資源簡(jiǎn)介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺(tái)
2024年數(shù)學(xué)中考一輪單元復(fù)習(xí)考點(diǎn)講析與達(dá)標(biāo)檢測(cè)（人教版通用）
第一部分 29個(gè)單元的基礎(chǔ)知識(shí)與例題解析
專(zhuān)題24 圓單元考點(diǎn)講析
(
課標(biāo)要求
)
（1）理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念,了解等圓、等弧的概念；探索并掌握點(diǎn)與圓位置關(guān)系。
（2）探索并證明垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對(duì)的兩 條弧。
（3）探索圓周角與圓心角及其所對(duì)弧的關(guān)系，知道同弧（或等弧） 所對(duì)的圓周角相等。了解并證明圓周角定理及其推論：圓周角等于它 所對(duì)弧上的圓心角的一半；直徑所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角 所對(duì)的弦是直徑；圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。
（4）了解三角形的內(nèi)心與外心。
（5）了解直線與圓的位置關(guān)系，掌握切線的概念。
（6）能用尺規(guī)作圖：過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)作圓；作三角形的外 接圓、內(nèi)切圓；作圓的內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形。
（7）能用尺規(guī)作圖：過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線。
（8）*探索并證明切線長(zhǎng)定理：過(guò)圓外一點(diǎn)的兩條切線長(zhǎng)相等。
（9）會(huì)計(jì)算圓的弧長(zhǎng)、扇形的面積。
（10）了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系。
(
知識(shí)
點(diǎn)梳理
)
知識(shí)點(diǎn)1. 圓的概念
1.圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。定點(diǎn)稱(chēng)為圓心，定長(zhǎng)稱(chēng)為半徑。
2.圓弧和弦：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧。大于半圓的弧稱(chēng)為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱(chēng)為劣弧。連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。
3.圓心角和圓周角：頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角。頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角。
注意：(1)確定圓的要素：圓心決定位置，半徑?jīng)Q定大小．
(2)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.
知識(shí)點(diǎn)2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可由點(diǎn)到圓心的距離d與圓的半徑r比較得到．
設(shè)☉O的半徑是r，點(diǎn)P到圓心的距離為d，則有
d＜r 點(diǎn)P在圓內(nèi)；
d=r 點(diǎn)P在圓上；
d＞r 點(diǎn)P在圓外.
注意：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離與半徑之間的關(guān)系；反過(guò)來(lái)，也可以通過(guò)這種數(shù)量關(guān)系判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．
知識(shí)點(diǎn)3.直線與圓的位置關(guān)系
直線與圓有3種位置關(guān)系：（1）相離；（2）相交；（3）相切。
設(shè)r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離
知識(shí)點(diǎn)4.圓與圓的位置關(guān)系
兩圓之間有5種位置關(guān)系：
無(wú)公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內(nèi)叫內(nèi)含；
有唯一公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切；
有兩個(gè)公共點(diǎn)的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。
兩圓的半徑分別為R和r，且R≥r，圓心距為L(zhǎng),則
（1）外離L＞R+r；
（2）外切L=R+r；
（3）相交R-r＜L＜R+r；
（4）內(nèi)切L=R-r；
（5）內(nèi)含L＜R-r。
知識(shí)點(diǎn)5.垂徑定理
垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。
知識(shí)點(diǎn)6.圓心角定理
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．
知識(shí)點(diǎn)7.圓周角定理
（1）在同圓或等圓中，同弧等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．
（2）半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．
知識(shí)點(diǎn)8.圓內(nèi)接多邊形
1.外接圓、內(nèi)接正多邊形:將一個(gè)圓n(n≥3)等分，依次連接各等分點(diǎn)所得到的多邊形叫作這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓.
（1）圓內(nèi)接正三角形 （2）圓內(nèi)接正四邊形 （3）圓內(nèi)接正六邊形
2.圓內(nèi)接正多邊形的計(jì)算
(1)正n邊形的中心角為
(2)正n邊形的邊長(zhǎng)a，半徑R，邊心距r之間的關(guān)系
(3)邊長(zhǎng)a，邊心距r的正n邊形的面積為
其中l(wèi)為正n邊形的周長(zhǎng).
3.外心：三角形的外接圓的圓心叫做這個(gè)這個(gè)三角形的外心.
注意：(1)三角形的外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)．(2)一個(gè)三角形的外接圓是唯一的.
4.內(nèi)心：三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做這個(gè)這個(gè)三角形的內(nèi)心.
注意：(1)三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)．(2)一個(gè)三角形的內(nèi)切圓是唯一的.
5.正多邊形的相關(guān)概念
(1) 正多邊形的中心：正多邊形外接圓和內(nèi)切圓有公共的圓心，稱(chēng)其為正多邊形的中心.
(2) 正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.
(3) 正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.
(4) 正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊對(duì)應(yīng)所對(duì)的外接圓的圓心角都相等，叫做正多邊形的中心角.
知識(shí)點(diǎn)9.切線的判定定理與性質(zhì)
1.切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
2.切線的性質(zhì)：
（1）經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
（2）經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。
（3）圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。
知識(shí)點(diǎn)10.圓的公切線
1.公切線是指同時(shí)相切于兩條或兩條以上的曲線的直線，例如和兩個(gè)圓相切的直線叫做這兩個(gè)圓的公切線。如果兩個(gè)圓在公切線的同側(cè)，則這公切線叫外公切線；如果兩個(gè)圓在公切線的異側(cè)，則叫內(nèi)公切線。
（1）若兩圓相離，則有4條公切線。
（2）若兩圓外切，則有3條公切線。
（3）兩圓相交，則有2條公切線。
（4）若兩圓內(nèi)切，則有1條公切線。
（5）若兩圓內(nèi)含，則有0條公切線。
2.公切線性質(zhì)
（1）兩圓的兩條外公切線長(zhǎng)相等；
（2）兩條內(nèi)公切線的長(zhǎng)也相等。
（3）兩圓的外公切線與連心線或者交于一點(diǎn)或者平行。
知識(shí)點(diǎn)11.兩圓公共弦定理
兩圓圓心的連線垂直并且評(píng)分這兩個(gè)圓的公共弦。
知識(shí)點(diǎn)12.扇形、圓柱和圓錐等的相關(guān)計(jì)算
1.圓的周長(zhǎng)與面積計(jì)算公式：　　
圓的周長(zhǎng)C=2πR=πd
（2）圓的面積S=πR2
2.扇形弧長(zhǎng)與面積公式
（1）半徑為r的圓中，n°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)
．
（2）扇形面積公式
半徑為R，圓心角為n°的扇形面積
（l是扇形的弧長(zhǎng)）．
3.弓形面積公式
弓形的面積=扇形的面積±三角形的面積。
4.圓柱表面積與體積公式
（1）圓柱表面積S表=S側(cè) +2S底=2πRh+2πR2
（2）圓柱體的體積V=S底h=πR2h
5.圓錐的側(cè)面積與體積
(1)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。
(2)如果圓錐母線長(zhǎng)為l，底面圓的半徑為r，那么這個(gè)扇形的半徑為l，扇形的弧長(zhǎng)為2πr，
(3)圓錐的側(cè)面積為πrl，
(4)圓錐的全面積為πr·（l+r）．
（8）圓錐體的體積V=πr2h/3
(
方法總結(jié)
)
一、解決圓有關(guān)系列問(wèn)題方法總結(jié)
1.證明切線與求解線段長(zhǎng)度方法
（1）證切線時(shí)添加輔助線的解題方法有兩種： ①有公共點(diǎn)，連半徑，證垂直； ②無(wú)公共點(diǎn)，作垂直，證半徑；有切線時(shí)添加輔助線的解題方法是：見(jiàn)切點(diǎn)，連半徑，得垂直；
（2）設(shè)未知數(shù)，通常利用勾股定理建立方程.
2.圓中常用輔助線的添法
在平面幾何中，解決與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，架起題設(shè)和結(jié)論間的橋梁，從而使問(wèn)題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活掌握作輔助線的一般規(guī)律和常見(jiàn)方法，對(duì)提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力是大有幫助的。
（1）見(jiàn)弦作弦心距。有關(guān)弦的問(wèn)題，常作其弦心距（有時(shí)還須作出相應(yīng)的半徑），通過(guò)垂徑平分定理，來(lái)溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系。
（2）見(jiàn)直徑作圓周角。在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對(duì)的圓周角，利用"直徑所對(duì)的圓周角是直角"這一特征來(lái)證明問(wèn)題。
（3）見(jiàn)切線作半徑。命題的條件中含有圓的切線，往往是連結(jié)過(guò)切點(diǎn)的半徑，利用"切線與半徑垂直"這一性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。
（4）兩圓相切作公切線。對(duì)兩圓相切的問(wèn)題，一般是經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作兩圓的公切線或作它們的連心線，通過(guò)公切線可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系。
（5）兩圓相交作公共弦。對(duì)兩圓相交的問(wèn)題，通常是作出公共弦，通過(guò)公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來(lái)，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來(lái)。
二、圓中常用輔助線的添法順口溜
半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來(lái)中間站。
圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。
切線長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便。
要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。
是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。
弧有中點(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。
圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。
弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完。
要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。
還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓
如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。
內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)公切線。
若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。
要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。
輔助線，是虛線，畫(huà)圖注意勿改變。
假如圖形較分散，對(duì)稱(chēng)旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)。
基本作圖很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。
解題還要多心眼，經(jīng)常總結(jié)方法顯。
切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。
分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減。
虛心勤學(xué)加苦練，成績(jī)上升成直線。
三、圓問(wèn)題拓展知識(shí)
（1）相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。
重要結(jié)論：PA PB=PC PD
（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。
重要結(jié)論：CE2=AE BE
（3）切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。
重要結(jié)論：PA2=PC PB
（4）割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等。
重要結(jié)論：PC PB=PD PE
(
例題解析
)
考點(diǎn)1.垂徑定理及圓周角定理問(wèn)題
【例題1】 （2023湖南永州）如圖，是一個(gè)盛有水的容器的橫截面，的半徑為．水的最深處到水面的距離為，則水面的寬度為_(kāi)______．
【變式訓(xùn)練】（2023福建）如圖，已知內(nèi)接于的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交的切線于點(diǎn)，且．
（1）求證：；
（2）求證：平分．
考點(diǎn)2.圓的切線性質(zhì)問(wèn)題
【例題2】（2023甘肅蘭州） 如圖，內(nèi)接于，是的直徑，，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，連接．
（1）求證：是的切線；
（2）判斷的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
【變式訓(xùn)練1】（2023湖南常德）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是直徑，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求的長(zhǎng)．
【變式訓(xùn)練2】（2023湖南永州）如圖，以為直徑的是的外接圓，延長(zhǎng)到點(diǎn)D．使得，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在線段上，交于N，交于G．
（1）求證：是的切線；
（2）若，求的長(zhǎng)；
（3）若，求證：．
考點(diǎn)3. 三角形的內(nèi)心與內(nèi)心
【例題3】（2023山東聊城）如圖，點(diǎn)O是外接圓的圓心，點(diǎn)I是的內(nèi)心，連接，．若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【變式訓(xùn)練】（2023內(nèi)蒙古包頭）如圖，是銳角三角形的外接圓，
，垂足分別為，連接．若的周長(zhǎng)為21，則的長(zhǎng)為（ ）
A. 8 B. 4 C. 3.5 D. 3
考點(diǎn)4.正多邊形與圓問(wèn)題
【例題4】（2023福建）我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來(lái)近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣”．“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率的近似值為3.1416．如圖，的半徑為1，運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計(jì)的面積，可得的估計(jì)值為，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計(jì)，可得的估計(jì)值為（　　）
A. B. C. 3 D.
考點(diǎn)5.扇形弧長(zhǎng)與面積問(wèn)題
【例題5】（2023甘肅蘭州） 如圖1是一段彎管，彎管部分外輪廓線如圖2所示是一條圓弧，圓弧的半徑，圓心角，則（ ）
A. B. C. D.
【變式訓(xùn)練1】（2023湖南常德）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖．是以O(shè)為圓心，為半徑的圓弧，C是弦的中點(diǎn)，D在上，．“會(huì)圓術(shù)”給出長(zhǎng)l的近似值s計(jì)算公式：，當(dāng)，時(shí)，__________．（結(jié)果保留一位小數(shù)）
【變式訓(xùn)練2】（2023湖南郴州） 如圖，在中，是直徑，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)．在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，連接，使．
（1）求證：直線是的切線；
（2）若，，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用含的式子表示）．
【變式訓(xùn)練3】（2023山東聊城）如圖，該幾何體是由一個(gè)大圓錐截去上部的小圓錐后剩下的部分．若該幾何體上、下兩個(gè)圓的半徑分別為1和2，原大圓錐高的剩余部分為，則其側(cè)面展開(kāi)圖的面積為（ ）
A. B. C. D.
考點(diǎn)6.與圓有關(guān)的作圖問(wèn)題
【例題6】（2023內(nèi)蒙古通遼）下面是“作已知直角三角形的外接圓”的尺規(guī)作圖過(guò)程：
已知：如圖1，在中，． 求作：的外接圓． 作法：如圖2． （1）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點(diǎn)； （2）作直線，交于點(diǎn)O； （3）以O(shè)為圓心，為半徑作，即為所求作的圓．
下列不屬于該尺規(guī)作圖依據(jù)的是（ ）
A. 兩點(diǎn)確定一條直線
B. 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
C. 與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上
D. 線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等
考點(diǎn)7. 與圓有關(guān)的綜合類(lèi)問(wèn)題
【例題7】（2023甘肅蘭州） 我國(guó)古代天文學(xué)確定方向的方法中蘊(yùn)藏了平行線的作圖法．如《淮南子天文訓(xùn)》中記載：“正朝夕：先樹(shù)一表東方；操一表卻去前表十步，以參望日始出北廉．日直入，又樹(shù)一表于東方，因西方之表，以參望日方入北康．則定東方兩表之中與西方之表，則東西也．”如圖，用幾何語(yǔ)言敘述作圖方法：已知直線a和直線外一定點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作直線與a平行．（1）以O(shè)為圓心，單位長(zhǎng)為半徑作圓，交直線a于點(diǎn)M，N；（2）分別在的延長(zhǎng)線及上取點(diǎn)A，B，使；（3）連接，取其中點(diǎn)C，過(guò)O，C兩點(diǎn)確定直線b，則直線．按以上作圖順序，若，則（ ）
A. B. C. D.
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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第一部分 29個(gè)單元的基礎(chǔ)知識(shí)與例題解析
專(zhuān)題24 圓單元考點(diǎn)講析
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課標(biāo)要求
)
（1）理解圓、弧、弦、圓心角、圓周角的概念,了解等圓、等弧的概念；探索并掌握點(diǎn)與圓位置關(guān)系。
（2）探索并證明垂徑定理：垂直于弦的直徑平分弦以及弦所對(duì)的兩 條弧。
（3）探索圓周角與圓心角及其所對(duì)弧的關(guān)系，知道同弧（或等弧） 所對(duì)的圓周角相等。了解并證明圓周角定理及其推論：圓周角等于它 所對(duì)弧上的圓心角的一半；直徑所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角 所對(duì)的弦是直徑；圓內(nèi)接四邊形的對(duì)角互補(bǔ)。
（4）了解三角形的內(nèi)心與外心。
（5）了解直線與圓的位置關(guān)系，掌握切線的概念。
（6）能用尺規(guī)作圖：過(guò)不在同一直線上的三點(diǎn)作圓；作三角形的外 接圓、內(nèi)切圓；作圓的內(nèi)接正方形和內(nèi)接正六邊形。
（7）能用尺規(guī)作圖：過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線。
（8）*探索并證明切線長(zhǎng)定理：過(guò)圓外一點(diǎn)的兩條切線長(zhǎng)相等。
（9）會(huì)計(jì)算圓的弧長(zhǎng)、扇形的面積。
（10）了解正多邊形的概念及正多邊形與圓的關(guān)系。
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知識(shí)
點(diǎn)梳理
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知識(shí)點(diǎn)1. 圓的概念
1.圓：平面上到定點(diǎn)的距離等于定長(zhǎng)的所有點(diǎn)組成的圖形叫做圓。定點(diǎn)稱(chēng)為圓心，定長(zhǎng)稱(chēng)為半徑。
2.圓弧和弦：圓上任意兩點(diǎn)間的部分叫做圓弧，簡(jiǎn)稱(chēng)弧。大于半圓的弧稱(chēng)為優(yōu)弧，小于半圓的弧稱(chēng)為劣弧。連接圓上任意兩點(diǎn)的線段叫做弦。經(jīng)過(guò)圓心的弦叫做直徑。
3.圓心角和圓周角：頂點(diǎn)在圓心上的角叫做圓心角。頂點(diǎn)在圓周上，且它的兩邊分別與圓有另一個(gè)交點(diǎn)的角叫做圓周角。
注意：(1)確定圓的要素：圓心決定位置，半徑?jīng)Q定大小．
(2)不在同一條直線上的三個(gè)點(diǎn)確定一個(gè)圓.
知識(shí)點(diǎn)2.點(diǎn)與圓的位置關(guān)系
判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可由點(diǎn)到圓心的距離d與圓的半徑r比較得到．
設(shè)☉O的半徑是r，點(diǎn)P到圓心的距離為d，則有
d＜r 點(diǎn)P在圓內(nèi)；
d=r 點(diǎn)P在圓上；
d＞r 點(diǎn)P在圓外.
注意：點(diǎn)與圓的位置關(guān)系可以轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到圓心的距離與半徑之間的關(guān)系；反過(guò)來(lái)，也可以通過(guò)這種數(shù)量關(guān)系判斷點(diǎn)與圓的位置關(guān)系．
知識(shí)點(diǎn)3.直線與圓的位置關(guān)系
直線與圓有3種位置關(guān)系：（1）相離；（2）相交；（3）相切。
設(shè)r為圓的半徑，d為圓心到直線的距離
知識(shí)點(diǎn)4.圓與圓的位置關(guān)系
兩圓之間有5種位置關(guān)系：
無(wú)公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外離，在之內(nèi)叫內(nèi)含；
有唯一公共點(diǎn)的，一圓在另一圓之外叫外切，在之內(nèi)叫內(nèi)切；
有兩個(gè)公共點(diǎn)的叫相交。兩圓圓心之間的距離叫做圓心距。
兩圓的半徑分別為R和r，且R≥r，圓心距為L(zhǎng),則
（1）外離L＞R+r；
（2）外切L=R+r；
（3）相交R-r＜L＜R+r；
（4）內(nèi)切L=R-r；
（5）內(nèi)含L＜R-r。
知識(shí)點(diǎn)5.垂徑定理
垂徑定理：平分弦（不是直徑）的直徑垂直于弦，并且平分弦所對(duì)的兩條弧。
知識(shí)點(diǎn)6.圓心角定理
在同圓或等圓中，相等的圓心角所對(duì)的弧相等，所對(duì)的弦也相等．
知識(shí)點(diǎn)7.圓周角定理
（1）在同圓或等圓中，同弧等弧所對(duì)的圓周角相等，都等于這條弧所對(duì)的圓心角的一半．
（2）半圓（或直徑）所對(duì)的圓周角是直角，90°的圓周角所對(duì)的弦是直徑．
知識(shí)點(diǎn)8.圓內(nèi)接多邊形
1.外接圓、內(nèi)接正多邊形:將一個(gè)圓n(n≥3)等分，依次連接各等分點(diǎn)所得到的多邊形叫作這個(gè)圓的內(nèi)接正多邊形，這個(gè)圓是這個(gè)正多邊形的外接圓.
（1）圓內(nèi)接正三角形 （2）圓內(nèi)接正四邊形 （3）圓內(nèi)接正六邊形
2.圓內(nèi)接正多邊形的計(jì)算
(1)正n邊形的中心角為
(2)正n邊形的邊長(zhǎng)a，半徑R，邊心距r之間的關(guān)系
(3)邊長(zhǎng)a，邊心距r的正n邊形的面積為
其中l(wèi)為正n邊形的周長(zhǎng).
3.外心：三角形的外接圓的圓心叫做這個(gè)這個(gè)三角形的外心.
注意：(1)三角形的外心是三角形三條邊的垂直平分線的交點(diǎn)．(2)一個(gè)三角形的外接圓是唯一的.
4.內(nèi)心：三角形的內(nèi)切圓的圓心叫做這個(gè)這個(gè)三角形的內(nèi)心.
注意：(1)三角形的內(nèi)心是三角形三條角平分線的交點(diǎn)．(2)一個(gè)三角形的內(nèi)切圓是唯一的.
5.正多邊形的相關(guān)概念
(1) 正多邊形的中心：正多邊形外接圓和內(nèi)切圓有公共的圓心，稱(chēng)其為正多邊形的中心.
(2) 正多邊形的半徑：外接圓的半徑叫做正多邊形的半徑.
(3) 正多邊形的邊心距：中心到正多邊形一邊的距離叫做正多邊形的邊心距.
(4) 正多邊形的中心角：正多邊形每一條邊對(duì)應(yīng)所對(duì)的外接圓的圓心角都相等，叫做正多邊形的中心角.
知識(shí)點(diǎn)9.切線的判定定理與性質(zhì)
1.切線的判定定理：經(jīng)過(guò)半徑外端并且垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
2.切線的性質(zhì)：
（1）經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于這條半徑的直線是圓的切線。
（2）經(jīng)過(guò)切點(diǎn)垂直于切線的直線必經(jīng)過(guò)圓心。
（3）圓的切線垂直于經(jīng)過(guò)切點(diǎn)的半徑。
知識(shí)點(diǎn)10.圓的公切線
1.公切線是指同時(shí)相切于兩條或兩條以上的曲線的直線，例如和兩個(gè)圓相切的直線叫做這兩個(gè)圓的公切線。如果兩個(gè)圓在公切線的同側(cè)，則這公切線叫外公切線；如果兩個(gè)圓在公切線的異側(cè)，則叫內(nèi)公切線。
（1）若兩圓相離，則有4條公切線。
（2）若兩圓外切，則有3條公切線。
（3）兩圓相交，則有2條公切線。
（4）若兩圓內(nèi)切，則有1條公切線。
（5）若兩圓內(nèi)含，則有0條公切線。
2.公切線性質(zhì)
（1）兩圓的兩條外公切線長(zhǎng)相等；
（2）兩條內(nèi)公切線的長(zhǎng)也相等。
（3）兩圓的外公切線與連心線或者交于一點(diǎn)或者平行。
知識(shí)點(diǎn)11.兩圓公共弦定理
兩圓圓心的連線垂直并且評(píng)分這兩個(gè)圓的公共弦。
知識(shí)點(diǎn)12.扇形、圓柱和圓錐等的相關(guān)計(jì)算
1.圓的周長(zhǎng)與面積計(jì)算公式：　　
圓的周長(zhǎng)C=2πR=πd
（2）圓的面積S=πR2
2.扇形弧長(zhǎng)與面積公式
（1）半徑為r的圓中，n°圓心角所對(duì)的弧長(zhǎng)
．
（2）扇形面積公式
半徑為R，圓心角為n°的扇形面積
（l是扇形的弧長(zhǎng)）．
3.弓形面積公式
弓形的面積=扇形的面積±三角形的面積。
4.圓柱表面積與體積公式
（1）圓柱表面積S表=S側(cè) +2S底=2πRh+2πR2
（2）圓柱體的體積V=S底h=πR2h
5.圓錐的側(cè)面積與體積
(1)圓錐的側(cè)面展開(kāi)圖是一個(gè)扇形。
(2)如果圓錐母線長(zhǎng)為l，底面圓的半徑為r，那么這個(gè)扇形的半徑為l，扇形的弧長(zhǎng)為2πr，
(3)圓錐的側(cè)面積為πrl，
(4)圓錐的全面積為πr·（l+r）．
（8）圓錐體的體積V=πr2h/3
(
方法總結(jié)
)
一、解決圓有關(guān)系列問(wèn)題方法總結(jié)
1.證明切線與求解線段長(zhǎng)度方法
（1）證切線時(shí)添加輔助線的解題方法有兩種： ①有公共點(diǎn)，連半徑，證垂直； ②無(wú)公共點(diǎn)，作垂直，證半徑；有切線時(shí)添加輔助線的解題方法是：見(jiàn)切點(diǎn)，連半徑，得垂直；
（2）設(shè)未知數(shù)，通常利用勾股定理建立方程.
2.圓中常用輔助線的添法
在平面幾何中，解決與圓有關(guān)的問(wèn)題時(shí)，常常需要添加適當(dāng)?shù)妮o助線，架起題設(shè)和結(jié)論間的橋梁，從而使問(wèn)題化難為易，順其自然地得到解決，因此，靈活掌握作輔助線的一般規(guī)律和常見(jiàn)方法，對(duì)提高學(xué)生分析問(wèn)題和解決問(wèn)題的能力是大有幫助的。
（1）見(jiàn)弦作弦心距。有關(guān)弦的問(wèn)題，常作其弦心距（有時(shí)還須作出相應(yīng)的半徑），通過(guò)垂徑平分定理，來(lái)溝通題設(shè)與結(jié)論間的聯(lián)系。
（2）見(jiàn)直徑作圓周角。在題目中若已知圓的直徑，一般是作直徑所對(duì)的圓周角，利用"直徑所對(duì)的圓周角是直角"這一特征來(lái)證明問(wèn)題。
（3）見(jiàn)切線作半徑。命題的條件中含有圓的切線，往往是連結(jié)過(guò)切點(diǎn)的半徑，利用"切線與半徑垂直"這一性質(zhì)來(lái)證明問(wèn)題。
（4）兩圓相切作公切線。對(duì)兩圓相切的問(wèn)題，一般是經(jīng)過(guò)切點(diǎn)作兩圓的公切線或作它們的連心線，通過(guò)公切線可以找到與圓有關(guān)的角的關(guān)系。
（5）兩圓相交作公共弦。對(duì)兩圓相交的問(wèn)題，通常是作出公共弦，通過(guò)公共弦既可把兩圓的弦聯(lián)系起來(lái)，又可以把兩圓中的圓周角或圓心角聯(lián)系起來(lái)。
二、圓中常用輔助線的添法順口溜
半徑與弦長(zhǎng)計(jì)算，弦心距來(lái)中間站。
圓上若有一切線，切點(diǎn)圓心半徑連。
切線長(zhǎng)度的計(jì)算，勾股定理最方便。
要想證明是切線，半徑垂線仔細(xì)辨。
是直徑，成半圓，想成直角徑連弦。
弧有中點(diǎn)圓心連，垂徑定理要記全。
圓周角邊兩條弦，直徑和弦端點(diǎn)連。
弦切角邊切線弦，同弧對(duì)角等找完。
要想作個(gè)外接圓，各邊作出中垂線。
還要作個(gè)內(nèi)接圓，內(nèi)角平分線夢(mèng)圓
如果遇到相交圓，不要忘作公共弦。
內(nèi)外相切的兩圓，經(jīng)過(guò)切點(diǎn)公切線。
若是添上連心線，切點(diǎn)肯定在上面。
要作等角添個(gè)圓，證明題目少困難。
輔助線，是虛線，畫(huà)圖注意勿改變。
假如圖形較分散，對(duì)稱(chēng)旋轉(zhuǎn)去實(shí)驗(yàn)。
基本作圖很關(guān)鍵，平時(shí)掌握要熟練。
解題還要多心眼，經(jīng)常總結(jié)方法顯。
切勿盲目亂添線，方法靈活應(yīng)多變。
分析綜合方法選，困難再多也會(huì)減。
虛心勤學(xué)加苦練，成績(jī)上升成直線。
三、圓問(wèn)題拓展知識(shí)
（1）相交弦定理：圓內(nèi)兩弦相交，交點(diǎn)分得的兩條線段的乘積相等。
重要結(jié)論：PA PB=PC PD
（2）推論：如果弦與直徑垂直相交，那么弦的一半是它分直徑所成的兩條線段的比例中項(xiàng)。
重要結(jié)論：CE2=AE BE
（3）切割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的切線和割線，切線長(zhǎng)是這點(diǎn)到割線與圓交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的比例中項(xiàng)。
重要結(jié)論：PA2=PC PB
（4）割線定理：從圓外一點(diǎn)引圓的兩條割線，這一點(diǎn)到每條割線與圓的交點(diǎn)的兩條線段長(zhǎng)的積相等。
重要結(jié)論：PC PB=PD PE
(
例題解析
)
考點(diǎn)1.垂徑定理及圓周角定理問(wèn)題
【例題1】 （2023湖南永州）如圖，是一個(gè)盛有水的容器的橫截面，的半徑為．水的最深處到水面的距離為，則水面的寬度為_(kāi)______．
【答案】
【解析】過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，依題意，得出，進(jìn)而在中，勾股定理即可求解．
【詳解】如圖所示，過(guò)點(diǎn)作于點(diǎn)，交于點(diǎn)，則，
∵水的最深處到水面的距離為，的半徑為．
∴，
在中，
∴
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查了垂徑定理的應(yīng)用，勾股定理，熟練掌握垂徑定理是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】（2023福建）如圖，已知內(nèi)接于的延長(zhǎng)線交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交的切線于點(diǎn)，且．
（1）求證：；
（2）求證：平分．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）見(jiàn)解析
【解析】【分析】（1）由切線的性質(zhì)可得，由圓周角定理可得，即，再根據(jù)平行線的性質(zhì)可得，則根據(jù)角的和差可得，最后根據(jù)平行線的判定定理即可解答；
（2）由圓周角定理可得，再由等腰三角形的性質(zhì)可得，進(jìn)而得到，再結(jié)合得到即可證明結(jié)論．
【詳解】（1）證明是的切線，
，即．
是的直徑，
．
∴．
，
，
，即，
．
（2）與都是所對(duì)的圓周角，
．
，
，
．
由（1）知，
，
平分．
【點(diǎn)睛】本題主要考查角平分線、平行線的判定與性質(zhì)、圓周角定理、切線的性質(zhì)等知識(shí)點(diǎn)，靈活運(yùn)用相關(guān)性質(zhì)定理是解答本題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)2.圓的切線性質(zhì)問(wèn)題
【例題2】（2023甘肅蘭州） 如圖，內(nèi)接于，是的直徑，，于點(diǎn)，交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，，連接．
（1）求證：是的切線；
（2）判斷的形狀，并說(shuō)明理由；
（3）當(dāng)時(shí)，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）見(jiàn)解析 （2）是等腰三角形，理由見(jiàn)解析 （3）
【解析】【分析】（1）連接，根據(jù)圓周角定理得出，根據(jù)已知得出，根據(jù)得出，進(jìn)而根據(jù)對(duì)等角相等，以及三角形內(nèi)角和定理可得，即可得證；
（2）根據(jù)題意得出，則，證明，得出，等量代換得出，即可得出結(jié)論；
（3）根據(jù)，，設(shè)，則，等邊對(duì)等角得出，則．
【詳解】（1）證明：如圖所示，連接，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵
∴，
即，又是的直徑，
∴是的切線；
（2）∵，是的直徑，
∴，，
∴，
∵，，
∵，
∴，
又，
∴，
∴是等腰三角形，
（3）∵，，
設(shè)，則，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】考查切線的判定，等腰三角形的性質(zhì)與判定，圓周角定理，熟練掌握以上知識(shí)是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練1】（2023湖南常德）如圖，四邊形是的內(nèi)接四邊形，是直徑，是的中點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作交的延長(zhǎng)線于點(diǎn)．
（1）求證：是的切線；
（2）若，，求的長(zhǎng)．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析； （2），．
【解析】【分析】（1）根據(jù)“連半徑，證垂直”即可，
（2）先由“直徑所對(duì)的圓周角是直角”，證是直角三角形，用勾股定理求出長(zhǎng)，再通過(guò)三角形相似即可求解．
【詳解】（1）連接
∵為的中點(diǎn)，
∴，
∴，
又∵，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴，為半徑，
∴為的切線，
（2）∵為直徑，
∴，
∵，
∴，
又∵，，
∴，
∴，即，
∴，
∵，
∴，
在中，由勾股定理得：
．
【點(diǎn)睛】此題考查切線的判定，圓周角定理，勾股定理定理的應(yīng)用，相似三角形的判定與性質(zhì)，熟練掌握相關(guān)性質(zhì)與判定是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練2】（2023湖南永州）如圖，以為直徑的是的外接圓，延長(zhǎng)到點(diǎn)D．使得，點(diǎn)E在的延長(zhǎng)線上，點(diǎn)在線段上，交于N，交于G．
（1）求證：是的切線；
（2）若，求的長(zhǎng)；
（3）若，求證：．
【答案】（1）證明見(jiàn)解析 （2） （3）證明見(jiàn)解析
【解析】【分析】（1）由是的直徑得到，則，由得到，則，結(jié)論得證；
（2）證明，則，可得，解得或3，由即可得到的長(zhǎng)；
（3）先證明，則，得到，由得到，則，由同角的余角相等得到，則，得，進(jìn)一步得到，則，即可得到結(jié)論．
【詳解】（1）證明：∵是的直徑，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴是的切線；
（2）∵，，
∴，
∴，
∴，
解得或3，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
∵，即，
∴；
（3）證明：∵是的直徑，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴．
【點(diǎn)睛】此題考查了相似三角形的判定和性質(zhì)、圓周角定理、切線的判定定理等知識(shí)，熟練掌握相似三角形的判定和性質(zhì)是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)3. 三角形的內(nèi)心與內(nèi)心
【例題3】（2023山東聊城）如圖，點(diǎn)O是外接圓的圓心，點(diǎn)I是的內(nèi)心，連接，．若，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據(jù)三角形內(nèi)心的定義可得的度數(shù)，然后由圓周角定理求出，再根據(jù)三角形內(nèi)角和定理以及等腰三角形的性質(zhì)得出答案．
【詳解】連接，
∵點(diǎn)I是的內(nèi)心，，
∴，
∴，
∵，
∴，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了三角形內(nèi)心的定義和圓周角定理，熟知三角形的內(nèi)心是三角形三個(gè)內(nèi)角平分線的交點(diǎn)是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】（2023內(nèi)蒙古包頭）如圖，是銳角三角形的外接圓，
，垂足分別為，連接．若的周長(zhǎng)為21，則的長(zhǎng)為（ ）
A. 8 B. 4 C. 3.5 D. 3
【答案】B
【解析】根據(jù)三角形外接圓的性質(zhì)得出點(diǎn)D、E、F分別是的中點(diǎn)，再由中位線的性質(zhì)及三角形的周長(zhǎng)求解即可．
∵是銳角三角形的外接圓，，
∴點(diǎn)D、E、F分別是的中點(diǎn)，
∴，
∵的周長(zhǎng)為21，
∴即，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】題目主要考查三角形外接圓的性質(zhì)及中位線的性質(zhì)，理解題意，熟練掌握三角形外接圓的性質(zhì)是解題關(guān)鍵．
考點(diǎn)4.正多邊形與圓問(wèn)題
【例題4】（2023福建）我國(guó)魏晉時(shí)期數(shù)學(xué)家劉徽在《九章算術(shù)注》中提到了著名的“割圓術(shù)”，即利用圓的內(nèi)接正多邊形逼近圓的方法來(lái)近似估算，指出“割之彌細(xì)，所失彌少．割之又割，以至于不可割，則與圓周合體，而無(wú)所失矣”．“割圓術(shù)”孕育了微積分思想，他用這種思想得到了圓周率的近似值為3.1416．如圖，的半徑為1，運(yùn)用“割圓術(shù)”，以圓內(nèi)接正六邊形面積近似估計(jì)的面積，可得的估計(jì)值為，若用圓內(nèi)接正十二邊形作近似估計(jì)，可得的估計(jì)值為（　　）
A. B. C. 3 D.
【答案】C
【解析】【分析】根據(jù)圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)可得，根據(jù)30度的作對(duì)的直角邊是斜邊的一半可得，根據(jù)三角形的面積公式即可求得正十二邊形的面積，即可求解．
圓的內(nèi)接正十二邊形的面積可以看成12個(gè)全等的等腰三角形組成，故等腰三角形的頂角為，設(shè)圓的半徑為1，如圖為其中一個(gè)等腰三角形，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)于點(diǎn)，
∵，
∴，
則，
故正十二邊形的面積為，
圓的面積為，
用圓內(nèi)接正十二邊形面積近似估計(jì)的面積可得，
故選：C．
【點(diǎn)睛】本題考查了圓內(nèi)接正多邊形的性質(zhì)，30度的作對(duì)的直角邊是斜邊的一半，三角形的面積公式，圓的面積公式等，正確求出正十二邊形的面積是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)5.扇形弧長(zhǎng)與面積問(wèn)題
【例題5】（2023甘肅蘭州） 如圖1是一段彎管，彎管部分外輪廓線如圖2所示是一條圓弧，圓弧的半徑，圓心角，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根據(jù)弧長(zhǎng)公式求解即可．
弧的半徑，圓心角，
∴，
故選：B．
【點(diǎn)睛】題目主要考查弧長(zhǎng)公式，熟練掌握運(yùn)用弧長(zhǎng)公式是解題關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練1】（2023湖南常德）沈括的《夢(mèng)溪筆談》是中國(guó)古代科技史上的杰作，其中收錄了計(jì)算圓弧長(zhǎng)度的“會(huì)圓術(shù)”，如圖．是以O(shè)為圓心，為半徑的圓弧，C是弦的中點(diǎn)，D在上，．“會(huì)圓術(shù)”給出長(zhǎng)l的近似值s計(jì)算公式：，當(dāng)，時(shí)，__________．（結(jié)果保留一位小數(shù)）
【答案】0.1
【解析】由已知求得與的值，代入得弧長(zhǎng)的近似值，利用弧長(zhǎng)公式可求弧長(zhǎng)的值，進(jìn)而即可得解．
∵，
∴，
∵C是弦的中點(diǎn)，D在上，，
∴延長(zhǎng)可得O在上，
∴，
∴，
，
∴．
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題考查扇形的弧長(zhǎng)，掌握垂徑定理。弧長(zhǎng)公式是關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練2】（2023湖南郴州） 如圖，在中，是直徑，點(diǎn)是圓上一點(diǎn)．在的延長(zhǎng)線上取一點(diǎn)，連接，使．
（1）求證：直線是的切線；
（2）若，，求圖中陰影部分的面積（結(jié)果用含的式子表示）．
【答案】（1）見(jiàn)解析； （2）．
【解析】【分析】（1）連接，由是直徑，得，再證，從而有，于是即可證明結(jié)論成立；
（2）由圓周角定理求得，在中，解直角三角形得，從而利用扇形及三角形的面積公式即可求解．
【詳解】（1）證明：連接，
∵是直徑，
∴，
∵，，
∴，
∴，
∴，
∵是的半徑，
∴直線是的切線；
（2）解：∵，，
∴，
∴，
∵在中，，，
∴，解得，
∴．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圓周角定理，切線的判定，扇形的面積公式以及解直角三角形，熟練掌握?qǐng)A周角定理，切線的判定以及扇形的面積公式是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練3】（2023山東聊城）如圖，該幾何體是由一個(gè)大圓錐截去上部的小圓錐后剩下的部分．若該幾何體上、下兩個(gè)圓的半徑分別為1和2，原大圓錐高的剩余部分為，則其側(cè)面展開(kāi)圖的面積為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據(jù)展開(kāi)面積大圓錐側(cè)面積與小圓錐側(cè)面積之差計(jì)算即可．
根據(jù)題意，補(bǔ)圖如下：
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴側(cè)面展開(kāi)圖的面積為，
故選C．
【點(diǎn)睛】考查圓錐側(cè)面積計(jì)算，三角形相似的判定和性質(zhì)，熟練掌握?qǐng)A錐的側(cè)面積計(jì)算是解題的關(guān)鍵．
考點(diǎn)6.與圓有關(guān)的作圖問(wèn)題
【例題6】（2023內(nèi)蒙古通遼）下面是“作已知直角三角形的外接圓”的尺規(guī)作圖過(guò)程：
已知：如圖1，在中，． 求作：的外接圓． 作法：如圖2． （1）分別以點(diǎn)A和點(diǎn)B為圓心，大于的長(zhǎng)為半徑作弧，兩弧相交于P，Q兩點(diǎn)； （2）作直線，交于點(diǎn)O； （3）以O(shè)為圓心，為半徑作，即為所求作的圓．
下列不屬于該尺規(guī)作圖依據(jù)的是（ ）
A. 兩點(diǎn)確定一條直線
B. 直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
C. 與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上
D. 線段垂直平分線上的點(diǎn)與這條線段兩個(gè)端點(diǎn)的距離相等
【答案】D
【解析】利用直角三角形斜邊中線的性質(zhì)證明：即可．
作直線（兩點(diǎn)確定一條直線），
連接，
∵由作圖，，
∴且（與線段兩個(gè)端點(diǎn)距離相等的點(diǎn)在這條線段的垂直平分線上）．
∵，
∴（直角三角形斜邊中線等于斜邊的一半），
∴，
∴A，B，C三點(diǎn)在以O(shè)為圓心，為直徑的圓上．
∴為的外接圓．故選：D．
【點(diǎn)睛】本題考查作圖-復(fù)雜作圖，線段的垂直平分線的定義，直角三角形斜邊中線的性質(zhì)等知識(shí)，解題的關(guān)鍵熟練掌握基本知識(shí)，屬于中考常考題型．
考點(diǎn)7. 與圓有關(guān)的綜合類(lèi)問(wèn)題
【例題7】（2023甘肅蘭州） 我國(guó)古代天文學(xué)確定方向的方法中蘊(yùn)藏了平行線的作圖法．如《淮南子天文訓(xùn)》中記載：“正朝夕：先樹(shù)一表東方；操一表卻去前表十步，以參望日始出北廉．日直入，又樹(shù)一表于東方，因西方之表，以參望日方入北康．則定東方兩表之中與西方之表，則東西也．”如圖，用幾何語(yǔ)言敘述作圖方法：已知直線a和直線外一定點(diǎn)O，過(guò)點(diǎn)O作直線與a平行．（1）以O(shè)為圓心，單位長(zhǎng)為半徑作圓，交直線a于點(diǎn)M，N；（2）分別在的延長(zhǎng)線及上取點(diǎn)A，B，使；（3）連接，取其中點(diǎn)C，過(guò)O，C兩點(diǎn)確定直線b，則直線．按以上作圖順序，若，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】∵，，
∴，
∴，
∵，C為的中點(diǎn)，
∴，故選A．
【點(diǎn)睛】本題考查的是圓的基本性質(zhì)，等腰三角形的性質(zhì)，平行線的判定，三角形的外角的性質(zhì)，熟記等腰三角形的性質(zhì)是解本題的關(guān)鍵．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁(yè) （共 2 頁(yè)）
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