資源簡介

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2024年數學中考一輪單元復習考點講析與達標檢測（人教版通用）
第一部分 29個單元的基礎知識與例題解析
專題27 相似單元考點講析
(
課標要求
)
（1）了解比例的基本性質、線段的比、成比例的線段；通過建筑、藝術上的實例了解黃金分割。
（2）通過具體實例認識圖形的相似。了解相似多邊形和相似比。
（3）掌握基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例。
（4）了解相似三角形的判定定理：兩角分別相等的兩個三角形相 似；兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；三邊成比例的兩個三角形相似。* 了解相似三角形判定定理的證明。
（5）了解相似三角形的性質定理F :相似三角形對應線段的比等于相似比；面積比等于相似比的平方。
了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小。
（6）會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題。
（7）在平面直角坐標系中，探索并了解將一個多邊形的頂點坐標 (有一個頂點為原點)分別擴大或縮小相同倍數時所對應的圖形與原 圖形是位似的。
(
知識
點梳理
)
知識點1. 比例的相關概念及性質
1．線段的比：兩條線段的比是兩條線段的長度之比．
2．比例中項：如果=，即b2=ac，我們就把b叫做a，c的比例中項．
3．比例的性質
性質 內容
性質1 = ad=bc（a，b，c，d≠0）．
性質2 如果=，那么．
性質3 如果==…=（b+d+…+n≠0），則=（不唯一）．
4.黃金分割：如果點C把線段AB分成兩條線段，使，那么點C叫做線段AC的黃金分割點，AC是BC與AB的比例中項，AC與AB的比叫做黃金比．
知識點2. 相似三角形的判定及性質
1．定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形，相似三角形對應邊的比叫做相似比．
2．性質：1）相似三角形的對應角相等；2）相似三角形的對應線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；
3）相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方．
3．判定：1）有兩角對應相等，兩三角形相似；2）兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似；3）三邊對應成比例，兩三角形相似；4）兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，兩直角三角形相似．
【方法技巧】判定三角形相似的幾條思路：
1）條件中若有平行線，可采用相似三角形的判定（1）；
2）條件中若有一對等角，可再找一對等角[用判定（1）]或再找夾邊成比例[用判定（2）]；
3）條件中若有兩邊對應成比例，可找夾角相等；
4）條件中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證明斜邊、直角邊對應成比例；
5）條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個底角相等，也可找底和腰對應成比例．
知識點3. 相似多邊形
1．定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對應邊的比叫做它們的相似比．
2．性質：1）相似多邊形的對應邊成比例；2）相似多邊形的對應角相等；3）相似多邊形周長的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方．
知識點4. 位似圖形
1．定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形而且每組對應點的連線交于一點，對應邊互相平行（或在同一條直線上），那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，相似比叫做位似比．
2．性質：1）在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或–k；2）位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比或相似比．
3．找位似中心的方法：將兩個圖形的各組對應點連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點，則該點即是位似中心．
4．畫位似圖形的步驟：1）確定位似中心；2）確定原圖形的關鍵點；3）確定位似比，即要將圖形放大或縮小的倍數；4）作出原圖形中各關鍵點的對應點；5）按原圖形的連接順序連接所作的各個對應點．
(
方法總結
)
1. 判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時，要先統一線段的長度單位，最后的結果與所選取的單位無關系．
2.相似三角形性質與判定
（1）相似三角形的性質：①相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等；②相似三角形的周長的比等于相似比；相似三角形的對應線段（對應中線、對應角平分線、對應邊上的高）的比也等于相似比；③相似三角形的面積的比等于相似比的平方．由三角形的面積公式和相似三角形對應線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平方．
（2）相似三角形的判定：①平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；②三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；③兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；④兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．
(
例題解析
)
考點1.平行線分線段成比例
【例題1】（2023吉林?。┤鐖D，在中，點D在邊上，過點D作，交于點E．若，則的值是（ ）
A. B. C. D.
考點2. 相似三角形性質與判定
【例題2】（2023福建）如圖1，在中，是邊上不與重合的一個定點．于點，交于點．是由線段繞點順時針旋轉得到的，的延長線相交于點．
（1）求證：；
（2）求的度數；
（3）若是的中點，如圖2．求證：．
【變式訓練】（2023湖南常德）如圖，在中，，D是的中點，延長至E，連接．
（1）求證：；
（2）在如圖1中，若，其它條件不變得到圖2，在圖2中過點D作于F，設H是的中點，過點H作交于G，交于M．
求證：
①；
②．
考點3.位似
【例題3】（2023湖北鄂州） 如圖，在平面直角坐標系中，與位似，原點O是位似中心，且．若，則點的坐標是___________．
【變式訓練】（2023黑龍江綏化） 如圖，在平面直角坐標系中，與的相似比為，點是位似中心，已知點，點，．則點的坐標為_______．（結果用含，的式子表示）
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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2024年數學中考一輪單元復習考點講析與達標檢測（人教版通用）
第一部分 29個單元的基礎知識與例題解析
專題27 相似單元考點講析
(
課標要求
)
（1）了解比例的基本性質、線段的比、成比例的線段；通過建筑、藝術上的實例了解黃金分割。
（2）通過具體實例認識圖形的相似。了解相似多邊形和相似比。
（3）掌握基本事實：兩條直線被一組平行線所截，所得的對應線段成比例。
（4）了解相似三角形的判定定理：兩角分別相等的兩個三角形相 似；兩邊成比例且夾角相等的兩個三角形相似；三邊成比例的兩個三角形相似。* 了解相似三角形判定定理的證明。
（5）了解相似三角形的性質定理F :相似三角形對應線段的比等于相似比；面積比等于相似比的平方。
了解圖形的位似，知道利用位似可以將一個圖形放大或縮小。
（6）會利用圖形的相似解決一些簡單的實際問題。
（7）在平面直角坐標系中，探索并了解將一個多邊形的頂點坐標 (有一個頂點為原點)分別擴大或縮小相同倍數時所對應的圖形與原 圖形是位似的。
(
知識
點梳理
)
知識點1. 比例的相關概念及性質
1．線段的比：兩條線段的比是兩條線段的長度之比．
2．比例中項：如果=，即b2=ac，我們就把b叫做a，c的比例中項．
3．比例的性質
性質 內容
性質1 = ad=bc（a，b，c，d≠0）．
性質2 如果=，那么．
性質3 如果==…=（b+d+…+n≠0），則=（不唯一）．
4.黃金分割：如果點C把線段AB分成兩條線段，使，那么點C叫做線段AC的黃金分割點，AC是BC與AB的比例中項，AC與AB的比叫做黃金比．
知識點2. 相似三角形的判定及性質
1．定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個三角形叫做相似三角形，相似三角形對應邊的比叫做相似比．
2．性質：1）相似三角形的對應角相等；2）相似三角形的對應線段（邊、高、中線、角平分線）成比例；
3）相似三角形的周長比等于相似比，面積比等于相似比的平方．
3．判定：1）有兩角對應相等，兩三角形相似；2）兩邊對應成比例且夾角相等，兩三角形相似；3）三邊對應成比例，兩三角形相似；4）兩直角三角形的斜邊和一條直角邊對應成比例，兩直角三角形相似．
【方法技巧】判定三角形相似的幾條思路：
1）條件中若有平行線，可采用相似三角形的判定（1）；
2）條件中若有一對等角，可再找一對等角[用判定（1）]或再找夾邊成比例[用判定（2）]；
3）條件中若有兩邊對應成比例，可找夾角相等；
4）條件中若有一對直角，可考慮再找一對等角或證明斜邊、直角邊對應成比例；
5）條件中若有等腰條件，可找頂角相等，或找一個底角相等，也可找底和腰對應成比例．
知識點3. 相似多邊形
1．定義：對應角相等，對應邊成比例的兩個多邊形叫做相似多邊形，相似多邊形對應邊的比叫做它們的相似比．
2．性質：1）相似多邊形的對應邊成比例；2）相似多邊形的對應角相等；3）相似多邊形周長的比等于相似比，相似多邊形面積的比等于相似比的平方．
知識點4. 位似圖形
1．定義：如果兩個圖形不僅是相似圖形而且每組對應點的連線交于一點，對應邊互相平行（或在同一條直線上），那么這樣的兩個圖形叫做位似圖形，這個點叫做位似中心，相似比叫做位似比．
2．性質：1）在平面直角坐標系中，如果位似變換是以原點為中心，相似比為k，那么位似圖形對應點的坐標的比等于k或–k；2）位似圖形上任意一對對應點到位似中心的距離之比等于位似比或相似比．
3．找位似中心的方法：將兩個圖形的各組對應點連接起來，若它們的直線或延長線相交于一點，則該點即是位似中心．
4．畫位似圖形的步驟：1）確定位似中心；2）確定原圖形的關鍵點；3）確定位似比，即要將圖形放大或縮小的倍數；4）作出原圖形中各關鍵點的對應點；5）按原圖形的連接順序連接所作的各個對應點．
(
方法總結
)
1. 判定四條線段是否成比例，只要把四條線段按大小順序排列好，判斷前兩條線段之比與后兩條線段之比是否相等即可，求線段之比時，要先統一線段的長度單位，最后的結果與所選取的單位無關系．
2.相似三角形性質與判定
（1）相似三角形的性質：①相似三角形的對應角相等，對應邊的比相等；②相似三角形的周長的比等于相似比；相似三角形的對應線段（對應中線、對應角平分線、對應邊上的高）的比也等于相似比；③相似三角形的面積的比等于相似比的平方．由三角形的面積公式和相似三角形對應線段的比等于相似比可以推出相似三角形面積的比等于相似比的平方．
（2）相似三角形的判定：①平行線法：平行于三角形的一邊的直線與其他兩邊相交，所構成的三角形與原三角形相似；②三邊法：三組對應邊的比相等的兩個三角形相似；③兩邊及其夾角法：兩組對應邊的比相等且夾角對應相等的兩個三角形相似；④兩角法：有兩組角對應相等的兩個三角形相似．
(
例題解析
)
考點1.平行線分線段成比例
【例題1】（2023吉林?。┤鐖D，在中，點D在邊上，過點D作，交于點E．若，則的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】利用平行線分線段成比例定理的推論得出，即可求解．
∵中，，
∴，
∵
∴，
故選：A．
【點睛】本題考查平行線分線段成比例定理的推論，解題關鍵是牢記“平行于三角形一邊的直線截其它兩邊（或兩邊的延長線）所得對應線段成比例”．
考點2. 相似三角形性質與判定
【例題2】（2023福建）如圖1，在中，是邊上不與重合的一個定點．于點，交于點．是由線段繞點順時針旋轉得到的，的延長線相交于點．
（1）求證：；
（2）求的度數；
（3）若是的中點，如圖2．求證：．
【答案】（1）見解析 （2） （3）見解析
【解析】【分析】（1）由旋轉的性質可得，再根據等腰三角形的性質可得，再證明、，即可證明結論；
（2）如圖1：設與的交點為，先證明可得，再證明可得，最后運用角的和差即可解答；
（3）如圖2：延長交于點，連接，先證明可得，再證可得；進而證明即，再說明則根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半即可解答．
【詳解】（1）解： 是由線段繞點順時針旋轉得到的，
，
，
．
，
．
．
，
．
．
（2）解：如圖1：設與的交點為，
，
，
，
．
，
，
．
又，
．
，
．
（3）解：如圖2：延長交于點，連接，
，
，
．
是的中點，
．
又，
，
．
，
，
．
由（2）知，，
．
，
，
，
，即．
，
，
．
【點睛】本題主要考查三角形內角和定理、平行線的判定與性質、全等三角形的判定與性質、相似三角形的判定與性質、等腰三角形及直角三角形的判定與性質等知識點，綜合應用所學知識成為解答本題的關鍵．
【變式訓練】（2023湖南常德）如圖，在中，，D是的中點，延長至E，連接．
（1）求證：；
（2）在如圖1中，若，其它條件不變得到圖2，在圖2中過點D作于F，設H是的中點，過點H作交于G，交于M．
求證：
①；
②．
【答案】（1）證明見解析 （2）①見解析，②見解析
【解析】【分析】（1）先證出是的垂直平分線，再由線段垂直平分線的性質得到，最后由證得；
（2）①連接，由三角形中位線的性質得到，從而，再由，，得到，可證得，從而，又，等量代換即可；
②先證明，再由為的中位線，得到，從而為中點，由于為中點，故得證.
【詳解】（1）證明：∵是的中點，
∴是的垂直平分線，
又∵E在上，
∴，
在和中，
∴
（2）證明：①連接，
∵分別是和的中點，
∴為的中位線，
∴，
∴，
又∵，
∴，
又∵，
∴，
在和中，，
∴，
∴，
∴，
又∵，
∴；
②和中，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
又∵A、H分別為和中點，
∴為的中位線，
∴，
∴，即為中點，
又∵，
∴為中點，
∴.
【點睛】此題考查了全等三角形的判定和性質、相似三角形的判定和性質、線段垂直平分線的判定和性質、三角形中位線的定義和性質，熟練掌握相應的判定和性質是解答此題的關鍵.
考點3.位似
【例題3】（2023湖北鄂州） 如圖，在平面直角坐標系中，與位似，原點O是位似中心，且．若，則點的坐標是___________．
【答案】
【解析】直接利用位似圖形的性質得出相似比進而得出對應線段的長．
設
∵與位似，原點是位似中心，且．若，
∴位似比為，
∴，
解得，，
∴
故答案為：
【點睛】此題主要考查了位似變換，正確得出相似比是解題關鍵．
【變式訓練】（2023黑龍江綏化） 如圖，在平面直角坐標系中，與的相似比為，點是位似中心，已知點，點，．則點的坐標為_______．（結果用含，的式子表示）
【答案】
【解析】過點分別作軸的垂線垂足分別為，根據題意得出，則，得出，即可求解．
【詳解】如圖所示，過點分別作軸的垂線垂足分別為，
∵與的相似比為，點是位似中心，
∴
∵，
∴,
∴，
∴
∴
故答案為：．
【點睛】本題考查了求位似圖形的坐標，熟練掌握位似圖形的性質是解題的關鍵．
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