資源簡介

中小學教育資源及組卷應(yīng)用平臺
2024年數(shù)學中考一輪單元復(fù)習考點講析與達標檢測（人教版通用）
第一部分 29個單元的基礎(chǔ)知識與例題解析
專題05 相交線與平行線單元考點講析
(
課標要求
)
一、相交線與平行線
（1）理解對頂角、余角、補角等概念，探索并掌握對頂角相等、同 角（或等角）的余角相等、同角（或等角）的補角相等的性質(zhì)。
（2）理解垂線、垂線段等概念，能用三角板或量角器過一點畫已知 直線的垂線。
（3）能用尺規(guī)作圖：作一條線段的垂直平分線；過一點作已知直線 的垂線。
（4）掌握基本事實：同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知 直線垂直。
（5）理解點到直線的距離的意義，能度量點到直線的距離。
（6）識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角。
（7）理解平行線的概念。
（8）掌握平行線基本事實1:過直線外一點有且只有一條直線與這 條直線平行。
（9）掌握平行線基本事實2：兩條直線被第三條直線所截，如果同 位角相等，那么這兩條直線平行。
（10）探索并證明平行線的判定定理：兩條直線被第三條直線所截, 如果內(nèi)錯角相等（或同旁內(nèi)角互補），那么這兩條直線平行。
（11）掌握平行線的性質(zhì)定理1：兩條平行直線被第三條直線所截, 同位角相等。* 了解定理的證明。
（12）探索并證明平行線的性質(zhì)定理2：兩條平行直線被第三條直線 所截，內(nèi)錯角相等（或同旁內(nèi)角互補）。
（13）能用三角板和直尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線。
注意：在尺規(guī)作圖中，學生應(yīng)了解作圖的原理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法。
（14）能用尺規(guī)作圖：過直線外一點作這條直線的平行線。
（15）了解平行于同一條直線的兩條直線平行。
（16）通過具體實例認識平移，探索它的基本性質(zhì)：一個圖形和它經(jīng) 過平移所得的圖形中，兩組對應(yīng)點的連線平行（或在同一條直線上） 且相等。
（17）認識并欣賞平移在自然界和現(xiàn)實生活中的應(yīng)用。
（18）運用圖形的平移進行圖案設(shè)計。
二、定義、命題、定理
（1）通過具體實例，了解定義、命題、定理、推論的意義。
（2）結(jié)合具體實例，會區(qū)分命題的條件和結(jié)論，了解原命題及其逆命題的概念。會識別兩個互逆的命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立。
（3）知道證明的意義和證明的必要性,知道數(shù)學思維要合 乎邏輯,知道可以用不同的形式表述證明的過程，會用綜合 法的證明格式。
（4）了解反例的作用，知道利用反例可以判斷一個命題是錯誤的。
（5）通過實例體會反證法的含義。
(
知識
點梳理
)
知識點1. 相交線
1.鄰補角：兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角是鄰補角。
2.對頂角：一個角的兩邊分別是另一個叫的兩邊的反向延長線，像這樣的兩個角互為對頂角。
3.垂線：兩條直線相交成直角時，叫做互相垂直，其中一條叫做另一條的垂線。
4.平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。
5.同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角：
（1）同位角：∠1與∠5像這樣具有相同位置關(guān)系的一對角叫做同位角。
（2）內(nèi)錯角：∠2與∠6像這樣的一對角叫做內(nèi)錯角。
（3）同旁內(nèi)角：∠2與∠5像這樣的一對角叫做同旁內(nèi)角。
6.對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。
7.垂線的性質(zhì)：
性質(zhì)1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。
性質(zhì)2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。
知識點2. 平行線及其判定
1.平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。
2.平行公理：經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。
平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。
3.平行線的判定
判定方法1：同位角相等，兩直線平行。
判定方法2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行。
判定方法3：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。
知識點3. 平行線的性質(zhì)
性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等。
性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等。
性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。
知識點4. 命題、定理、證明
1.命題：判斷一件事情的語句叫命題。命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成。題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項。
（1）真命題：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫真命題。
（2）假命題：題設(shè)成立時，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫假命題。
2.定理：有些命題是基本事實，有些命題的正確性是經(jīng)過推理證實的，這樣得到的真命題叫做定理。
3.證明：一個命題的正確性需要經(jīng)過推理才能做出判斷，這個推理過程叫做證明。
知識點5. 平移
1.平移：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移變換，簡稱平移。
2.對應(yīng)點：平移后得到的新圖形中每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這樣的兩個點叫做對應(yīng)點。
(
方法總結(jié)
)
1. 平行線的三種判定方法歸納總結(jié)
2. 回顧記憶平行線的性質(zhì)
3. 解決相交線與平行線難點問題添加輔助線要領(lǐng)
（1）當兩直線平行時，同位角的角平分線互相平行，內(nèi)錯角的角平分線互相平行，同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直.如圖，以下三種情況.
（2）除了基本模型外，還經(jīng)常會遇到一些平行線加折線模型，主要是下面兩類：
做這類題型時，一般在折點處作平行線，進而把線的關(guān)系轉(zhuǎn)換成角的關(guān)系，如圖所示。
4. 總結(jié)平移問題
（1）平移后，對應(yīng)線段相等且平行，對應(yīng)點所連的線段平行（或共線）且相等．
（2）平移后，對應(yīng)角相等且對應(yīng)角的兩邊分別平行或一條邊共線，方向相同．
（3）平移不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置，平移后新舊兩圖形全等．
平移問題,包括直線(線段)的平移問題;曲線的平移問題;三角形的平移問題;四邊形的平移問題;其他曲面的平移問題。
(
例題解析
)
考點1. 相交線
【例題1】（2023甘肅蘭州）如圖，直線與相交于點O，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】利用對頂角相等得到，即可求解．
讀取量角器可知：，
∴，
故選：B．
【點睛】本題考查了對頂角相等，量角器讀數(shù)，是基礎(chǔ)題．
【變式訓練1】 如圖，直線AB、CD、EF相交于點O，若，則______°.
【答案】30
【解析】，，
，
，
.
【變式訓練2】 如圖，3條直線兩兩相交最多有3個交點，4條直線兩兩相交最多有6個交點，按照這樣的規(guī)律，則20條直線兩兩相交最多有______個交點
【答案】190
【解析】根據(jù)題目中的交點個數(shù)，找出條直線相交最多有的交點個數(shù)公式：．
2條直線相交有1個交點；
3條直線相交最多有個交點；
4條直線相交最多有個交點；
5條直線相交最多有個交點；
20條直線相交最多有．
【點睛】本題考查的是多條直線相交的交點問題，解答此題的關(guān)鍵是找出規(guī)律，即條直線相交最多有．
考點2. 平行線性質(zhì)
【例題2】（2023黑龍江綏化） 將一副三角板按下圖所示擺放在一組平行線內(nèi)，，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據(jù)兩直線平行內(nèi)錯角相等即可求解．
依題意，，
∵，
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查了平行線的性質(zhì)，熟練掌握兩直線平行內(nèi)錯角相等是解題的關(guān)鍵．
【變式訓練1】閱讀下列材料，其①～④步中數(shù)學依據(jù)錯誤的是（　　）
如圖：已知直線b∥c，a⊥b，求證：a⊥c． 證明：①∵a⊥b（已知） ∴∠1＝90°（垂直的定義） ②又∵b∥c（已知） ∴∠1＝∠2（同位角相等，兩直線平行） ③∴∠2＝∠1＝90°（等量代換） ④∴a⊥c（垂直的定義）
A．① B．② C．③ D．④
【答案】B
【解析】根據(jù)垂直的定義得到∠1＝90°，再根據(jù)兩直線平行，同位角相等得到∠2＝90°，即可判定a⊥c．
證明：①∵a⊥b（已知），
∴∠1＝90°（垂直的定義），
②又∵b∥c（已知），
∴∠1＝∠2（兩直線平行，同位角相等），
③∴∠2＝∠1＝90°（等量代換），
∴a⊥c（垂直的定義），
①～④步中數(shù)學依據(jù)錯誤的是②．
【變式訓練2】（2023深圳）如圖為商場某品牌椅子側(cè)面圖，，與地面平行，，則（ ）
A. 70° B. 65° C. 60° D. 50°
【答案】A
【解析】根據(jù)平行得到，再利用外角的性質(zhì)和對頂角相等，進行求解即可．
由題意，得：，
∴，
∵，
∴，
∴；
故選A．
【點睛】本題考查平行線的性質(zhì)，三角形外角的性質(zhì)，對頂角．熟練掌握相關(guān)性質(zhì)，是解題的關(guān)鍵．
【變式訓練3】如圖，直線a∥b，直線c分別交a，b于點A，C，∠BAC的平分線交直線b于點D，若∠1=50°，則∠2的度數(shù)是（　　）
A．50° B．70° C．80° D．110°
【答案】C．
【解析】直接利用角平分線的定義結(jié)合平行線的性質(zhì)得出∠BAD=∠CAD=50°，進而得出答案．
∵∠BAC的平分線交直線b于點D，
∴∠BAD=∠CAD，
∵直線a∥b，∠1=50°，
∴∠BAD=∠CAD=50°，
∴∠2=180°﹣50°﹣50°=80°．故選：C．
考點3.定義 命題 定理
【例題3】判斷下列四個語句中，哪個是命題， 哪個不是命題？并說明理由：
（1）對頂角相等嗎？
（2）畫一條線段AB=2cm;
（3）兩條直線平行，同位角相等；
（4）相等的兩個角，一定是對頂角。
【答案】（3）（4）是命題，（1）（2）不是命題.
【解析】（1）是問句，故不是命題；（2）是做一件事情，也不是命題。
（3）（4）對一件事情作出了判斷,不管正確與否,都是命題。
【變式訓練】下列命題是真命題的是（　　）
A．同旁內(nèi)角相等，兩直線平行
B．對角線相等的四邊形是矩形
C．對角線互相垂直的四邊形是菱形
D．兩角分別相等的兩個三角形相似
【答案】D
【解析】利用平行線的判定方法、矩形及菱形的判定方法、相似三角形的判定方法分別判斷后即可確定正確的選項．
A．同旁內(nèi)角互補，兩直線平行，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；
B．對角線相等的平行四邊形是矩形，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；
C．對角線互相垂直的平行四邊形是菱形，故原命題錯誤，是假命題，不符合題意；
D．兩角分別相等的兩個三角形相似，正確，是真命題，符合題意．
考點4. 平移
【例題4】如圖，是一塊從一個邊長為20cm的正方形BCDM材料中剪出的墊片，經(jīng)測得FG＝9cm，則這個剪出的圖形的周長是______cm．
【答案】98
【解析】首先把EF平移到MN的位置，把AH平移到MK的位置，把GH平移到AN的位置，根據(jù)平移的性質(zhì)可得這個墊片的周長等于正方形的周長加FG ．
這個墊片的周長：20×4＋9×2＝98（cm）．
【變式訓練】如圖，將邊長為4個單位的等邊△ABC沿邊BC向右平移2個單位得到△DEF，則四邊形ABFD的周長
【答案】16．
【解析】∵將邊長為4個單位的等邊△ABC沿邊BC向右平移2個單位得到△DEF，
∴AD=BE=2，各等邊三角形的邊長均為4．
∴四邊形ABFD的周長=AD+AB+BE+FE+DF=16．
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2024年數(shù)學中考一輪單元復(fù)習考點講析與達標檢測（人教版通用）
第一部分 29個單元的基礎(chǔ)知識與例題解析
專題05 相交線與平行線單元考點講析
(
課標要求
)
一、相交線與平行線
（1）理解對頂角、余角、補角等概念，探索并掌握對頂角相等、同 角（或等角）的余角相等、同角（或等角）的補角相等的性質(zhì)。
（2）理解垂線、垂線段等概念，能用三角板或量角器過一點畫已知 直線的垂線。
（3）能用尺規(guī)作圖：作一條線段的垂直平分線；過一點作已知直線 的垂線。
（4）掌握基本事實：同一平面內(nèi)，過一點有且只有一條直線與已知 直線垂直。
（5）理解點到直線的距離的意義，能度量點到直線的距離。
（6）識別同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角。
（7）理解平行線的概念。
（8）掌握平行線基本事實1:過直線外一點有且只有一條直線與這 條直線平行。
（9）掌握平行線基本事實2：兩條直線被第三條直線所截，如果同 位角相等，那么這兩條直線平行。
（10）探索并證明平行線的判定定理：兩條直線被第三條直線所截, 如果內(nèi)錯角相等（或同旁內(nèi)角互補），那么這兩條直線平行。
（11）掌握平行線的性質(zhì)定理1：兩條平行直線被第三條直線所截, 同位角相等。* 了解定理的證明。
（12）探索并證明平行線的性質(zhì)定理2：兩條平行直線被第三條直線 所截，內(nèi)錯角相等（或同旁內(nèi)角互補）。
（13）能用三角板和直尺過已知直線外一點畫這條直線的平行線。
注意：在尺規(guī)作圖中，學生應(yīng)了解作圖的原理，保留作圖的痕跡，不要求寫出作法。
（14）能用尺規(guī)作圖：過直線外一點作這條直線的平行線。
（15）了解平行于同一條直線的兩條直線平行。
（16）通過具體實例認識平移，探索它的基本性質(zhì)：一個圖形和它經(jīng) 過平移所得的圖形中，兩組對應(yīng)點的連線平行（或在同一條直線上） 且相等。
（17）認識并欣賞平移在自然界和現(xiàn)實生活中的應(yīng)用。
（18）運用圖形的平移進行圖案設(shè)計。
二、定義、命題、定理
（1）通過具體實例，了解定義、命題、定理、推論的意義。
（2）結(jié)合具體實例，會區(qū)分命題的條件和結(jié)論，了解原命題及其逆命題的概念。會識別兩個互逆的命題，知道原命題成立其逆命題不一定成立。
（3）知道證明的意義和證明的必要性,知道數(shù)學思維要合 乎邏輯,知道可以用不同的形式表述證明的過程，會用綜合 法的證明格式。
（4）了解反例的作用，知道利用反例可以判斷一個命題是錯誤的。
（5）通過實例體會反證法的含義。
(
知識
點梳理
)
知識點1. 相交線
1.鄰補角：兩條直線相交所構(gòu)成的四個角中，有公共頂點且有一條公共邊的兩個角是鄰補角。
2.對頂角：一個角的兩邊分別是另一個叫的兩邊的反向延長線，像這樣的兩個角互為對頂角。
3.垂線：兩條直線相交成直角時，叫做互相垂直，其中一條叫做另一條的垂線。
4.平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。
5.同位角、內(nèi)錯角、同旁內(nèi)角：
（1）同位角：∠1與∠5像這樣具有相同位置關(guān)系的一對角叫做同位角。
（2）內(nèi)錯角：∠2與∠6像這樣的一對角叫做內(nèi)錯角。
（3）同旁內(nèi)角：∠2與∠5像這樣的一對角叫做同旁內(nèi)角。
6.對頂角的性質(zhì)：對頂角相等。
7.垂線的性質(zhì)：
性質(zhì)1：過一點有且只有一條直線與已知直線垂直。
性質(zhì)2：連接直線外一點與直線上各點的所有線段中，垂線段最短。
知識點2. 平行線及其判定
1.平行線：在同一平面內(nèi)，不相交的兩條直線叫做平行線。
2.平行公理：經(jīng)過直線外一點有且只有一條直線與已知直線平行。
平行公理的推論：如果兩條直線都與第三條直線平行，那么這兩條直線也互相平行。
3.平行線的判定
判定方法1：同位角相等，兩直線平行。
判定方法2：內(nèi)錯角相等，兩直線平行。
判定方法3：同旁內(nèi)角互補，兩直線平行。
知識點3. 平行線的性質(zhì)
性質(zhì)1：兩直線平行，同位角相等。
性質(zhì)2：兩直線平行，內(nèi)錯角相等。
性質(zhì)3：兩直線平行，同旁內(nèi)角互補。
知識點4. 命題、定理、證明
1.命題：判斷一件事情的語句叫命題。命題由題設(shè)和結(jié)論兩部分組成。題設(shè)是已知事項，結(jié)論是由已知事項推出的事項。
（1）真命題：如果題設(shè)成立，那么結(jié)論一定成立，這樣的命題叫真命題。
（2）假命題：題設(shè)成立時，不能保證結(jié)論一定成立，這樣的命題叫假命題。
2.定理：有些命題是基本事實，有些命題的正確性是經(jīng)過推理證實的，這樣得到的真命題叫做定理。
3.證明：一個命題的正確性需要經(jīng)過推理才能做出判斷，這個推理過程叫做證明。
知識點5. 平移
1.平移：在平面內(nèi)，將一個圖形沿某個方向移動一定的距離，圖形的這種移動叫做平移變換，簡稱平移。
2.對應(yīng)點：平移后得到的新圖形中每一點，都是由原圖形中的某一點移動后得到的，這樣的兩個點叫做對應(yīng)點。
(
方法總結(jié)
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1. 平行線的三種判定方法歸納總結(jié)
2. 回顧記憶平行線的性質(zhì)
3. 解決相交線與平行線難點問題添加輔助線要領(lǐng)
（1）當兩直線平行時，同位角的角平分線互相平行，內(nèi)錯角的角平分線互相平行，同旁內(nèi)角的角平分線互相垂直.如圖，以下三種情況.
（2）除了基本模型外，還經(jīng)常會遇到一些平行線加折線模型，主要是下面兩類：
做這類題型時，一般在折點處作平行線，進而把線的關(guān)系轉(zhuǎn)換成角的關(guān)系，如圖所示。
4. 總結(jié)平移問題
（1）平移后，對應(yīng)線段相等且平行，對應(yīng)點所連的線段平行（或共線）且相等．
（2）平移后，對應(yīng)角相等且對應(yīng)角的兩邊分別平行或一條邊共線，方向相同．
（3）平移不改變圖形的形狀和大小，只改變圖形的位置，平移后新舊兩圖形全等．
平移問題,包括直線(線段)的平移問題;曲線的平移問題;三角形的平移問題;四邊形的平移問題;其他曲面的平移問題。
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例題解析
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考點1. 相交線
【例題1】（2023甘肅蘭州）如圖，直線與相交于點O，則（ ）
A. B. C. D.
【變式訓練1】 如圖，直線AB、CD、EF相交于點O，若，則______°.
【變式訓練2】 如圖，3條直線兩兩相交最多有3個交點，4條直線兩兩相交最多有6個交點，按照這樣的規(guī)律，則20條直線兩兩相交最多有______個交點
考點2. 平行線性質(zhì)
【例題2】（2023黑龍江綏化） 將一副三角板按下圖所示擺放在一組平行線內(nèi)，，，則的度數(shù)為（ ）
A. B. C. D.
【變式訓練1】閱讀下列材料，其①～④步中數(shù)學依據(jù)錯誤的是（　　）
如圖：已知直線b∥c，a⊥b，求證：a⊥c． 證明：①∵a⊥b（已知） ∴∠1＝90°（垂直的定義） ②又∵b∥c（已知） ∴∠1＝∠2（同位角相等，兩直線平行） ③∴∠2＝∠1＝90°（等量代換） ④∴a⊥c（垂直的定義）
A．① B．② C．③ D．④
【變式訓練2】（2023深圳）如圖為商場某品牌椅子側(cè)面圖，，與地面平行，，則（ ）
A. 70° B. 65° C. 60° D. 50°
【變式訓練3】如圖，直線a∥b，直線c分別交a，b于點A，C，∠BAC的平分線交直線b于點D，若∠1=50°，則∠2的度數(shù)是（　　）
A．50° B．70° C．80° D．110°
考點3.定義 命題 定理
【例題3】判斷下列四個語句中，哪個是命題， 哪個不是命題？并說明理由：
（1）對頂角相等嗎？
（2）畫一條線段AB=2cm;
（3）兩條直線平行，同位角相等；
（4）相等的兩個角，一定是對頂角。
【變式訓練】下列命題是真命題的是（　　）
A．同旁內(nèi)角相等，兩直線平行
B．對角線相等的四邊形是矩形
C．對角線互相垂直的四邊形是菱形
D．兩角分別相等的兩個三角形相似
考點4. 平移
【例題4】如圖，是一塊從一個邊長為20cm的正方形BCDM材料中剪出的墊片，經(jīng)測得FG＝9cm，則這個剪出的圖形的周長是______cm．
【變式訓練】如圖，將邊長為4個單位的等邊△ABC沿邊BC向右平移2個單位得到△DEF，則四邊形ABFD的周長
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