資源簡介

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2024年數學中考一輪單元復習考點講析與達標檢測（人教版通用）
第一部分 29個單元的基礎知識與例題解析
專題21 一元二次方程單元考點講析
(
課標要求
)
（1）能根據現實情境理解方程的意義，能針對具體問題列出方程; 理解方程解的意義，經歷估計方程解的過程。
（2）理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數字系數的一元二次方程。
（3）會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根及兩個實根是否相等。
（4）了解一元二次方程的根與系數的關系。
（5）能根據具體問題的實際意義，檢驗方程解的合理性。
(
知識
點梳理
)
知識點1. 一元二次方程的基本概念
1.定義： 只含有一個未知數的整式方程，并且都可以化為 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數，a≠0)的形式，這樣的方程叫做一元二次方程．
2.一般形式：ax2 ＋bx＋c＝0 (a，b，c為常數，a≠0)
3.項數和系數：
ax2 ＋bx＋c＝0 (a，b，c為常數，a≠0)
一次項： ax2
一次項系數：a
二次項： bx
二次項系數：b
常數項：c
4.注意事項： (1)含有一個未知數； (2)未知數的最高次數為2；
(3)二次項系數不為0； (4)整式方程．
知識點2. 一元二次方程的解法
（1）開平方法：運用開平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；領會降次──轉化的數學思想．
（2）配方法：解一元二次方程的一般步驟是現將已知方程化為一般形式；化二次項系數為1；常數項移到右邊；方程兩邊都加上一次項系數的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；變形為(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程無實根．
介紹配方法時，首先通過實際問題引出形如的方程。這樣的方程可以化為更為簡單的形如的方程，由平方根的概念，可以得到這個方程的解。進而舉例說明如何解形如的方程。然后舉例說明一元二次方程可以化為形如的方程，引出配方法。最后安排運用配方法解一元二次方程的例題。在例題中，涉及二次項系數不是1的一元二次方程，也涉及沒有實數根的一元二次方程。對于沒有實數根的一元二次方程，學了“公式法”以后，學生對這個內容會有進一步的理解。
（3）公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定，因此：
解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當b2-4ac≥0時，將a、b、c代入式子x=就得到方程的根．(公式所出現的運算，恰好包括了所學過的六中運算，加、減、乘、除、乘方、開方，這體現了公式的統一性與和諧性。)這個式子叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。
知識點3. 一元二次方程根與系數的關系（韋達定理）
如果方程的兩個實數根是，那么，。
也就是說，對于任何一個有實數根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商。 (
方法總結
)
解有關一元二次方程的實際問題的一般步驟
第1步：審題。認真讀題，分析題中各個量之間的關系。
第2步：設未知數。根據題意及各個量的關系設未知數。
第3步：列方程。根據題中各個量的關系列出方程。
第4步：解方程。根據方程的類型采用相應的解法。
第5步：檢驗。檢驗所求得的根是否滿足題意。
第6步：答。
(
例題解析
)
考點1. 一元二次方程的概念
【例題1】若方程是關于x的一元二次方程，則m =（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．± 2
【變式訓練1】若2n（n≠0）是關于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，則m﹣n的值為　　．
【變式訓練2】 （2023山東棗莊）若是關x的方程的解，則的值為_______．
【變式訓練3】已知關于的方程．
（1）為何值時，此方程是一元一次方程？
（2）為何值時，此方程是一元二次方程？并寫出一元二次方程的二次項系數、一次項系數及常數項。
考點2. 一元二次方程判別式的應用
【例題2】（2023貴州省） 若一元二次方程有兩個相等的實數根，則的值是_______．
【變式訓練1】 （2023湖南常德）若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是_________．
【變式訓練2】（2023山東濱州）一元二次方程根的情況為（　　）
A. 有兩個不相等的實數根 B. 有兩個相等的實數根 C. 沒有實數根 D. 不能判定
【變式訓練3】（2023甘肅蘭州）關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，則（ ）
A. －2 B. 2 C. －4 D. 4
【變式訓練4】（2023山東聊城） 若一元二次方程有實數解，則m的取值范圍是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
考點3. 一元二次方程的解法
【例題3】（2023湖北荊州）已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根．
（1）求的取值范圍；
（2）當時，用配方法解方程．
【變式訓練1】方程的兩個根為（ ）
A. B. C. D.
【變式訓練2】用公式法解下列一元二次方程：
（1）3x2﹣4x+2＝0．（2）．
程的根與系數的關系
【例題4】（2023山東菏澤）一元二次方程的兩根為，則的值為（ ）
A. B. C. 3 D.
考點5. 一元二次方程的應用
【例題5】（2023福建）根據福建省統計局數據，福建省年的地區生產總值為億元，年的地區生產總值為億元．設這兩年福建省地區生產總值的年平均增長率為x，根據題意可列方程（　　）
A. B.
C. D.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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2024年數學中考一輪單元復習考點講析與達標檢測（人教版通用）
第一部分 29個單元的基礎知識與例題解析
專題21 一元二次方程單元考點講析
(
課標要求
)
（1）能根據現實情境理解方程的意義，能針對具體問題列出方程; 理解方程解的意義，經歷估計方程解的過程。
（2）理解配方法，能用配方法、公式法、因式分解法解數字系數的一元二次方程。
（3）會用一元二次方程根的判別式判別方程是否有實根及兩個實根是否相等。
（4）了解一元二次方程的根與系數的關系。
（5）能根據具體問題的實際意義，檢驗方程解的合理性。
(
知識
點梳理
)
知識點1. 一元二次方程的基本概念
1.定義： 只含有一個未知數的整式方程，并且都可以化為 ax2＋bx＋c＝0(a，b，c為常數，a≠0)的形式，這樣的方程叫做一元二次方程．
2.一般形式：ax2 ＋bx＋c＝0 (a，b，c為常數，a≠0)
3.項數和系數：
ax2 ＋bx＋c＝0 (a，b，c為常數，a≠0)
一次項： ax2
一次項系數：a
二次項： bx
二次項系數：b
常數項：c
4.注意事項： (1)含有一個未知數； (2)未知數的最高次數為2；
(3)二次項系數不為0； (4)整式方程．
知識點2. 一元二次方程的解法
（1）開平方法：運用開平方法解形如（x+m）2=n（n≥0）的方程；領會降次──轉化的數學思想．
（2）配方法：解一元二次方程的一般步驟是現將已知方程化為一般形式；化二次項系數為1；常數項移到右邊；方程兩邊都加上一次項系數的一半的平方，使左邊配成一個完全平方式；變形為(x+p)2=q的形式，如果q≥0，方程的根是x=-p±√q；如果q＜0,方程無實根．
介紹配方法時，首先通過實際問題引出形如的方程。這樣的方程可以化為更為簡單的形如的方程，由平方根的概念，可以得到這個方程的解。進而舉例說明如何解形如的方程。然后舉例說明一元二次方程可以化為形如的方程，引出配方法。最后安排運用配方法解一元二次方程的例題。在例題中，涉及二次項系數不是1的一元二次方程，也涉及沒有實數根的一元二次方程。對于沒有實數根的一元二次方程，學了“公式法”以后，學生對這個內容會有進一步的理解。
（3）公式法：一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）的根由方程的系數a、b、c而定，因此：
解一元二次方程時，可以先將方程化為一般形式ax2+bx+c=0，當b2-4ac≥0時，將a、b、c代入式子x=就得到方程的根．(公式所出現的運算，恰好包括了所學過的六中運算，加、減、乘、除、乘方、開方，這體現了公式的統一性與和諧性。)這個式子叫做一元二次方程的求根公式．利用求根公式解一元二次方程的方法叫公式法．
（4）因式分解法：因式分解法就是利用因式分解的手段，求出方程的解的方法，這種方法簡單易行，是解一元二次方程最常用的方法。主要用提公因式法、平方差公式。
知識點3. 一元二次方程根與系數的關系（韋達定理）
如果方程的兩個實數根是，那么，。
也就是說，對于任何一個有實數根的一元二次方程，兩根之和等于方程的一次項系數除以二次項系數所得的商的相反數；兩根之積等于常數項除以二次項系數所得的商。 (
方法總結
)
解有關一元二次方程的實際問題的一般步驟
第1步：審題。認真讀題，分析題中各個量之間的關系。
第2步：設未知數。根據題意及各個量的關系設未知數。
第3步：列方程。根據題中各個量的關系列出方程。
第4步：解方程。根據方程的類型采用相應的解法。
第5步：檢驗。檢驗所求得的根是否滿足題意。
第6步：答。
(
例題解析
)
考點1. 一元二次方程的概念
【例題1】若方程是關于x的一元二次方程，則m =（ ）
A．0 B．2 C．－2 D．± 2
【答案】B
【解析】∵是關于x的一元二次方程，
∴m+2≠0, =2,解得:m=2
【變式訓練1】若2n（n≠0）是關于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，則m﹣n的值為　　．
【答案】．
【解析】∵2n（n≠0）是關于x的方程x2﹣2mx+2n=0的根，
∴4n2﹣4mn+2n=0，
∴4n﹣4m+2=0，
∴m﹣n=．
【變式訓練2】 （2023山東棗莊）若是關x的方程的解，則的值為_______．
【答案】2019
【解析】將代入方程，得到，利用整體思想代入求值即可．
∵是關x的方程的解，
∴，即：，
∴
；
故答案為：2019．
【點睛】考查方程的解，代數式求值．熟練掌握方程的解是使等式成立的未知數的值，是解題的關鍵．
【變式訓練3】已知關于的方程．
（1）為何值時，此方程是一元一次方程？
（2）為何值時，此方程是一元二次方程？并寫出一元二次方程的二次項系數、一次項系數及常數項。
【答案】見解析
【解析】本題是含有字母系數的方程問題．根據一元一次方程和一元二次方程的定義，分別進行討論求解.
（1）由題意得，時，即時，
方程是一元一次方程.
（2）由題意得，時，即時，方程是一元二次方程.此方程的二次項系數是、一次項系數是、常數項是.
考點2. 一元二次方程判別式的應用
【例題2】（2023貴州省） 若一元二次方程有兩個相等的實數根，則的值是_______．
【答案】
【解析】利用一元二次方程根的判別式求解即可．
∵關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，
∴，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查了一元二次方程根的判別式，對于一元二次方程，若，則方程有兩個不相等的實數根，若，則方程有兩個相等的實數根，若，則方程沒有實數根．
【變式訓練1】 （2023湖南常德）若關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根，則的取值范圍是_________．
【答案】
【解析】若一元二次方程有兩個不相等的實數根，則根的判別式，建立關于k的不等式，解不等式即可得出答案．
∵關于x的方程有兩個不相等的實數根，
∴，
解得．
故答案：．
【點睛】此題考查了根的判別式．一元二次方程的根與有如下關系：（1） 方程有兩個不相等的實數根；（2） 方程有兩個相等的實數根；（3） 方程沒有實數根．
【變式訓練2】（2023山東濱州）一元二次方程根的情況為（　　）
A. 有兩個不相等的實數根 B. 有兩個相等的實數根 C. 沒有實數根 D. 不能判定
【答案】A
【解析】根據題意，求得，根據一元二次方程根的判別式的意義，即可求解．
∵一元二次方程中，，
∴，
∴一元二次方程有兩個不相等的實數根，
故選：A．
【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式的意義，熟練掌握一元二次方程根的判別式的意義是解題的關鍵．
【變式訓練3】（2023甘肅蘭州）關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根，則（ ）
A. －2 B. 2 C. －4 D. 4
【答案】A
【解析】由一元二次方程根的情況可得，再代入式子即可求解．
∵關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根
∴
∴，
故選：A.
【點睛】本題考查一元二次方程根的判別式，熟練掌握一元二次方程根的判別式是解題的關鍵．
【變式訓練4】（2023山東聊城） 若一元二次方程有實數解，則m的取值范圍是（ ）
A. B. C. 且 D. 且
【答案】D
【解析】由于關于的一元二次方程有實數根，根據一元二次方程根與系數的關系可知，且，據此列不等式求解即可．
【詳解】由題意得，，且，
解得，，且.
故選：D．
【點睛】本題考查了一元二次方程的根的判別式與根的關系，熟練掌握根的判別式與根的關系式解答本題的關鍵．當時，一元二次方程有兩個不相等的實數根；當時，一元二次方程有兩個相等的實數根；當時，一元二次方程沒有實數根．
考點3. 一元二次方程的解法
【例題3】（2023湖北荊州）已知關于的一元二次方程有兩個不相等的實數根．
（1）求的取值范圍；
（2）當時，用配方法解方程．
【答案】（1）且
（2），
【解析】【分析】（1）根據題意，可得，注意一元二次方程的系數問題，即可解答，
（2）將代入，利用配方法解方程即可．
【詳解】（1）
依題意得：，
解得且；
（2）當時，原方程變為：，
則有：，
，
，
方程的根為，．
【點睛】本題考查了根據根的情況判斷參數，用配方法解一元二次方程，熟練利用配方法解一元二次方程是解題的關鍵．
【變式訓練1】方程的兩個根為（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】將進行因式分解，，計算出答案．
∵
∴
∴．
【點睛】本題考查解一元二次方程，解題的關鍵是熟練掌握因式分解法解一元二次方程．
【變式訓練2】用公式法解下列一元二次方程：
（1）3x2﹣4x+2＝0．（2）．
【答案】（1）x1，x2．（2）x1，x2．
【解析】（1）熟記公式x是解題的關鍵．
先求出b2﹣4ac的值，再代入公式求出即可．
3x2﹣4x+2＝0，
∵a＝3，b＝﹣4，c＝2，
∴△＝b2﹣4ac＝（﹣4）2﹣4×3×2＝24，
∴x，
則x1，x2．
考點4. 一元二次方程的根與系數的關系
【例題4】（2023山東菏澤）一元二次方程的兩根為，則的值為（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】C
【解析】先求得，，再將變形，代入與的值求解即可．
∵一元二次方程的兩根為，
∴，
∴
． 故選C．
【點睛】主要考查一元二次方程根與系數的關系，牢記，是解決本題的關鍵．
考點5. 一元二次方程的應用
【例題5】（2023福建）根據福建省統計局數據，福建省年的地區生產總值為億元，年的地區生產總值為億元．設這兩年福建省地區生產總值的年平均增長率為x，根據題意可列方程（　　）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】設這兩年福建省地區生產總值的年平均增長率為x，根據題意列出一元二次方程即可求解．
設這兩年福建省地區生產總值的年平均增長率為x，根據題意可列方程
，
故選：B．
【點睛】本題考查了一元二次方程的應用，根據題意列出一元二次方程是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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