解題的關鍵．
考點3. 三角形的中位線問題
【例題3】（2023湖南株洲）如圖所示，在中，點D、E分別為的中點，點H在線段上，連接，點G、F分別為的中點．
（1）求證：四邊形為平行四邊形
（2），求線段的長度．
【答案】（1）見解析 （2）
【解析】【分析】（1）由三角形中位線定理得到，，得到，即可證明四邊形為平行四邊形；
（2）由四邊形為平行四邊形得到，由得到，由勾股定理即可得到線段的長度．
【詳解】（1）∵點D、E分別為的中點，
∴，
∵點G、F分別為、的中點．
∴，
∴，
∴四邊形為平行四邊形；
（2）∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∵
∴，
∵，
∴．
【點睛】此題考查了中位線定理、平行四邊形的判定和性質、勾股定理等知識，證明四邊形為平行四邊形和利用勾股定理計算是解題的關鍵．
考點4. 特殊平行四邊形的性質與判定問題
【例題4】（2023甘肅蘭州） 如圖，在矩形中，點E為延長線上一點，F為的中點，以B為圓心，長為半徑的圓弧過與的交點G，連接．若，，則（ ）
A. 2 B. 2.5 C. 3 D. 3.5
【答案】C
【解析】利用直角三角形斜邊中線的性質求得，在中，利用勾股定理即可求解.
∵矩形中，
∴，
∵F為的中點，，
∴，
在中，，
故選：C.
【點睛】本題考查了矩形的性質，直角三角形斜邊中線的性質，勾股定理，掌握“直角三角形斜邊中線的長等于斜邊的一半”是解題的關鍵.
考點5. 解題思想方法問題
【例題5】（2023甘肅蘭州）綜合與實踐
【思考嘗試】
（1）數學活動課上，老師出示了一個問題：如圖1，在矩形ABCD中，E是邊上一點，于點F，，，．試猜想四邊形的形狀，并說明理由；
【實踐探究】
（2）小睿受此問題啟發，逆向思考并提出新的問題：如圖2，在正方形中，E是邊上一點，于點F，于點H，交于點G，可以用等式表示線段，，的數量關系，請你思考并解答這個問題；
【拓展遷移】
（3）小博深入研究小睿提出的這個問題，發現并提出新的探究點：如圖3，在正方形中，E是邊上一點，于點H，點M在上，且，連接，，可以用等式表示線段，的數量關系，請你思考并解答這個問題．
【答案】（1）四邊形是正方形，證明見解析；（2）；（3），證明見解析；
【解析】【分析】（1）證明，可得，從而可得結論；
（2）證明四邊形是矩形，可得，同理可得：，證明，，，證明四邊形是正方形，可得，從而可得結論；
（3）如圖，連接，證明，，，，可得，再證明，可得，證明，可得，從而可得答案．
【詳解】解：（1）∵，，，
∴，，
∵矩形，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴矩形是正方形．
（2）∵，，，
∴，
∴四邊形是矩形，
∴，
同理可得：，
∵正方形，
∴，
∴，
∴，，
∴四邊形是正方形，
∴，
∴．
（3）如圖，連接，
∵，正方形，
∴，，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴．
【點睛】本題考查的是矩形的判定與性質，正方形的判定與性質，全等三角形的判定與性質，相似三角形的判定與性質，作出合適的輔助線，構建相似三角形是解本題的關鍵．
【變式訓練】（2023廣東省）綜合運用
如圖1，在平面直角坐標系中，正方形的頂點A在軸的正半軸上，如圖2，將正方形繞點逆時針旋轉，旋轉角為，交直線于點，交軸于點．
（1）當旋轉角為多少度時，；（直接寫出結果，不要求寫解答過程）
（2）若點，求的長；
（3）如圖3，對角線交軸于點，交直線于點，連接，將與的面積分別記為與，設，，求關于的函數表達式．
【答案】（1） （2） （3）
【解析】【分析】（1）根據正方形的性質及直角三角形全等的判定及性質得出，再由題意得出，即可求解；
（2）過點A作軸，根據勾股定理及點的坐標得出，再由相似三角形的判定和性質求解即可；
（3）根據正方形的性質及四點共圓條件得出O、C、F、N四點共圓，再由圓周角定理及等腰直角三角形的判定和性質得出，，過點N作于點G，交于點Q，利用全等三角形及矩形的判定和性質得出，結合圖形分別表示出，，得出，再由等腰直角三角形的性質即可求解．
【詳解】（1）∵正方形，
∴，，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∵交直線于點，
∴，
∴，
即；
（2）過點A作軸，如圖所示：
∵，
∴，
∴，
∵正方形，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴即，
∴；
（3）∵正方形，
∴，
∵直線，
∴，
∴，
∴O、C、F、N四點共圓，
∴，
∴，
∴為等腰直角三角形，
∴，，
過點N作于點G，交于點Q，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴
∴，
∵，，
∴四邊形為矩形，
∴，
∴，
，
∴，
∵，
∴為等腰直角三角形，
∴，
∴
【點睛】題目主要考查全等三角形、相似三角形及特殊四邊形的判定和性質，四點共圓的性質，理解題意，作出輔助線，綜合運用這些知識點是解題關鍵．
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