資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2024年數(shù)學中考一輪單元復習考點講析與達標檢測（人教版通用）
第一部分 29個單元的基礎知識與例題解析
專題29 投影與視圖單元考點講析
(
課標要求
)
（1）通過豐富的實例，了解中心投影和平行投影的概念。
（2）會畫直棱柱、圓柱、圓錐、球的主視圖、左視圖、俯視圖，能判斷簡單物體的視圖，并會根據(jù)視圖描述簡單的幾何體。
（3）了解直棱柱、圓錐的側面展開圖，能根據(jù)展開圖想象和制作模型。
（4）通過實例，了解上述視圖與展開圖在現(xiàn)實生活中的應用。
(
知識
點梳理
)
知識點1. 投影、平行投影、中心投影、正投影問題
(1) 投影：用光線照射物體，在某個平面上得到的影子叫做物體的投影。
(2) 平行投影：太陽光線可以看成平行光線，像這樣的光線所形成的投影，稱為平行投影.即由平行光線形成的投影是平行投影。
(3) 中心投影：手電筒、路燈和臺燈的光線可以看成是從一點發(fā)出的，像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影.即由同一點發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影。
(4) 平行投影與中心投影的區(qū)別與聯(lián)系：
（5）正投影
1) 概念：投影線垂直于投影面產生的投影叫做正投影．
2) 性質：當物體的某個面平行于投影面時，這個面的正投影與這個面的形狀、大小完全相同．
知識點2. 三視圖問題
一、三視圖的概念
將三個投影面展開在一個平面內，得到這個物體的一張三視圖.
1.視圖：從某一方向觀察一個物體時，所看到的平面圖形叫做物體的一個視圖。視圖可以看作物體在某一方向光線下的正投影。
2.主視圖、俯視圖、左視圖
（1）主視圖：對一個物體在三個投影面內同時進行正投影，在正面內得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖；
（2）俯視圖：在水平面內得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；
（3）左視圖：在側面內得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖。
注意：主視圖與俯視圖的長對正；主視圖與左視圖的高平齊；左視圖與俯視圖的寬相等。
二、三視圖的畫法
①確定主視圖的位置，畫出主視圖；
②在主視圖正下方畫出俯視圖，注意與主視圖長對正；
③在主視圖正右方畫出左視圖，注意與主視圖高平齊，與俯視圖寬相等；
④為表示圓柱、圓錐等的對稱軸，規(guī)定在視圖中加畫點劃線表示對稱軸.
注意：不可見的輪廓線，用虛線畫出.
三、常見幾何體的三視圖
四、由三視圖確定幾何體
由三視圖想象立體圖形時，先分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象立體圖形的前面、主面和左側面的局部形狀，然后再綜合起來考慮整體圖形．
知識點3. 視圖知識的應用問題
1.通過三視圖制作立體模型的實踐活動，體驗平面圖形向立體圖形轉化的過程，體會三視圖表示立體圖形的作用，進一步感受立體圖形與平面圖形之間的聯(lián)系。
2.由三視圖判斷幾何體形狀主要考查了學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查．如果掌握口訣“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就更容易得到答案．
知識點4. 幾何體展開圖問題
1．常見幾何體的展開圖
幾何體 立體圖形 表面展開圖 側面展開圖
圓柱
圓錐
三棱柱
2．正方體的展開圖
正方體有11種展開圖，分為四類：
第一類，中間四連方，兩側各有一個，共6種，如下圖：
第二類，中間三連方，兩側各有一、二個，共3種，如下圖：
第三類，中間二連方，兩側各有二個，只有1種，如圖10；
第四類，兩排各有三個，也只有1種，如圖11．
(
方法總結
)
由三視圖確定幾何體的面積和體積方法
①先根據(jù)給出的三視圖確定立體圖形，并確定立體圖形的長、寬、高、底面半徑等；
②根據(jù)已知數(shù)據(jù)，求出立體圖形的體積（或將立體圖形展開成一個平面圖形，求出展開圖的面積）.
(
例題解析
)
考點1. 投影問題
【例題1】小明和小華利用陽光下的影子來測量一建筑物頂部旗桿的高．如圖所示，在某一時刻，他們在陽光下，分別測得該建筑物OB的影長OC為16米，OA的影長OD為20米，小明的影長FG為2.4米，其中O、C、D、F、G五點在同一直線上，A、B、O三點在同一直線上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF為1.8米，求旗桿的高AB．
【變式訓練】木棒長為1.2m，則它的正投影的長一定 ( )
A. 大于1.2m B. 小于1.2m
C. 等于1.2m D. 小于或等于1.2m
考點2. 三視圖問題
【例題2】（2023山東聊城） 如圖所示幾何體的主視圖是（ ）
A. B. C. D.
【變式訓練1】（2023福建）下圖是由一個長方體和一個圓柱組成的幾何體，它的俯視圖是（　　）
A. B.
C. D.
【變式訓練2】（2023湖南永州）下列幾何體中，其三視圖的主視圖和左視圖都為三角形的是（ ）
A. B. C. D.
考點3. 幾何體的表面積和體積問題
【例題3】（2023山東濟寧）一個幾何體的三視圖如下，則這個幾何體的表面積是（ ）
A. B. C. D.
【變式訓練】（2023江蘇揚州）下列圖形中是棱錐的側面展開圖的是（ ）
A. B. C. D.
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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2024年數(shù)學中考一輪單元復習考點講析與達標檢測（人教版通用）
第一部分 29個單元的基礎知識與例題解析
專題29 投影與視圖單元考點講析
(
課標要求
)
（1）通過豐富的實例，了解中心投影和平行投影的概念。
（2）會畫直棱柱、圓柱、圓錐、球的主視圖、左視圖、俯視圖，能判斷簡單物體的視圖，并會根據(jù)視圖描述簡單的幾何體。
（3）了解直棱柱、圓錐的側面展開圖，能根據(jù)展開圖想象和制作模型。
（4）通過實例，了解上述視圖與展開圖在現(xiàn)實生活中的應用。
(
知識
點梳理
)
知識點1. 投影、平行投影、中心投影、正投影問題
(1) 投影：用光線照射物體，在某個平面上得到的影子叫做物體的投影。
(2) 平行投影：太陽光線可以看成平行光線，像這樣的光線所形成的投影，稱為平行投影.即由平行光線形成的投影是平行投影。
(3) 中心投影：手電筒、路燈和臺燈的光線可以看成是從一點發(fā)出的，像這樣的光線所形成的投影稱為中心投影.即由同一點發(fā)出的光線形成的投影叫做中心投影。
(4) 平行投影與中心投影的區(qū)別與聯(lián)系：
（5）正投影
1) 概念：投影線垂直于投影面產生的投影叫做正投影．
2) 性質：當物體的某個面平行于投影面時，這個面的正投影與這個面的形狀、大小完全相同．
知識點2. 三視圖問題
一、三視圖的概念
將三個投影面展開在一個平面內，得到這個物體的一張三視圖.
1.視圖：從某一方向觀察一個物體時，所看到的平面圖形叫做物體的一個視圖。視圖可以看作物體在某一方向光線下的正投影。
2.主視圖、俯視圖、左視圖
（1）主視圖：對一個物體在三個投影面內同時進行正投影，在正面內得到的由前向后觀察物體的視圖，叫做主視圖；
（2）俯視圖：在水平面內得到的由上向下觀察物體的視圖，叫做俯視圖；
（3）左視圖：在側面內得到的由左向右觀察物體的視圖，叫做左視圖。
注意：主視圖與俯視圖的長對正；主視圖與左視圖的高平齊；左視圖與俯視圖的寬相等。
二、三視圖的畫法
①確定主視圖的位置，畫出主視圖；
②在主視圖正下方畫出俯視圖，注意與主視圖長對正；
③在主視圖正右方畫出左視圖，注意與主視圖高平齊，與俯視圖寬相等；
④為表示圓柱、圓錐等的對稱軸，規(guī)定在視圖中加畫點劃線表示對稱軸.
注意：不可見的輪廓線，用虛線畫出.
三、常見幾何體的三視圖
四、由三視圖確定幾何體
由三視圖想象立體圖形時，先分別根據(jù)主視圖、俯視圖和左視圖想象立體圖形的前面、主面和左側面的局部形狀，然后再綜合起來考慮整體圖形．
知識點3. 視圖知識的應用問題
1.通過三視圖制作立體模型的實踐活動，體驗平面圖形向立體圖形轉化的過程，體會三視圖表示立體圖形的作用，進一步感受立體圖形與平面圖形之間的聯(lián)系。
2.由三視圖判斷幾何體形狀主要考查了學生對三視圖掌握程度和靈活運用能力，同時也體現(xiàn)了對空間想象能力方面的考查．如果掌握口訣“俯視圖打地基，正視圖瘋狂蓋，左視圖拆違章”就更容易得到答案．
知識點4. 幾何體展開圖問題
1．常見幾何體的展開圖
幾何體 立體圖形 表面展開圖 側面展開圖
圓柱
圓錐
三棱柱
2．正方體的展開圖
正方體有11種展開圖，分為四類：
第一類，中間四連方，兩側各有一個，共6種，如下圖：
第二類，中間三連方，兩側各有一、二個，共3種，如下圖：
第三類，中間二連方，兩側各有二個，只有1種，如圖10；
第四類，兩排各有三個，也只有1種，如圖11．
(
方法總結
)
由三視圖確定幾何體的面積和體積方法
①先根據(jù)給出的三視圖確定立體圖形，并確定立體圖形的長、寬、高、底面半徑等；
②根據(jù)已知數(shù)據(jù)，求出立體圖形的體積（或將立體圖形展開成一個平面圖形，求出展開圖的面積）.
(
例題解析
)
考點1. 投影問題
【例題1】小明和小華利用陽光下的影子來測量一建筑物頂部旗桿的高．如圖所示，在某一時刻，他們在陽光下，分別測得該建筑物OB的影長OC為16米，OA的影長OD為20米，小明的影長FG為2.4米，其中O、C、D、F、G五點在同一直線上，A、B、O三點在同一直線上，且AO⊥OD，EF⊥FG．已知小明的身高EF為1.8米，求旗桿的高AB．
【答案】旗桿的高AB為3米．
【解析】證明△AOD∽△EFG，利用相似比計算出AO的長，再證明△BOC∽△AOD，然后利用相似比計算OB的長，進一步計算即可求解．
∵AD∥EG，
∴∠ADO=∠EGF．
又∵∠AOD=∠EFG=90°，
∴△AOD∽△EFG．
∴．
∴．
同理，△BOC∽△AOD．
∴．
∴．
∴AB=OA OB=3（米）．
∴旗桿的高AB為3米．
【點睛】本題考查了平行投影：由平行光線形成的投影是平行投影，如物體在太陽光的照射下形成的影子就是平行投影．平行投影中物體與投影面平行時的投影是全等的．
【變式訓練】木棒長為1.2m，則它的正投影的長一定 ( )
A. 大于1.2m B. 小于1.2m
C. 等于1.2m D. 小于或等于1.2m
【答案】D
【解析】投影線垂直于投影面的投影叫做正投影．
木棒與投影面平行時，正投影長等于棒長；
木棒與投影面有小于90度夾角時，正投影長小于棒長；
木棒與投影面垂直時，正投影長為0。
所以木棒長為1.2m，則它的正投影的長一定小于或等于1.2m。
考點2. 三視圖問題
【例題2】（2023山東聊城） 如圖所示幾何體的主視圖是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】從正面看到的平面圖形是主視圖，根據(jù)主視圖的含義可得答案．
如圖所示的幾何體的主視圖如下：
故選：D．
【點睛】此題主要考查了三視圖；用到的知識點為：主視圖，左視圖，俯視圖分別是從物體的正面，左面，上面看得到的圖形．
【變式訓練1】（2023福建）下圖是由一個長方體和一個圓柱組成的幾何體，它的俯視圖是（　　）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】根據(jù)從上面看得到的圖形是俯視圖即可解答．
從上面看下邊是一個矩形，矩形的上邊是一個圓，
故選：D．
【點睛】本題考查了簡單組合體的三視圖，掌握從上面看得到的圖形是俯視圖是解答本題的關鍵．
【變式訓練2】（2023湖南永州）下列幾何體中，其三視圖的主視圖和左視圖都為三角形的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】根據(jù)三視圖的意義判斷即可．
A. 主視圖和左視圖都為長方形，不符合題意；
B. 主視圖和左視圖都為長方形，不符合題意；
C. 主視圖和左視圖都為長方形，不符合題意；
D. 主視圖和左視圖都為三角形，符合題意，
故選D．
【點睛】本題考查了幾何體的三視圖，熟練掌握三視圖的意義是解題的關鍵．
考點3. 幾何體的表面積和體積問題
【例題3】（2023山東濟寧）一個幾何體的三視圖如下，則這個幾何體的表面積是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】先根據(jù)三視圖還原出幾何體，再利用圓錐的側面積公式和圓柱的側面積公式計算即可．
根據(jù)三視圖可知，該幾何體上面是底面直徑為6，母線為4的圓錐，下面是底面直徑為6，高為4的圓柱，該幾何體的表面積為：
．
故選B．
【點睛】本題主要考查了簡單幾何體的三視圖以及圓錐的側面積公式和圓柱的側面積公式，根據(jù)三視圖還原出幾何體是解決問題的關鍵．
【變式訓練】（2023江蘇揚州）下列圖形中是棱錐的側面展開圖的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】由棱錐的側面展開圖的特征可知答案．
棱錐的側面是三角形．
故選：D．
【點睛】考查幾何體的展開圖，熟記常見立體圖形的側面展開圖和側面的特征是解決此類問題的關鍵。
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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