資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
2024年數(shù)學(xué)中考一輪單元復(fù)習(xí)考點講析與達標(biāo)檢測（人教版通用）
第一部分 29個單元的基礎(chǔ)知識與例題解析
專題06 實數(shù)單元考點講析
(
課標(biāo)要求
)
（1）了解無理數(shù)和實數(shù)，知道實數(shù)由有理數(shù)和無理數(shù)組成，了解實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)。
（2）能用數(shù)軸上的點表示實數(shù)，能比較實數(shù)的大小。
（3）能借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義，會求實數(shù)的相反數(shù)和絕對值。
（4）了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、算術(shù)平方根、立方根。
（5）了解乘方與開方互為逆運算，會用平方運算求百以內(nèi)完全平方數(shù)的平方根，會用立方運算求千以內(nèi)完全立方數(shù)（及對應(yīng)的負整數(shù)） 的立方根，會用計算器計算平方根和立方根。
（6）能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍。
（7）了解近似數(shù)，在解決實際問題中，能用計算器進行近似計算, 會按問題的要求進行近似計算。
(
知識
點梳理
)
知識點1. 平方根
1.算術(shù)平方根：正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作“”。
2. 平方根：如果x2=a，則x叫做a的平方根，記作“±”（a稱為被開方數(shù)）。
3. 正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根。
4. 平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系：
區(qū)別：正數(shù)的平方根有兩個，而它的算術(shù)平方根只有一個。
聯(lián)系：（1）被開方數(shù)必須都為非負數(shù)；（2）正數(shù)的負平方根是它的算術(shù)平方根的相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫出它的負平方根。（3）0的算術(shù)平方根與平方根同為0。
5.平方表：（自行完成）
12= 62= 112= 162= 212=
22= 72= 122= 172= 222=
32= 82= 132= 182= 232=
42= 92= 142= 192= 242=
52= 102= 152= 202= 252=
知識點2. 立方根
1. 立方根：如果x3=a，則x叫做a的立方根，記作“”（a稱為被開方數(shù)）。
2. 正數(shù)有一個正的立方根；0的立方根是0；負數(shù)有一個負的立方根。
3. 求一個數(shù)的平方根（立方根）的運算叫開平方（開立方）。
4. 立方根與平方根的區(qū)別：
一個數(shù)只有一個立方根，并且符號與這個數(shù)一致；只有正數(shù)和0有平方根，負數(shù)沒有平方根，正數(shù)的平方根有2個，并且互為相反數(shù)，0的平方根只有一個且為0.
知識點3. 實數(shù)分類
1.有理數(shù)：任何有限小數(shù)或者無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)。
2.無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。
3.實數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)。
4.設(shè)a表示實數(shù)，則a的相反數(shù)是-a
|a|≥0
當(dāng)a>0時， |a|=a
當(dāng)a=0時，|a|=0
當(dāng)a<0時，|a|=-a
5.實數(shù)大小比較的三種方法：
（1）法則比較：正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負數(shù)．兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小．
（2）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)大于左邊的點表示的數(shù)．
（3）作差比較：
若a﹣b＞0，則a＞b；
若a﹣b＜0，則a＜b；
若a﹣b＝0，則a＝b．
(
方法總結(jié)
)
實數(shù)部分主要要求學(xué)生了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，能估算無理數(shù)的大小；了解實數(shù)的運算法則及運算律，會進行實數(shù)的運算。重點是實數(shù)的意義和實數(shù)的分類；實數(shù)的運算法則及運算律。
（1）平方根是其本身的數(shù)是0；算術(shù)平方根是其本身的數(shù)是0和1；立方根是其本身的數(shù)是0和±1。
（2）每一個正數(shù)都有兩個互為相反數(shù)的平方根，其中正的那個是算術(shù)平方根；任何一個數(shù)都有唯一一個立方根，這個立方根的符號與原數(shù)相同。
（3）本身為非負數(shù)，有非負性，即≥0；有意義的條件是a≥0。
（4）公式：⑴()2=a（a≥0）；⑵=（a取任何數(shù)）。
（5）區(qū)分()2=a（a≥0），與 =
（6）非負數(shù)的重要性質(zhì)：若幾個非負數(shù)之和等于0，則每一個非負數(shù)都為0（此性質(zhì)應(yīng)用很廣，務(wù)必掌握）。
(
例題解析
)
考點1.實數(shù)的分類
【例題1】有下列四個論斷：①﹣是有理數(shù)；② 是分數(shù)；③2.131131113…是無理數(shù)；④π是無理數(shù)，其中正確的是（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
考點2. 平方根
【例題2】求下列各數(shù)的平方根：
(1)1；(2)0.0001；(3)(－4)2；(4)10－6；(5).
【變式訓(xùn)練1】已知一個正數(shù)的兩個平方根分別是2m+1和5-3m,求m的值和這個正數(shù).
【變式訓(xùn)練2】（2023甘肅蘭州）如圖，將面積為7的正方形和面積為9的正方形分別繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)，使，落在數(shù)軸上，點A，D在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)字分別為a，b，則______．
【變式訓(xùn)練3】（﹣2）2的算術(shù)平方根是（　　）
A．2 B．±2 C．﹣2 D．
【變式訓(xùn)練4】利用如圖所示的計算器進行計算，按鍵操作不正確的是（ ）
A．按鍵即可進入統(tǒng)計計算狀態(tài)
B．計算的值，按鍵順序為：
C．計算結(jié)果以“度”為單位，按鍵可顯示以“度”“分”“秒”為單位的結(jié)果
D．計算器顯示結(jié)果為時，若按鍵，則結(jié)果切換為小數(shù)格式0.333333333
考點3. 立方根
【例題3】（2023湖南郴州） 計算：___．
考點4. 實數(shù)與數(shù)軸
【例題4】（2023山東菏澤） 實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，下列式子正確的是（ ）
A. B. C. D.
【變式訓(xùn)練】（2023江蘇揚州）已知，則a、b、c的大小關(guān)系是( )
A. B. C. D.
考點5.實數(shù)的混合運算
【例題5】（2023福建）計算：．
【變式訓(xùn)練】（2022浙江嘉興）計算：
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2024年數(shù)學(xué)中考一輪單元復(fù)習(xí)考點講析與達標(biāo)檢測（人教版通用）
第一部分 29個單元的基礎(chǔ)知識與例題解析
專題06 實數(shù)單元考點講析
(
課標(biāo)要求
)
（1）了解無理數(shù)和實數(shù)，知道實數(shù)由有理數(shù)和無理數(shù)組成，了解實數(shù)與數(shù)軸上的點一一對應(yīng)。
（2）能用數(shù)軸上的點表示實數(shù)，能比較實數(shù)的大小。
（3）能借助數(shù)軸理解相反數(shù)和絕對值的意義，會求實數(shù)的相反數(shù)和絕對值。
（4）了解平方根、算術(shù)平方根、立方根的概念，會用根號表示數(shù)的平方根、算術(shù)平方根、立方根。
（5）了解乘方與開方互為逆運算，會用平方運算求百以內(nèi)完全平方數(shù)的平方根，會用立方運算求千以內(nèi)完全立方數(shù)（及對應(yīng)的負整數(shù)） 的立方根，會用計算器計算平方根和立方根。
（6）能用有理數(shù)估計一個無理數(shù)的大致范圍。
（7）了解近似數(shù)，在解決實際問題中，能用計算器進行近似計算, 會按問題的要求進行近似計算。
(
知識
點梳理
)
知識點1. 平方根
1.算術(shù)平方根：正數(shù)a的正的平方根叫做a的算術(shù)平方根，記作“”。
2. 平方根：如果x2=a，則x叫做a的平方根，記作“±”（a稱為被開方數(shù)）。
3. 正數(shù)的平方根有兩個，它們互為相反數(shù)；0的平方根是0；負數(shù)沒有平方根。
4. 平方根和算術(shù)平方根的區(qū)別與聯(lián)系：
區(qū)別：正數(shù)的平方根有兩個，而它的算術(shù)平方根只有一個。
聯(lián)系：（1）被開方數(shù)必須都為非負數(shù)；（2）正數(shù)的負平方根是它的算術(shù)平方根的相反數(shù)，根據(jù)它的算術(shù)平方根可以立即寫出它的負平方根。（3）0的算術(shù)平方根與平方根同為0。
5.平方表：（自行完成）
12= 62= 112= 162= 212=
22= 72= 122= 172= 222=
32= 82= 132= 182= 232=
42= 92= 142= 192= 242=
52= 102= 152= 202= 252=
知識點2. 立方根
1. 立方根：如果x3=a，則x叫做a的立方根，記作“”（a稱為被開方數(shù)）。
2. 正數(shù)有一個正的立方根；0的立方根是0；負數(shù)有一個負的立方根。
3. 求一個數(shù)的平方根（立方根）的運算叫開平方（開立方）。
4. 立方根與平方根的區(qū)別：
一個數(shù)只有一個立方根，并且符號與這個數(shù)一致；只有正數(shù)和0有平方根，負數(shù)沒有平方根，正數(shù)的平方根有2個，并且互為相反數(shù)，0的平方根只有一個且為0.
知識點3. 實數(shù)分類
1.有理數(shù)：任何有限小數(shù)或者無限循環(huán)小數(shù)都是有理數(shù)。
2.無理數(shù)：無限不循環(huán)小數(shù)叫做無理數(shù)。
3.實數(shù)：有理數(shù)和無理數(shù)統(tǒng)稱實數(shù)。
4.設(shè)a表示實數(shù)，則a的相反數(shù)是-a
|a|≥0
當(dāng)a>0時， |a|=a
當(dāng)a=0時，|a|=0
當(dāng)a<0時，|a|=-a
5.實數(shù)大小比較的三種方法：
（1）法則比較：正數(shù)都大于0，負數(shù)都小于0，正數(shù)大于一切負數(shù)．兩個負數(shù)比較大小，絕對值大的反而小．
（2）數(shù)軸比較：在數(shù)軸上右邊的點表示的數(shù)大于左邊的點表示的數(shù)．
（3）作差比較：
若a﹣b＞0，則a＞b；
若a﹣b＜0，則a＜b；
若a﹣b＝0，則a＝b．
(
方法總結(jié)
)
實數(shù)部分主要要求學(xué)生了解無理數(shù)和實數(shù)的概念，知道實數(shù)和數(shù)軸上的點一一對應(yīng)，能估算無理數(shù)的大小；了解實數(shù)的運算法則及運算律，會進行實數(shù)的運算。重點是實數(shù)的意義和實數(shù)的分類；實數(shù)的運算法則及運算律。
（1）平方根是其本身的數(shù)是0；算術(shù)平方根是其本身的數(shù)是0和1；立方根是其本身的數(shù)是0和±1。
（2）每一個正數(shù)都有兩個互為相反數(shù)的平方根，其中正的那個是算術(shù)平方根；任何一個數(shù)都有唯一一個立方根，這個立方根的符號與原數(shù)相同。
（3）本身為非負數(shù)，有非負性，即≥0；有意義的條件是a≥0。
（4）公式：⑴()2=a（a≥0）；⑵=（a取任何數(shù)）。
（5）區(qū)分()2=a（a≥0），與 =
（6）非負數(shù)的重要性質(zhì)：若幾個非負數(shù)之和等于0，則每一個非負數(shù)都為0（此性質(zhì)應(yīng)用很廣，務(wù)必掌握）。
(
例題解析
)
考點1.實數(shù)的分類
【例題1】有下列四個論斷：①﹣是有理數(shù)；② 是分數(shù)；③2.131131113…是無理數(shù)；④π是無理數(shù)，其中正確的是（ ）
A．4個 B．3個 C．2個 D．1個
【答案】B
【解析】本題主要考查了無理數(shù)的定義，其中初中范圍內(nèi)學(xué)習(xí)的無理數(shù)有：π，2π等；開方開不盡的數(shù)；以及像0.1010010001…，等有這樣規(guī)律的數(shù)．根據(jù)無理數(shù)的概念即可判定選擇項．
①﹣是有理數(shù)，正確；②是無理數(shù)，故錯誤；
③2.131131113…是無理數(shù)，正確；④π是無理數(shù)，正確；正確的有3個．
考點2. 平方根
【例題2】求下列各數(shù)的平方根：
(1)1；(2)0.0001；(3)(－4)2；(4)10－6；(5).
【答案】見解析。
【解析】把帶分數(shù)化為假分數(shù)，含有乘方運算先求出它的冪．注意正數(shù)有兩個互為相反數(shù)的平方根．
(1)∵1＝，(±)2＝，∴1的平方根為±，即±＝±；
(2)∵(±0.01)2＝0.0001，∴0.0001的平方根是±0.01，即±＝±0.01；
(3)∵(±4)2＝(－4)2，∴(－4)2的平方根是±4，即±＝±4；
(4)∵(±10－3)2＝10－6，∴10－6的平方根是±10－3，即±＝±10－3；
(5)∵(±3)2＝9＝，∴的平方根是±3.
方法總結(jié)：正確理解平方根的概念，明確是求哪一個數(shù)的平方根．如(5)中是求9的平方根．
【變式訓(xùn)練1】已知一個正數(shù)的兩個平方根分別是2m+1和5-3m,求m的值和這個正數(shù).
【答案】169
【解析】因為一個正數(shù)的兩個平方根互為相反數(shù),所以(2m+1)+(5-3m)=0,解得m=6.此時 2m+1=2×6+1=13,5-3m=5-3×6=-13.因為(±13)2=169,所以這個正數(shù)是169.
【變式訓(xùn)練2】（2023甘肅蘭州）如圖，將面積為7的正方形和面積為9的正方形分別繞原點O順時針旋轉(zhuǎn)，使，落在數(shù)軸上，點A，D在數(shù)軸上對應(yīng)的數(shù)字分別為a，b，則______．
【答案】
【解析】分別求出兩個正方形的邊長，從而得到a，b的值，代入計算即可．
∵正方形的面積為7，正方形的面積為9
∴，
即，
∴
故答案為：
【點睛】本題考查算術(shù)平方根的意義，在數(shù)軸上表示實數(shù)，正確求出算術(shù)平方根是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練3】（﹣2）2的算術(shù)平方根是（　　）
A．2 B．±2 C．﹣2 D．
【答案】A．
【解析】首先求得（﹣2）2的值，然后由4的算術(shù)平方根為2，即可求得答案．
∵（﹣2）2=4，4的算術(shù)平方根為2，
∴（﹣2）2的算術(shù)平方根是2．
【變式訓(xùn)練4】利用如圖所示的計算器進行計算，按鍵操作不正確的是（ ）
A．按鍵即可進入統(tǒng)計計算狀態(tài)
B．計算的值，按鍵順序為：
C．計算結(jié)果以“度”為單位，按鍵可顯示以“度”“分”“秒”為單位的結(jié)果
D．計算器顯示結(jié)果為時，若按鍵，則結(jié)果切換為小數(shù)格式0.333333333
【答案】B
【解析】本題考查了科學(xué)計算器，熟練了解按鍵的含義是解題的關(guān)鍵．根據(jù)計算器的按鍵寫出計算的式子．然后求值．
A．按鍵即可進入統(tǒng)計計算狀態(tài)是正確的，故選項A不符合題意；
B．計算的值，按鍵順序為：，故選項B符合題意；
C．計算結(jié)果以“度”為單位，按鍵可顯示以“度”“分”“秒”為單位的結(jié)果是正確的，故選項C不符合題意；
D．計算器顯示結(jié)果為時，若按鍵，則結(jié)果切換為小數(shù)格式0．333333333是正確的，故選項D不符合題意；故選：B．
考點3. 立方根
【例題3】（2023湖南郴州） 計算：___．
【答案】3
【解析】求數(shù)a的立方根，也就是求一個數(shù)x，使得x3=a，則x就是a的一個立方根，根據(jù)立方根的定義計算可得．
【詳解】解： ∵33=27，
∴．
故答案為3．
【點睛】此題考查了求一個數(shù)的立方根，熟記立方根定義是解題的關(guān)鍵．
考點4. 實數(shù)與數(shù)軸
【例題4】（2023山東菏澤） 實數(shù)a，b，c在數(shù)軸上對應(yīng)點的位置如圖所示，下列式子正確的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根據(jù)數(shù)軸可得，，再根據(jù)逐項判定即可．
由數(shù)軸可知，
∴，故A選項錯誤；
∴，故B選項錯誤；
∴，故C選項正確；
∴，故D選項錯誤；
故選：C．
【點睛】本題考查實數(shù)與數(shù)軸，根據(jù)進行判斷是解題關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】（2023江蘇揚州）已知，則a、b、c的大小關(guān)系是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】由，，進行判斷即可．
∵，，
∴，
故選：C．
【點睛】本題考查了實數(shù)的大小比較，算術(shù)平方根．解題的關(guān)鍵在于對知識的熟練掌握．
考點5.實數(shù)的混合運算
【例題5】（2023福建）計算：．
【答案】3
【解析】根據(jù)算術(shù)平方根，絕對值，零指數(shù)冪，有理數(shù)的混合運算法則計算即可．
原式
．
【點睛】本題考查了算術(shù)平方根，絕對值，零指數(shù)冪，有理數(shù)的混合運算，熟練掌握以上運算法則是解題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練】（2022浙江嘉興）計算：
【答案】
【解析】先計算零次冪與算術(shù)平方根，再合并即可；
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