資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
2024年數學中考一輪單元復習考點講析與達標檢測（人教版通用）
第一部分 29個單元的基礎知識與例題解析
專題11 三角形單元考點講析
(
課標要求
)
（1）理解三角形及其內角、外角、中線、高線、角平分線等概念, 了解三角形的穩定性。
（2）探索并證明三角形的內角和定理。掌握它的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。
（3）證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊。
（4）了解三角形重心的概念。
（5）了解多邊形⑴的概念及多邊形的頂點、邊、內角、外角與對 角線；探索并掌握多邊形內角和與外角和公式。
(
知識
點梳理
)
知識點1. 三角形的定義和分類
1.三角形的定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。
2.三角形的分類：
（1）按照角分類有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。
（2）按照邊分類有不等邊三角形和等腰三角形（等邊三角形）
知識點2.三角形三邊的關系
定理：三角形任意兩邊的和大于第三邊.
推論：三角形任意兩邊的差小于第三邊.
（1）理論依據：兩點之間線段最短.
（2）三邊關系的應用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．
（3）證明線段之間的不等關系.
知識點3.三角形的高、中線與角平分線
1．三角形的高。從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高．
三角形的高的數學語言：
如下圖，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC邊上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.
注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；
（1）三角形的高是線段；
（2）三角形有三條高，且相交于一點，這一點叫做三角形的垂心；
（3）三角形的三條高：
(ⅰ)銳角三角形的三條高在三角形內部，三條高的交點也在三角形內部；
(ⅱ)鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，且三條高的交點在三角形的外部；
(ⅲ)直角三角形三條高的交點是直角的頂點.
2．三角形的中線。三角形的一個頂點與它的對邊中點的連線叫三角形的中線．
三角形的中線的數學語言：
如下圖，AD是ΔABC的中線或AD是ΔABC的BC邊上的中線或BD＝CD＝BC.
（1）三角形的中線是線段；
(2)三角形三條中線全在三角形內部；
(3)三角形三條中線交于三角形內部一點，這一點叫三角形的重心；
(4)中線把三角形分成面積相等的兩個三角形.
3．三角形的角平分線。三角形一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.
三角形的角平分線的數學語言：
如下圖，AD是ΔABC的角平分線，或∠BAD＝∠CAD且點D在BC上.
注意：AD是ΔABC的角平分線∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .
（1）三角形的角平分線是線段；
（2）一個三角形有三條角平分線，并且都在三角形的內部；
（3）三角形三條角平分線交于三角形內部一點，這一點叫做三角形的內心；
（4）可以用量角器或圓規畫三角形的角平分線.
知識點4.三角形的穩定性
三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫三角形的穩定性。
知識點5.三角形的內角和定理：
1.三角形的內角和定理：三角形的內角和為180°
2.有兩個角互余的三角形是直角三角形。
3.推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。
4.三角形外角的性質：
性質1：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和。
性質2：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。
注：在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。
知識點6.多邊形
1.多邊形：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。
2.多邊形的內角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內角。
3.多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。
4.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。
5.正多邊形：在平面內，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。
6.平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面。
7.多邊形內角和公式：n邊形的內角和等于（n-2）·180°
8.多邊形的外角和：多邊形的外角和為360°。
9.多邊形對角線的條數：
（1）從n邊形的一個頂點出發可以引（n-3）條對角線，把多邊形分詞（n-2）個三角形。
（2）n邊形共有條對角線。
(
方法總結
)
由三角形中的三條重要線段的想到的
三角形的高、中線、角平分線是三條線段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中線可得線段之間的關系，由三角形的角平分線可得角之間的關系．另外，要注意區分三角形的中線和中位線．中線：連接三角形一個頂點和它對邊中點的線段；中位線：連接三角形兩條邊中點的線段.
(
例題解析
)
考點1.三角形三邊關系問題
【例題1】（2023福建）若某三角形的三邊長分別為3，4，m，則m的值可以是（　　）
A. 1 B. 5 C. 7 D. 9
【答案】B
【解析】根據三角形的三邊關系求解即可．
由題意，得，即，
故的值可選5，
故選：B．
【點睛】本題考查了三角形的三邊關系，熟練掌握三角形的三邊關系是解答的關鍵．
考點2.三角形的高、中線與角平分線三線問題
【例題2】（2023福建） 閱讀以下作圖步驟：
①在和上分別截取，使；
②分別以為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點；
③作射線，連接，如圖所示．
根據以上作圖，一定可以推得的結論是（ ）
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
【答案】A
【解析】由作圖過程可得：，再結合
可得，由全等三角形的性質可得即可解答．
【詳解】由作圖過程可得：，
∵，
∴．
∴．
∴A選項符合題意；
不能確定,則不一定成立，故B選項不符合題意；
不能確定,故C選項不符合題意，
不一定成立，則不一定成立，故D選項不符合題意．
故選A．
【點睛】本題主要考查了角平分線的尺規作圖、全等三角形的判定與性質等知識點，理解尺規作圖過程是解答本題的關鍵．
考點3.體現三角形的內角和定理
【例題3】（2023甘肅蘭州）如圖1是我國古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個正八邊形，窗外之境如同鑲嵌于一個畫框之中．如圖2是八角形空窗的示意圖，它的一個外角（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由正八邊形的外角和為，結合正八邊形的每一個外角都相等，再列式計算即可．
∵正八邊形的外角和為，
∴，
故選A
【點睛】本題考查的是正多邊形的外角問題，熟記多邊形的外角和為是解本題的關鍵．
【變式訓練1】（2023山東東營）如圖，，點在線段上（不與點，重合），連接，若，，則（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根據三角形的外角的性質求得，根據平行線的性質即可求解．
∵，，
∴，
∵，
∴，
故選：B．
【點睛】本題考查了三角形的外角的性質，平行線的性質，熟練掌握以上知識是解題的關鍵．
【變式訓練2】（2023山東聊城）如圖，分別過的頂點A，B作．若，，則的度數為（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根據兩直線平行，同位角相等，得到，利用三角形內角和定理計算即可．
∵，，
∴，
∵，
∴，
故選B．
【點睛】本題考查了平行線的性質，三角形內角和定理，熟練掌握平行線性質是解題的關鍵．
考點4.體現三角形的作圖問題
【例題4】（2023山東濱州）（1）已知線段，求作，使得；（請用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法．）
（2）求證：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．（請借助上一小題所作圖形，在完善的基礎上，寫出已知、求證與證明．）
【答案】（1）見解析；（2）見解析
【解析】【分析】（1）作射線，在上截取，過點作的垂線，在上截取，連接，則，即為所求；
（2）先根據題意畫出圖形，再證明．延長至使，連接、，因為是的中點，所以，因為，所以四邊形是平行四邊形，因為，所以四邊形是矩形，根據矩形的性質可得出結論．
【詳解】（1）如圖所示，即為所求；
（2）已知：如圖，為中斜邊上的中線，，
求證：.
證明：延長并截取.
∵為邊中線，∴，
∴四邊形為平行四邊形.
∵，
∴平行四邊形為矩形，
∴，
∴
【點睛】本題考查了作直角三角形，直角三角形的性質，矩形的性質與判定，解答此題的關鍵是作出輔助線，構造出矩形，利用矩形的性質解答．
考點5.多邊形問題
【例題5】（2023山東濟寧）已知一個多邊形的內角和為540°，則這個多邊形是______邊形．
【答案】5
【解析】設這個多邊形是n邊形，由題意得，
(n-2) ×180°=540°，解之得，n=5．
【變式訓練】（2023湖南永州）下列多邊形中，內角和等于的是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】根據n邊形內角和公式分別求解后，即可得到答案
A．三角形內角和是，故選項不符合題意；
B．四邊形內角和為，故選項符合題意；
C．五邊形內角和為，故選項不符合題意；
D．六邊形內角和為，故選項不符合題意．
故選：B．
【點睛】此題考查了n邊形內角和，熟記n邊形內角和公式是解題的關鍵．
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2024年數學中考一輪單元復習考點講析與達標檢測（人教版通用）
第一部分 29個單元的基礎知識與例題解析
專題11 三角形單元考點講析
(
課標要求
)
（1）理解三角形及其內角、外角、中線、高線、角平分線等概念, 了解三角形的穩定性。
（2）探索并證明三角形的內角和定理。掌握它的推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。
（3）證明三角形的任意兩邊之和大于第三邊。
（4）了解三角形重心的概念。
（5）了解多邊形⑴的概念及多邊形的頂點、邊、內角、外角與對 角線；探索并掌握多邊形內角和與外角和公式。
(
知識
點梳理
)
知識點1. 三角形的定義和分類
1.三角形的定義：由不在同一直線上的三條線段首尾順次相接所組成的圖形叫做三角形。
2.三角形的分類：
（1）按照角分類有銳角三角形、直角三角形、鈍角三角形。
（2）按照邊分類有不等邊三角形和等腰三角形（等邊三角形）
知識點2.三角形三邊的關系
定理：三角形任意兩邊的和大于第三邊.
推論：三角形任意兩邊的差小于第三邊.
（1）理論依據：兩點之間線段最短.
（2）三邊關系的應用：判斷三條線段能否組成三角形，若兩條較短的線段長之和大于最長線段的長，則這三條線段可以組成三角形；反之，則不能組成三角形．當已知三角形兩邊長，可求第三邊長的取值范圍．
（3）證明線段之間的不等關系.
知識點3.三角形的高、中線與角平分線
1．三角形的高。從三角形的一個頂點向它的對邊所在直線作垂線，頂點和垂足之間的線段叫做三角形的高線，簡稱三角形的高．
三角形的高的數學語言：
如下圖，AD是ΔABC的高，或AD是ΔABC的BC邊上的高，或AD⊥BC于D，或∠ADB＝∠ADC＝∠90°.
注意：AD是ΔABC的高∠ADB＝∠ADC＝90°(或AD⊥BC于D)；
（1）三角形的高是線段；
（2）三角形有三條高，且相交于一點，這一點叫做三角形的垂心；
（3）三角形的三條高：
(ⅰ)銳角三角形的三條高在三角形內部，三條高的交點也在三角形內部；
(ⅱ)鈍角三角形有兩條高在三角形的外部，且三條高的交點在三角形的外部；
(ⅲ)直角三角形三條高的交點是直角的頂點.
2．三角形的中線。三角形的一個頂點與它的對邊中點的連線叫三角形的中線．
三角形的中線的數學語言：
如下圖，AD是ΔABC的中線或AD是ΔABC的BC邊上的中線或BD＝CD＝BC.
（1）三角形的中線是線段；
(2)三角形三條中線全在三角形內部；
(3)三角形三條中線交于三角形內部一點，這一點叫三角形的重心；
(4)中線把三角形分成面積相等的兩個三角形.
3．三角形的角平分線。三角形一個內角的平分線與它的對邊相交，這個角的頂點與交點之間的線段叫做三角形的角平分線.
三角形的角平分線的數學語言：
如下圖，AD是ΔABC的角平分線，或∠BAD＝∠CAD且點D在BC上.
注意：AD是ΔABC的角平分線∠BAD＝∠DAC＝∠BAC (或∠BAC＝2∠BAD＝2∠DAC) .
（1）三角形的角平分線是線段；
（2）一個三角形有三條角平分線，并且都在三角形的內部；
（3）三角形三條角平分線交于三角形內部一點，這一點叫做三角形的內心；
（4）可以用量角器或圓規畫三角形的角平分線.
知識點4.三角形的穩定性
三角形的形狀是固定的，三角形的這個性質叫三角形的穩定性。
知識點5.三角形的內角和定理：
1.三角形的內角和定理：三角形的內角和為180°
2.有兩個角互余的三角形是直角三角形。
3.推論：三角形的外角等于與它不相鄰的兩個內角的和。
4.三角形外角的性質：
性質1：三角形的一個外角等于和它不相鄰的兩個內角的和。
性質2：三角形的一個外角大于任何一個和它不相鄰的內角。
注：在同一個三角形中：等角對等邊；等邊對等角；大角對大邊；大邊對大角。
知識點6.多邊形
1.多邊形：在平面內，由一些線段首尾順次相接組成的圖形叫做多邊形。
2.多邊形的內角：多邊形相鄰兩邊組成的角叫做它的內角。
3.多邊形的外角：多邊形的一邊與它的鄰邊的延長線組成的角叫做多邊形的外角。
4.多邊形的對角線：連接多邊形不相鄰的兩個頂點的線段，叫做多邊形的對角線。
5.正多邊形：在平面內，各個角都相等，各條邊都相等的多邊形叫做正多邊形。
6.平面鑲嵌：用一些不重疊擺放的多邊形把平面的一部分完全覆蓋，叫做用多邊形覆蓋平面。
7.多邊形內角和公式：n邊形的內角和等于（n-2）·180°
8.多邊形的外角和：多邊形的外角和為360°。
9.多邊形對角線的條數：
（1）從n邊形的一個頂點出發可以引（n-3）條對角線，把多邊形分詞（n-2）個三角形。
（2）n邊形共有條對角線。
(
方法總結
)
由三角形中的三條重要線段的想到的
三角形的高、中線、角平分線是三條線段，由三角形的高可得90°的角，由三角形的中線可得線段之間的關系，由三角形的角平分線可得角之間的關系．另外，要注意區分三角形的中線和中位線．中線：連接三角形一個頂點和它對邊中點的線段；中位線：連接三角形兩條邊中點的線段.
(
例題解析
)
考點1.三角形三邊關系問題
【例題1】（2023福建）若某三角形的三邊長分別為3，4，m，則m的值可以是（　　）
A. 1 B. 5 C. 7 D. 9
考點2.三角形的高、中線與角平分線三線問題
【例題2】（2023福建） 閱讀以下作圖步驟：
①在和上分別截取，使；
②分別以為圓心，以大于的長為半徑作弧，兩弧在內交于點；
③作射線，連接，如圖所示．
根據以上作圖，一定可以推得的結論是（ ）
A. 且 B. 且
C. 且 D. 且
考點3.體現三角形的內角和定理
【例題3】（2023甘肅蘭州）如圖1是我國古建筑墻上采用的八角形空窗，其輪廓是一個正八邊形，窗外之境如同鑲嵌于一個畫框之中．如圖2是八角形空窗的示意圖，它的一個外角（ ）
A. B. C. D.
【變式訓練1】（2023山東東營）如圖，，點在線段上（不與點，重合），連接，若，，則（ ）
A. B. C. D.
【變式訓練2】（2023山東聊城）如圖，分別過的頂點A，B作．若，，則的度數為（ ）
A. B. C. D.
考點4.體現三角形的作圖問題
【例題4】（2023山東濱州）（1）已知線段，求作，使得；（請用尺規作圖，保留作圖痕跡，不寫作法．）
（2）求證：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半．（請借助上一小題所作圖形，在完善的基礎上，寫出已知、求證與證明．）
考點5.多邊形問題
【例題5】（2023山東濟寧）已知一個多邊形的內角和為540°，則這個多邊形是______邊形．
【變式訓練】（2023湖南永州）下列多邊形中，內角和等于的是（ ）
A. B. C. D.
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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