資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2024年數學中考一輪單元復習考點講析與達標檢測（人教版通用）
第一部分 29個單元的基礎知識與例題解析
專題20 數據的分析單元考點講析
(
課標要求
)
（1）理解平均數、中位數、眾數的意義，能計算中位數、眾數、 加權平均數，知道它們是對數據集中趨勢的描述。
（2）體會刻畫數據離散程度的意義，會計算一組簡單數據的離差 平方和、方差。
（3）經歷數據分類的活動，知道按照組內離差平方和最小的原則 對數據進行分類的方法。
（4）通過實例，了解頻數和頻數分布的意義，能畫頻數直方圖，能利用頻數直方圖解釋數據中蘊含的信息。
（5）體會樣本與總體的關系，知道可以用樣本平均數估計總體平均數，用樣本方差估計總體方差。
（6）會計算四分位數，了解四分位數與箱線圖的關系，感悟百分位數的意義。
（7）能解釋數據分析的結果，能根據結果作出簡單的判斷和預測，并能進行交流。
（8）通過表格、折線圖、趨勢圖等，感受隨機現象的變化趨勢。
(
知識
點梳理
)
知識點1. 數據的集中趨勢
平均數、眾數、中位數都是用來描述數據集中趨勢的量。平均數的大小與每一個數據都有關，任何一個數的波動都會引起平均數的波動，當一組數據中有個數據太高或太低，用平均數來描述整體趨勢則不合適，用中位數或眾數則較合適。中位數與數據排列有關，個別數據的波動對中位數沒影響；當一組數據中不少數據多次重復出現時，可用眾數來描述。
（1）平均數有算術平均數和加權平均數
平均數的求法：=(x1+x2+…+xn)；
加權平均數計算公式為：=(x1f1+x2f2+…+xkfk)，其中f1，f2，…，fk代表各數據的權.
（2）中位數的求法
數據從大到小或從小到大排好順序以后，若為偶數個數，就是最中間的兩個數加起來除以2，即兩個數的平均數;若為奇數個數，就是中間個數.
（3）眾數：指一組數據中出現次數最多的數.
知識點2.數據的波動程度
1.極差: 用一組數據中的最大值減去最小值所得的差來反映這組數據的變化范圍，用這種方法得到的差稱為極差，極差＝最大值－最小值。
2.方差: 用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的結果表示一組數據偏離平均值的情況，這個結果叫方差。
方差公式為：s2=［(x1-)2+(x2-)2+…+(xｎ-)2］，方差越小，數據越穩定. (
方法總結
)
一、對平均數、中位數與眾數的深化理解
1．如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數．
2．平均數能充分利用各數據提供的信息，在實際生活中常用樣本的平均數估計總體的平均數；中位數不受個別偏大或偏小數據的影響，當一組數據中的個別數據變動較大時，一般用中位數來描述數據的集中趨勢；眾數考察的是各數據所出現的頻數，其大小只與部分數據有關，當一組數據中某些數據多次重復出現時，眾數往往更能反映問題．
二、對數據的波動的理解
1．方差反映的是數據在它的平均數附近波動的情況，是用來衡量一組數據波動大小的量．
2．一組數據的每個數據都變為原來的k倍，則所得的一組新數據的方差將變為原數據方差的k2倍．
(
例題解析
)
考點1. 平均數、眾數、中位數問題
【例題1】 （2023福建）某公司欲招聘一名職員．對甲、乙、丙三名應聘者進行了綜合知識、工作經驗、語言表達等三方面測試，他們的各項成績如下表所示：
項目 應聘者 綜合知識 工作經驗 語言表達
甲
乙
丙
如果將每位應聘者的綜合知識、工作經驗、語言表達的成績按的比例計算其總成績，并錄用總成績最高的應聘者，則被錄用的是___________．
【變式訓練1】“石阡苔茶”是貴州十大名茶之一，在我國傳統節日清明節前后，某茶葉經銷商對甲、乙、丙、丁四種包裝的苔茶（售價、利潤均相同）在一段時間內的銷售情況統計如下表，最終決定增加乙種包裝苔茶的進貨數量，影響經銷商決策的統計量是（ ）
包裝 甲 乙 丙 丁
銷售量（盒）
A. 中位數 B. 平均數 C. 眾數 D. 方差
【變式訓練2】（2023湖南常德）我市體育中考有必考和選考項目，擲實心球是必考項目之一，在一次訓練中，張華同學擲實心球10次的成績依次是（單位：米）7.6，8.5，8.6，8.5，9.1，8.5，8.4，8.6，9.2，73．則張華同學撰實心球成績的眾數是__________．
【變式訓練3】（2023山東濟寧）為檢測學生體育鍛煉效果，從某班隨機抽取10名學生進行籃球定時定點投籃檢測，投籃進球數統計如圖所示．對于這10名學生的定時定點投籃進球數，下列說法中錯誤的是（ ）
A. 中位數是5 B. 眾數是5 C. 平均數是5.2 D. 方差是2
【變式訓練4】（2023湖南常德）黨的二十大報告指出：“我們要全方位夯實糧食安全根基，牢牢守住十八億畝耕地紅線．確保中國人的飯碗牢牢端在自己手中”．為了了解糧食生產情況，某校數學興趣小組調查了某種糧大戶2018年至2022年糧食總產量及2022年糧食分季節占比情況如下：
請根據圖中信息回答下列問題：
（1）該種糧大戶2022年早稻產量是__________噸；
（2）2018年至2022年該種糧大戶糧食總產量的中位數是__________，平均數是__________；
（3）該糧食大戶估計2023年的糧食總產量年增長率與2022年的相同，那么2023年該糧食大戶的糧食總產量是多少噸？
考點2. 極差、方差問題
【例題2】（2023福建）為貫徹落實教育部辦公廳關于“保障學生每天校內、校外各1小時體育活動時間”的要求，學校要求學生每天堅持體育鍛煉．小亮記錄了自己一周內每天校外鍛煉的時間（單位：分鐘），并制作了如圖所示的統計圖．
根據統計圖，下列關于小亮該周每天校外鍛煉時間的描述，正確的是（　　）
A. 平均數為70分鐘 B. 眾數為67分鐘 C. 中位數為67分鐘 D. 方差為0
【變式訓練1】（2023湖南永州）甲、乙兩隊學生參加學校儀仗隊選拔，兩隊隊員的平均身高均為，甲隊隊員身高的方差為，乙隊隊員身高的方差為，若要求儀仗隊身高比較整齊，應選擇_______隊較好．
【變式訓練2】（2023山東東營）為備戰東營市第十二屆運動會，某縣區對甲、乙、丙、丁四名射擊運動員進行射擊測試，他們射擊測試成績的平均數（單位：環）及方差（單位：環2）如下表所示：
甲 乙 丙 丁
根據表中數據，要從中選擇一名成績好且發揮穩定的運動員參加比賽，應選擇___________．
考點3. 數據分析的應用問題
【例題3】（2023湖南永州）今年3月27日是第28個全國中小學生安全教育日．某市面向中小學生舉行了一次關于心理健康、預防欺凌、防漏水、應急疏散等安全專題知識競賽，共有18360名學生參加本次競賽．為了解本次競賽成績情況，隨機抽取了n名學生的成績x（成績均為整數，滿分為100分）分成四個組：1組、2組、3組、4組，并繪制如下圖所示頻數分布圖
（1）______；所抽取的n名學生成績的中位數在第_____組；
（2）若成績在第4組才為優秀，則所抽取的n名學生中成績為優秀的頻率為______；
（3）試估計18360名參賽學生中，成績大于或等于70分的人數．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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2024年數學中考一輪單元復習考點講析與達標檢測（人教版通用）
第一部分 29個單元的基礎知識與例題解析
專題20 數據的分析單元考點講析
(
課標要求
)
（1）理解平均數、中位數、眾數的意義，能計算中位數、眾數、 加權平均數，知道它們是對數據集中趨勢的描述。
（2）體會刻畫數據離散程度的意義，會計算一組簡單數據的離差 平方和、方差。
（3）經歷數據分類的活動，知道按照組內離差平方和最小的原則 對數據進行分類的方法。
（4）通過實例，了解頻數和頻數分布的意義，能畫頻數直方圖，能利用頻數直方圖解釋數據中蘊含的信息。
（5）體會樣本與總體的關系，知道可以用樣本平均數估計總體平均數，用樣本方差估計總體方差。
（6）會計算四分位數，了解四分位數與箱線圖的關系，感悟百分位數的意義。
（7）能解釋數據分析的結果，能根據結果作出簡單的判斷和預測，并能進行交流。
（8）通過表格、折線圖、趨勢圖等，感受隨機現象的變化趨勢。
(
知識
點梳理
)
知識點1. 數據的集中趨勢
平均數、眾數、中位數都是用來描述數據集中趨勢的量。平均數的大小與每一個數據都有關，任何一個數的波動都會引起平均數的波動，當一組數據中有個數據太高或太低，用平均數來描述整體趨勢則不合適，用中位數或眾數則較合適。中位數與數據排列有關，個別數據的波動對中位數沒影響；當一組數據中不少數據多次重復出現時，可用眾數來描述。
（1）平均數有算術平均數和加權平均數
平均數的求法：=(x1+x2+…+xn)；
加權平均數計算公式為：=(x1f1+x2f2+…+xkfk)，其中f1，f2，…，fk代表各數據的權.
（2）中位數的求法
數據從大到小或從小到大排好順序以后，若為偶數個數，就是最中間的兩個數加起來除以2，即兩個數的平均數;若為奇數個數，就是中間個數.
（3）眾數：指一組數據中出現次數最多的數.
知識點2.數據的波動程度
1.極差: 用一組數據中的最大值減去最小值所得的差來反映這組數據的變化范圍，用這種方法得到的差稱為極差，極差＝最大值－最小值。
2.方差: 用“先平均，再求差，然后平方，最后再平均”得到的結果表示一組數據偏離平均值的情況，這個結果叫方差。
方差公式為：s2=［(x1-)2+(x2-)2+…+(xｎ-)2］，方差越小，數據越穩定. (
方法總結
)
一、對平均數、中位數與眾數的深化理解
1．如果數據的個數是奇數，則處于中間位置的數就是這組數據的中位數；如果數據的個數是偶數，則中間兩個數據的平均數就是這組數據的中位數．
2．平均數能充分利用各數據提供的信息，在實際生活中常用樣本的平均數估計總體的平均數；中位數不受個別偏大或偏小數據的影響，當一組數據中的個別數據變動較大時，一般用中位數來描述數據的集中趨勢；眾數考察的是各數據所出現的頻數，其大小只與部分數據有關，當一組數據中某些數據多次重復出現時，眾數往往更能反映問題．
二、對數據的波動的理解
1．方差反映的是數據在它的平均數附近波動的情況，是用來衡量一組數據波動大小的量．
2．一組數據的每個數據都變為原來的k倍，則所得的一組新數據的方差將變為原數據方差的k2倍．
(
例題解析
)
考點1. 平均數、眾數、中位數問題
【例題1】 （2023福建）某公司欲招聘一名職員．對甲、乙、丙三名應聘者進行了綜合知識、工作經驗、語言表達等三方面測試，他們的各項成績如下表所示：
項目 應聘者 綜合知識 工作經驗 語言表達
甲
乙
丙
如果將每位應聘者的綜合知識、工作經驗、語言表達的成績按的比例計算其總成績，并錄用總成績最高的應聘者，則被錄用的是___________．
【答案】乙
【解析】分別計算甲、乙、丙三名應聘者的成績的加權平均數，比較大小即可求解．
，
，
，
∵
∴被錄用的是乙，
故答案為：乙．
【點睛】本題考查了加權平均數，熟練掌握加權平均數的計算方法是解題的關鍵．
【變式訓練1】“石阡苔茶”是貴州十大名茶之一，在我國傳統節日清明節前后，某茶葉經銷商對甲、乙、丙、丁四種包裝的苔茶（售價、利潤均相同）在一段時間內的銷售情況統計如下表，最終決定增加乙種包裝苔茶的進貨數量，影響經銷商決策的統計量是（ ）
包裝 甲 乙 丙 丁
銷售量（盒）
A. 中位數 B. 平均數 C. 眾數 D. 方差
【答案】C
【解析】根據眾數的意義結合題意即可得到乙的銷量最好，要多進即可得到答案．
由表格可得，
，眾數是乙，
故乙的銷量最好，要多進，
故選C．
【點睛】本題考查眾數的意義，根據眾數最多銷量最好多進貨．
【變式訓練2】（2023湖南常德）我市體育中考有必考和選考項目，擲實心球是必考項目之一，在一次訓練中，張華同學擲實心球10次的成績依次是（單位：米）7.6，8.5，8.6，8.5，9.1，8.5，8.4，8.6，9.2，73．則張華同學撰實心球成績的眾數是__________．
【答案】8.5
【解析】由眾數的概念即可得到答案．
張華同學擲實心球10次的成績出現頻次最高的是8.5米，共3次，故張華同學擲實心球成績的眾數是8.5．
故答案為：8.5．
【點睛】本題考查的眾數的概念，解題的關鍵是熟練掌握眾數的概念．
【變式訓練3】（2023山東濟寧）為檢測學生體育鍛煉效果，從某班隨機抽取10名學生進行籃球定時定點投籃檢測，投籃進球數統計如圖所示．對于這10名學生的定時定點投籃進球數，下列說法中錯誤的是（ ）
A. 中位數是5 B. 眾數是5 C. 平均數是5.2 D. 方差是2
【答案】D
【解析】根據中位數、眾數、平均數、方差定義逐個計算即可．
根據條形統計圖可得，
從小到大排列第5和第6人投籃進球數都是5，故中位數是5，選項A不符合題意；
投籃進球數是5的人數最多，故眾數是5，選項B不符合題意；
平均數，故選項C不符合題意；
方差，故選項D符合題意；
故選：D．
【點睛】本題考查了中位數、眾數、平均數、方差和條形統計圖的知識，解答本題的關鍵在于讀懂題意，從圖表中篩選出可用的數據，然后整合數據進行求解即可．
【變式訓練4】（2023湖南常德）黨的二十大報告指出：“我們要全方位夯實糧食安全根基，牢牢守住十八億畝耕地紅線．確保中國人的飯碗牢牢端在自己手中”．為了了解糧食生產情況，某校數學興趣小組調查了某種糧大戶2018年至2022年糧食總產量及2022年糧食分季節占比情況如下：
請根據圖中信息回答下列問題：
（1）該種糧大戶2022年早稻產量是__________噸；
（2）2018年至2022年該種糧大戶糧食總產量的中位數是__________，平均數是__________；
（3）該糧食大戶估計2023年的糧食總產量年增長率與2022年的相同，那么2023年該糧食大戶的糧食總產量是多少噸？
【答案】（1）9.2 （2）160噸；172噸 （3）264.5噸
【解析】【分析】（1）用2022年總量乘以早稻所占的百分比求解即可；
（2）根據中位數和平均數的概念求解即可；
（3）首先求出年增長率，進而求解即可．
【詳解】（1）
（噸）
故答案為：9.2．
（2）2018年至2022年該種糧大戶糧食總產量從小到大排列如下：
120，150，160，200，230
∴2018年至2022年該種糧大戶糧食總產量的中位數是160噸；
（噸）
∴2018年至2022年該種糧大戶糧食總產量的平均數是172噸；
故答案為：160噸，172噸；
（3）
（噸）
∴2023年該糧食大戶的糧食總產量是264.5噸．
【點睛】考查扇形統計圖和條形統計圖，求中位數和平均數等知識，解題關鍵是熟練掌握以上知識點．
考點2. 極差、方差問題
【例題2】（2023福建）為貫徹落實教育部辦公廳關于“保障學生每天校內、校外各1小時體育活動時間”的要求，學校要求學生每天堅持體育鍛煉．小亮記錄了自己一周內每天校外鍛煉的時間（單位：分鐘），并制作了如圖所示的統計圖．
根據統計圖，下列關于小亮該周每天校外鍛煉時間的描述，正確的是（　　）
A. 平均數為70分鐘 B. 眾數為67分鐘 C. 中位數為67分鐘 D. 方差為0
【答案】B
【解析】分別求出平均數、眾數、中位數、方差，即可進行判斷．
A．平均數為（分鐘），故選項錯誤，不符合題意；
B．在7個數據中，67出現的次數最多，為2次，則眾數為67分鐘，故選項正確，符合題意；
C．7個數據按照從小到大排列為：，中位數是70分鐘，故選項錯誤，不符合題意；
D．平均數為，
方差為，故選項錯誤，不符合題意．
故選：B．
【點睛】此題考查了平均數、眾數、中位數、方差，熟練掌握各量的求解方法是解題的關鍵．
【變式訓練1】（2023湖南永州）甲、乙兩隊學生參加學校儀仗隊選拔，兩隊隊員的平均身高均為，甲隊隊員身高的方差為，乙隊隊員身高的方差為，若要求儀仗隊身高比較整齊，應選擇_______隊較好．
【答案】甲
【解析】根據方差的意義判斷即可．
∵，
∴，
∴估計這兩支儀仗隊身高比較整齊的是甲，
故答案為：甲．
【點睛】本題主要考查樣本估計總體、方差，解題的關鍵是掌握方差是反映一組數據的波動大小的一個量．方差越大，則平均值的離散程度越大，穩定性也越小；反之，則它與其平均值的離散程度越小，穩定性越好．
【變式訓練2】（2023山東東營）為備戰東營市第十二屆運動會，某縣區對甲、乙、丙、丁四名射擊運動員進行射擊測試，他們射擊測試成績的平均數（單位：環）及方差（單位：環2）如下表所示：
甲 乙 丙 丁
根據表中數據，要從中選擇一名成績好且發揮穩定的運動員參加比賽，應選擇___________．
【答案】丁
【解析】結合表中數據，先找出平均數最大的運動員；再根據方差的意義，找出方差最小的運動員即可．
選擇一名成績好的運動員，從平均數最大的運動員中選取，
由表可知，甲，丙，丁的平均值最大，都是，
從甲，丙，丁中選取，
甲的方差是，丙的方差是，丁的方差是，
發揮最穩定的運動員是丁，
從中選擇一名成績好又發揮穩定的運動員參加比賽，應該選擇丁．
故答案為：丁．
【點睛】本題重點考查方差的意義．方差是用來衡量一組數據波動大小的量，方差越大，表明這組數據偏離平均數越大，即波動越大，數據越不穩定；反之，方差越小，表明這組數據分布比較集中，各數據偏離平均數越小，即波動越小，數據越穩定．
考點3. 數據分析的應用問題
【例題3】（2023湖南永州）今年3月27日是第28個全國中小學生安全教育日．某市面向中小學生舉行了一次關于心理健康、預防欺凌、防漏水、應急疏散等安全專題知識競賽，共有18360名學生參加本次競賽．為了解本次競賽成績情況，隨機抽取了n名學生的成績x（成績均為整數，滿分為100分）分成四個組：1組、2組、3組、4組，并繪制如下圖所示頻數分布圖
（1）______；所抽取的n名學生成績的中位數在第_____組；
（2）若成績在第4組才為優秀，則所抽取的n名學生中成績為優秀的頻率為______；
（3）試估計18360名參賽學生中，成績大于或等于70分的人數．
【答案】（1）600，3 （2）
（3）成績大于或等于70分的人數約為15606人
【解析】【分析】（1）將各組的頻數相加，即可求出n的值，再根據中位數的定義，即可得出中位數所在組數；
（2）用第4組的頻數除以抽取的學生總數，即可求解；
（3）用總人數乘以成績大于或等于70分的人數所占百分比，即可求解．
【詳解】（1）解：，
∵，
∴抽取的n名學生成績的中位數為第300名學生和第301名學生成績的平均數，
∵，，
∴抽取的n名學生成績的中位數在第3組；
故答案：600，3；
（2）所抽取的n名學生中成績為優秀的頻率，
故答案為：；
（3）解：（人），
答：成績大于或等于70分的人數約為15606人．
【點睛】本題主要考查了頻數和頻率的定義，用樣本估計總體，解題的關鍵是正確識別統計圖，根據統計圖，獲取需要數據進行求解．
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