資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
2024年數(shù)學(xué)中考一輪單元復(fù)習(xí)考點(diǎn)講析與達(dá)標(biāo)檢測（人教版通用）
第一部分 29個單元的基礎(chǔ)知識與例題解析
專題25 概率初步單元考點(diǎn)講析
(
課標(biāo)要求
)
（1）能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機(jī)事件所有可能的結(jié)果，以及指定隨機(jī)事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，了解隨機(jī)事件的概率。
（2）知道通過大量重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻率估計概率。
(
知識
點(diǎn)梳理
)
知識點(diǎn)1. 事件的分類及其概念
事件包括確定事件和隨機(jī)事件。確定事件包括必然事件和不可能事件。
1.在一定條件下必然發(fā)生的事件，叫做必然事件；
2.在一定條件下不可能發(fā)生的事件，叫做不可能事件；
3.在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機(jī)事件.
知識點(diǎn)2. 概率的概念
1.概率： 一般地，對于一個隨機(jī)事件A，我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的概
率，記作P（A）。
2.事件的概率值變化趨勢
知識點(diǎn)3. 隨機(jī)事件的概率的求法
1.公式法：一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果,并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)＝．
2.列表法：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個因素（例如擲兩個骰子）并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法．
列表法中表格構(gòu)造特點(diǎn):
3.畫樹狀圖：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及3個或更多的因素（例如從3個口袋中取球）時，列表就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹狀圖．
如一個試驗(yàn)中涉及2個或3個因數(shù),第一個因數(shù)中有2種可能情況;第二個因數(shù)中有3種可能的情況;第三個因數(shù)中有2種可能的情況.
4.利用頻率估計隨機(jī)事件發(fā)生的概率：
（1）利用頻率估計概率。在同樣條件下，做大量的重復(fù)試驗(yàn)，利用一個隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個常數(shù)，可以估計這個事件發(fā)生的概率。
（2）在統(tǒng)計學(xué)中，常用較為簡單的試驗(yàn)方法代替實(shí)際操作中復(fù)雜的試驗(yàn)來完成概率估計，這樣的試驗(yàn)稱為模擬實(shí)驗(yàn)。
（3）隨機(jī)數(shù)。在隨機(jī)事件中，需要用大量重復(fù)試驗(yàn)產(chǎn)生一串隨機(jī)的數(shù)據(jù)來開展統(tǒng)計工作。把這些隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)稱為隨機(jī)數(shù)。
(
方法總結(jié)
)
幾何概型求法：
一般是用幾何圖形的面積比來求概率，計算公式為：P(A)＝，解這類題除了掌握概率的計算方法外，還應(yīng)熟練掌握幾何圖形的面積計算．
(
例題解析
)
考點(diǎn)1. 事件的判斷和概率的意義
【例題1】（2023江蘇徐州）下列事件中的必然事件是（ ）
A. 地球繞著太陽轉(zhuǎn) B. 射擊運(yùn)動員射擊一次，命中靶心
C. 天空出現(xiàn)三個太陽 D. 經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈
【答案】A
【解析】根據(jù)必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念，可得答案．
A、地球繞著太陽轉(zhuǎn)是必然事件，故A正確；
B、射擊運(yùn)動員射擊一次，命中靶心是隨機(jī)事件，故B錯誤；
C、天空出現(xiàn)三個太陽是不可能事件，故C錯誤；
D、經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈是隨機(jī)事件，故D錯誤；
故選∶ A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的概念．必然事件指在一定條件下，一定發(fā)生的事件．不可能事件是指在一定條件下，一定不發(fā)生的事件，不確定事件即隨機(jī)事件是指在一定條件下，可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件．
【例題2】（2023貴州省） 在學(xué)校科技宣傳活動中，某科技活動小組將3個標(biāo)有“北斗”，2個標(biāo)有“天眼”，5個標(biāo)有“高鐵”的小球（除標(biāo)記外其它都相同）放入盒中，小紅從盒中隨機(jī)摸出1個小球，并對小球標(biāo)記的內(nèi)容進(jìn)行介紹，下列敘述正確的是（ ）
A. 摸出“北斗”小球的可能性最大 B. 摸出“天眼”小球的可能性最大
C. 摸出“高鐵”小球的可能性最大 D. 摸出三種小球的可能性相同
【答案】C
【解析】根據(jù)概率公式計算摸出三種小球的概率，即可得出答案．
盒中小球總量為：（個），
摸出“北斗”小球的概率為：，
摸出“天眼”小球的概率為：，
摸出“高鐵”小球的概率為：，
因此摸出“高鐵”小球的可能性最大．
故選C．
【點(diǎn)睛】本題考查判斷事件發(fā)生可能性的大小，掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練1】 （2023山東東營）剪紙是中國最古老的民間藝術(shù)之一，先后入選中國國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄和人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄．小文購買了以“剪紙圖案”為主題的5張書簽，他想送給好朋友小樂一張．小文將書簽背面朝上（背面完全相同），讓小樂從中隨機(jī)抽取一張，則小樂抽到的書簽圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的概率是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據(jù)軸對稱圖形和中心對稱圖形的定義：如果一個平面圖形沿一條直線折疊，直線兩旁的部分能夠互相重合，這個圖形就叫做軸對稱圖形；中心對稱圖形的定義：把一個圖形繞著某一個點(diǎn)旋轉(zhuǎn)，如果旋轉(zhuǎn)后的圖形能夠與原來的圖形重合，那么這個圖形叫做中心對稱圖形，這個點(diǎn)就是它的對稱中心，進(jìn)行逐一判斷，然后根據(jù)概率公式即可求解．
共有5個書簽圖案，既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的是第2張與第4張書簽圖片，共2張，
∴小樂從中隨機(jī)抽取一張，則小樂抽到的書簽圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的概率是，
故選：C．
【點(diǎn)睛】考查軸對稱圖形和中心對稱圖形的識別，概率公式求概率，熟練掌握以上知識是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練2】（2023深圳）小明從《紅星照耀中國》，《紅巖》，《長征》，《鋼鐵是怎樣煉成的》四本書中隨機(jī)挑選一本，其中拿到《紅星照耀中國》這本書的概率為______．
【答案】##0.25
【解析】根據(jù)概率公式進(jìn)行計算即可．
隨機(jī)挑選一本書共有4種等可能的結(jié)果，其中拿到《紅星照耀中國》這本書的結(jié)果有1種，
∴，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查概率．熟練掌握概率公式，是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練3】如圖是由16個相同的小正方形和4個相同的大正方形組成的圖形，在這個圖形內(nèi)任取一點(diǎn)，則點(diǎn)落在陰影部分的概率為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】設(shè)小正方形的邊長為1，則大正方形的邊長為，根據(jù)題意，分別求得陰影部分面積和總面積，根據(jù)概率公式即可求解．
【詳解】設(shè)小正方形的邊長為1，則大正方形的邊長為，
∴總面積為，
陰影部分的面積為，
∴點(diǎn)落在陰影部分的概率為，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題考查了幾何概率，分別求得陰影部分的面積是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)2. 用適當(dāng)方法求概率
【例題3】（2023福建）為促進(jìn)消費(fèi)，助力經(jīng)濟(jì)發(fā)展，某商場決定“讓利酬賓”，于“五一”期間舉辦了抽獎促銷活動．活動規(guī)定：凡在商場消費(fèi)一定金額的顧客，均可獲得一次抽獎機(jī)會．抽獎方案如下：從裝有大小質(zhì)地完全相同的1個紅球及編號為①②③的3個黃球的袋中，隨機(jī)摸出1個球，若摸得紅球，則中獎，可獲得獎品：若摸得黃球，則不中獎．同時，還允許未中獎的顧客將其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1個紅球或黃球（它們的大小質(zhì)地與袋中的4個球完全相同），然后從中隨機(jī)摸出1個球，記下顏色后不放回，再從中隨機(jī)摸出1個球，若摸得的兩球的顏色相同，則該顧客可獲得精美禮品一份．現(xiàn)已知某顧客獲得抽獎機(jī)會．
（1）求該顧客首次摸球中獎的概率；
（2）假如該顧客首次摸球未中獎，為了有更大機(jī)會獲得精美禮品，他應(yīng)往袋中加入哪種顏色的球？說明你的理由
【答案】（1） （2）應(yīng)往袋中加入黃球，見解析
【解析】【分析】（1）直接由概率公式求解即可；
（2）根據(jù)列表法求分別求得加入黃球和紅球概率即可求解．
【詳解】（1）顧客首次摸球的所有可能結(jié)果為紅，黃①，黃②，黃③，共4種等可能的結(jié)果．
記“首次摸得紅球”為事件，則事件發(fā)生的結(jié)果只有1種，
所以，所以顧客首次摸球中獎的概率為．
（2）他應(yīng)往袋中加入黃球．
理由如下：
記往袋中加入的球?yàn)椤靶隆保玫膬汕蛩锌赡艿慕Y(jié)果列表如下：
第二球 第一球 紅 黃① 黃② 黃③ 新
紅 紅，黃① 紅，黃② 紅，黃③ 紅，新
黃① 黃①，紅 黃①，黃② 黃①，黃③ 黃①，新
黃② 黃②，紅 黃②，黃① 黃②，黃③ 黃②，新
黃③ 黃③，紅 黃③，黃① 黃③，黃② 黃③，新
新 新，紅 新，黃① 新，黃② 新，黃③
共有種等可能結(jié)果．
（）若往袋中加入的是紅球，兩球顏色相同的結(jié)果共有種，此時該顧客獲得精美禮品的概率；
（）若往袋中加入的是黃球，兩球顏色相同的結(jié)果共有種，此時該顧客獲得精美禮品的概率；
因?yàn)椋裕魉麘?yīng)往袋中加入黃球．
【點(diǎn)睛】本小題考查簡單隨機(jī)事件的概率等基礎(chǔ)知識，考查抽象能力、運(yùn)算能力、推理能力、應(yīng)用意識、創(chuàng)新意識等，考查統(tǒng)計與概率思想、模型觀念，熟練掌握概率公式是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】（2023湖南湘潭）為落實(shí)“雙減”政策要求，豐富學(xué)生課余生活，某校七年級根據(jù)學(xué)生需求，組建了四個社團(tuán)供學(xué)生選擇：A（合唱社團(tuán)）、B（硬筆書法社團(tuán)）、C（街舞社團(tuán)）、D（面點(diǎn)社團(tuán)）．學(xué)生從中任意選擇兩個社團(tuán)參加活動．
（1）小明對這4個社團(tuán)都很感興趣，如果他隨機(jī)選擇兩個社團(tuán)，請列舉出所有的可能結(jié)果；
（2）小宇和小江在選擇過程中，首先都選了社團(tuán)C（街舞社團(tuán)），第二個社團(tuán)他倆決定隨機(jī)選擇，請用列表法或樹狀圖求他倆選到相同社團(tuán)的概率．
【答案】（1） （2）
【解析】【分析】（1）根據(jù)題意列舉出所有可能結(jié)果；
（2）根據(jù)列表法求概率即可求解．
【詳解】（1）依題意，他隨機(jī)選擇兩個社團(tuán)，所有的可能結(jié)果為；
（2）列表如下，
共有9種等可能結(jié)果，其中符合題意的有3種，
∴他倆選到相同社團(tuán)的概率為．
【點(diǎn)睛】本題考查的是根據(jù)概率公式求概率，用列表法求概率．解題時要注意此題是放回試驗(yàn)還是不放回試驗(yàn)．用到的知識點(diǎn)為：概率=所求情況數(shù)與總情況數(shù)之比．
考點(diǎn)3. 用頻率估計概率
【例題4】（2023甘肅蘭州）某學(xué)習(xí)小組做拋擲一枚瓶蓋的實(shí)驗(yàn)，整理的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：
累計拋擲次數(shù) 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
蓋面朝上次數(shù) 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2850
蓋面朝上頻率
下面有三個推斷：
①通過上述實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，可以推斷這枚瓶蓋有很大的可能性不是質(zhì)地均勻的；
②第2000次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果一定是“蓋面朝上”；
③隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增大，“蓋面朝上”的概率接近0.53．
其中正確的是______．（填序號）
【答案】①③
【解析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)及頻率估計概率依次判斷即可．
①通過上述實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，發(fā)現(xiàn)蓋面朝上的次數(shù)多與累計次數(shù)的一半，可以推斷這枚瓶蓋有很大的可能性不是質(zhì)地均勻的，故正確；
②實(shí)驗(yàn)是隨機(jī)，第2000次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果不一定是“蓋面朝上”，故錯誤；
③隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增大，“蓋面朝上”的概率接近0.53，故正確．
故答案為：①③．
【點(diǎn)睛】題目主要考查頻率估計概率，結(jié)合表中數(shù)據(jù)求解是解題關(guān)鍵．
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2024年數(shù)學(xué)中考一輪單元復(fù)習(xí)考點(diǎn)講析與達(dá)標(biāo)檢測（人教版通用）
第一部分 29個單元的基礎(chǔ)知識與例題解析
專題25 概率初步單元考點(diǎn)講析
(
課標(biāo)要求
)
（1）能通過列表、畫樹狀圖等方法列出簡單隨機(jī)事件所有可能的結(jié)果，以及指定隨機(jī)事件發(fā)生的所有可能結(jié)果，了解隨機(jī)事件的概率。
（2）知道通過大量重復(fù)試驗(yàn)，可以用頻率估計概率。
(
知識
點(diǎn)梳理
)
知識點(diǎn)1. 事件的分類及其概念
事件包括確定事件和隨機(jī)事件。確定事件包括必然事件和不可能事件。
1.在一定條件下必然發(fā)生的事件，叫做必然事件；
2.在一定條件下不可能發(fā)生的事件，叫做不可能事件；
3.在一定條件下可能發(fā)生也可能不發(fā)生的事件，叫做隨機(jī)事件.
知識點(diǎn)2. 概率的概念
1.概率： 一般地，對于一個隨機(jī)事件A，我們把刻畫其發(fā)生可能性大小的數(shù)值，稱為隨機(jī)事件A發(fā)生的概
率，記作P（A）。
2.事件的概率值變化趨勢
知識點(diǎn)3. 隨機(jī)事件的概率的求法
1.公式法：一般地，如果在一次試驗(yàn)中，有n種可能的結(jié)果,并且它們發(fā)生的可能性都相等，事件A包含其中的m種結(jié)果，那么事件A發(fā)生的概率為P(A)＝．
2.列表法：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及兩個因素（例如擲兩個骰子）并且可能出現(xiàn)的結(jié)果數(shù)目較多時，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用列表法．
列表法中表格構(gòu)造特點(diǎn):
3.畫樹狀圖：當(dāng)一次試驗(yàn)要涉及3個或更多的因素（例如從3個口袋中取球）時，列表就不方便了，為了不重不漏地列出所有可能的結(jié)果，通常采用樹狀圖．
如一個試驗(yàn)中涉及2個或3個因數(shù),第一個因數(shù)中有2種可能情況;第二個因數(shù)中有3種可能的情況;第三個因數(shù)中有2種可能的情況.
4.利用頻率估計隨機(jī)事件發(fā)生的概率：
（1）利用頻率估計概率。在同樣條件下，做大量的重復(fù)試驗(yàn)，利用一個隨機(jī)事件發(fā)生的頻率逐漸穩(wěn)定到某個常數(shù)，可以估計這個事件發(fā)生的概率。
（2）在統(tǒng)計學(xué)中，常用較為簡單的試驗(yàn)方法代替實(shí)際操作中復(fù)雜的試驗(yàn)來完成概率估計，這樣的試驗(yàn)稱為模擬實(shí)驗(yàn)。
（3）隨機(jī)數(shù)。在隨機(jī)事件中，需要用大量重復(fù)試驗(yàn)產(chǎn)生一串隨機(jī)的數(shù)據(jù)來開展統(tǒng)計工作。把這些隨機(jī)產(chǎn)生的數(shù)據(jù)稱為隨機(jī)數(shù)。
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方法總結(jié)
)
幾何概型求法：
一般是用幾何圖形的面積比來求概率，計算公式為：P(A)＝，解這類題除了掌握概率的計算方法外，還應(yīng)熟練掌握幾何圖形的面積計算．
(
例題解析
)
考點(diǎn)1. 事件的判斷和概率的意義
【例題1】（2023江蘇徐州）下列事件中的必然事件是（ ）
A. 地球繞著太陽轉(zhuǎn) B. 射擊運(yùn)動員射擊一次，命中靶心
C. 天空出現(xiàn)三個太陽 D. 經(jīng)過有交通信號燈的路口，遇到紅燈
【例題2】（2023貴州省） 在學(xué)校科技宣傳活動中，某科技活動小組將3個標(biāo)有“北斗”，2個標(biāo)有“天眼”，5個標(biāo)有“高鐵”的小球（除標(biāo)記外其它都相同）放入盒中，小紅從盒中隨機(jī)摸出1個小球，并對小球標(biāo)記的內(nèi)容進(jìn)行介紹，下列敘述正確的是（ ）
A. 摸出“北斗”小球的可能性最大 B. 摸出“天眼”小球的可能性最大
C. 摸出“高鐵”小球的可能性最大 D. 摸出三種小球的可能性相同
【變式訓(xùn)練1】 （2023山東東營）剪紙是中國最古老的民間藝術(shù)之一，先后入選中國國家級非物質(zhì)文化遺產(chǎn)名錄和人類非物質(zhì)文化遺產(chǎn)代表作名錄．小文購買了以“剪紙圖案”為主題的5張書簽，他想送給好朋友小樂一張．小文將書簽背面朝上（背面完全相同），讓小樂從中隨機(jī)抽取一張，則小樂抽到的書簽圖案既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形的概率是（ ）
A. B. C. D.
【變式訓(xùn)練2】（2023深圳）小明從《紅星照耀中國》，《紅巖》，《長征》，《鋼鐵是怎樣煉成的》四本書中隨機(jī)挑選一本，其中拿到《紅星照耀中國》這本書的概率為______．
【變式訓(xùn)練3】如圖是由16個相同的小正方形和4個相同的大正方形組成的圖形，在這個圖形內(nèi)任取一點(diǎn)，則點(diǎn)落在陰影部分的概率為（ ）
A. B. C. D.
考點(diǎn)2. 用適當(dāng)方法求概率
【例題3】（2023福建）為促進(jìn)消費(fèi)，助力經(jīng)濟(jì)發(fā)展，某商場決定“讓利酬賓”，于“五一”期間舉辦了抽獎促銷活動．活動規(guī)定：凡在商場消費(fèi)一定金額的顧客，均可獲得一次抽獎機(jī)會．抽獎方案如下：從裝有大小質(zhì)地完全相同的1個紅球及編號為①②③的3個黃球的袋中，隨機(jī)摸出1個球，若摸得紅球，則中獎，可獲得獎品：若摸得黃球，則不中獎．同時，還允許未中獎的顧客將其摸得的球放回袋中，并再往袋中加入1個紅球或黃球（它們的大小質(zhì)地與袋中的4個球完全相同），然后從中隨機(jī)摸出1個球，記下顏色后不放回，再從中隨機(jī)摸出1個球，若摸得的兩球的顏色相同，則該顧客可獲得精美禮品一份．現(xiàn)已知某顧客獲得抽獎機(jī)會．
（1）求該顧客首次摸球中獎的概率；
（2）假如該顧客首次摸球未中獎，為了有更大機(jī)會獲得精美禮品，他應(yīng)往袋中加入哪種顏色的球？說明你的理由
【變式訓(xùn)練】（2023湖南湘潭）為落實(shí)“雙減”政策要求，豐富學(xué)生課余生活，某校七年級根據(jù)學(xué)生需求，組建了四個社團(tuán)供學(xué)生選擇：A（合唱社團(tuán)）、B（硬筆書法社團(tuán)）、C（街舞社團(tuán)）、D（面點(diǎn)社團(tuán)）．學(xué)生從中任意選擇兩個社團(tuán)參加活動．
（1）小明對這4個社團(tuán)都很感興趣，如果他隨機(jī)選擇兩個社團(tuán)，請列舉出所有的可能結(jié)果；
（2）小宇和小江在選擇過程中，首先都選了社團(tuán)C（街舞社團(tuán)），第二個社團(tuán)他倆決定隨機(jī)選擇，請用列表法或樹狀圖求他倆選到相同社團(tuán)的概率．
考點(diǎn)3. 用頻率估計概率
【例題4】（2023甘肅蘭州）某學(xué)習(xí)小組做拋擲一枚瓶蓋的實(shí)驗(yàn)，整理的實(shí)驗(yàn)數(shù)據(jù)如下表：
累計拋擲次數(shù) 50 100 200 300 500 1000 2000 3000 5000
蓋面朝上次數(shù) 28 54 106 158 264 527 1056 1587 2850
蓋面朝上頻率
下面有三個推斷：
①通過上述實(shí)驗(yàn)的結(jié)果，可以推斷這枚瓶蓋有很大的可能性不是質(zhì)地均勻的；
②第2000次實(shí)驗(yàn)的結(jié)果一定是“蓋面朝上”；
③隨著實(shí)驗(yàn)次數(shù)的增大，“蓋面朝上”的概率接近0.53．
其中正確的是______．（填序號）
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