資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2024年數學中考一輪單元復習考點講析與達標檢測（人教版通用）
第一部分 29個單元的基礎知識與例題解析
專題19 一次函數單元考點講析
(
課標要求
)
一、函數
（1）探索簡單實例中的數量關系和變化規律，了解常量、變量的意義；了解函數的概念和表示法，能舉出函數的實例。
（2）能結合圖象對簡單實際問題中的函數關系進行分析。
（3）能確定簡單實際問題中函數自變量的取值范圍，會求函數值。
（4）能用適當的函數表示法刻畫簡單實際問題中變量之間的關系, 理解函數值的意義。
（5）結合對函數關系的分析，能對變量的變化情況進行初步討論。
二、一次函數
（1）結合具體情境體會一次函數的意義，能根據已知條件確定一次 函數的表達式；會運用待定系數法確定一次函數的表達式。
（2）能畫一次函數的圖象，根據圖象和表達式y=kx+b，k≠0） 探索并理解k>0和 k<0時圖象的變化情況；理解正比例函數。
（3）體會一次函數與二元一次方程的關系。
（4）能用一次函數解決簡單實際問題。
(
考點梳理
)
知識點1. 函數的定義
1.常量與變量
（1）變量：在一個變化過程中可以取不同數值的量。
（2）常量：在一個變化過程中只能取同一數值的量。
2.函數：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量和y，并且對于x的每一個確定的
值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就把x稱為自變量，y是x的函數。如果當x=a時y=b，那么b叫做當自變量的值為a時的函數值。
判斷y是否為x的函數，只要看x取值確定的時候，y是否有唯一確定的值與之對應。
3.確定函數自變量取值的范圍的方法：
（1）關系式為整式時，函數定義域為全體實數；
（2）關系式含有分式時，分式的分母不等于零；
（3）關系式含有二次根式時，被開放方數大于等于零；
（4）關系式中含有指數為零的式子時，底數不等于零；
（5）實際問題中，函數定義域還要和實際情況相符合，使之有意義。
4.函數的解析式：用關于自變量的數學式子表示函數與自變量之間的關系的式子叫做函數的解析式。
5.函數的圖像
一般來說，對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象．
6.描點法畫函數圖形的一般步驟
第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對應的函數值）；
第二步：描點（在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值對應的各點）；
第三步：連線（按照橫坐標由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來）。
7.函數的表示方法
（1）列表法：一目了然，使用起來方便，但列出的對應值是有限的，不易看出自變量與函數之間的對應規律。
（2）解析式法：簡單明了，能夠準確地反映整個變化過程中自變量與函數之間的相依關系，但有些實際問題中的函數關系，不能用解析式表示。
（3）圖象法：形象直觀，但只能近似地表達兩個變量之間的函數關系。
知識點2. 一次函數的概念
1.正比例函數的定義
一般地，形如y=kx(k是常數，k≠0)的函數叫做正比例函數，其中k叫做比例系數.
2.正比例函數的性質
當k>0時，直線y=kx經過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；
當k<0時，直線y=kx經過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小．
（1）解析式：y=kx（k是常數，k≠0）
（2）必過點：（0，0）、（1，k）
（3）走向：k>0時，圖像經過一、三象限；k<0時，圖像經過二、四象限
（4）增減性：k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小
（5）傾斜度：|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸
3.一次函數的定義
一般地，形如y=kx+b（k，b是常數，且k≠0）的函數，叫做一次函數，其中x是自變量。當b=0時，一次函數y=kx，又叫做正比例函數。
⑴一次函數的解析式的形式是y=kx+b，要判斷一個函數是否是一次函數，就是判斷是否能化成以上形式．
⑵當b=0， k≠0時， y=kx仍是一次函數．
⑶當b=0， k=0時，它不是一次函數．
⑷正比例函數是一次函數的特例，一次函數包括正比例函數．
4.分段函數
當自變量的取值范圍不同時，函數的解析式也不同，這樣的函數稱為分段函數.
知識點3. 一次函數的圖象及性質
1．正比例函數的圖象特征與性質
正比例函數y=kx（k≠0）的圖象是經過原點（0，0）的一條直線．
k的符號 函數圖象 圖象的位置 性質
k>0 圖象經過第一、三象限 y隨x的增大而增大
k <0 圖象經過第二、四象限 y隨x的增大而減小
2.一次函數的圖象特征與性質
（1）一次函數的圖象特征
一次函數的圖象 一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象是經過點(0，b)和(-，0)的一條直線
圖象關系 一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象可由正比例函數y=kx(k≠0)的圖象平移得到；b>0，向上平移b個單位長度；b<0，向下平移|b|個單位長度
圖象確定 因為一次函數的圖象是一條直線，由兩點確定一條直線可知畫一次函數圖象時，只要取兩點即可
（2）一次函數的性質
函數 字母取值 圖象 經過的象限 函數性質
y=kx+b (k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y隨x的增大而增大
k>0，b<0 一、三、四
y=kx+b (k≠0) k<0，b>0 一、二、四 y隨x的增大而減小
k<0，b<0 二、三、四
3.k，b的符號與直線y=kx+b（k≠0）的關系
在直線y=kx+b（k≠0）中，令y=0，則x=- ，即直線y=kx+b與x軸交于（–，0）．
①當–>0時，即k，b異號時，直線與x軸交于正半軸．
②當–=0，即b=0時，直線經過原點．
③當–<0，即k，b同號時，直線與x軸交于負半軸．
4.兩直線y=k1x+b1（k1≠0）與y=k2x+b2（k2≠0）的位置關系：
①當k1=k2，b1≠b2，兩直線平行； ②當k1=k2，b1=b2，兩直線重合；
③當k1≠k2，b1=b2，兩直線交于y軸上一點； ④當k1·k2=–1時，兩直線垂直．
知識點4. 用待定系數法求一次函數的解析式
1．定義：先設出函數解析式，再根據條件確定解析式中未知數的系數，從而得出函數解析式的方法叫做待定系數法．
2．待定系數法求正比例函數解析式的一般步驟
（1）設含有待定系數的函數解析式為y=kx（k≠0）．
（2）把已知條件（自變量與函數的對應值）代入解析式，得到關于系數k的一元一次方程．
（3）解方程，求出待定系數k．
（4）將求得的待定系數k的值代入解析式．
3．待定系數法求一次函數解析式的一般步驟
（1）設出含有待定系數k、b的函數解析式y=kx+b．
（2）把兩個已知條件（自變量與函數的對應值）代入解析式，得到關于系數k，b的二元一次方程組．
（3）解二元一次方程組，求出k，b．
（4）將求得的k，b的值代入解析式．
知識點5. 一次函數與方程、不等式
1．一次函數與一元一次方程
任何一個一元一次方程都可以轉化為kx+b=0(k，b為常數，且k≠0)的形式．
從函數的角度來看，解這個方程就是尋求自變量為何值時函數值為0；從函數圖象的角度考慮，解這個方程就是確定直線y=kx+b與x軸的交點的橫坐標．
2．一次函數與一元一次不等式
任何一個一元一次不等式都能寫成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b為常數，且a≠0）的形式．
從函數的角度看，解一元一次不等式就是尋求使一次函數y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數圖象的角度看，就是確定直線y=ax+b（a≠0）在x軸上（或下）方部分的點的橫坐標滿足的條件．
3．一次函數與二元一次方程組
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常數，且m≠0，n≠0）都能寫成y=ax+b（a，b為常數，且a≠0）的形式．因此，一個二元一次方程對應一個一次函數，又因為一個一次函數對應一條直線，所以一個二元一次方程也對應一條直線．進一步可知，一個二元一次方程對應兩個一次函數，因而也對應兩條直線．
從數的角度看，解二元一次方程組相當于考慮自變量為何值時，兩個函數的值相等，以及這兩個函數值是何值；從形的角度看，解二元一次方程組相當于確定兩條直線的交點坐標，一般地，如果一個二元一次方程組有唯一解，那么這個解就是方程組對應的兩條直線的交點坐標．
知識點6. 一次函數的應用
1．主要題型：（1）求相應的一次函數表達式；（2）結合一次函數圖象求相關量、求實際問題的最值等．
2．用一次函數解決實際問題的一般步驟為：
（1）設定實際問題中的自變量與因變量；
（2）通過列方程(組)與待定系數法求一次函數關系式；
（3）確定自變量的取值范圍；
（4）利用函數性質解決問題；
（5）檢驗所求解是否符合實際意義；
（6）答．
知識點7. 一次函數的圖像與兩坐標軸所圍成三角形的面積
（1）一次函數y=kx＋b的圖象與兩條坐標軸的交點：
與y軸的交點（0，b），與x軸的交點（，0）.
（2）直線（b≠0）與兩坐標軸圍成的三角形面積為
s=
(
方法總結
)
一、用待定系數法確定函數解析式的一般步驟
（1）根據已知條件寫出含有待定系數的函數關系式；
（2）將x、y的幾對值或圖象上的幾個點的坐標代入上述函數關系式中得到以待定系數為未知數的方程；
（3）解方程得出未知系數的值；
（4）將求出的待定系數代回所求的函數關系式中得出所求函數的解析式。
二、求解涉及一次函數方案最值問題方法技巧
1. 對于求方案問題，通常涉及兩個相關量，解題方法為根據題中所要滿足的關系式，通過列不等式，求解出某一個事物的取值范圍，再根據另一個事物所要滿足的條件，即可確定出有多少種方案．
2．求最值的本質為求最優方案，解法有兩種：
（1）可將所有求得的方案的值計算出來，再進行比較；
（2）直接利用所求值與其變量之間滿足的一次函數關系式求解，由一次函數的增減性可直接確定最優方案及最值；若為分段函數，則應分類討論，先計算出每個分段函數的取值，再進行比較 (
例題解析
)。
考點1. 從函數圖象中有效的獲取信息
【例題1】（2023深圳）如圖1，在中，動點P從A點運動到B點再到C點后停止，速度為2單位/s，其中長與運動時間t（單位：s）的關系如圖2，則的長為（ ）
A. B. C. 17 D.
【變式訓練】（2023湖南郴州） 第11屆中國（湖南）礦物寶石國際博覽會在我市舉行，小方一家上午開車前往會展中心參觀．途中汽車發生故障，原地修車花了一段時間．車修好后，他們繼續開車趕往會展中心．以下是他們家出發后離家的距離與時間的函數圖象．分析圖中信息，下列說法正確的是（　　）
A. 途中修車花了
B. 修車之前的平均速度是/
C. 車修好后的平均速度是/
D. 車修好后的平均速度是修車之前的平均速度的倍
考點2. 一次函數的圖象和性質
【例題2】（2023內蒙古通遼）在平面直角坐標系中，一次函數的圖象是（ ）
A. B. C. D.
【變式訓練1】（2023浙江溫州）如圖，在直角坐標系中，點在直線上，過點A的直線交y軸于點．
（1）求m的值和直線的函數表達式．
（2）若點在線段上，點在直線上，求的最大值．
【變式訓練2】（2023湖南郴州） 在一次函數中，隨的增大而增大，則的值可以是________（任寫一個符合條件的數即可）．
考點3. 求一次函數解析式
【例題3】 （2023內蒙古包頭）在平面直角坐標系中，將正比例函數的圖象向右平移3個單位長度得到一次函數的圖象，則該一次函數的解析式為（ ）
A. B. C. D.
【變式訓練】（2023浙江紹興）一條筆直的路上依次有三地，其中兩地相距1000米．甲、乙兩機器人分別從兩地同時出發，去目的地，勻速而行．圖中分別表示甲、乙機器人離地的距離（米）與行走時間（分鐘）的函數關系圖象．
（1）求所在直線的表達式．
（2）出發后甲機器人行走多少時間，與乙機器人相遇？
（3）甲機器人到地后，再經過1分鐘乙機器人也到地，求兩地間的距離．
考點4. 一次函數與一元一次不等式
【例題4】（2023甘肅蘭州） 一次函數的函數值y隨x的增大而減小，當時，y的值可以是（ ）
A. 2 B. 1 C. －1 D. －2
考點5. 一次函數與二元一次方程組
【例題5】（2023山東聊城）甲乙兩地相距a千米，小亮8:00乘慢車從甲地去乙地，10分鐘后小瑩乘快車從乙地趕往甲地．兩人分別距甲地的距離y（千米）與兩人行駛時刻t（×時×分）的函數圖象如圖所示，則小亮與小瑩相遇的時刻為（ ）
A. 8:28 B. 8:30 C. 8:32 D. 8:35
【變式訓練】（2023湖南永州） 小明觀察到一個水龍頭因損壞而不斷地向外滴水，為探究其漏水造成的浪費情況，小明用一個帶有刻度的量筒放在水龍頭下面裝水，每隔一分鐘記錄量簡中的總水量，但由于操作延誤，開始計時的時候量筒中已經有少量水，因而得到如下表的一組數據：
時間t（單位：分鐘） 1 2 3 4 5 …
總水量y（單位：毫升） 7 12 17 22 27 …
（1）探究：根據上表中數據，請判斷和（k，b為常數）哪一個能正確反映總水量y與時間t的函數關系 并求出y關于t的表達式；
（2）應用：
①請你估算小明在第20分鐘測量時量筒的總水量是多少毫升
②一個人一天大約飲用1500毫升水，請你估算這個水龍頭一個月（按30天計）的漏水量可供一人飲用多少天．
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2024年數學中考一輪單元復習考點講析與達標檢測（人教版通用）
第一部分 29個單元的基礎知識與例題解析
專題19 一次函數單元考點講析
(
課標要求
)
一、函數
（1）探索簡單實例中的數量關系和變化規律，了解常量、變量的意義；了解函數的概念和表示法，能舉出函數的實例。
（2）能結合圖象對簡單實際問題中的函數關系進行分析。
（3）能確定簡單實際問題中函數自變量的取值范圍，會求函數值。
（4）能用適當的函數表示法刻畫簡單實際問題中變量之間的關系, 理解函數值的意義。
（5）結合對函數關系的分析，能對變量的變化情況進行初步討論。
二、一次函數
（1）結合具體情境體會一次函數的意義，能根據已知條件確定一次 函數的表達式；會運用待定系數法確定一次函數的表達式。
（2）能畫一次函數的圖象，根據圖象和表達式y=kx+b，k≠0） 探索并理解k>0和 k<0時圖象的變化情況；理解正比例函數。
（3）體會一次函數與二元一次方程的關系。
（4）能用一次函數解決簡單實際問題。
(
考點梳理
)
知識點1. 函數的定義
1.常量與變量
（1）變量：在一個變化過程中可以取不同數值的量。
（2）常量：在一個變化過程中只能取同一數值的量。
2.函數：一般的，在一個變化過程中，如果有兩個變量和y，并且對于x的每一個確定的
值，y都有唯一確定的值與其對應，那么我們就把x稱為自變量，y是x的函數。如果當x=a時y=b，那么b叫做當自變量的值為a時的函數值。
判斷y是否為x的函數，只要看x取值確定的時候，y是否有唯一確定的值與之對應。
3.確定函數自變量取值的范圍的方法：
（1）關系式為整式時，函數定義域為全體實數；
（2）關系式含有分式時，分式的分母不等于零；
（3）關系式含有二次根式時，被開放方數大于等于零；
（4）關系式中含有指數為零的式子時，底數不等于零；
（5）實際問題中，函數定義域還要和實際情況相符合，使之有意義。
4.函數的解析式：用關于自變量的數學式子表示函數與自變量之間的關系的式子叫做函數的解析式。
5.函數的圖像
一般來說，對于一個函數，如果把自變量與函數的每對對應值分別作為點的橫、縱坐標，那么坐標平面內由這些點組成的圖形，就是這個函數的圖象．
6.描點法畫函數圖形的一般步驟
第一步：列表（表中給出一些自變量的值及其對應的函數值）；
第二步：描點（在直角坐標系中，以自變量的值為橫坐標，相應的函數值為縱坐標，描出表格中數值對應的各點）；
第三步：連線（按照橫坐標由小到大的順序把所描出的各點用平滑曲線連接起來）。
7.函數的表示方法
（1）列表法：一目了然，使用起來方便，但列出的對應值是有限的，不易看出自變量與函數之間的對應規律。
（2）解析式法：簡單明了，能夠準確地反映整個變化過程中自變量與函數之間的相依關系，但有些實際問題中的函數關系，不能用解析式表示。
（3）圖象法：形象直觀，但只能近似地表達兩個變量之間的函數關系。
知識點2. 一次函數的概念
1.正比例函數的定義
一般地，形如y=kx(k是常數，k≠0)的函數叫做正比例函數，其中k叫做比例系數.
2.正比例函數的性質
當k>0時，直線y=kx經過三、一象限，從左向右上升，即隨x的增大y也增大；
當k<0時，直線y=kx經過二、四象限，從左向右下降，即隨x增大y反而減小．
（1）解析式：y=kx（k是常數，k≠0）
（2）必過點：（0，0）、（1，k）
（3）走向：k>0時，圖像經過一、三象限；k<0時，圖像經過二、四象限
（4）增減性：k>0，y隨x的增大而增大；k<0，y隨x增大而減小
（5）傾斜度：|k|越大，越接近y軸；|k|越小，越接近x軸
3.一次函數的定義
一般地，形如y=kx+b（k，b是常數，且k≠0）的函數，叫做一次函數，其中x是自變量。當b=0時，一次函數y=kx，又叫做正比例函數。
⑴一次函數的解析式的形式是y=kx+b，要判斷一個函數是否是一次函數，就是判斷是否能化成以上形式．
⑵當b=0， k≠0時， y=kx仍是一次函數．
⑶當b=0， k=0時，它不是一次函數．
⑷正比例函數是一次函數的特例，一次函數包括正比例函數．
4.分段函數
當自變量的取值范圍不同時，函數的解析式也不同，這樣的函數稱為分段函數.
知識點3. 一次函數的圖象及性質
1．正比例函數的圖象特征與性質
正比例函數y=kx（k≠0）的圖象是經過原點（0，0）的一條直線．
k的符號 函數圖象 圖象的位置 性質
k>0 圖象經過第一、三象限 y隨x的增大而增大
k <0 圖象經過第二、四象限 y隨x的增大而減小
2.一次函數的圖象特征與性質
（1）一次函數的圖象特征
一次函數的圖象 一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象是經過點(0，b)和(-，0)的一條直線
圖象關系 一次函數y=kx+b(k≠0)的圖象可由正比例函數y=kx(k≠0)的圖象平移得到；b>0，向上平移b個單位長度；b<0，向下平移|b|個單位長度
圖象確定 因為一次函數的圖象是一條直線，由兩點確定一條直線可知畫一次函數圖象時，只要取兩點即可
（2）一次函數的性質
函數 字母取值 圖象 經過的象限 函數性質
y=kx+b (k≠0) k>0，b>0 一、二、三 y隨x的增大而增大
k>0，b<0 一、三、四
y=kx+b (k≠0) k<0，b>0 一、二、四 y隨x的增大而減小
k<0，b<0 二、三、四
3.k，b的符號與直線y=kx+b（k≠0）的關系
在直線y=kx+b（k≠0）中，令y=0，則x=- ，即直線y=kx+b與x軸交于（–，0）．
①當–>0時，即k，b異號時，直線與x軸交于正半軸．
②當–=0，即b=0時，直線經過原點．
③當–<0，即k，b同號時，直線與x軸交于負半軸．
4.兩直線y=k1x+b1（k1≠0）與y=k2x+b2（k2≠0）的位置關系：
①當k1=k2，b1≠b2，兩直線平行； ②當k1=k2，b1=b2，兩直線重合；
③當k1≠k2，b1=b2，兩直線交于y軸上一點； ④當k1·k2=–1時，兩直線垂直．
知識點4. 用待定系數法求一次函數的解析式
1．定義：先設出函數解析式，再根據條件確定解析式中未知數的系數，從而得出函數解析式的方法叫做待定系數法．
2．待定系數法求正比例函數解析式的一般步驟
（1）設含有待定系數的函數解析式為y=kx（k≠0）．
（2）把已知條件（自變量與函數的對應值）代入解析式，得到關于系數k的一元一次方程．
（3）解方程，求出待定系數k．
（4）將求得的待定系數k的值代入解析式．
3．待定系數法求一次函數解析式的一般步驟
（1）設出含有待定系數k、b的函數解析式y=kx+b．
（2）把兩個已知條件（自變量與函數的對應值）代入解析式，得到關于系數k，b的二元一次方程組．
（3）解二元一次方程組，求出k，b．
（4）將求得的k，b的值代入解析式．
知識點5. 一次函數與方程、不等式
1．一次函數與一元一次方程
任何一個一元一次方程都可以轉化為kx+b=0(k，b為常數，且k≠0)的形式．
從函數的角度來看，解這個方程就是尋求自變量為何值時函數值為0；從函數圖象的角度考慮，解這個方程就是確定直線y=kx+b與x軸的交點的橫坐標．
2．一次函數與一元一次不等式
任何一個一元一次不等式都能寫成ax+b>0（或ax+b<0）（a，b為常數，且a≠0）的形式．
從函數的角度看，解一元一次不等式就是尋求使一次函數y=ax+b（a≠0）的值大于（或小于）0的自變量x的取值范圍；從函數圖象的角度看，就是確定直線y=ax+b（a≠0）在x軸上（或下）方部分的點的橫坐標滿足的條件．
3．一次函數與二元一次方程組
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常數，且m≠0，n≠0）都能寫成y=ax+b（a，b為常數，且a≠0）的形式．因此，一個二元一次方程對應一個一次函數，又因為一個一次函數對應一條直線，所以一個二元一次方程也對應一條直線．進一步可知，一個二元一次方程對應兩個一次函數，因而也對應兩條直線．
從數的角度看，解二元一次方程組相當于考慮自變量為何值時，兩個函數的值相等，以及這兩個函數值是何值；從形的角度看，解二元一次方程組相當于確定兩條直線的交點坐標，一般地，如果一個二元一次方程組有唯一解，那么這個解就是方程組對應的兩條直線的交點坐標．
知識點6. 一次函數的應用
1．主要題型：（1）求相應的一次函數表達式；（2）結合一次函數圖象求相關量、求實際問題的最值等．
2．用一次函數解決實際問題的一般步驟為：
（1）設定實際問題中的自變量與因變量；
（2）通過列方程(組)與待定系數法求一次函數關系式；
（3）確定自變量的取值范圍；
（4）利用函數性質解決問題；
（5）檢驗所求解是否符合實際意義；
（6）答．
知識點7. 一次函數的圖像與兩坐標軸所圍成三角形的面積
（1）一次函數y=kx＋b的圖象與兩條坐標軸的交點：
與y軸的交點（0，b），與x軸的交點（，0）.
（2）直線（b≠0）與兩坐標軸圍成的三角形面積為
s=
(
方法總結
)
一、用待定系數法確定函數解析式的一般步驟
（1）根據已知條件寫出含有待定系數的函數關系式；
（2）將x、y的幾對值或圖象上的幾個點的坐標代入上述函數關系式中得到以待定系數為未知數的方程；
（3）解方程得出未知系數的值；
（4）將求出的待定系數代回所求的函數關系式中得出所求函數的解析式。
二、求解涉及一次函數方案最值問題方法技巧
1. 對于求方案問題，通常涉及兩個相關量，解題方法為根據題中所要滿足的關系式，通過列不等式，求解出某一個事物的取值范圍，再根據另一個事物所要滿足的條件，即可確定出有多少種方案．
2．求最值的本質為求最優方案，解法有兩種：
（1）可將所有求得的方案的值計算出來，再進行比較；
（2）直接利用所求值與其變量之間滿足的一次函數關系式求解，由一次函數的增減性可直接確定最優方案及最值；若為分段函數，則應分類討論，先計算出每個分段函數的取值，再進行比較 (
例題解析
)。
考點1. 從函數圖象中有效的獲取信息
【例題1】（2023深圳）如圖1，在中，動點P從A點運動到B點再到C點后停止，速度為2單位/s，其中長與運動時間t（單位：s）的關系如圖2，則的長為（ ）
A. B. C. 17 D.
【答案】C
【解析】根據圖象可知時，點與點重合，得到，進而求出點從點運動到點所需的時間，進而得到點從點運動到點的時間，求出的長，再利用勾股定理求出即可．
由圖象可知：時，點與點重合，
∴，
∴點從點運動到點所需的時間為；
∴點從點運動到點的時間為，
∴；
在中：；
故選C．
【點睛】本題考查動點的函數圖象，勾股定理．從函數圖象中有效的獲取信息，求出的長，是解題的關鍵．
【變式訓練】（2023湖南郴州） 第11屆中國（湖南）礦物寶石國際博覽會在我市舉行，小方一家上午開車前往會展中心參觀．途中汽車發生故障，原地修車花了一段時間．車修好后，他們繼續開車趕往會展中心．以下是他們家出發后離家的距離與時間的函數圖象．分析圖中信息，下列說法正確的是（　　）
A. 途中修車花了
B. 修車之前的平均速度是/
C. 車修好后的平均速度是/
D. 車修好后的平均速度是修車之前的平均速度的倍
【答案】D
【解析】根據圖象信息以及速度路程÷時間的關系即可解決問題．
由圖象可知途中修車花了，
修車之前的平均速度是÷/，
車修好后的平均速度是÷/,
∴
故A、B、C錯誤，D正確．
故選∶ D．
【點睛】本題考查了函數圖象，觀察函數圖象得出相應的時間和路程是解題關鍵．
考點2. 一次函數的圖象和性質
【例題2】（2023內蒙古通遼）在平面直角坐標系中，一次函數的圖象是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】依據一次函數的圖象經過點和，即可得到一次函數的圖象經過一、三、四象限．
【詳解】一次函數中，令，則；令，則，
∴一次函數的圖象經過點和，
∴一次函數的圖象經過一、三、四象限，
故選：D．
【點睛】本題主要考查了一次函數的圖象，一次函數的圖象是與坐標軸不平行的一條直線．
【變式訓練1】（2023浙江溫州）如圖，在直角坐標系中，點在直線上，過點A的直線交y軸于點．
（1）求m的值和直線的函數表達式．
（2）若點在線段上，點在直線上，求的最大值．
【答案】（1）， （2）
【解析】【分析】（1）把點A的坐標代入直線解析式可求解m，然后設直線的函數解析式為，進而根據待定系數法可進行求解函數解析式；
（2）由（1）及題意易得，，則有，然后根據一次函數的性質可進行求解．
【詳解】（1）解：把點代入，得．
設直線的函數表達式為，把點，代入得
，解得，
∴直線的函數表達式為．
（2）解：∵點在線段上，點在直線上，
∴，，
∴．
∵，
∴的值隨的增大而減小，
∴當時，的最大值為．
【點睛】本題主要考查一次函數的圖象與性質，熟練掌握一次函數的圖象與性質是解題的關鍵．
【變式訓練2】（2023湖南郴州） 在一次函數中，隨的增大而增大，則的值可以是________（任寫一個符合條件的數即可）．
【答案】3（答案不唯一）
【解析】根據一次函數的性質可知“當時，變量y的值隨x的值增大而增大”，由此可得出結論．
∵一次函數中，y隨x的值增大而增大，
∴．
解得：，
故答案為：3（答案不唯一）．
【點睛】本題考查了一次函數的性質，解題的關鍵是根據函數的單調性確定k的取值范圍．本題屬于基礎題，難度不大，解決該題型題目時，結合一次函數的增減性，得出k的取值范圍是關鍵．
考點3. 求一次函數解析式
【例題3】 （2023內蒙古包頭）在平面直角坐標系中，將正比例函數的圖象向右平移3個單位長度得到一次函數的圖象，則該一次函數的解析式為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根據一次函數的平移規律求解即可．
正比例函數的圖象向右平移3個單位長度得：
，
故選：B．
【點睛】題目主要考查一次函數的平移，熟練掌握平移規律是解題關鍵．
【變式訓練】（2023浙江紹興）一條筆直的路上依次有三地，其中兩地相距1000米．甲、乙兩機器人分別從兩地同時出發，去目的地，勻速而行．圖中分別表示甲、乙機器人離地的距離（米）與行走時間（分鐘）的函數關系圖象．
（1）求所在直線的表達式．
（2）出發后甲機器人行走多少時間，與乙機器人相遇？
（3）甲機器人到地后，再經過1分鐘乙機器人也到地，求兩地間的距離．
【答案】（1）
（2）出發后甲機器人行走分鐘，與乙機器人相遇
（3）兩地間的距離為600米
【解析】分析】（1）利用待定系數法即可求解；
（2）利用待定系數法求出所在直線的表達式，再列方程組求出交點坐標，即可；
（3）列出方程即可解決．
【詳解】（1）∵，
∴所在直線的表達式為．
（2）設所在直線的表達式為，
∵，
∴解得
∴．
甲、乙機器人相遇時，即，解得，
∴出發后甲機器人行走分鐘，與乙機器人相遇．
（3）設甲機器人行走分鐘時到地，地與地距離，
則乙機器人分鐘后到地，地與地距離，
由，得．
∴．
答：兩地間的距離為600米．
【點睛】本題考查了一次函數的圖象與性質，用待定系數法可求出函數表達式，要利用方程組的解，求出兩個函數的交點坐標，充分應用數形結合思想是解題的關鍵．
考點4. 一次函數與一元一次不等式
【例題4】（2023甘肅蘭州） 一次函數的函數值y隨x的增大而減小，當時，y的值可以是（ ）
A. 2 B. 1 C. －1 D. －2
【答案】D
【解析】根據一次函數的增減性可得k的取值范圍，再把代入函數，從而判斷函數值y的取值．
∵一次函數的函數值y隨x的增大而減小
∴
∴當時，
故選：D
【點睛】本題考查一次函數的性質，不等式的性質，熟悉一次函數的性質是解題的關鍵．
考點5. 一次函數與二元一次方程組
【例題5】（2023山東聊城）甲乙兩地相距a千米，小亮8:00乘慢車從甲地去乙地，10分鐘后小瑩乘快車從乙地趕往甲地．兩人分別距甲地的距離y（千米）與兩人行駛時刻t（×時×分）的函數圖象如圖所示，則小亮與小瑩相遇的時刻為（ ）
A. 8:28 B. 8:30 C. 8:32 D. 8:35
【答案】A
【解析】利用待定系數法求出兩條直線的函數解析式，將兩個解析式聯立，通過解方程求出交點的橫坐標即可．
令小亮出發時對應的t值為0，小瑩出發時對應的t值為10，則小亮到達乙地時對應的t值為70，小瑩到達甲地時對應的t值為40，
設小亮對應函數圖象的解析式為，
將代入解析式得，解得，
小亮對應函數圖象的解析式為，
設小瑩對應函數圖象的解析式為，
將，代入解析式，得，
解得，
小瑩對應函數圖象的解析式為，
令，得，
解得，
小亮與小瑩相遇的時刻為8:28．
故選A．
【點睛】本題考查一次函數的實際應用，解題的關鍵是利用待定系數法求出兩條直線的函數解析式，熟練運用數形結合思想．
【變式訓練】（2023湖南永州） 小明觀察到一個水龍頭因損壞而不斷地向外滴水，為探究其漏水造成的浪費情況，小明用一個帶有刻度的量筒放在水龍頭下面裝水，每隔一分鐘記錄量簡中的總水量，但由于操作延誤，開始計時的時候量筒中已經有少量水，因而得到如下表的一組數據：
時間t（單位：分鐘） 1 2 3 4 5 …
總水量y（單位：毫升） 7 12 17 22 27 …
（1）探究：根據上表中數據，請判斷和（k，b為常數）哪一個能正確反映總水量y與時間t的函數關系 并求出y關于t的表達式；
（2）應用：
①請你估算小明在第20分鐘測量時量筒的總水量是多少毫升
②一個人一天大約飲用1500毫升水，請你估算這個水龍頭一個月（按30天計）的漏水量可供一人飲用多少天．
【答案】（1）能正確反映總水量y與時間t的函數關系；
（2）①102毫升；②144天
【解析】【分析】（1）觀察表格，可發現前一分鐘比后一分鐘少5毫升的水，故可得能正確反映總水量y與時間t的函數關系，再選取兩組數據代入函數解析式，根據待定系數法，即可得到y關于t的表達式；
（2）①將代入函數，即可解答；
②由解析式可知，每分鐘滴水量為毫升，故可算出1個月的總滴水量，再除以一個人每天的飲水量，即可解答．
【詳解】（1）觀察表格，可發現前一分鐘比后一分鐘少5毫升的水，故可得能正確反映總水量y與時間t的函數關系，
把，代入，
可得，
解得，
y關于t的表達式；
（2）①當時，，
故小明在第20分鐘測量時量筒的總水量是102毫升，
答：小明在第20分鐘測量時量筒的總水量是102毫升．
②由解析式可知，每分鐘的滴水量為毫升，
30天分鐘分鐘，
可供一人飲水天數天，
答：這個水龍頭一個月（按30天計）的漏水量可供一人飲用144天．
【點睛】本題考查了待定系數法求一次函數，一次函數應用，正確讀懂題意，求得正確的一次函數解析式是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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