資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2024年數學中考一輪單元復習考點講析與達標檢測（人教版通用）
第一部分 29個單元的基礎知識與例題解析
專題28 銳角三角函數單元考點講析
(
課標要求
)
（1）利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數(sinA, cos A, tan A),知道30°, 45°, 60°角的三角函數值。
（2）會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，由已知三角函數 值求它的對應銳角。
（3）能用銳角三角函數解直角三角形，能用相關知識解決一些簡單的實際問題。
(
知識
點梳理
)
知識點1. 銳角三角函數
1．三角函數定義
在Rt△ABC中，若∠C=90°
2.同角三角函數的關系
（1）平方關系：
（2）商數關系：
（3）倒數關系：
3.互為余角的三角函數關系
，
，
或者：若∠A+∠B=90°，則
sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB
特殊角的三角函數值
α sinα Cosα tanα cotα
0° 0 1 0 不存在
30°
45° 1 1
60°
90° 1 0 不存在 0
5.銳角三角函數的增減性(0°--90°)
（1）銳角的正弦值（或正切值）隨著角度的增大而增大，隨著角度的減小而減小。
（2）銳角的余弦值（或余切值）隨著角度的增大而減小，隨著角度的減小而增大。
6.銳角三角函數的取值范圍
0≤sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.
知識點2. 解直角三角形
1.求邊角問題
（1）解直角三角形的的定義：已知邊和角(其中必有一條邊)，求所有未知的邊和角.
（2）解直角三角形的依據：
角的關系：兩個銳角互余；
邊的關系：勾股定理；
邊角關系：銳角三角函數；
（3）解直角三角形的常見類型及一般解法
Rt△ABC中的已知條件 一般解法
兩邊 兩直角邊a，b (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一直角邊a，斜邊c (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一邊一銳角 一直角邊a，銳角A (1)∠B=90 ∠A； (2)； (3).
斜邊c，銳角A (1)∠B=90 ∠A； (2)a=c·sin A； (3)b=c·cos A.
2.求面積問題
（1）==
（2）Rt△面積公式：
（3）直角三角形外接圓的半徑，內切圓半徑
結論：直角三角形斜邊上的高
3.求三角函數值的方法總結：
求三角函數值方法較多，解法靈活，在具體的解題中要根據已知條件采取靈活的計算方法，常用的方法主要有：
（1）根據特殊角的三角函數值求值；
（2）直接運用三角函數的定義求值；
（3）借助邊的數量關系求值；
（4）借助等角求值；
（5）根據三角函數關系求值；
(6)構造直角三角形求值；
（7）利用計算器求值。
注意：考查已知三角形中的邊與角求其他的邊與角.解決這類問題一般是結合方程思想與勾股定理，利用銳角三角函數進行求解.
4.解直角三角形需要注意的問題
1.正確理解銳三角函數的概念，能準確表達各三角函數，并能說出常用特殊角的三角函數值。
2.在完成銳角三角函數的填空、選擇題時，要能根據題意畫出相關圖形，結合圖形解題更具直觀性。
3.能將實際問題轉化為相關的直角三角形問題，即把實際問題抽象為幾何問題，研究圖形，利用數形結合思想、方程思想等解決生活問題。
4.注重基礎，不斷創新，掌握解直角三角形的基本技能，能靈活應對在測量、航海、定位等現代生活中常見問題，這也是以后中考命題的趨勢。
5.解決實際問題的關鍵在于建立數學模型，要善于把實際問題的數量關系轉化為解直角三角形的問題．在解直角三角形的過程中，常會遇到近似計算，應根據題目要求的精確度定答案．
知識點3. 實際問題中術語的含義
(1)仰角與俯角
在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，在水平線下方的角叫做俯角。
(2)坡度：如圖，我們通常把坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即.
（3）坡角：坡面與水平面的夾角；
（4）坡度與坡角（用表示）的關系：i=tan.坡角越大，坡度越大，坡面越陡。
（5）方位角：指南或指北的方向線與目標方向線所成的小于90°角的為方位角．
知識點4. 利用三角函數測高
(1) 測量底部可以到達的物體的高度步驟：
①在測點A安置測傾器，測得M的仰角∠MCE=α；
②量出測點A到物體底部N的水平距離AN=l；
③量出測傾器的高度AC=a，可求出 MN=ME+EN=l·tanα+a.
(2) 測量東方明珠的高度的步驟是怎么樣的呢？
①在測點A處安置測傾器，測得此時M的仰角∠MCE=α；
②在測點A與物體之間的B處安置測傾器，測得此時M的仰角∠MDE=β；
③量出測傾器的高度AC=BD=a，及測點A，B之間的距離 AB=b.根據測量數據，可求出物體MN的高度. (
方法總結
)
一、解直角三角形問題的依據與類型
（1）解直角三角形的的定義：已知邊和角(其中必有一條邊)，求所有未知的邊和角.
（2）解直角三角形的依據：
角的關系：兩個銳角互余；
邊的關系：勾股定理；
邊角關系：銳角三角函數；
（3）解直角三角形的常見類型及一般解法
Rt△ABC中的已知條件 一般解法
兩邊 兩直角邊a，b (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一直角邊a，斜邊c (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一邊一銳角 一直角邊a，銳角A (1)∠B=90 ∠A； (2)； (3).
斜邊c，銳角A (1)∠B=90 ∠A； (2)a=c·sin A； (3)b=c·cos A.
二、解直角三角形需要注意的問題
1.正確理解銳三角函數的概念，能準確表達各三角函數，并能說出常用特殊角的三角函數值。
2.在完成銳角三角函數的填空、選擇題時，要能根據題意畫出相關圖形，結合圖形解題更具直觀性。
3.能將實際問題轉化為相關的直角三角形問題，即把實際問題抽象為幾何問題，研究圖形，利用數形結合思想、方程思想等解決生活問題。
4.注重基礎，不斷創新，掌握解直角三角形的基本技能，能靈活應對在測量、航海、定位等現代生活中常見問題，這也是以后中考命題的趨勢。
5.解決實際問題的關鍵在于建立數學模型，要善于把實際問題的數量關系轉化為解直角三角形的問題．在解直角三角形的過程中，常會遇到近似計算，應根據題目要求的精確度定答案．
三、求三角函數值的方法總結：
求三角函數值方法較多，解法靈活，在具體的解題中要根據已知條件采取靈活的計算方法，常用的方法主要有：(1)根據特殊角的三角函數值求值；(2)直接運用三角函數的定義求值；(3)借助邊的數量關系求值；(4)借助等角求值；(5)根據三角函數關系求值；(6)構造直角三角形求值．
注意：考查已知三角形中的邊與角求其他的邊與角.解決這類問題一般是結合方程思想與勾股定理，利用銳角三角函數進行求解. (
例題解析
)
考點1. 求三角函數的值
【例題1】（2023深圳）計算：．
【答案】
【解析】根據零次冪及特殊三角函數值可進行求解．
原式
．
【點睛】本題主要考查零次冪及特殊三角函數值，熟練掌握各個運算是解題的關鍵．
【變式訓練】（2023湖南常德）計算：
【答案】0
【解析】首先計算負整數指數冪，特殊角的三角函數，零指數冪和絕對值，然后計算加減．
原式
．
【點睛】此題考查了負整數指數冪，特殊角的三角函數，零指數冪和絕對值，解題的關鍵是熟練掌握以上運算法則．
考點2.特殊角的三角函數值
【例題2】（2023深圳）爬坡時坡角與水平面夾角為，則每爬1m耗能，若某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能（參考數據：，）（ ）
A. 58J B. 159J C. 1025J D. 1732J
【答案】B
【解析】根據特殊角三角函數值計算求解．
故選：B．
【點睛】本題考查特殊角三角函數值，掌握特殊角三角函數值是解題的關鍵．
考點3. 解直角三角形
【例題3】 （2023湖南郴州） 在 Rt △ABC中, ∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中點，則 _______．
【答案】5
【解析】先根據題意畫出圖形，再運用勾股定理求得AB，然后再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答即可．
如圖：∵∠ACB=90°，AC=6，BC=8
∴
∵∠ACB=90°，D為AB的中點，
∴CD=AB=×10=5．
故答案為5．
【點睛】本題主要考查了運用勾股定理解直角三角形、直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半的性質等知識點，掌握“直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”成為解題的關鍵．
考點4. 三角函數的應用
【例題4】 （2023福建）閱讀下列材料，回答問題
任務：測量一個扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度遠大于南北走向的最大寬度，如圖1． 工具：一把皮尺（測量長度略小于）和一臺測角儀，如圖2．皮尺的功能是直接測量任意可到達的兩點間的距離（這兩點間的距離不大于皮尺的測量長度）； 測角儀的功能是測量角的大小，即在任一點處，對其視線可及的，兩點，可測得的大小，如圖3． 小明利用皮尺測量，求出了小水池的最大寬度，其測量及求解過程如下：測量過程： （ⅰ）在小水池外選點，如圖4，測得，； （ⅱ）分別在，，上測得，；測得．求解過程： 由測量知，， ，，， ∴，又∵①___________， ∴，∴． 又∵，∴②___________． 故小水池的最大寬度為___________．
（1）補全小明求解過程中①②所缺的內容；
（2）小明求得用到的幾何知識是___________；
（3）小明僅利用皮尺，通過5次測量，求得．請你同時利用皮尺和測角儀，通過測量長度、角度等幾何量，并利用解直角三角形的知識求小水池的最大寬度，寫出你的測量及求解過程．要求：測量得到的長度用字母，，表示，角度用，，表示；測量次數不超過4次（測量的幾何量能求出，且測量的次數最少，才能得滿分）．
【答案】（1）①；②
（2）相似三角形的判定與性質
（3）最大寬度為，見解析
【解析】【分析】（1）根據相似三角形的判定和性質求解即可；
（2）根據相似三角形的判定和性質進行回答即可；
（3）測量過程：在小水池外選點，用測角儀在點處測得，在點處測得；用皮尺測得；
求解過程：過點作，垂足為，根據銳角三角函數的定義推得，，，根據，即可求得．
【詳解】（1）∵， ，，，
∴，
又∵，
∴，
∴．
又∵，
∴．
故小水池的最大寬度為．
（2）根據相似三角形的判定和性質求得，
故答案為：相似三角形的判定與性質．
（3）測量過程：
（ⅰ）在小水池外選點，如圖，用測角儀在點處測得，在點處測得；
（ⅱ）用皮尺測得．
求解過程：
由測量知，在中，，，．
過點作，垂足為．
在中，，
即，所以．
同理，．
在中，，
即，所以．
所以．
故小水池的最大寬度為．
【點睛】本題考查了相似三角形的判定與性質，解直角三角形的實際應用，根據題意畫出幾何圖形，建立數學模型是解題的關鍵．
【變式訓練1】（2023湖南常德）今年“五一”長假期間，小陳、小余同學和家長去沙灘公園游玩，坐在如圖的椅子上休息時，小陳感覺很舒服，激發了她對這把椅子的好奇心，就想出個問題考考同學小余，小陳同學先測量，根據測量結果畫出了圖1的示意圖（圖2）．在圖2中，已知四邊形是平行四邊形，座板與地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．這時她問小余同學，你能算出靠背頂端點距地面（）的高度是多少嗎？請你幫小余同學算出結果（最后結果保留一位小數）．（參考數據：，，）
【答案】
【解析】【分析】方法一：過點作交的延長線于點，由平行四邊形的性質可得，進而求得，過點作于點，根據平行線的性質可得，進而求得，過作于點，根據等腰三角形三線合一可得，進而求得，利用求解即可；
方法二：過點作交的延長線于點，過點作于點，延長交于點，根據等腰三角形三線合一可得，進而求得，，過作于，根據平行線的性質可得，進而求得，根據求解即可．
【詳解】方法一：
過點作交的延長線于點，
四邊形是平行四邊形，，
，
，
過點作于點，
由題意知，，
，
又，
，
過作于點，
，，
,
，
靠背頂端點距地面高度為
；
方法二：
如圖，過點作交的延長線于點，過點作于點，延長交于點，
，，
，
又，
，
，
，
過作于，
由題意知，，
，
又，
，
靠背頂端點距地面高度為．
【點睛】本題主要考查了解直角三角形，等腰三角形的性質，平行四邊形的性質，正確作出輔助線，構造直角三角形是解題的關鍵．
【變式訓練2】（2023湖南郴州） 某次軍事演習中，一艘船以的速度向正東航行，在出發地測得小島在它的北偏東方向，小時后到達處，測得小島在它的北偏西方向，求該船在航行過程中與小島的最近距離（參考數據：，．結果精確到）．
【答案】該船在航行過程中與小島的最近距離．
【解析】【分析】過點作，垂足為，先在中，利用三角函數求出與的關系，然后在中，利用銳角三角函數的定義求出與的關系，從而利用線段的和差關系進行計算，即可解答；
【詳解】過點作，垂足為，
解∶∵，，，，，
∴，，，
在中，，即，
∴，
在中，，即，
∴，
∴，
∴（），
∴該船在航行過程中與小島的最近距離．
【點睛】考查了與方位角有關的解直角三角形，作出相應輔助線構造直角三角形是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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2024年數學中考一輪單元復習考點講析與達標檢測（人教版通用）
第一部分 29個單元的基礎知識與例題解析
專題28 銳角三角函數單元考點講析
(
課標要求
)
（1）利用相似的直角三角形，探索并認識銳角三角函數(sinA, cos A, tan A),知道30°, 45°, 60°角的三角函數值。
（2）會使用計算器由已知銳角求它的三角函數值，由已知三角函數 值求它的對應銳角。
（3）能用銳角三角函數解直角三角形，能用相關知識解決一些簡單的實際問題。
(
知識
點梳理
)
知識點1. 銳角三角函數
1．三角函數定義
在Rt△ABC中，若∠C=90°
2.同角三角函數的關系
（1）平方關系：
（2）商數關系：
（3）倒數關系：
3.互為余角的三角函數關系
，
，
或者：若∠A+∠B=90°，則
sinA=cosB，cosA=sinB，tanA=cotB，cotA=tanB
特殊角的三角函數值
α sinα Cosα tanα cotα
0° 0 1 0 不存在
30°
45° 1 1
60°
90° 1 0 不存在 0
5.銳角三角函數的增減性(0°--90°)
（1）銳角的正弦值（或正切值）隨著角度的增大而增大，隨著角度的減小而減小。
（2）銳角的余弦值（或余切值）隨著角度的增大而減小，隨著角度的減小而增大。
6.銳角三角函數的取值范圍
0≤sinα≤1，0≤cosα≤1，tanα≥0，cotα≥0.
知識點2. 解直角三角形
1.求邊角問題
（1）解直角三角形的的定義：已知邊和角(其中必有一條邊)，求所有未知的邊和角.
（2）解直角三角形的依據：
角的關系：兩個銳角互余；
邊的關系：勾股定理；
邊角關系：銳角三角函數；
（3）解直角三角形的常見類型及一般解法
Rt△ABC中的已知條件 一般解法
兩邊 兩直角邊a，b (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一直角邊a，斜邊c (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一邊一銳角 一直角邊a，銳角A (1)∠B=90 ∠A； (2)； (3).
斜邊c，銳角A (1)∠B=90 ∠A； (2)a=c·sin A； (3)b=c·cos A.
2.求面積問題
（1）==
（2）Rt△面積公式：
（3）直角三角形外接圓的半徑，內切圓半徑
結論：直角三角形斜邊上的高
3.求三角函數值的方法總結：
求三角函數值方法較多，解法靈活，在具體的解題中要根據已知條件采取靈活的計算方法，常用的方法主要有：
（1）根據特殊角的三角函數值求值；
（2）直接運用三角函數的定義求值；
（3）借助邊的數量關系求值；
（4）借助等角求值；
（5）根據三角函數關系求值；
(6)構造直角三角形求值；
（7）利用計算器求值。
注意：考查已知三角形中的邊與角求其他的邊與角.解決這類問題一般是結合方程思想與勾股定理，利用銳角三角函數進行求解.
4.解直角三角形需要注意的問題
1.正確理解銳三角函數的概念，能準確表達各三角函數，并能說出常用特殊角的三角函數值。
2.在完成銳角三角函數的填空、選擇題時，要能根據題意畫出相關圖形，結合圖形解題更具直觀性。
3.能將實際問題轉化為相關的直角三角形問題，即把實際問題抽象為幾何問題，研究圖形，利用數形結合思想、方程思想等解決生活問題。
4.注重基礎，不斷創新，掌握解直角三角形的基本技能，能靈活應對在測量、航海、定位等現代生活中常見問題，這也是以后中考命題的趨勢。
5.解決實際問題的關鍵在于建立數學模型，要善于把實際問題的數量關系轉化為解直角三角形的問題．在解直角三角形的過程中，常會遇到近似計算，應根據題目要求的精確度定答案．
知識點3. 實際問題中術語的含義
(1)仰角與俯角
在視線與水平線所成的角中，視線在水平線上方的角叫做仰角，在水平線下方的角叫做俯角。
(2)坡度：如圖，我們通常把坡面的鉛直高度和水平寬度的比叫做坡度（或坡比），用字母i表示，即.
（3）坡角：坡面與水平面的夾角；
（4）坡度與坡角（用表示）的關系：i=tan.坡角越大，坡度越大，坡面越陡。
（5）方位角：指南或指北的方向線與目標方向線所成的小于90°角的為方位角．
知識點4. 利用三角函數測高
(1) 測量底部可以到達的物體的高度步驟：
①在測點A安置測傾器，測得M的仰角∠MCE=α；
②量出測點A到物體底部N的水平距離AN=l；
③量出測傾器的高度AC=a，可求出 MN=ME+EN=l·tanα+a.
(2) 測量東方明珠的高度的步驟是怎么樣的呢？
①在測點A處安置測傾器，測得此時M的仰角∠MCE=α；
②在測點A與物體之間的B處安置測傾器，測得此時M的仰角∠MDE=β；
③量出測傾器的高度AC=BD=a，及測點A，B之間的距離 AB=b.根據測量數據，可求出物體MN的高度. (
方法總結
)
一、解直角三角形問題的依據與類型
（1）解直角三角形的的定義：已知邊和角(其中必有一條邊)，求所有未知的邊和角.
（2）解直角三角形的依據：
角的關系：兩個銳角互余；
邊的關系：勾股定理；
邊角關系：銳角三角函數；
（3）解直角三角形的常見類型及一般解法
Rt△ABC中的已知條件 一般解法
兩邊 兩直角邊a，b (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一直角邊a，斜邊c (1)； (2)由求出∠A； (3)∠B=90 ∠A.
一邊一銳角 一直角邊a，銳角A (1)∠B=90 ∠A； (2)； (3).
斜邊c，銳角A (1)∠B=90 ∠A； (2)a=c·sin A； (3)b=c·cos A.
二、解直角三角形需要注意的問題
1.正確理解銳三角函數的概念，能準確表達各三角函數，并能說出常用特殊角的三角函數值。
2.在完成銳角三角函數的填空、選擇題時，要能根據題意畫出相關圖形，結合圖形解題更具直觀性。
3.能將實際問題轉化為相關的直角三角形問題，即把實際問題抽象為幾何問題，研究圖形，利用數形結合思想、方程思想等解決生活問題。
4.注重基礎，不斷創新，掌握解直角三角形的基本技能，能靈活應對在測量、航海、定位等現代生活中常見問題，這也是以后中考命題的趨勢。
5.解決實際問題的關鍵在于建立數學模型，要善于把實際問題的數量關系轉化為解直角三角形的問題．在解直角三角形的過程中，常會遇到近似計算，應根據題目要求的精確度定答案．
三、求三角函數值的方法總結：
求三角函數值方法較多，解法靈活，在具體的解題中要根據已知條件采取靈活的計算方法，常用的方法主要有：(1)根據特殊角的三角函數值求值；(2)直接運用三角函數的定義求值；(3)借助邊的數量關系求值；(4)借助等角求值；(5)根據三角函數關系求值；(6)構造直角三角形求值．
注意：考查已知三角形中的邊與角求其他的邊與角.解決這類問題一般是結合方程思想與勾股定理，利用銳角三角函數進行求解. (
例題解析
)
考點1. 求三角函數的值
【例題1】（2023深圳）計算：．
【變式訓練】（2023湖南常德）計算：
考點2.特殊角的三角函數值
【例題2】（2023深圳）爬坡時坡角與水平面夾角為，則每爬1m耗能，若某人爬了1000m，該坡角為30°，則他耗能（參考數據：，）（ ）
A. 58J B. 159J C. 1025J D. 1732J
考點3. 解直角三角形
【例題3】 （2023湖南郴州） 在 Rt △ABC中, ∠ACB=90°，AC=6，BC=8，D是AB的中點，則 _______．
考點4. 三角函數的應用
【例題4】 （2023福建）閱讀下列材料，回答問題
任務：測量一個扁平狀的小水池的最大寬度，該水池東西走向的最大寬度遠大于南北走向的最大寬度，如圖1． 工具：一把皮尺（測量長度略小于）和一臺測角儀，如圖2．皮尺的功能是直接測量任意可到達的兩點間的距離（這兩點間的距離不大于皮尺的測量長度）； 測角儀的功能是測量角的大小，即在任一點處，對其視線可及的，兩點，可測得的大小，如圖3． 小明利用皮尺測量，求出了小水池的最大寬度，其測量及求解過程如下：測量過程： （ⅰ）在小水池外選點，如圖4，測得，； （ⅱ）分別在，，上測得，；測得．求解過程： 由測量知，， ，，， ∴，又∵①___________， ∴，∴． 又∵，∴②___________． 故小水池的最大寬度為___________．
（1）補全小明求解過程中①②所缺的內容；
（2）小明求得用到的幾何知識是___________；
（3）小明僅利用皮尺，通過5次測量，求得．請你同時利用皮尺和測角儀，通過測量長度、角度等幾何量，并利用解直角三角形的知識求小水池的最大寬度，寫出你的測量及求解過程．要求：測量得到的長度用字母，，表示，角度用，，表示；測量次數不超過4次（測量的幾何量能求出，且測量的次數最少，才能得滿分）．
【變式訓練1】（2023湖南常德）今年“五一”長假期間，小陳、小余同學和家長去沙灘公園游玩，坐在如圖的椅子上休息時，小陳感覺很舒服，激發了她對這把椅子的好奇心，就想出個問題考考同學小余，小陳同學先測量，根據測量結果畫出了圖1的示意圖（圖2）．在圖2中，已知四邊形是平行四邊形，座板與地面平行，是等腰三角形且，，靠背，支架，扶手的一部分．這時她問小余同學，你能算出靠背頂端點距地面（）的高度是多少嗎？請你幫小余同學算出結果（最后結果保留一位小數）．（參考數據：，，）
【變式訓練2】（2023湖南郴州） 某次軍事演習中，一艘船以的速度向正東航行，在出發地測得小島在它的北偏東方向，小時后到達處，測得小島在它的北偏西方向，求該船在航行過程中與小島的最近距離（參考數據：，．結果精確到）．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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