資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2024年數學中考一輪單元復習考點講析與達標檢測（人教版通用）
第一部分 29個單元的基礎知識與例題解析
專題26 反比例函數單元考點講析
(
課標要求
)
（1）結合具體情境體會反比例函數的意義,能根據已知條件確定反比例函數的表達式。
（2）能畫反比例函數的圖象，根據圖象和表達式y＝（k為常數，k≠0），探索并理解為k＞0和，k＜0時圖象的變化情況。
（3）能用反比例函數解決簡單實際問題。
(
知識
點梳理
)
知識點1. 反比例函數的定義
1.形如y＝（k為常數，k≠0）的函數稱為反比例函數。其他形式xy=k 、。
2.要十分注意：(1)k≠0；(2)自變量x≠0；(3)函數y≠0.
知識點2. 反比例函數的圖像和性質
1.圖像：反比例函數的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關于原點對稱。由于反比例函數中自變量x0，函數y0，所以，它的圖像與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸。反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x。對稱中心是：原點
k＞0 k＜0
性質:
（1）當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小；
（2）當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大。
注意：反比例函數的性質列表記憶法
（3）反比例函數比例系數 k 的幾何意義
k 的幾何意義：反比例函數圖象上的點 (x，y) 具有兩坐標之積 (xy＝k) 為常數這一特點，即過雙曲線上任意一點，向兩坐標軸作垂線，兩條垂線與坐標軸所圍成的矩形的面積為常數 |k|.
規律：過雙曲線上任意一點，向兩坐標軸作垂線，一條垂線與坐標軸、原點所圍成的三角形的面積為常數 |k|/2．
知識點3. 反比例函數中反比例系數的幾何意義
k 的幾何意義：反比例函數圖象上的點 (x，y) 具有兩坐標之積 (xy＝k) 為常數這一特點，即過雙曲線上任意一點，向兩坐標軸作垂線，兩條垂線與坐標軸所圍成的矩形的面積為常數 |k|.
規律：過雙曲線上任意一點，向兩坐標軸作垂線，一條垂線與坐標軸、原點所圍成的三角形的面積為常數 |k|/2．
如圖，過反比例函數圖像上任一點P作x軸、y軸的垂線PM，PN，則所得的矩形PMON的面積S=PMPN=。
知識點4. 反比例函數的應用
關鍵在于分析實際情景，建立函數模型，并且進一步明確數學問題將實際問題置于已學的知識背景之中，用數學知識重新解釋這是什么？可以看作什么？逐步形成考察實際問題的能力，在解決實際問題時，不僅要充分利用函數圖象的性質，參透數形結合的思想，也要注意函數、不等式、方程之間的聯系。生活中處處有數學。用反比例函數去研究兩個物理量之間的關系是在物理學中最常見的，因此同學們要學好物理，首先要打好數學基礎，才能促進你對物理知識的理解和探索。
A.在工程與速度中的應用；
B.反比例函數在電學中的運用；
C.在光學中運用；
D.在排水方面的運用；
E.在解決經濟預算問題中的應用；
F.其他方面的應用。
(
方法總結
)
1.利用待定系數法確定反比例函數方法
① 根據兩變量之間的反比例關系，設函數；
② 代入圖象上一個點的坐標，即 x、y 的一對對應值，求出 k 的值；
③ 寫出解析式.
2.反比例函數與一次函數的圖象的交點的求法
求直線 y＝k1x＋b (k1≠0) 和雙曲線y=k2/x (k2≠0)的交點坐標就是解這兩個函數解析式組成的方程組. (
例題解析
)
考點1. 反比例函數的圖象和性質問題
【例題1】（2023深圳）如圖，與位于平面直角坐標系中，，，，若，反比例函數恰好經過點C，則______．
【答案】
【解析】【分析】過點C作軸于點D，由題意易得，然后根據含30度直角三角形的性質可進行求解．
【詳解】過點C作軸于點D，如圖所示：
∵，，，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
在中，，
∴，，
∵，，
∴，
∴，
∴點，
∴，
故答案為：．
【點睛】本題主要考查反比例函數的圖象與性質及含30度直角三角形的性質，熟練掌握反比例函數的圖象與性質及含30度直角三角形的性質是解題的關鍵．
考點2.與反比例函數k有關的問題
【例題2】（2023福建）如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數和的圖象的四個分支上，則實數的值為（　　）
A. B. C. D. 3
【答案】A
【解析】如圖所示，點在上，證明，根據的幾何意義即可求解．
【詳解】如圖所示，連接正方形的對角線，過點分別作軸的垂線，垂足分別為，點在上，
∵，，
∴．
∴．
∴．
∵點在第二象限，
∴．
故選：A．
【點睛】本題考查了正方形的性質，反比例函數的的幾何意義，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
【變式訓練】（2023湖南湘潭）如圖，平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A是反比例函數圖像上的一點，過點A分別作軸于點M，軸于直N，若四邊形的面積為2．則k的值是（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
【答案】A
【解析】證明四邊形是矩形，根據反比例函數的值的幾何意義，即可解答．
軸于點M，軸于直N，，
四邊形是矩形，
四邊形的面積為2，
，
反比例函數在第一、三象限，
，
故選：A．
【點睛】本題考查了矩形的判定，反比例函數的值的幾何意義，熟知在一個反比例函數圖像上任取一點，過點分別作x軸，y軸的垂線段，與坐標軸圍成的矩形面積為是解題的關鍵．
考點3. 反比例函數的應用問題
【例題3】（2023浙江溫州）在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對汽缸頂部的活塞加壓，加壓后氣體對汽缸壁所產生的壓強P（）與汽缸內氣體的體積V（）成反比例，P關于V的函數圖象如圖所示．若壓強由加壓到，則氣體體積壓縮了___________．
【答案】20
【解析】由圖象易得P關于V的函數解析式為，然后問題可求解．
設P關于V的函數解析式為，由圖象可把點代入得：，
∴P關于V的函數解析式為，
∴當時，則，
當時，則，
∴壓強由加壓到，則氣體體積壓縮了；
故答案為20．
【點睛】本題主要考查反比例函數的應用，熟練掌握反比例函數的應用是解題的關鍵．
考點4. 反比例函數和一次函數綜合
【例題4】（2023甘肅蘭州） 如圖，反比例函數與一次函數圖象交于點，軸于點D，分別交反比例函數與一次函數的圖象于點B，C．
（1）求反比例函數與一次函數的表達式；
（2）當時，求線段的長．
【答案】（1）反比例函數的表達式為；一次函數的表達式為；
（2）．
【解析】【分析】（1）利用待定系數法即可求解；
（2）先求得直線的表達式為，再分別求得的坐標，據此即可求解．
【詳解】（1）∵反比例函數的圖象經過點，
∴，
∴反比例函數的表達式為；
∵一次函數的圖象經過點，
∴，
∴，
∴一次函數的表達式為；
（2）∵，
∴，
∴直線的表達式為，
∵時，，
解得，則，
∵時，，
解得，則，
∴．
【點睛】考查一次函數、反比例函數圖象上點的坐標特征，待定系數法是求函數解析式的基本方法．
【變式訓練1】（2023湖南常德）如圖所示，一次函數與反比例函數相交于點A和點．
（1）求m的值和反比例函數解析式；
（2）當時，求x的取值范圍．
【答案】（1）， （2）或
【解析】【分析】（1）根據一次函數的圖象與反比例函數的圖象交于、B兩點可得的值，進而可求反比例函數的表達式；
（2）觀察函數圖象，寫出一次函數圖象在反比例函數圖象上方所對應的自變量的范圍即可．
【詳解】（1）將點代入得：
解得：
將代入得：
∴
（2）由得：，解得
所以的坐標分別為
由圖形可得：當或時，
【點睛】反比例函數與一次函數的交點問題，解決本題的關鍵是掌握反比例函數與一次函數的性質．
【變式訓練2】（2023山東聊城）如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像相交于，兩點．
（1）求反比例函數和一次函數的表達式；
（2）點在x軸負半軸上，連接，過點B作，交的圖像于點Q，連接．當時，若四邊形的面積為36，求的值．
【答案】（1）， （2）
【解析】【分析】（1）根據反比例函數過點，兩點，確定，待定系數法計算即可．（2）根據平移思想，設解析式求解即可．
【詳解】（1）解：∵一次函數的圖像與反比例函數的圖像相交于，兩點，
∴，
故反比例函數的解析式為，
∴，
故，
∴，
解得，
∴直線的解析式為．
（2）∵，，，，，
∴四邊形是平行四邊形，
∴點A到點P的平移規律是向左平移個單位，向下平移4個單位，
∴點到點Q的平移規律也是向左平移個單位，向下平移4個單位，
故，
∵在上，
∴，
解得：，
∴點P的坐標為，
設與x軸交于點C，連接，如圖所示：
把代入，解得：，
∴，
∴，
∴，
∵四邊形為平行四邊形，
∴，
∴當時，符合題意．
【點睛】本題考查了一次函數與反比例函數的交點，平移規律計算，熟練掌握規律是解題的關鍵．
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2024年數學中考一輪單元復習考點講析與達標檢測（人教版通用）
第一部分 29個單元的基礎知識與例題解析
專題26 反比例函數單元考點講析
(
課標要求
)
（1）結合具體情境體會反比例函數的意義,能根據已知條件確定反比例函數的表達式。
（2）能畫反比例函數的圖象，根據圖象和表達式y＝（k為常數，k≠0），探索并理解為k＞0和，k＜0時圖象的變化情況。
（3）能用反比例函數解決簡單實際問題。
(
知識
點梳理
)
知識點1. 反比例函數的定義
1.形如y＝（k為常數，k≠0）的函數稱為反比例函數。其他形式xy=k 、。
2.要十分注意：(1)k≠0；(2)自變量x≠0；(3)函數y≠0.
知識點2. 反比例函數的圖像和性質
1.圖像：反比例函數的圖像是雙曲線，它有兩個分支，這兩個分支分別位于第一、三象限，或第二、四象限，它們關于原點對稱。由于反比例函數中自變量x0，函數y0，所以，它的圖像與x軸、y軸都沒有交點，即雙曲線的兩個分支無限接近坐標軸，但永遠達不到坐標軸。反比例函數的圖象既是軸對稱圖形又是中心對稱圖形。有兩條對稱軸：直線y=x和 y=-x。對稱中心是：原點
k＞0 k＜0
性質:
（1）當k＞0時雙曲線的兩支分別位于第一、第三象限，在每個象限內y值隨x值的增大而減小；
（2）當k＜0時雙曲線的兩支分別位于第二、第四象限，在每個象限內y值隨x值的增大而增大。
注意：反比例函數的性質列表記憶法
（3）反比例函數比例系數 k 的幾何意義
k 的幾何意義：反比例函數圖象上的點 (x，y) 具有兩坐標之積 (xy＝k) 為常數這一特點，即過雙曲線上任意一點，向兩坐標軸作垂線，兩條垂線與坐標軸所圍成的矩形的面積為常數 |k|.
規律：過雙曲線上任意一點，向兩坐標軸作垂線，一條垂線與坐標軸、原點所圍成的三角形的面積為常數 |k|/2．
知識點3. 反比例函數中反比例系數的幾何意義
k 的幾何意義：反比例函數圖象上的點 (x，y) 具有兩坐標之積 (xy＝k) 為常數這一特點，即過雙曲線上任意一點，向兩坐標軸作垂線，兩條垂線與坐標軸所圍成的矩形的面積為常數 |k|.
規律：過雙曲線上任意一點，向兩坐標軸作垂線，一條垂線與坐標軸、原點所圍成的三角形的面積為常數 |k|/2．
如圖，過反比例函數圖像上任一點P作x軸、y軸的垂線PM，PN，則所得的矩形PMON的面積S=PMPN=。
知識點4. 反比例函數的應用
關鍵在于分析實際情景，建立函數模型，并且進一步明確數學問題將實際問題置于已學的知識背景之中，用數學知識重新解釋這是什么？可以看作什么？逐步形成考察實際問題的能力，在解決實際問題時，不僅要充分利用函數圖象的性質，參透數形結合的思想，也要注意函數、不等式、方程之間的聯系。生活中處處有數學。用反比例函數去研究兩個物理量之間的關系是在物理學中最常見的，因此同學們要學好物理，首先要打好數學基礎，才能促進你對物理知識的理解和探索。
A.在工程與速度中的應用；
B.反比例函數在電學中的運用；
C.在光學中運用；
D.在排水方面的運用；
E.在解決經濟預算問題中的應用；
F.其他方面的應用。
(
方法總結
)
1.利用待定系數法確定反比例函數方法
① 根據兩變量之間的反比例關系，設函數；
② 代入圖象上一個點的坐標，即 x、y 的一對對應值，求出 k 的值；
③ 寫出解析式.
2.反比例函數與一次函數的圖象的交點的求法
求直線 y＝k1x＋b (k1≠0) 和雙曲線y=k2/x (k2≠0)的交點坐標就是解這兩個函數解析式組成的方程組. (
例題解析
)
考點1. 反比例函數的圖象和性質問題
【例題1】（2023深圳）如圖，與位于平面直角坐標系中，，，，若，反比例函數恰好經過點C，則______．
考點2.與反比例函數k有關的問題
【例題2】（2023福建）如圖，正方形四個頂點分別位于兩個反比例函數和的圖象的四個分支上，則實數的值為（　　）
A. B. C. D. 3
【變式訓練】（2023湖南湘潭）如圖，平面直角坐標系中，O是坐標原點，點A是反比例函數圖像上的一點，過點A分別作軸于點M，軸于直N，若四邊形的面積為2．則k的值是（ ）
A. 2 B. C. 1 D.
考點3. 反比例函數的應用問題
【例題3】（2023浙江溫州）在溫度不變的條件下，通過一次又一次地對汽缸頂部的活塞加壓，加壓后氣體對汽缸壁所產生的壓強P（）與汽缸內氣體的體積V（）成反比例，P關于V的函數圖象如圖所示．若壓強由加壓到，則氣體體積壓縮了___________．
考點4. 反比例函數和一次函數綜合
【例題4】（2023甘肅蘭州） 如圖，反比例函數與一次函數圖象交于點，軸于點D，分別交反比例函數與一次函數的圖象于點B，C．
（1）求反比例函數與一次函數的表達式；
（2）當時，求線段的長．
【變式訓練1】（2023湖南常德）如圖所示，一次函數與反比例函數相交于點A和點．
（1）求m的值和反比例函數解析式；
（2）當時，求x的取值范圍．
【變式訓練2】（2023山東聊城）如圖，一次函數的圖像與反比例函數的圖像相交于，兩點．
（1）求反比例函數和一次函數的表達式；
（2）點在x軸負半軸上，連接，過點B作，交的圖像于點Q，連接．當時，若四邊形的面積為36，求的值．
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