資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
2024年數(shù)學(xué)中考一輪單元復(fù)習(xí)考點(diǎn)講析與達(dá)標(biāo)檢測（人教版通用）
第一部分 29個單元的基礎(chǔ)知識與例題解析
專題08 二元一次方程組單元考點(diǎn)講析
(
課標(biāo)要求
)
（1）能根據(jù)現(xiàn)實情境理解方程的意義，能針對具體問題列出方程; 理解方程解的意義，經(jīng)歷估計方程解的過程。
（2）掌握消元法，能解二元一次方程組。
（3）*能解簡單的三元一次方程組。
(
考點(diǎn)梳理
)
知識點(diǎn)1.二元一次方程組的基本概念
1.二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次。方程，一般形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。
2.二元一次方程組：把兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。
3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做二元一次方程組的解。
4.二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解叫做二元一次方程組。
知識點(diǎn)2.二元一次方程組的解法
5.消元：將未知數(shù)的個數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。
6.代入消元：將一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。
7.加減消元法：當(dāng)兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。
知識點(diǎn)3.二元一次方程組的應(yīng)用
二元一次方程組解決實際應(yīng)用題的基本步驟：
1.審題，搞清已知量和待求量，應(yīng)用題類型規(guī)律分析數(shù)量關(guān)系；
2.考慮如何根據(jù)等量關(guān)系設(shè)元（未知數(shù)），列出方程組；
3.解方程組，得到答案；
4.檢查和反思解題過程，檢驗答案是否符合題意。
(
方法總結(jié)
)
一、二元一次方程組的常見解法
二元一次方程組中含有兩個未知數(shù)，所以解二元一次方程組的主要思路就是消元，即消去一個未知數(shù)，使其轉(zhuǎn)化為一元一次方程，這樣就可以先解出一個未知數(shù)，然后設(shè)法求另一個未知數(shù)．常見的消元方法有兩種：代入消元法和加減消元法．
1.代入法： 即由二元一次方程中的一個方程變形，將一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方程中，實現(xiàn)消元，進(jìn)而求解．一般情況下用代入法解方程組時，選擇變形的方程要盡可能的簡單，表示的代數(shù)式也要盡可能的簡單，以利于計算．
2.整體代入法：當(dāng)方程組中的兩個方程存在整數(shù)倍數(shù)關(guān)系時，用代入法解可將整數(shù)倍數(shù)關(guān)系數(shù)中較小的一個變形，用另一個字母代數(shù)式表示它后代入另一個方程．
3.加減消元法： 即方程組中兩個二元一次方程中的同一個未知數(shù)的系數(shù)相等時，讓兩個方程相減．如果方程組中兩個二元一次方程中的同一個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)時則讓兩個方程相減．消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，這種方法叫加減消元法．
4.整體運(yùn)用加減法：即當(dāng)兩個二元一次方程中的某一部分完全相同或符號相反時，可以把這兩個方程兩邊相加或相減，把相同的部分整體消去．
二、列二元一次方程組應(yīng)用題類型及其依據(jù)
類型1.行程問題
1.相遇問題：快行距+慢行距=原距，S1+S2=S
2.追及問題：快行距—慢行距=原距，S1-S2=S
3.航行問題：
（1）順?biāo)L(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度+水流（風(fēng)）速度
（2）逆水（風(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度-水流（風(fēng)）速度
（3）順?biāo)L(fēng)）速度-逆水（風(fēng)）速度=2倍水流（風(fēng)）速度
（4）順?biāo)L(fēng)）速度+逆水（風(fēng)）速度=2倍船速度
（5）順?biāo)穆烦?逆水路程
特別重要：行程問題三個量的關(guān)系
設(shè)路程為s、速度為v、時間為t，則s=vt, v=s/t, t=s/v。
類型2.工程問題
工程問題涉及的三個量是工作總量A、工作時間t和工作效率W。三個量關(guān)系為：
工作總量=工作時間×工作效率。A=Wt,W=A/t,t=A/W
特別重要：當(dāng)工作總量未給出具體數(shù)量時，常設(shè)工作總量為1.
類型3.商品銷售利潤問題
1.打x折后價格=打折前價格×x/10
2.利潤=售價-進(jìn)價
3.利潤率=（售價-進(jìn)價）/進(jìn)價×100％。
類型4.銀行儲蓄問題
1.免稅利息=本金×利率×?xí)r間
2.稅后利息=本金×利率×?xí)r間-本金×利率×?xí)r間×稅率
類型5.增長率問題
1.原量×（1+增長率）=增長后的量
2.原量×（1+減少率）=減少后的量
類型6.和差倍分問題
1.較大量=較小量+多余量
2.總量=倍數(shù)×倍量
類型7.數(shù)字問題
1.首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)問題的概念、特征及其表示方法。
2.一個三位數(shù)，百位數(shù)是a，十位數(shù)是b, 個位數(shù)是c,則這個三位數(shù)可以表示為：
100a+10b+c。比如：568=100×5+10×6+8.
類型8.濃度問題
濃度問題涉及的三個量是溶液、濃度和溶質(zhì)。三個量關(guān)系為：
溶液×濃度=溶質(zhì)。
類型9.年齡問題
人與人的歲數(shù)是同時增長的。
類型10.幾何問題
掌握幾何圖形（體）的性質(zhì)、周長、面積（體積）等計算公式。
類型11.盈虧問題
從盈虧兩個角度把握事物的總量。
類型12.產(chǎn)品配套問題
加工總量成正比。
(
例題解析
)
考點(diǎn)1. 二元一次方程（組）概念
【例題1】下列各方程組中，屬于二元一次方程組的是（　　）
A． B．
C． D．
【變式訓(xùn)練】已知下列方程中，屬于二元一次方程的個數(shù)是________．
(1)6x-5＝y(tǒng)； (2)5； (3)；(4)。
考點(diǎn)2. 解二元一次方程組
【例題2】（2023湖南常德）解方程組：
【變式訓(xùn)練1】（2023河南）方程組的解為______．
【變式訓(xùn)練2】解方程組
考點(diǎn)3. 二元一次方程（組）的應(yīng)用
【例題3】（2023龍東） 某社區(qū)為了打造“書香社區(qū)”，豐富小區(qū)居民的業(yè)余文化生活，計劃出資500元全部用于采購A，B，C三種圖書，A種每本30元，B種每本25元，C種每本20元，其中A種圖書至少買5本，最多買6本（三種圖書都要買），此次采購的方案有（ ）
A. 5種 B. 6種 C. 7種 D. 8種
【變式訓(xùn)練1】為了提高農(nóng)田利用效益，某地由每年種植雙季稻改為先養(yǎng)殖小龍蝦再種植一季水稻的“蝦 稻”輪作模式．某農(nóng)戶有農(nóng)田20畝，去年開始實施“蝦 稻”輪作，去年出售小龍蝦每千克獲得的利潤為32元（利潤＝售價﹣成本）．由于開發(fā)成本下降和市場供求關(guān)系變化，今年每千克小龍蝦的養(yǎng)殖成本下降25%，售價下降10%，出售小龍蝦每千克獲得利潤為30元．求去年每千克小龍蝦的養(yǎng)殖成本與售價。
【變式訓(xùn)練2】在某條高速公路上依次排列著A、B、C三個加油站，A到B的距離為120千米，B到C的距離也是120千米．分別在A、C兩個加油站實施搶劫的兩個犯罪團(tuán)伙作案后同時以相同的速度駕車沿高速公路逃離現(xiàn)場，正在B站待命的兩輛巡邏車接到指揮中心的命令后立即以相同的速度分別往A、C兩個加油站駛?cè)ィY(jié)果往B站駛來的團(tuán)伙在1小時后就被其中一輛迎面而上的巡邏車堵截住，而另一團(tuán)伙經(jīng)過3小時后才被另一輛巡邏車追趕上．問巡邏車和犯罪團(tuán)伙的車的速度各是多少？
【變式訓(xùn)練3】（2023遼寧本溪）某禮品店經(jīng)銷A，B兩種禮品盒，第一次購進(jìn)A種禮品盒10盒，B種禮品盒15盒，共花費(fèi)2800元；第二次購進(jìn)A種禮品盒6盒，B種禮品盒5盒，共花費(fèi)1200元
（1）求購進(jìn)A，B兩種禮品盒的單價分別是多少元；
（2）若該禮品店準(zhǔn)備再次購進(jìn)兩種禮品盒共40盒，總費(fèi)用不超過4500元，那么至少購進(jìn)A種禮品盒多少盒？
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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2024年數(shù)學(xué)中考一輪單元復(fù)習(xí)考點(diǎn)講析與達(dá)標(biāo)檢測（人教版通用）
第一部分 29個單元的基礎(chǔ)知識與例題解析
專題08 二元一次方程組單元考點(diǎn)講析
(
課標(biāo)要求
)
（1）能根據(jù)現(xiàn)實情境理解方程的意義，能針對具體問題列出方程; 理解方程解的意義，經(jīng)歷估計方程解的過程。
（2）掌握消元法，能解二元一次方程組。
（3）*能解簡單的三元一次方程組。
(
考點(diǎn)梳理
)
知識點(diǎn)1.二元一次方程組的基本概念
1.二元一次方程：含有兩個未知數(shù)，并且未知數(shù)的指數(shù)都是1，像這樣的方程叫做二元一次。方程，一般形式是 ax+by=c(a≠0,b≠0)。
2.二元一次方程組：把兩個二元一次方程合在一起，就組成了一個二元一次方程組。
3.二元一次方程的解：一般地，使二元一次方程兩邊的值相等的未知數(shù)的值叫做二元一次方程組的解。
4.二元一次方程組的解：一般地，二元一次方程組的兩個方程的公共解叫做二元一次方程組。
知識點(diǎn)2.二元一次方程組的解法
5.消元：將未知數(shù)的個數(shù)由多化少，逐一解決的想法，叫做消元思想。
6.代入消元：將一個未知數(shù)用含有另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方程，實現(xiàn)消元，進(jìn)而求得這個二元一次方程組的解，這種方法叫做代入消元法，簡稱代入法。
7.加減消元法：當(dāng)兩個方程中同一未知數(shù)的系數(shù)相反或相等時，將兩個方程的兩邊分別相加或相減，就能消去這個未知數(shù)，這種方法叫做加減消元法，簡稱加減法。
知識點(diǎn)3.二元一次方程組的應(yīng)用
二元一次方程組解決實際應(yīng)用題的基本步驟：
1.審題，搞清已知量和待求量，應(yīng)用題類型規(guī)律分析數(shù)量關(guān)系；
2.考慮如何根據(jù)等量關(guān)系設(shè)元（未知數(shù)），列出方程組；
3.解方程組，得到答案；
4.檢查和反思解題過程，檢驗答案是否符合題意。
(
方法總結(jié)
)
一、二元一次方程組的常見解法
二元一次方程組中含有兩個未知數(shù)，所以解二元一次方程組的主要思路就是消元，即消去一個未知數(shù)，使其轉(zhuǎn)化為一元一次方程，這樣就可以先解出一個未知數(shù)，然后設(shè)法求另一個未知數(shù)．常見的消元方法有兩種：代入消元法和加減消元法．
1.代入法： 即由二元一次方程中的一個方程變形，將一個未知數(shù)用含另一個未知數(shù)的式子表示出來，再代入另一個方程中，實現(xiàn)消元，進(jìn)而求解．一般情況下用代入法解方程組時，選擇變形的方程要盡可能的簡單，表示的代數(shù)式也要盡可能的簡單，以利于計算．
2.整體代入法：當(dāng)方程組中的兩個方程存在整數(shù)倍數(shù)關(guān)系時，用代入法解可將整數(shù)倍數(shù)關(guān)系數(shù)中較小的一個變形，用另一個字母代數(shù)式表示它后代入另一個方程．
3.加減消元法： 即方程組中兩個二元一次方程中的同一個未知數(shù)的系數(shù)相等時，讓兩個方程相減．如果方程組中兩個二元一次方程中的同一個未知數(shù)的系數(shù)互為相反數(shù)時則讓兩個方程相減．消去一個未知數(shù)，得到一個一元一次方程，這種方法叫加減消元法．
4.整體運(yùn)用加減法：即當(dāng)兩個二元一次方程中的某一部分完全相同或符號相反時，可以把這兩個方程兩邊相加或相減，把相同的部分整體消去．
二、列二元一次方程組應(yīng)用題類型及其依據(jù)
類型1.行程問題
1.相遇問題：快行距+慢行距=原距，S1+S2=S
2.追及問題：快行距—慢行距=原距，S1-S2=S
3.航行問題：
（1）順?biāo)L(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度+水流（風(fēng)）速度
（2）逆水（風(fēng)）速度=靜水（風(fēng)）速度-水流（風(fēng)）速度
（3）順?biāo)L(fēng)）速度-逆水（風(fēng)）速度=2倍水流（風(fēng)）速度
（4）順?biāo)L(fēng)）速度+逆水（風(fēng)）速度=2倍船速度
（5）順?biāo)穆烦?逆水路程
特別重要：行程問題三個量的關(guān)系
設(shè)路程為s、速度為v、時間為t，則s=vt, v=s/t, t=s/v。
類型2.工程問題
工程問題涉及的三個量是工作總量A、工作時間t和工作效率W。三個量關(guān)系為：
工作總量=工作時間×工作效率。A=Wt,W=A/t,t=A/W
特別重要：當(dāng)工作總量未給出具體數(shù)量時，常設(shè)工作總量為1.
類型3.商品銷售利潤問題
1.打x折后價格=打折前價格×x/10
2.利潤=售價-進(jìn)價
3.利潤率=（售價-進(jìn)價）/進(jìn)價×100％。
類型4.銀行儲蓄問題
1.免稅利息=本金×利率×?xí)r間
2.稅后利息=本金×利率×?xí)r間-本金×利率×?xí)r間×稅率
類型5.增長率問題
1.原量×（1+增長率）=增長后的量
2.原量×（1+減少率）=減少后的量
類型6.和差倍分問題
1.較大量=較小量+多余量
2.總量=倍數(shù)×倍量
類型7.數(shù)字問題
1.首先要正確掌握自然數(shù)、奇數(shù)、偶數(shù)等有關(guān)問題的概念、特征及其表示方法。
2.一個三位數(shù)，百位數(shù)是a，十位數(shù)是b, 個位數(shù)是c,則這個三位數(shù)可以表示為：
100a+10b+c。比如：568=100×5+10×6+8.
類型8.濃度問題
濃度問題涉及的三個量是溶液、濃度和溶質(zhì)。三個量關(guān)系為：
溶液×濃度=溶質(zhì)。
類型9.年齡問題
人與人的歲數(shù)是同時增長的。
類型10.幾何問題
掌握幾何圖形（體）的性質(zhì)、周長、面積（體積）等計算公式。
類型11.盈虧問題
從盈虧兩個角度把握事物的總量。
類型12.產(chǎn)品配套問題
加工總量成正比。
(
例題解析
)
考點(diǎn)1. 二元一次方程（組）概念
【例題1】下列各方程組中，屬于二元一次方程組的是（　　）
A． B．
C． D．
【答案】C．
【解析】本題考查了二元一次方程組，含有兩個未知數(shù)，且每個未知數(shù)的次數(shù)都是1的方程式二元一次方程，兩個二元一次方程組成的方程組．
A是二元二次方程組，故A不是二元一次方程組；
B 是三元一次方程組，故B不是二元一次方程組；
C 是二元一次方程組，故C是二元一次方程組；
D 不是整式方程，故D不是二元一次方程組；
【變式訓(xùn)練】已知下列方程中，屬于二元一次方程的個數(shù)是________．
(1)6x-5＝y(tǒng)； (2)5； (3)；(4)。
【答案】2
【解析】判斷一個方程是否為二元一次方程的依據(jù)是二元一次方程的定義，對于比較復(fù)雜的方程，可以先化簡，再根據(jù)定義進(jìn)行判斷．只有(1)(3)滿足二元一次方程的概念．(4)為二元二次方程，方程中只含有2個未知數(shù)，但未知數(shù)次數(shù)不是1；(2)中含未知數(shù)的項的次數(shù)為1，但只有一個未知數(shù)，是一元一次方程。
考點(diǎn)2. 解二元一次方程組
【例題2】（2023湖南常德）解方程組：
【答案】
【解析】方程組利用加減消元法求解即可．
將①得：③
得：
將代入①得：
所以是原方程組的解．
【點(diǎn)睛】此題考查了解二元一次方程組，利用了消元的思想，解題的關(guān)鍵是利用代入消元法或加減消元法消去一個未知數(shù)．
【變式訓(xùn)練1】（2023河南）方程組的解為______．
【答案】
【解析】利用加減消元法求解即可．
由得，，解得，
把代入①中得，解得，
故原方程組的解是，
故答案為：．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程組的解法，解二元一次方程組的常用解法：代入消元法和加減消元法，觀察題目選擇合適的方法是解題關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練2】解方程組
【答案】方程組的解
【解析】方程③是關(guān)于x的表達(dá)式，通過代入消元法可直接轉(zhuǎn)化為二元一次方程組，因此確定“消x”的目標(biāo)。用代入法，消x.
把③分別代入①、②得
解得
把y=2代入③，得x=8.
∴ 是原方程組的解.
考點(diǎn)3. 二元一次方程（組）的應(yīng)用
【例題3】（2023龍東） 某社區(qū)為了打造“書香社區(qū)”，豐富小區(qū)居民的業(yè)余文化生活，計劃出資500元全部用于采購A，B，C三種圖書，A種每本30元，B種每本25元，C種每本20元，其中A種圖書至少買5本，最多買6本（三種圖書都要買），此次采購的方案有（ ）
A. 5種 B. 6種 C. 7種 D. 8種
【答案】B
【解析】設(shè)采購A種圖書x本，B種圖書y本，C種圖書z本，根據(jù)采購三種圖書需500元列出方程，再依據(jù)x的數(shù)量分兩種情況討論求解即可．
【詳解】設(shè)采購A種圖書x本，B種圖書y本，C種圖書z本，其中且均為整數(shù)，根據(jù)題意得，
，
整理得，，
①當(dāng)時，，
∴
∵且均為整數(shù)，
∴當(dāng)時，，∴；
當(dāng)時，，∴；
當(dāng)時，，∴；
②當(dāng)時，，
∴
∵且均為整數(shù)，
∴當(dāng)時，，∴；
當(dāng)時，，∴；
當(dāng)時，，∴；
綜上，此次共有6種采購方案，
故選：B．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了二元一次方程的應(yīng)用，正確理解題意、進(jìn)行分類討論是解答本題的關(guān)鍵．
【變式訓(xùn)練1】為了提高農(nóng)田利用效益，某地由每年種植雙季稻改為先養(yǎng)殖小龍蝦再種植一季水稻的“蝦 稻”輪作模式．某農(nóng)戶有農(nóng)田20畝，去年開始實施“蝦 稻”輪作，去年出售小龍蝦每千克獲得的利潤為32元（利潤＝售價﹣成本）．由于開發(fā)成本下降和市場供求關(guān)系變化，今年每千克小龍蝦的養(yǎng)殖成本下降25%，售價下降10%，出售小龍蝦每千克獲得利潤為30元．求去年每千克小龍蝦的養(yǎng)殖成本與售價。
【答案】去年每千克小龍蝦的養(yǎng)殖成本與售價分別為8元、40元；
【解析】設(shè)去年每千克小龍蝦的養(yǎng)殖成本與售價分別為x元、y元，
由題意得：
解得：；
所以去年每千克小龍蝦的養(yǎng)殖成本與售價分別為8元、40元。
【變式訓(xùn)練2】在某條高速公路上依次排列著A、B、C三個加油站，A到B的距離為120千米，B到C的距離也是120千米．分別在A、C兩個加油站實施搶劫的兩個犯罪團(tuán)伙作案后同時以相同的速度駕車沿高速公路逃離現(xiàn)場，正在B站待命的兩輛巡邏車接到指揮中心的命令后立即以相同的速度分別往A、C兩個加油站駛?cè)ィY(jié)果往B站駛來的團(tuán)伙在1小時后就被其中一輛迎面而上的巡邏車堵截住，而另一團(tuán)伙經(jīng)過3小時后才被另一輛巡邏車追趕上．問巡邏車和犯罪團(tuán)伙的車的速度各是多少？
【答案】巡邏車的速度是80千米/時，犯罪團(tuán)伙的車的速度是40千米/時．
【解析】設(shè)巡邏車、犯罪團(tuán)伙的車的速度分別為x、y千米/時，則
，整理，得，解得，
因此，巡邏車的速度是80千米/時，犯罪團(tuán)伙的車的速度是40千米/時．
【變式訓(xùn)練3】（2023遼寧本溪）某禮品店經(jīng)銷A，B兩種禮品盒，第一次購進(jìn)A種禮品盒10盒，B種禮品盒15盒，共花費(fèi)2800元；第二次購進(jìn)A種禮品盒6盒，B種禮品盒5盒，共花費(fèi)1200元
（1）求購進(jìn)A，B兩種禮品盒的單價分別是多少元；
（2）若該禮品店準(zhǔn)備再次購進(jìn)兩種禮品盒共40盒，總費(fèi)用不超過4500元，那么至少購進(jìn)A種禮品盒多少盒？
【答案】（1）A禮品盒的單價是100元，B禮品盒的單價是120元；
（2）至少購進(jìn)A種禮品盒15盒．
【解析】【分析】（1）設(shè)A禮品盒的單價是a元，B禮品盒的單價是b元，根據(jù)題意列方程組即可得到結(jié)論；
（2）設(shè)購進(jìn)A禮品盒x盒，則購進(jìn)B禮品盒盒，根據(jù)題意列不等式即可得到結(jié)論．
【詳解】
（1）解：設(shè)A禮品盒的單價是a元，B禮品盒的單價是b元，
根據(jù)題意得：，
解得：，
答：A禮品盒的單價是100元，B禮品盒的單價是120元；
（2）解：設(shè)購進(jìn)A禮品盒x盒，則購進(jìn)B禮品盒盒，
根據(jù)題意得：，
解得：，
∵x為整數(shù)，
∴x的最小整數(shù)解為15，
∴至少購進(jìn)A種禮品盒15盒．
【點(diǎn)睛】本題考查了二元一次方程組的應(yīng)用，一元一次不等式的應(yīng)用，正確的理解題意是解題的關(guān)鍵．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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