資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2024年數學中考一輪單元復習考點講析與達標檢測（人教版通用）
第一部分 29個單元的基礎知識與例題解析
專題22 二次函數單元考點講析
(
課標要求
)
（1）通過對實際問題的分析，體會二次函數的意義。
（2）會用描點法畫出二次函數的圖像，通過圖像了解二次函數的性質。
（3）會用配方法將數字系數的二次函數的表達式化為的形式，并能由此得到二次函數圖像的頂點坐標，說出圖像的開口方向，畫出圖像的對稱軸，并能解決簡單實際問題。
（4）會利用二次函數的圖像求一元二次方程的近似解。
（5）*知道給定不共線三點的坐標可以確定一個二次函數。
(
知識
點梳理
)
知識點1. 二次函數的概念：
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數．
知識點2. 二次函數解析式的三種形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）．
（2）頂點式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數，a≠0），頂點坐標是（h，k）．
（3）交點式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函數與x軸的交點的橫坐標，a≠0．
知識點3. 二次函數的圖象及性質
1．二次函數的圖象與性質
解析式 二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）
對稱軸 x=–
頂點 （–，）
a的符號 a>0 a<0
圖象
開口方向 開口向上 開口向下
最值 當x=–時，y最小值= 當x=–時，y最大值=
最點 拋物線有最低點 拋物線有最高點
增減性 當x<–時，y隨x的增大而減小；當x>–時，y隨x的增大而增大 當x<–時，y隨x的增大而增大；當x>–時，y隨x的增大而減小
2.二次函數圖象的特征與a，b，c的關系
字母的符號 圖象的特征
a a>0 開口向上
a<0 開口向下
b b=0 對稱軸為y軸
ab>0（a與b同號） 對稱軸在y軸左側
ab<0（a與b異號） 對稱軸在y軸右側
c c=0 經過原點
c>0 與y軸正半軸相交
c<0 與y軸負半軸相交
知識點4. 拋物線的平移
1．將拋物線解析式化成頂點式y=a（x–h） 2+k，頂點坐標為（h，k）．
2．保持y=ax2的形狀不變，將其頂點平移到（h，k）處，具體平移方法如下：
3．注意：二次函數平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，據此，可以直接由解析式中常數的加或減求出變化后的解析式；二次函數圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據頂點之間的平移求出變化后的解析式．
知識點5. 二次函數與一元二次方程的關系
1．二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），當y=0時，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．
2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標．
3．（1）b2–4ac>0 方程有兩個不相等的實數根，拋物線與x軸有兩個交點；
（2）b2–4ac=0 方程有兩個相等的實數根，拋物線與x軸有且只有一個交點；
（3）b2–4ac<0 方程沒有實數根，拋物線與x軸沒有交點．
知識點6. 二次函數的綜合
1、函數存在性問題:解決二次函數存在點問題，一般先假設該點存在，根據該點所在的直線或拋物線的表達式，設出該點的坐標；然后用該點的坐標表示出與該點有關的線段長或其他點的坐標等；最后結合題干中其他條件列出等式，求出該點的坐標，然后判別該點坐標是否符合題意，若符合題意，則該點存在，否則該點不存在．
2、函數動點問題
（1）函數壓軸題主要分為兩大類：一是動點函數圖象問題；二是與動點、存在點、相似等有關的二次函數綜合題．
（2）解答動點函數圖象問題，要把問題拆分，分清動點在不同位置運動或不同時間段運動時對應的函數表達式，進而確定函數圖象；解答二次函數綜合題，要把大題拆分，做到大題小做，逐步分析求解，最后匯總成最終答案．
（3）解決二次函數動點問題，首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結合直線或拋物線的表達式設出動點的坐標或表示出與動點有關的線段長度，最后結合題干中與動點有關的條件進行計算．
(
方法總結
)
一、二次函數常用解題方法總結
⑴ 求二次函數的圖象與軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程；
⑵ 求二次函數的最大（小）值需要利用配方法將二次函數由一般式轉化為頂點式；
⑶ 根據圖象的位置判斷二次函數中，，的符號，或由二次函數中，，的符號判斷圖象的位置，要數形結合；
⑷ 二次函數的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標.
⑸ 與二次函數有關的還有二次三項式，二次三項式本身就是所含字母的二次函數；下面以時為例，揭示二次函數、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯系：
拋物線與軸有兩個交點 二次三項式的值可正、可零、可負 一元二次方程有兩個不相等實根
拋物線與軸只有一個交點 二次三項式的值為非負 一元二次方程有兩個相等的實數根
拋物線與軸無交點 二次三項式的值恒為正 一元二次方程無實數根.
二、對二次函數與一元二次方程、不等式的綜合問題的處理
拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點個數及相應的一元二次方程根的情況都由Δ=b2–4ac決定.
1．當Δ>0，即拋物線與x軸有兩個交點時，方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根，這兩個交點的橫坐標即為一元二次方程的兩個根．
2．當Δ=0，即拋物線與x軸有一個交點（即頂點）時，方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實數根，此時一元二次方程的根即為拋物線頂點的橫坐標．
3．當Δ<0，即拋物線與x軸無交點時，方程ax2+bx+c=0無實數根，此時拋物線在x軸的上方（a>0時）或在x軸的下方（a<0時）． (
例題解析
)
考點1. 求拋物線的頂點、對稱軸、最值
【例題1】（2023甘肅蘭州）已知二次函數，下列說法正確的是（ ）
對稱軸為 B. 頂點坐標為
C. 函數的最大值是－3 D. 函數的最小值是－3
考點2. 二次函數的圖像與性質及函數值的大小比較
【例題2】（2023福建）已知拋物線經過兩點，若分別位于拋物線對稱軸的兩側，且，則的取值范圍是___________．
考點3. 二次函數 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像與系數a，b，c的關系
【例題3】 （2023貴州省）已知，二次數的圖象如圖所示，則點所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
考點4. 二次函數表達式的確定
【例題4】 （2023江蘇徐州）在平面直角坐標系中，將二次函數的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應的函數表達式為（ ）
A. B. C. D.
考點5. 二次函數與一元二次方程
【例題5】（2023湖南邵陽）已知是拋物線（a是常數，上的點，現有以下四個結論：①該拋物線的對稱軸是直線；②點在拋物線上；③若，則；④若，則其中，正確結論的個數為（ ）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
【變式訓練】（2023山東聊城）已知二次函數的部分圖象如圖所示，圖象經過點，其對稱軸為直線．下列結論：①；②若點，均在二次函數圖象上，則；③關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根；④滿足的x的取值范圍為．其中正確結論的個數為（ ）．
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
考點6. 二次函數的應用
【例題6】（2023甘肅蘭州）一名運動員在高的跳臺進行跳水，身體（看成一點）在空中的運動軌跡是一條拋物線，運動員離水面的高度與離起跳點A的水平距離之間的函數關系如圖所示，運動員離起跳點A的水平距離為時達到最高點，當運動員離起跳點A的水平距離為時離水面的距離為．
（1）求y關于x的函數表達式；
（2）求運動員從起跳點到入水點的水平距離的長．
考點7. 二次函數的綜合問題
【例題7】（2023福建）已知拋物線交軸于兩點，為拋物線的頂點，為拋物線上不與重合的相異兩點，記中點為，直線的交點為．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）若，且，求證：三點共線；
（3）小明研究發現：無論在拋物線上如何運動，只要三點共線，中必存在面積為定值的三角形．請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由．
【變式訓練1】（2023湖南常德）如圖，二次函數的圖象與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，頂點為D．O為坐標原點，．
（1）求二次函數的表達式；
（2）求四邊形的面積；
（3）P是拋物線上的一點，且在第一象限內，若，求P點的坐標．
【變式訓練2】（2023湖南郴州） 已知拋物線與軸相交于點，，與軸相交于點．
（1）求拋物線的表達式；
（2）如圖1，點是拋物線的對稱軸上的一個動點，當的周長最小時，求的值；
（3）如圖2，取線段的中點，在拋物線上是否存在點，使？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
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2024年數學中考一輪單元復習考點講析與達標檢測（人教版通用）
第一部分 29個單元的基礎知識與例題解析
專題22 二次函數單元考點講析
(
課標要求
)
（1）通過對實際問題的分析，體會二次函數的意義。
（2）會用描點法畫出二次函數的圖像，通過圖像了解二次函數的性質。
（3）會用配方法將數字系數的二次函數的表達式化為的形式，并能由此得到二次函數圖像的頂點坐標，說出圖像的開口方向，畫出圖像的對稱軸，并能解決簡單實際問題。
（4）會利用二次函數的圖像求一元二次方程的近似解。
（5）*知道給定不共線三點的坐標可以確定一個二次函數。
(
知識
點梳理
)
知識點1. 二次函數的概念：
一般地，形如y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）的函數，叫做二次函數．
知識點2. 二次函數解析式的三種形式
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c為常數，a≠0）．
（2）頂點式：y=a（x–h）2+k（a，h，k為常數，a≠0），頂點坐標是（h，k）．
（3）交點式：y=a（x–x1）（x–x2），其中x1，x2是二次函數與x軸的交點的橫坐標，a≠0．
知識點3. 二次函數的圖象及性質
1．二次函數的圖象與性質
解析式 二次函數y=ax2+bx+c（a，b，c是常數，a≠0）
對稱軸 x=–
頂點 （–，）
a的符號 a>0 a<0
圖象
開口方向 開口向上 開口向下
最值 當x=–時，y最小值= 當x=–時，y最大值=
最點 拋物線有最低點 拋物線有最高點
增減性 當x<–時，y隨x的增大而減小；當x>–時，y隨x的增大而增大 當x<–時，y隨x的增大而增大；當x>–時，y隨x的增大而減小
2.二次函數圖象的特征與a，b，c的關系
字母的符號 圖象的特征
a a>0 開口向上
a<0 開口向下
b b=0 對稱軸為y軸
ab>0（a與b同號） 對稱軸在y軸左側
ab<0（a與b異號） 對稱軸在y軸右側
c c=0 經過原點
c>0 與y軸正半軸相交
c<0 與y軸負半軸相交
知識點4. 拋物線的平移
1．將拋物線解析式化成頂點式y=a（x–h） 2+k，頂點坐標為（h，k）．
2．保持y=ax2的形狀不變，將其頂點平移到（h，k）處，具體平移方法如下：
3．注意：二次函數平移遵循“上加下減，左加右減”的原則，據此，可以直接由解析式中常數的加或減求出變化后的解析式；二次函數圖象的平移可看作頂點間的平移，可根據頂點之間的平移求出變化后的解析式．
知識點5. 二次函數與一元二次方程的關系
1．二次函數y=ax2+bx+c（a≠0），當y=0時，就變成了一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0）．
2．ax2+bx+c=0（a≠0）的解是拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）的圖象與x軸交點的橫坐標．
3．（1）b2–4ac>0 方程有兩個不相等的實數根，拋物線與x軸有兩個交點；
（2）b2–4ac=0 方程有兩個相等的實數根，拋物線與x軸有且只有一個交點；
（3）b2–4ac<0 方程沒有實數根，拋物線與x軸沒有交點．
知識點6. 二次函數的綜合
1、函數存在性問題:解決二次函數存在點問題，一般先假設該點存在，根據該點所在的直線或拋物線的表達式，設出該點的坐標；然后用該點的坐標表示出與該點有關的線段長或其他點的坐標等；最后結合題干中其他條件列出等式，求出該點的坐標，然后判別該點坐標是否符合題意，若符合題意，則該點存在，否則該點不存在．
2、函數動點問題
（1）函數壓軸題主要分為兩大類：一是動點函數圖象問題；二是與動點、存在點、相似等有關的二次函數綜合題．
（2）解答動點函數圖象問題，要把問題拆分，分清動點在不同位置運動或不同時間段運動時對應的函數表達式，進而確定函數圖象；解答二次函數綜合題，要把大題拆分，做到大題小做，逐步分析求解，最后匯總成最終答案．
（3）解決二次函數動點問題，首先要明確動點在哪條直線或拋物線上運動，運動速度是多少，結合直線或拋物線的表達式設出動點的坐標或表示出與動點有關的線段長度，最后結合題干中與動點有關的條件進行計算．
(
方法總結
)
一、二次函數常用解題方法總結
⑴ 求二次函數的圖象與軸的交點坐標，需轉化為一元二次方程；
⑵ 求二次函數的最大（小）值需要利用配方法將二次函數由一般式轉化為頂點式；
⑶ 根據圖象的位置判斷二次函數中，，的符號，或由二次函數中，，的符號判斷圖象的位置，要數形結合；
⑷ 二次函數的圖象關于對稱軸對稱，可利用這一性質，求和已知一點對稱的點坐標，或已知與軸的一個交點坐標，可由對稱性求出另一個交點坐標.
⑸ 與二次函數有關的還有二次三項式，二次三項式本身就是所含字母的二次函數；下面以時為例，揭示二次函數、二次三項式和一元二次方程之間的內在聯系：
拋物線與軸有兩個交點 二次三項式的值可正、可零、可負 一元二次方程有兩個不相等實根
拋物線與軸只有一個交點 二次三項式的值為非負 一元二次方程有兩個相等的實數根
拋物線與軸無交點 二次三項式的值恒為正 一元二次方程無實數根.
二、對二次函數與一元二次方程、不等式的綜合問題的處理
拋物線y=ax2+bx+c（a≠0）與x軸的交點個數及相應的一元二次方程根的情況都由Δ=b2–4ac決定.
1．當Δ>0，即拋物線與x軸有兩個交點時，方程ax2+bx+c=0有兩個不相等的實數根，這兩個交點的橫坐標即為一元二次方程的兩個根．
2．當Δ=0，即拋物線與x軸有一個交點（即頂點）時，方程ax2+bx+c=0有兩個相等的實數根，此時一元二次方程的根即為拋物線頂點的橫坐標．
3．當Δ<0，即拋物線與x軸無交點時，方程ax2+bx+c=0無實數根，此時拋物線在x軸的上方（a>0時）或在x軸的下方（a<0時）． (
例題解析
)
考點1. 求拋物線的頂點、對稱軸、最值
【例題1】（2023甘肅蘭州）已知二次函數，下列說法正確的是（ ）
A. 對稱軸為 B. 頂點坐標為 C. 函數的最大值是－3 D. 函數的最小值是－3
【答案】C
【解析】根據二次函數圖象及性質進行判斷即可．
二次函數的對稱軸為，頂點坐標為
∵
∴二次函數圖象開口向下，函數有最大值，為
∴A、B、D選項錯誤，C選項正確
故選：C
【點睛】本題考查二次函數的圖象及性質，熟練掌握二次函數圖象和性質是解題的關鍵．
考點2. 二次函數的圖像與性質及函數值的大小比較
【例題2】（2023福建）已知拋物線經過兩點，若分別位于拋物線對稱軸的兩側，且，則的取值范圍是___________．
【答案】
【解析】根據題意，可得拋物線對稱軸為直線，開口向上，根據已知條件得出點在對稱軸的右側，且，進而得出不等式，解不等式即可求解．
∵，
∴拋物線的對稱軸為直線，開口向上，
∵分別位于拋物線對稱軸的兩側，
假設點在對稱軸的右側，則，解得，
∴
∴點在點的右側，與假設矛盾，則點在對稱軸的右側，
∴
解得：
又∵，
∴
∴
解得：
∴，
故答案為：．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
考點3. 二次函數 y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖像與系數a，b，c的關系
【例題3】 （2023貴州省）已知，二次數的圖象如圖所示，則點所在的象限是（ ）
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】D
【解析】首先根據二次函數的圖象及性質判斷a和b的符號，從而得出點所在象限．
由圖可知二次函數的圖象開口向上，對稱軸在y軸右側，
，，
，
在第四象限，故選D．
【點睛】本題考查二次函數的圖象與系數的關系，以及判斷點所在象限，解題的關鍵是根據二次函數的圖象判斷出a和b的符號．
考點4. 二次函數表達式的確定
【例題4】 （2023江蘇徐州）在平面直角坐標系中，將二次函數的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應的函數表達式為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根據二次函數圖象的平移“左加右減，上加下減”可進行求解．
由二次函數的圖象向右平移2個單位長度，再向下平移1個單位長度，所得拋物線對應的函數表達式為；
故選B．
【點睛】本題主要考查二次函數圖象的平移，熟練掌握二次函數圖象的平移是解題的關鍵．
考點5. 二次函數與一元二次方程
【例題5】（2023湖南邵陽）已知是拋物線（a是常數，上的點，現有以下四個結論：①該拋物線的對稱軸是直線；②點在拋物線上；③若，則；④若，則其中，正確結論的個數為（ ）
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
【答案】B
【解析】根據對稱軸公式可判斷①；當時，，可判斷②；根據拋物線的增減性，分兩種情況計算可判斷③；利用對稱點的坐標得到，可以判斷④．
【詳解】∵拋物線（a是常數，，
∴，
故①正確；
當時，，
∴點在拋物線上，
故②正確；
當時，，
當時，，
故③錯誤；
根據對稱點的坐標得到，
，
故④錯誤．故選B．
【點睛】本題考查了拋物線對稱性，增減性，熟練掌握拋物線的性質是解題的關鍵．
【變式訓練】（2023山東聊城）已知二次函數的部分圖象如圖所示，圖象經過點，其對稱軸為直線．下列結論：①；②若點，均在二次函數圖象上，則；③關于x的一元二次方程有兩個相等的實數根；④滿足的x的取值范圍為．其中正確結論的個數為（ ）．
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 4個
【答案】B
【解析】【分析】根據拋物線開口向下可得，根據拋物線的對稱軸可推得，根據時，，即可得到，推得，故①錯誤；根據點的坐標和對稱軸可得點到對稱軸的距離小于點到對稱軸的距離，根據拋物線的對稱性和增減性可得，故②正確；根據拋物線的圖象可知二次函數與直線有兩個不同的交點，推得關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，故③錯誤；根據拋物線的對稱性可得二次函數必然經過點，即可得到時，的取值范圍，故④正確．
【詳解】①∵拋物線開口向下，
∴．
∵拋物線的對稱軸為直線，
∴，
由圖象可得時，，
即，
而，
∴．故①錯誤；
②∵拋物線開口向下，拋物線的對稱軸為直線．
故當時，隨的增大而增大，當時，隨的增大而減小，
∵，，
即點到對稱軸的距離小于點到對稱軸的距離，
故，故②正確；
③由圖象可知：二次函數與直線有兩個不同的交點，
即關于x的一元二次方程有兩個不相等的實數根，故③錯誤；
④∵函數圖象經過，對稱軸為直線，
∴二次函數必然經過點，
∴時，的取值范圍，故④正確；
綜上，②④正確，
故選：B．
【點睛】本題考查了二次函數的性質，二次函數與一元二次方程的關系，二次函數圖象與系數的關系：對于二次函數，二次項系數決定拋物線的開口方向和大小，當時，拋物線向上開口；當時，拋物線向下開口；一次項系數和二次項系數共同決定對稱軸的位置；常數項決定拋物線與軸交點；熟練掌握二次函數的性質是解題的關鍵．
考點6. 二次函數的應用
【例題6】（2023甘肅蘭州）一名運動員在高的跳臺進行跳水，身體（看成一點）在空中的運動軌跡是一條拋物線，運動員離水面的高度與離起跳點A的水平距離之間的函數關系如圖所示，運動員離起跳點A的水平距離為時達到最高點，當運動員離起跳點A的水平距離為時離水面的距離為．
（1）求y關于x的函數表達式；
（2）求運動員從起跳點到入水點的水平距離的長．
【答案】（1）y關于x的函數表達式為；
（2）運動員從起跳點到入水點的水平距離的長為．
【解析】【分析】（1）由題意得拋物線的對稱軸為，經過點，，利用待定系數法即可求解；
（2）令，解方程即可求解．
【詳解】（1）由題意得拋物線的對稱軸為，經過點，，
設拋物線的表達式為，
∴，解得，
∴y關于x的函數表達式為；
（2）令，則，
解得（負值舍去），
∴運動員從起跳點到入水點的水平距離的長為．
【點睛】本題考查了二次函數在實際問題中的應用，數形結合并熟練掌握運用待定系數法求拋物線的解析式是解題的關鍵．
考點7. 二次函數的綜合問題
【例題7】（2023福建）已知拋物線交軸于兩點，為拋物線的頂點，為拋物線上不與重合的相異兩點，記中點為，直線的交點為．
（1）求拋物線的函數表達式；
（2）若，且，求證：三點共線；
（3）小明研究發現：無論在拋物線上如何運動，只要三點共線，中必存在面積為定值的三角形．請直接寫出其中面積為定值的三角形及其面積，不必說明理由．
【答案】（1） （2）見解析 （3）面積為定值，其面積為2
【解析】【分析】（1）將代入，即可解得；
（2），中點為，且，可求出過兩點所在直線的一次函數表達式，為拋物線上的一點，所以，此點在，可證得三點共線；
（3）設與分別關于直線對稱，則關于直線對稱，且與的面積不相等，所以的面積不為定值；如圖，當分別運動到點的位置，且保持三點共線．此時與的交點到直線的距離小于到直線的距離，所以的面積小于的面積，故的面積不為定值；故的面積為定值，由（2）求出，此時的面積為2．
【詳解】（1）解：因為拋物線經過點，
所以
解得
所以拋物線的函數表達式為；
（2）解：
設直線對應的函數表達式為，
因為為中點，所以．
又因為，所以，解得，
所以直線對應的函數表達式為．
因為點在拋物線上，所以．
解得，或．
又因為，所以．
所以．
因為，即滿足直線對應的函數表達式，所以點在直線上，即三點共線；
（3）解：的面積為定值，其面積為2．
理由如下：（考生不必寫出下列理由）
如圖1，當分別運動到點的位置時，與分別關于直線對稱，此時仍有三點共線．設與的交點為，則關于直線對稱，即軸．此時，與不平行，且不平分線段，故，到直線的距離不相等，即在此情形下與的面積不相等，所以的面積不為定值．
如圖2，當分別運動到點的位置，且保持三點共線．此時與的交點到直線的距離小于到直線的距離，所以的面積小于的面積，故的面積不為定值．
又因為中存在面積為定值的三角形，故的面積為定值．
在（2）的條件下，直線對應的函數表達式為，直線對應的函數表達式為，求得，此時的面積為2．
【點睛】本題考查一次函數和二次函數的圖象與性質、二元一次方程組、一元二次方程、三角形面積等基礎知識，如何利用數形結合求得點的坐標、函數的表達式等是解題的關鍵．
【變式訓練1】（2023湖南常德）如圖，二次函數的圖象與x軸交于，兩點，與y軸交于點C，頂點為D．O為坐標原點，．
（1）求二次函數的表達式；
（2）求四邊形的面積；
（3）P是拋物線上的一點，且在第一象限內，若，求P點的坐標．
【答案】（1） （2）30 （3）
【解析】【分析】（1）用兩點式設出二次函數的解析式，然后求得C點的坐標，并將其代入二次函數的解析式，求得a的值，再將a代入解析式中即可．
（2）先將二次函數變形為頂點式，求得頂點坐標，然后利用矩形、三角形的面積公式即可求得答案．
（3）根據各點的坐標的關系及同角三角函數相等的結論可以求得相關聯的函數解析式，最后聯立一次函數與二次函數的解析式，求得點P的坐標．
【詳解】（1）∵二次函數的圖象與軸交于兩點．
∴設二次函數的表達式為
∵，
∴，即的坐標為
則，得
∴二次函數的表達式為；
（2）
∴頂點坐標為
過作于，作于，
四邊形的面積
；
（3）如圖，是拋物線上的一點，且在第一象限，當時，
連接，過作交于，過作于，
∵，則為等腰直角三角形，．
由勾股定理得：，
∵，
∴，
即，
∴
由，得，
∴．
∴是等腰直角三角形
∴
∴的坐標為
所以過的直線的解析式為
令
解得，或
所以直線與拋物線的兩個交點為
即所求的坐標為
【點睛】本題考查了一次函數、二次函數的性質以及與坐標系幾何圖形的綜合證明計算問題，解題的關鍵是將所學的知識靈活運用．
【變式訓練2】（2023湖南郴州） 已知拋物線與軸相交于點，，與軸相交于點．
（1）求拋物線的表達式；
（2）如圖1，點是拋物線的對稱軸上的一個動點，當的周長最小時，求的值；
（3）如圖2，取線段的中點，在拋物線上是否存在點，使？若存在，求出點的坐標；若不存在，請說明理由．
【答案】（1）
（2）
（3）或或或
【解析】【分析】（1）待定系數法求函數解析式即可；
（2）根據的周長等于，以及為定長，得到當的值最小時，的周長最小，根據拋物線的對稱性，得到關于對稱軸對稱，則：，得到當三點共線時，，進而求出點坐標，即可得解；
（3）求出點坐標為，進而得到，得到，分點在點上方和下方，兩種情況進行討論求解即可．
【詳解】（1）∵拋物線與軸相交于點，，
∴，解得：，
∴；
（2）∵，當時，，
∴，拋物線的對稱軸為直線
∵的周長等于，為定長，
∴當的值最小時，的周長最小，
∵關于對稱軸對稱，
∴，當三點共線時，的值最小，為的長，此時點為直線與對稱軸的交點，
設直線的解析式為：，
則：，解得：，
∴，
當時，，
∴，
∵，
∴，，
∴；
（3）存在，
∵為中點，
∴，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∵，
∴，
①當點在點上方時：
過點作，交拋物線與點，則：，此時點縱坐標為2，
設點橫坐標為，
則：，
解得：，
∴或；
②當點在點下方時：設與軸交于點，
則：，
設，
則：，，
∴，解得：，
∴，
設的解析式為：，
則：，解得：，
∴，
聯立，解得：或，
∴或；
綜上：或或或．
【點睛】本題考查二次函數的綜合應用，正確的求出二次函數解析式，利用數形結合，分類討論的思想進行求解，是解題的關鍵．本題的綜合性強，難度較大，屬于中考壓軸題．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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