資源簡介

7.1.1　數(shù)系的擴(kuò)充和復(fù)數(shù)的概念
課標(biāo)要求
通過方程的解，了解引進(jìn)復(fù)數(shù)的必要性，認(rèn)識復(fù)數(shù)，理解復(fù)數(shù)的基本概念及復(fù)數(shù)相等的充要條件．
素養(yǎng)要求
通過理解復(fù)數(shù)的基本概念及復(fù)數(shù)相等的有關(guān)知識，體會數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
知識點(diǎn) 1　復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
1．復(fù)數(shù)的定義
我們把形如a＋bi(a，b∈R)的數(shù)叫做_復(fù)數(shù)__，其中i叫做_虛數(shù)單位__全體復(fù)數(shù)所構(gòu)成的集合C＝{a＋bi|a，b∈R}叫做_復(fù)數(shù)集__.規(guī)定i·i＝i2＝_－1__.
2．復(fù)數(shù)的表示
復(fù)數(shù)通常用字母z表示，即z＝a＋bi(a，b∈ R　)，a與b分別叫做復(fù)數(shù)z的_實(shí)部與虛部__.
想一想：
數(shù)系是如何逐步擴(kuò)充的？
提示：數(shù)系的每一次擴(kuò)充都與實(shí)際需求密切相關(guān)．由計(jì)算的需要，得自然數(shù)(正整數(shù)和零)，為表示和正整數(shù)具有相反意義的量，如解方程x＋3＝1，得負(fù)整數(shù)，負(fù)整數(shù)和自然數(shù)統(tǒng)稱為整數(shù)；由測量、分配中的等分，如解方程3x＝5，得分?jǐn)?shù)(由有限小數(shù)和循環(huán)小數(shù)組成)，分?jǐn)?shù)和整數(shù)統(tǒng)稱為有理數(shù)；為解決正方形對角線的度量，如解方程x2＝2，得無理數(shù)，即無限不循環(huán)小數(shù)，無理數(shù)和有理數(shù)統(tǒng)稱為實(shí)數(shù)；為解決負(fù)實(shí)數(shù)不能開平方的問題，如解方程x2＝－1，得虛數(shù)，虛數(shù)和實(shí)數(shù)統(tǒng)稱為復(fù)數(shù)．
[提醒]　復(fù)數(shù)概念的三點(diǎn)說明
(1)復(fù)數(shù)集是最大的數(shù)集，任何一個(gè)數(shù)都可以寫成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
(2)復(fù)數(shù)的虛部是實(shí)數(shù)b而非bi.
(3)復(fù)數(shù)z＝a＋bi只有在a，b∈R時(shí)才是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，否則不是．
練一練：
1．復(fù)數(shù)z＝2＋5i的實(shí)部等于_2__，虛部等于_5__.
2．若復(fù)數(shù)z＝(2a－1)＋(3＋a)i(a∈R)的實(shí)部與虛部相等，則a＝_4__.
[解析]　由題意知2a－1＝3＋a，
解得a＝4.
知識點(diǎn) 2　復(fù)數(shù)的分類
1．復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)
2．復(fù)數(shù)集、實(shí)數(shù)集、虛數(shù)集、純虛數(shù)集之間的關(guān)系
想一想：
為什么虛數(shù)不能比較大小？
提示：引入虛數(shù)單位i后，規(guī)定i2＝－1，但i與0的大小關(guān)系不能確定．理由如下：若i>0，則2i>i，兩邊同乘i，得2i2>i2，即－2>－1，與實(shí)數(shù)系中數(shù)大小規(guī)定相矛盾；若i<0，則－2<－1 －2i>－i －2i·i<－i·i 2<1，與實(shí)數(shù)系中數(shù)的大小規(guī)定也是矛盾的．
故虛數(shù)不能比較大小，只有相等與不相等之分．
若兩個(gè)復(fù)數(shù)用“>”或“<”連接，則必為實(shí)數(shù)．
知識點(diǎn) 3　復(fù)數(shù)相等的充要條件
設(shè)a，b，c，d都是實(shí)數(shù)，則a＋bi＝c＋di _a＝c且b＝d__.a＋bi＝0 _a＝b＝0__.
[提醒]　兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件
(1)在兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的條件中，注意前提條件是a，b，c，d∈R，即當(dāng)a，b，c，d∈R時(shí)，a＋bi＝c＋di a＝c且b＝d.若忽略前提條件，則結(jié)論不能成立．
(2)利用該條件把復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分離出來，達(dá)到“化虛為實(shí)”的目的，從而將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題來求解．
練一練：
1．在復(fù)數(shù)1＋2i，－，0,4i，－3－i中，不是虛數(shù)的為 －，0　.
2．若復(fù)數(shù)z＝(m－2)＋(m＋1)i是純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)m＝_2__.
[解析]　由題意解得m＝2.
3．已知x，y∈R，若x＋3i＝(y－2)i，則x＋y＝_5__.
[解析]　由題可知，x＝0，y－2＝3，∴y＝5，∴x＋y＝5.
題型探究
題型一　復(fù)數(shù)的概念
典例1　(1)給出下列三個(gè)命題：①若z∈C，則z2≥0；②2i－1虛部是2i；③2i的實(shí)部是0.其中真命題的個(gè)數(shù)為( B )
A．0　　　　　　　　 B．1
C．2 D．3
(2)已知復(fù)數(shù)z＝a2－(2－b)i的實(shí)部和虛部分別是2和3，則實(shí)數(shù)a，b的值分別是 ±，5　.
(3)判斷下列命題的真假．
①若x，y∈C，則x＋yi＝1＋2i的充要條件是x＝1，y＝2；
②若實(shí)數(shù)a與ai對應(yīng)，則實(shí)數(shù)集與純虛數(shù)集一一對應(yīng)；
③實(shí)數(shù)集的補(bǔ)集是虛數(shù)集．
[解析]　(1)對于①，當(dāng)z∈R時(shí)，z2≥0成立，否則不成立，如z＝i，z2＝－1＜0，所以①為假命題；
對于②，2i－1＝－1＋2i，其虛部為2，不是2i，所以②為假命題；
對于③，2i＝0＋2i，其實(shí)部是0，所以③為真命題．
(2) 由題意得：a2＝2，－(2－b)＝3，
所以a＝±，b＝5.
(3)①由于x，y都是復(fù)數(shù)，故x＋yi不一定是代數(shù)形式，因此不符合兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的充要條件，故①是假命題．
②當(dāng)a＝0時(shí)，ai＝0為實(shí)數(shù)，故②為假命題．
③由復(fù)數(shù)集的分類知，③正確，是真命題．
[歸納提升]　判斷與復(fù)數(shù)有關(guān)的命題是否正確的方法
1．舉反例：判斷一個(gè)命題為假命題，只要舉一個(gè)反例即可，所以解答這類型題時(shí)，可按照“先特殊，后一般，先否定，后肯定”的方法進(jìn)行解答．
2．化代數(shù)式：對于復(fù)數(shù)實(shí)部、虛部的確定，不但要把復(fù)數(shù)化為a＋bi的形式，更要注意這里a，b均為實(shí)數(shù)時(shí)，才能確定復(fù)數(shù)的實(shí)、虛部．
特別提醒：解答復(fù)數(shù)概念題，一定要緊扣復(fù)數(shù)的定義，牢記i的性質(zhì)．
對點(diǎn)練習(xí) (多選題)下列說法中，錯誤的是( ABD )
A．復(fù)數(shù)由實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛數(shù)構(gòu)成
B．若復(fù)數(shù)z＝3m＋2ni，則其實(shí)部與虛部分別為3m,2n
C．在復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)中，若x≠0，則復(fù)數(shù)z一定不是純虛數(shù)
D．若a∈R，a≠0，則(a＋3)i是純虛數(shù)
[解析]　A錯，復(fù)數(shù)由實(shí)數(shù)與虛數(shù)構(gòu)成，在虛數(shù)中又分為純虛數(shù)和非純虛數(shù)．B錯，只有當(dāng)m，n∈R時(shí)，才能說復(fù)數(shù)z＝3m＋2ni的實(shí)部與虛部分別為3m,2n.C正確，復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)為純虛數(shù)的條件是x＝0且y≠0，只要x≠0，則復(fù)數(shù)z一定不是純虛數(shù)．D錯，只有當(dāng)a∈R，且a≠－3時(shí)，(a＋3)i才是純虛數(shù).
題型二　復(fù)數(shù)的分類及其應(yīng)用
典例2　已知m∈R，復(fù)數(shù)z＝＋(m2＋2m－1)i，當(dāng)m為何值時(shí)：
(1)z∈R
(2)z是虛數(shù)？
(3)z是純虛數(shù)？
[分析]　根據(jù)復(fù)數(shù)分類的標(biāo)準(zhǔn)及條件，建立關(guān)于實(shí)數(shù)m的方程或不等式(組)，求解m滿足的條件．
[解析]　(1)m2＋2m－1＝0且m－1≠0，
即m＝－1±時(shí)，z為實(shí)數(shù)．
(2)當(dāng)m2＋2m－1≠0且m－1≠0.
即m≠－1±且m≠1時(shí)，z為虛數(shù)．
(3)當(dāng)＝0且m2＋2m－1≠0，
即m＝0或－2時(shí)，z為純虛數(shù)．
[歸納提升]　利用復(fù)數(shù)的分類求參數(shù)的方法及注意事項(xiàng)．
1．利用復(fù)數(shù)的分類求參數(shù)時(shí)，首先應(yīng)將復(fù)數(shù)化為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b∈R)，若不是這種形式，應(yīng)先化為這種形式，得到實(shí)部與虛部，再求解．
2．要注意確定使實(shí)部、虛部的式子有意義的條件，再結(jié)合實(shí)部與虛部的取值求解．
3．要特別注意復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)為純虛數(shù)的充要條件是a＝0，且b≠0.
對點(diǎn)練習(xí) 已知復(fù)數(shù)z＝3m2－7m＋2＋(2m2－5m＋2)i.
(1)若z為實(shí)數(shù)，求m的值；
(2)若z為純虛數(shù)，求m的值．
[解析]　(1)由題意得2m2－5m＋2＝0，得m＝2或m＝.
(2)由題意得解得m＝.
題型三　復(fù)數(shù)相等的條件
典例3　已知x是實(shí)數(shù)，y是純虛數(shù)，且滿足(3x－10)＋i＝y(tǒng)－3i，求x與y.
[分析]　因?yàn)閥是純虛數(shù)，所以可設(shè)y＝bi(b∈R，b≠0)代入等式，把等式的左、右兩邊都整理成a＋bi的形式后，可利用復(fù)數(shù)相等的充要條件得到關(guān)于x與b的方程組，求解后得x與b的值．
[解析]　設(shè)y＝bi(b∈R且b≠0)代入(3x－10)＋i＝y(tǒng)－3i，
整理得(3x－10)＋i＝bi－3i，
由復(fù)數(shù)相等的充要條件得解得
∴x＝，y＝4i.
[歸納提升]　復(fù)數(shù)相等問題的解題技巧
(1)必須是復(fù)數(shù)的代數(shù)形式才可以根據(jù)實(shí)部與實(shí)部相等，虛部與虛部相等列方程組求解．
(2)根據(jù)復(fù)數(shù)相等的條件，將復(fù)數(shù)問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題，為應(yīng)用方程思想提供了條件，同時(shí)這也是復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化思想的體現(xiàn)．
對點(diǎn)練習(xí) 定義運(yùn)算：＝ad－bc，若復(fù)數(shù)z＝x＋yi(x，y∈R)滿足＝2，求xy的值．
[解析]　因?yàn)檫\(yùn)算：＝ad－bc，
所以＝2，即為z－1＝2，則z＝3，
因?yàn)閦＝x＋yi(x，y∈R)，
所以則xy＝0.
易錯警示
對復(fù)數(shù)相關(guān)概念的理解不清致誤
典例4　給出下列命題：(1)若x＋yi＝0，則x＝y(tǒng)＝0；(2)若a＋bi＝3＋8i，則a＝3，b＝8；(3)若x為實(shí)數(shù)，且(x2－4)＋(x2＋2x)i是純虛數(shù)，則x＝±2；(4)若x，m∈R且3x＋mi<0，則有x<0.其中正確命題的序號是_(4)__.
[錯解]　(1)(2)(4)
[錯因分析]　a，b∈R是復(fù)數(shù)代數(shù)形式定義中的必不可少的條件，忽視了這一條件，就會導(dǎo)致錯誤的答案．
[正解]　 命題(1)和(2)都是錯誤的，原因是沒有x，y∈R，a，b∈R的限制條件，因此相應(yīng)結(jié)論都是錯誤的；命題(3)也是錯誤的，事實(shí)上，當(dāng)(x2－4)＋(x2＋2x)i是純虛數(shù)時(shí)，應(yīng)有所以x＝2；(4)是正確的，因?yàn)橛?x＋mi<0可得即x<0.
[誤區(qū)警示]　復(fù)數(shù)中的許多結(jié)論，都是建立在復(fù)數(shù)為標(biāo)準(zhǔn)的代數(shù)形式這一條件下的，如果沒有這一條件，相應(yīng)結(jié)論不一定能夠成立．例如：a＋bi＝0 a＝b＝0成立的條件是a，b∈R；a＋bi＝c＋di a＝c，b＝d成立的條件是a，b，c，d∈R.另外，復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)為純虛數(shù)的條件是a＝0，且b≠0，切記不能丟掉“b≠0”這一條件．
對點(diǎn)練習(xí) 已知i為虛數(shù)單位，下列說法正確的是( C )
A．若x2＋1＝0，則x＝i
B．實(shí)部為零的復(fù)數(shù)是純虛數(shù)
C．z＝(x2＋1)i可能是實(shí)數(shù)
D．復(fù)數(shù)z＝2＋i的虛部是i
[解析]　x＝±i，A說法不正確；
實(shí)部為零的復(fù)數(shù)可能虛部也為零，從而是實(shí)數(shù)，B說法不正確；
當(dāng)x＝i時(shí)，z＝(x2＋1)i是實(shí)數(shù)，C說法正確；
復(fù)數(shù)z＝2＋i的虛部是1，D說法不正確．
故選C．
1．(2022·無錫高一檢測)已知a是實(shí)數(shù)，則復(fù)數(shù)(a2－2a)＋(a2＋a－6)i為純虛數(shù)的充要條件是( B )
A．a(chǎn)＝0或a＝2
B．a(chǎn)＝0
C．a(chǎn)∈R且a≠2且a≠－3
D．a(chǎn)∈R，且a≠2
[解析]　由復(fù)數(shù)(a2－2a)＋(a2＋a－6)i為純虛數(shù)，則解得a＝0.
2．(1＋)i的實(shí)部與虛部分別是( C )
A．1，　　　　　　　 B．1＋，0
C．0,1＋ D．0，(1＋)i
[解析]　(1＋)i可看作0＋(1＋)i＝a＋bi(a，b∈R)，
所以實(shí)部a＝0，虛部b＝1＋.
3．若復(fù)數(shù)z＝＋(m＋2)i的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)m的值為 －　.
[解析]　由條件知＝m＋2且m－1≠0，
∴m2＋4m＝m2＋m－2，∴m＝－.
4．若復(fù)數(shù)z＝(m＋1)＋(m2－9)i<0，則實(shí)數(shù)m的值等于_－3__.
[解析]　∵z<0，∴，∴m＝－3.
5．(多選題)已知復(fù)數(shù)z＝cos α＋icos 2α(0<α<2π)的實(shí)部與虛部互為相反數(shù)，則α的取值為( ABD )
A．π B．
C． D．
[解析]　由條件，知cos α＋cos 2α＝0，
∴2cos2α＋cos α－1＝0，
解得cos α＝－1或.
又0<α<2π，∴α＝π或或.7.1.2　復(fù)數(shù)的幾何意義
課標(biāo)要求
理解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示及其幾何意義，掌握用向量的模表示復(fù)數(shù)模的方法，理解共軛復(fù)數(shù)的概念．
素養(yǎng)要求
通過復(fù)數(shù)代數(shù)形式及其幾何意義的理解、復(fù)數(shù)模的運(yùn)用，共軛復(fù)數(shù)的概念的理解，體會數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
知識點(diǎn) 1　復(fù)平面
建立直角坐標(biāo)系來表示復(fù)數(shù)的平面叫做_復(fù)平面__，x軸叫做_實(shí)軸__，y軸叫做_虛軸__.實(shí)軸上的點(diǎn)都表示_實(shí)數(shù)__；除了原點(diǎn)外，虛軸上的點(diǎn)都表示純虛數(shù)．
知識點(diǎn) 2　復(fù)數(shù)的幾何意義
[提醒]　復(fù)數(shù)幾何意義的兩個(gè)注意點(diǎn)
(1)復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)：復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的對應(yīng)點(diǎn)的坐標(biāo)為(a，b)而不是(a，bi)．
(2)復(fù)數(shù)與向量的對應(yīng)：復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的對應(yīng)向量是以原點(diǎn)O為起點(diǎn)的，否則就談不上一一對應(yīng)，因?yàn)閺?fù)平面上與相等的向量有無數(shù)個(gè)．
想一想：
如何理解復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)的一一對應(yīng)關(guān)系？
提示：(1)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z的坐標(biāo)是(a，b)，而不是(a，bi)，也就是說，復(fù)平面內(nèi)的虛軸上的單位長度是1，而不是i.
(2)當(dāng)a＝0，b≠0時(shí)，a＋bi＝0＋bi＝bi是純虛數(shù)，所以虛軸上的點(diǎn)(0，b)(b≠0)都表示純虛數(shù)．
(3)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)中的z書寫時(shí)應(yīng)小寫；復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)Z(a，b)中的Z書寫時(shí)應(yīng)大寫．
練一練：
1．判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)原點(diǎn)是實(shí)軸和虛軸的交點(diǎn)．( √ )
(2)在復(fù)平面內(nèi)，虛數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對應(yīng)．( × )
(3)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的無數(shù)多個(gè)向量對應(yīng)．( √ )
2．復(fù)數(shù)z＝3－5i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)是_(3，－5)__.
3．若＝(0，－3)，則對應(yīng)的復(fù)數(shù)z＝_－3i__.
知識點(diǎn) 3　復(fù)數(shù)的模
向量的模稱為復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模或絕對值，記作_|z|__或_|a＋bi|__.即|z|＝|a＋bi|＝ 　，其中a，b∈R.如果b＝0，那么z＝a＋bi是一個(gè)實(shí)數(shù)a，它的模就等于_|a|__(a的絕對值)．
[拓展]　對復(fù)數(shù)模的三點(diǎn)說明
(1)數(shù)學(xué)上所謂大小的定義是：在(實(shí))數(shù)軸上右邊的比左邊的大，而復(fù)數(shù)的表示要引入虛數(shù)軸，在平面上表示，所以也就不符合關(guān)于大和小的定義，而且定義復(fù)數(shù)的大小也沒有什么意義，所以我們說兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小．
(2)數(shù)的角度理解：復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)的模|a＋bi|＝，兩個(gè)虛數(shù)不能比較大小，但它們的模表示實(shí)數(shù)，可以比較大小．
(3)幾何角度理解：|z|表示復(fù)數(shù)的點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離．|z1－z2|表示復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．
練一練：
若復(fù)數(shù)z＝a－2ai的模等于，則實(shí)數(shù)a的值為_±1__.
[解析]　由題意可得＝，所以a2＝1，a＝±1.
知識點(diǎn) 4　共軛復(fù)數(shù)
(1)定義：當(dāng)兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部_相等__，虛部_互為相反數(shù)__時(shí)，這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做互為共軛復(fù)數(shù)．虛部不等于0的兩個(gè)共軛復(fù)數(shù)也叫做共軛虛數(shù)．
(2)表示方法：復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)用表示，即如果z＝a＋bi(a，b∈R)，那么＝ a－bi　.
想一想：
共軛復(fù)數(shù)有什么性質(zhì)？
提示：(1)代數(shù)性質(zhì)：實(shí)部相等，虛部互為相反數(shù)．
(2)幾何性質(zhì)：關(guān)于實(shí)軸對稱．
(3)實(shí)數(shù)a的共軛復(fù)數(shù)仍是a本身，即z∈C，z＝ z∈R，這是判斷一個(gè)復(fù)數(shù)是否為實(shí)數(shù)的一個(gè)準(zhǔn)則．
練一練：
1．已知i為虛數(shù)單位，若(x－2)＋yi和3x－i互為共軛復(fù)數(shù)，則實(shí)數(shù)x，y的值分別是( D )
A．3,3 B．5,1
C．－1，－1 D．－1,1
[解析]　∵(x－2)＋yi和3x－i互為共軛復(fù)數(shù)，
∴解得
2．若復(fù)數(shù)a＋1＋(1－a)i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第二象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( B )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
[解析]　因?yàn)閦＝a＋1＋(1－a)i，
所以它在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為(a＋1,1－a)．
又因?yàn)榇它c(diǎn)在第二象限，所以解得a<－1，故選B．
3．已知復(fù)數(shù)z＝1＋2i(i是虛數(shù)單位)，則|z|＝ 　.
[解析]　∵z＝1＋2i，∴|z|＝＝.
題型探究
題型一　復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對應(yīng)
典例1　當(dāng)k為何實(shí)數(shù)時(shí)，復(fù)數(shù)z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i對應(yīng)的點(diǎn)位于：(1)x軸正半軸上；(2)y軸負(fù)半軸上；(3)第四象限的角平分線上．
[分析]　根據(jù)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，得到復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部之間應(yīng)滿足的條件，建立關(guān)于a的方程或不等式，即可求得實(shí)數(shù)a的值(或取值范圍)．
[解析]　∵k∈R，∴k2－3k－4，k2－5k－6都是實(shí)數(shù)，
∴復(fù)數(shù)z＝k2－3k－4＋(k2－5k－6)i對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為(k2－3k－4，k2－5k－6)．
(1)由題意得解得k＝6.
∴k＝6時(shí)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在x軸的正半軸上．
(2)由題意得解得k＝4.
∴k＝4時(shí)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于y軸的負(fù)半軸上．
(3)由題意得解得k＝5.
∴k＝5時(shí)，復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)位于第四象限的角平分線上．
[歸納提升]　1.復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系的實(shí)質(zhì)：復(fù)數(shù)的實(shí)部就是其對應(yīng)點(diǎn)的橫坐標(biāo)，復(fù)數(shù)的虛部就是其對應(yīng)點(diǎn)的縱坐標(biāo)．
2．已知復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)滿足的條件求參數(shù)值(或取值范圍)時(shí)，可根據(jù)復(fù)數(shù)與點(diǎn)的對應(yīng)關(guān)系，找到復(fù)數(shù)實(shí)部與虛部應(yīng)滿足的條件，通過解方程(組)或不等式(組)求得參數(shù)值(或取值范圍)．
對點(diǎn)練習(xí) (1)復(fù)數(shù)z＝－1－2i(i為虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于( C )
A．第一象限　　　　　 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
(2)若z＝(m＋1)－(m－1)i(i是虛數(shù)單位，m∈R)對應(yīng)的點(diǎn)在復(fù)平面內(nèi)位于第四象限，則( B )
A．m<－1 B．m>1
C．－11
[解析]　(1)z＝－1－2i對應(yīng)點(diǎn)Z(－1，－2)，位于第三象限.
(2)復(fù)數(shù)z＝(m＋1)－(m－1)i＝(m＋1)＋(1－m)i表示的點(diǎn)為(m＋1,1－m)，
由題設(shè)知，解得m>1.
故選B．
題型二　復(fù)數(shù)與向量的對應(yīng)
典例2　(1)在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)10＋7i，－6＋i對應(yīng)的點(diǎn)分別為A，B．若C為線段AB的中點(diǎn)，則點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)是( C )
A．4＋8i B．16＋6i
C．2＋4i D．8＋3i
(2)在復(fù)平面內(nèi)，A，B，C三點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1,2＋i，－1＋2i.
①求向量，，對應(yīng)的復(fù)數(shù)；
②判定△ABC的形狀．
[分析]　根據(jù)復(fù)數(shù)與點(diǎn)、復(fù)數(shù)與向量的關(guān)系求解．
[解析]　(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)分別為A(10,7)，B(－6，1)，則C(2,4)．故其對應(yīng)的復(fù)數(shù)為2＋4i.
(2)①由復(fù)數(shù)的幾何意義知：
＝(1,0)，＝(2,1)，＝(－1,2)，
所以＝－＝(1,1)，＝－＝(－2,2)，＝－＝(－3,1)，所以，，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋i，－2＋2i，－3＋i.
②因?yàn)閨|＝，||＝2，||＝，
所以||2＋||2＝||2，
所以△ABC是以BC為斜邊的直角三角形．
[歸納提升]　1.若復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的向量＝(a，b)．
2．復(fù)平面內(nèi)向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)可通過向量的坐標(biāo)運(yùn)算求得．
3．一個(gè)向量不管怎樣平移，它所對應(yīng)的復(fù)數(shù)是不變的，但其起點(diǎn)與終點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)可能改變．
對點(diǎn)練習(xí) (1)已知在復(fù)平面中，O是原點(diǎn)，向量，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為2－3i，－3＋2i，那么向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是( B )
A．－5＋5i B．5－5i
C．5＋5i D．－5－5i
(2)在復(fù)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1－2i，若點(diǎn)A關(guān)于實(shí)軸的對稱點(diǎn)為B，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為( D )
A．－2－i B．2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
[解析]　(1)向量，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別記作z1＝2－3i，z2＝－3＋2i，根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對應(yīng)，可得向量＝(2，－3)，＝(－3,2)．
由向量減法的坐標(biāo)運(yùn)算可得向量＝－＝(2＋3，－3－2)＝(5，－5)，
根據(jù)復(fù)數(shù)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)一一對應(yīng)，可得向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是5－5i.
(2)∵對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1－2i，
∴A(－1，－2)．
∴B(－1,2)，
∴對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1＋2i.故選D．
題型三　復(fù)數(shù)的模
典例3　(1)已知復(fù)數(shù)z1＝＋i，z2＝－＋i，求|z1|及|z2|并比較大小；
(2)已知復(fù)數(shù)z滿足z＋|z|＝2＋8i，求復(fù)數(shù)z.
[分析]　(1)根據(jù)求模公式進(jìn)行計(jì)算；
(2)設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，代入等式后，可利用復(fù)數(shù)相等的充要條件求出a，b.
[解析]　(1)|z1|＝|＋i|＝＝2，
|z2|＝＝1，
所以|z1|>|z2|.
(2)解法一：設(shè)z＝a＋bi(a、b∈R)，
則|z|＝，
代入方程得a＋bi＋＝2＋8i，
∴解得∴z＝－15＋8i.
解法二：原式可化為z＝2－|z|＋8i，
∵|z|∈R，∴2－|z|是z的實(shí)部，
于是|z|＝，
即|z|2＝68－4|z|＋|z|2，∴|z|＝17.
代入z＝2－|z|＋8i得z＝－15＋8i.
[歸納提升]　(1)復(fù)數(shù)的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，因此復(fù)數(shù)的模可以比較大小．
(2)根據(jù)復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式|a＋bi|＝(a，b∈R)可把復(fù)數(shù)模的問題轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)問題解決．
對點(diǎn)練習(xí) 設(shè)z為純虛數(shù)，且|z－1|＝|－1＋i|，則復(fù)數(shù)z＝_±i__.
[解析]　因?yàn)閦為純虛數(shù)，所以設(shè)z＝ai(a∈R，且a≠0)，
則|z－1|＝|ai－1|＝.
又因?yàn)閨－1＋i|＝，
所以＝，即a2＝1，所以a＝±1，即z＝±i.
題型四　復(fù)數(shù)的模的幾何意義
典例4　設(shè)z∈C，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)Z，試說明滿足下列條件的點(diǎn)Z的集合是什么圖形．
(1)|z|＝2；
(2)1≤|z|≤2.
[解析]　(1)解法一：|z|＝2說明復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離為2，這樣的點(diǎn)Z的集合是以原點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓．
解法二：設(shè)z＝a＋bi，由|z|＝2，得a2＋b2＝4.
故點(diǎn)Z對應(yīng)的集合是以原點(diǎn)O為圓心，2為半徑的圓．
(2)不等式1≤|z|≤2可以轉(zhuǎn)化為不等式組
不等式|z|≤2的解集是圓|z|＝2及該圓內(nèi)部所有點(diǎn)的集合．
不等式|z|≥1的解集是圓|z|＝1及該圓外部所有點(diǎn)的集合．
這兩個(gè)集合的交集，就是滿足條件1≤|z|≤2的點(diǎn)的集合．
如圖所示中的陰影部分，
所求點(diǎn)的集合是以原點(diǎn)O為圓心，以1和2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)，并且包括圓環(huán)的邊界．
[歸納提升]　解決復(fù)數(shù)的模的幾何意義的問題應(yīng)把握的兩個(gè)關(guān)鍵點(diǎn)：一是|z|表示點(diǎn)Z到原點(diǎn)的距離，可依據(jù)|z|滿足的條件判斷點(diǎn)Z的集合表示的圖形；二是利用復(fù)數(shù)的模的概念，把模的問題轉(zhuǎn)化為幾何問題來解決．
對點(diǎn)練習(xí) 已知復(fù)數(shù)z的模為2，求|z－i|的最大值．
[解析]　如圖所示，由|z|＝2，可知z對應(yīng)的點(diǎn)在以原點(diǎn)為圓心，2為半徑的圓上，于是本題轉(zhuǎn)化為在這個(gè)圓上求到點(diǎn)Q(0,1)的距離的最大值．顯然圓上的點(diǎn)P(0，－2)到點(diǎn)Q的距離最大，最大值為3.
易錯警示
混淆復(fù)數(shù)的模與實(shí)數(shù)的絕對值致誤
典例5　已知復(fù)數(shù)z滿足|z|2－2|z|－3＝0，則復(fù)數(shù)z對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是( A )
A．1個(gè)圓　　　　　　　　　 B．線段
C．2個(gè)點(diǎn)　　　　　　　　 D．2個(gè)圓
[錯解]　由題意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，即|z|＝3或|z|＝－1，故選D．
[錯因分析]　錯解中忽視了“|z|”的幾何意義導(dǎo)致錯誤.
[正解]　由題意可知(|z|－3)(|z|＋1)＝0，
即|z|＝3或|z|＝－1.
∵|z|≥0，∴|z|＝－1應(yīng)舍去，故應(yīng)選A．
[誤區(qū)警示]　由復(fù)數(shù)模的定義和復(fù)數(shù)的幾何意義知，|z|表示z在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)到原點(diǎn)的距離，因此|z|≥0.z＝i時(shí)，z2＝－1，但|z|≠－1，不要作錯誤的遷移．
對點(diǎn)練習(xí) 已知復(fù)數(shù)z1＝2－2i.
(1)求|z1|；
(2)若|z|＝1，試求復(fù)數(shù)z和z1所對應(yīng)的兩點(diǎn)間的距離的最大值．
[解析]　(1)|z1|＝＝2.
(2)由于|z|＝1，故復(fù)數(shù)z所對應(yīng)的點(diǎn)的軌跡是以原點(diǎn)為圓心，以1為半徑的圓，而z1所對應(yīng)的點(diǎn)為Z1(2，－2)，則所求距離的最大值可以看成點(diǎn)(2，－2)到圓心的距離再加1.由圖可知，最大值為2＋1.
1．已知a、b∈R，那么在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)于復(fù)數(shù)a－bi，－a－bi的兩個(gè)點(diǎn)的位置關(guān)系是( B )
A．關(guān)于實(shí)軸對稱
B．關(guān)于虛軸對稱
C．關(guān)于原點(diǎn)對稱
D．關(guān)于直線y＝x對稱
[解析]　在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)于復(fù)數(shù)a－bi，－a－bi的兩個(gè)點(diǎn)為(a，－b)和(－a，－b)關(guān)于y軸對稱．
2．在復(fù)平面內(nèi)，O為原點(diǎn)，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1＋2i，若點(diǎn)A關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為B，則向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為( A )
A．－1－2i B．－2＋i
C．1＋2i D．－1＋2i
[解析]　∵A(－1,2)關(guān)于x軸的對稱點(diǎn)為B(－1，－2)，∴向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1－2i.
3．設(shè)z＝a＋(a＋1)i(a，b∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為M，則“點(diǎn)M在第一象限”是“a>－1”的( A )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．既不充分也不必要條件
D．充要條件
[解析]　根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義可知，若點(diǎn)M在第一象限，則
得a>0，則{a|a>0}?{a|a>－1}，
所以“點(diǎn)M在第一象限”是“a>－1”的充分不必要條件．
故選A．
4．已知z1＝5＋3i，z2＝5＋4i，則下列各式正確的是( D )
A．z1>z2 B．z1C．|z1|>|z2| D．|z1|<|z2|
[解析]　不全為實(shí)數(shù)的兩個(gè)復(fù)數(shù)不能比較大小，排除選項(xiàng)A，B．
又|z1|＝，|z2|＝，∴|z1|<|z2|.
故選D．
5．已知復(fù)數(shù)z＝a－i(a∈R)對應(yīng)的點(diǎn)都在圓心在原點(diǎn)的單位圓內(nèi)(不含內(nèi)界)，則a的取值范圍是 　.
[解析]　由復(fù)數(shù)的幾何意義知復(fù)數(shù)z＝a－i對應(yīng)的點(diǎn)為，由解析幾何的相關(guān)知識可知要滿足題中的條件，只需使<1，
即a2＋<1，解得－所以a的取值范圍是.7.2.1　復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算及其幾何意義
課標(biāo)要求
熟練掌握復(fù)數(shù)的代數(shù)形式的加、減運(yùn)算法則，理解復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義．
素養(yǎng)要求
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)，體會數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)及數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng).
知識點(diǎn) 1　復(fù)數(shù)的加、減法運(yùn)算法則
設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，
則z1＋z2＝ (a＋c)＋(b＋d)i　，
z1－z2＝_(a－c)＋(b－d)i__.
知識點(diǎn) 2　復(fù)數(shù)加法的運(yùn)算律
(1)交換律：_z1＋z2＝z2＋z1__；
(2)結(jié)合律：(z1＋z2)＋z3＝_z1＋(z2＋z3)__.
[拓展]　
1．對復(fù)數(shù)的加法法則的理解．
(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)相加，類似于兩個(gè)多項(xiàng)式相加：實(shí)部與實(shí)部相加，虛部與虛部相加．很明顯，兩個(gè)復(fù)數(shù)的和仍然是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)．但是兩個(gè)虛數(shù)之和不一定是一個(gè)虛數(shù)，如(－i)＋i＝0.
(2)當(dāng)z1，z2都是實(shí)數(shù)時(shí)，把它們看作復(fù)數(shù)時(shí)的和就是這兩個(gè)實(shí)數(shù)的和．
(3)復(fù)數(shù)的加法可以推廣到多個(gè)復(fù)數(shù)相加的情形：各復(fù)數(shù)的實(shí)部分別相加，虛部分別相加．
2．對復(fù)數(shù)的減法法則的理解．
(1)兩個(gè)復(fù)數(shù)相減，類似于兩個(gè)多項(xiàng)式相減：把z＝a＋bi(a，b∈R)看成關(guān)于“i”的多項(xiàng)式，則復(fù)數(shù)的減法類似于多項(xiàng)式的減法，只需要“合并同類項(xiàng)”就可以了．
(2)很明顯，兩個(gè)復(fù)數(shù)的差是一個(gè)確定的復(fù)數(shù)．但是兩個(gè)虛數(shù)之差不一定是一個(gè)虛數(shù)，如(3＋2i)－2i＝3.
3．運(yùn)算律：實(shí)數(shù)加法的交換律、結(jié)合律在復(fù)數(shù)集中仍成立．實(shí)數(shù)的移項(xiàng)法則在復(fù)數(shù)中仍然成立．
4．運(yùn)算結(jié)果：兩個(gè)復(fù)數(shù)的和(差)是唯一確定的復(fù)數(shù)．
練一練：
1．已知復(fù)數(shù)z1＝5＋3i，z2＝3－7i，則z1＋z2等于( C )
A．－4i B．8
C．8－4i D．2＋10i
[解析]　z1＋z2＝5＋3i＋3－7i＝8－4i.
2．已知復(fù)數(shù)z＋3i－3＝3－3i，則z＝( D )
A．0 B．6i
C．6 D．6－6i
[解析]　∵z＋3i－3＝3－3i，∴z＝(3－3i)－(3i－3)＝6－6i.
知識點(diǎn) 3　復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義
如圖，設(shè)在復(fù)平面內(nèi)復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的向量分別為，，以O(shè)Z1，OZ2為鄰邊作平行四邊形，則與z1＋z2對應(yīng)的向量是 　，與z1－z2對應(yīng)的向量是 　.
[提醒]　向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是z2－z1，而不是z1－z2，即終點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)減起點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)，這個(gè)順序是不能顛倒的．
練一練：
在復(fù)平面內(nèi)，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是5－4i，向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是－5＋4i，則＋對應(yīng)的復(fù)數(shù)是( C )
A．－10＋8i B．10－8i
C．0 D．10＋8i
[解析]　＋＝(5，－4)＋(－5,4)＝(0,0)，故＋對應(yīng)的復(fù)數(shù)為0.
知識點(diǎn) 4　復(fù)平面內(nèi)兩點(diǎn)間的距離
設(shè)復(fù)數(shù)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別是Z1(a，b)，Z2(c，d)，則|Z1Z2|＝，又復(fù)數(shù)z1－z2＝(a－c)＋(b－d)i，則|z1－z2|＝，故|Z1Z2|＝|z1－z2|.即|z1－z2|表示復(fù)數(shù)z1，z2，在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離．
想一想：
類比絕對值|x－x0|的幾何意，|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是什么？
提示：|z－z0|(z，z0∈C)的幾何意義是兩個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)之間的距離.
題型探究
題型一　復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減法運(yùn)算
典例1　(1)(1＋2i)＋(7－11i)－(5＋6i)；
(2)5i－[(6＋8i)－(－1＋3i)]；
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i(a，b∈R)．
[分析]　根據(jù)復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算法則即可求解．
[解析]　(1)(1＋2i)＋(7－11i)－(5＋6i)＝(1＋7－5)＋(2－11－6)i＝3－15i.
(2)5i－[(6＋8i)－(－1＋3i)]＝5i－(7＋5i)＝－7.
(3)(a＋bi)－(2a－3bi)－3i＝(a－2a)＋[b－(－3b)－3]i＝－a＋(4b－3)i(a，b∈R)．
[歸納提升]　復(fù)數(shù)加、減運(yùn)算的法則
(1)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的加、減法運(yùn)算實(shí)質(zhì)就是將實(shí)部與實(shí)部相加減，虛部與虛部相加減之后分別作為結(jié)果的實(shí)部與虛部，因此要準(zhǔn)確地提取復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部．
(2)復(fù)數(shù)的運(yùn)算可以類比多項(xiàng)式的運(yùn)算(類似于合并同類項(xiàng))：若有括號，括號優(yōu)先；若無括號，可以從左到右依次進(jìn)行計(jì)算．
對點(diǎn)練習(xí) 計(jì)算：(1)(5－6i)＋(－2－i)－(3＋4i)；
(2)(i2＋i)＋|i|＋(1＋i)．
[解析]　(1)原式＝[(5－2)＋(－6－1)i]－(3＋4i)
＝(3－7i)－(3＋4i)
＝(3－3)＋(－7－4)i
＝－11i.
(2)原式＝(－1＋i)＋1＋(1＋i)
＝(－1＋1＋1)＋(1＋1)i
＝1＋2i.
題型二　復(fù)數(shù)加、減法及復(fù)數(shù)模的幾何意義
典例2　如圖，平行四邊形OABC的頂點(diǎn)O，A，C對應(yīng)復(fù)數(shù)分別為0,3＋2i，－2＋4i，試求：
(1)所表示的復(fù)數(shù)，所表示的復(fù)數(shù)；
(2)對角線所表示的復(fù)數(shù)；
(3)對角線所表示的復(fù)數(shù)及的長度．
[分析]　要求某個(gè)向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)，只要找出所求向量的始點(diǎn)和終點(diǎn)，或者用向量的相等直接給出所求的結(jié)論．
[解析]　(1)＝－，∴所表示的復(fù)數(shù)為－3－2i.
∵＝，∴所表示的復(fù)數(shù)為－3－2i.
(2)＝－.
∴所表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
(3)對角線＝＋，它所對應(yīng)的復(fù)數(shù)z＝(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i，||＝＝.
[歸納提升]　利用復(fù)數(shù)加減運(yùn)算的幾何意義解題的技巧及常見結(jié)論
(1)形轉(zhuǎn)化為數(shù)：利用幾何意義可以把幾何圖形的變換轉(zhuǎn)化成復(fù)數(shù)運(yùn)算去處理．
(2)數(shù)轉(zhuǎn)化為形：對于一些復(fù)數(shù)運(yùn)算也可以給予幾何解釋，使復(fù)數(shù)作為工具運(yùn)用于幾何之中．
對點(diǎn)練習(xí) 已知四邊形ABCD是復(fù)平面上的平行四邊形，頂點(diǎn)A，B，C分別對應(yīng)于復(fù)數(shù)－5－2i，－4＋5i,2，求點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)及對角線AC，BD的長．
[解析]　如圖，因?yàn)锳C與BD的交點(diǎn)M是各自的中點(diǎn)，
所以有zM＝＝，
所以zD＝zA＋zC－zB＝1－7i，
因?yàn)椋簔C－zA＝2－(－5－2i)＝7＋2i，
所以||＝|7＋2i|＝＝，
因?yàn)椋簔D－zB＝(1－7i)－(－4＋5i)＝5－12i，
所以||＝|5－12i|＝＝13.
故點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)是1－7i，AC與BD的長分別是和13.
題型三　復(fù)數(shù)加法、減法幾何意義的應(yīng)用
典例3　(1)如果復(fù)數(shù)z滿足|z＋i|＋|z－i|＝2，那么|z＋i＋1|的最小值是( A )
A．1 B．
C．2 D．
(2)若復(fù)數(shù)z滿足|z＋＋i|≤1，求|z|的最大值和最小值．
[分析]　涉及復(fù)數(shù)模的最值問題以及點(diǎn)的軌跡問題，均可從兩點(diǎn)間距離公式的復(fù)數(shù)表達(dá)形式入手進(jìn)行分析判斷，然后通過幾何方法進(jìn)行求解．
[解析]　(1)設(shè)復(fù)數(shù)－i，i，－1－i在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為Z1，Z2，Z3，
因?yàn)閨z＋i|＋|z－i|＝2，
|Z1Z2|＝2，所以點(diǎn)Z的集合為線段Z1Z2.
問題轉(zhuǎn)化為：動點(diǎn)Z在線段Z1Z2上移動，求|ZZ3|的最小值，因?yàn)閨Z1Z3|＝1.所以|z＋i＋1|min＝1.
(2)如圖所示，||＝＝2.
所以|z|max＝2＋1＝3，|z|min＝2－1＝1.
[歸納提升]　兩個(gè)復(fù)數(shù)差的模的幾何意義
(1)|z－z0|表示復(fù)數(shù)z，z0的對應(yīng)點(diǎn)之間的距離，在應(yīng)用時(shí)，要把絕對值號內(nèi)變?yōu)閮蓮?fù)數(shù)差的形式．
(2)|z－z0|＝r表示以z0對應(yīng)的點(diǎn)為圓心，r為半徑的圓．
對點(diǎn)練習(xí) 若本例(2)條件改為已知|z|＝1且z∈C，求|z－2－2i|(i為虛數(shù)單位)的最小值．
[解析]　因?yàn)閨z|＝1且z∈C，作圖如圖：
所以|z－2－2i|的幾何意義為單位圓上的點(diǎn)M到復(fù)平面上的點(diǎn)P(2,2)的距離，所以|z－2－2i|的最小值為|OP|－1＝2－1.
易錯警示
誤解復(fù)數(shù)加法、減法的幾何意義
典例4　A，B分別是復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)，O是原點(diǎn)，若|z1＋z2|＝|z1－z2|，則三角形AOB一定是( B )
A．等腰三角形 B．直角三角形
C．等邊三角形 D．等腰直角三角形
[錯解]　A
[錯因分析]　向量加法、減法運(yùn)算的平行四邊形法則和三角形法則是復(fù)數(shù)加法、減法幾何意義的依據(jù)．利用加法“首尾相接”和減法“指向被減數(shù)”的特點(diǎn)，在三角形內(nèi)可求得第三個(gè)向量及其對應(yīng)的復(fù)數(shù)．注意向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)是zB－zA(終點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)減去起點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù))．
[正解]　根據(jù)復(fù)數(shù)加(減)法的幾何意義，知以，為鄰邊所作的平行四邊形的對角線相等，則此平行四邊形為矩形，故三角形OAB為直角三角形．
對點(diǎn)練習(xí) △ABC的三個(gè)頂點(diǎn)所對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為z1，z2，z3，復(fù)數(shù)z滿足|z－z1|＝|z－z2|＝|z－z3|，則z對應(yīng)的點(diǎn)是△ABC的( A )
A．外心 B．內(nèi)心
C．重心 D．垂心
[解析]　由復(fù)數(shù)模及復(fù)數(shù)減法運(yùn)算的幾何意義，結(jié)合條件可知復(fù)數(shù)z的對應(yīng)點(diǎn)P到△ABC的頂點(diǎn)A、B、C距離相等，∴P為△ABC的外心．
1．已知復(fù)數(shù)z1＝3＋4i，z2＝3－4i，則z1－z2＝( A )
A．8i B．6
C．6＋8i D．6－8i
[解析]　∵復(fù)數(shù)z1＝3＋4i，z2＝3－4i，∴z1－z2＝(3＋4i)－(3－4i)＝8i.
2．在復(fù)平面內(nèi)，O是坐標(biāo)原點(diǎn)，向量，，對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為－2＋i,3＋2i,1＋5i，那么對應(yīng)的復(fù)數(shù)為( C )
A．4＋7i B．1＋3i
C．4－4i D．－1＋6i
[解析]　＝＋＋＝－－＋＝－1－5i＋2－i＋3＋2i＝4－4i，故選C．
3．(多選題)下面關(guān)于|(3＋2i)－(1＋i)|的說法表述正確的是( ACD )
A．點(diǎn)(3,2)與點(diǎn)(1,1)之間的距離
B．點(diǎn)(3,2)與點(diǎn)(－1，－1)之間的距離
C．點(diǎn)(2,1)到原點(diǎn)的距離
D．坐標(biāo)為(－2，－1)的向量的模
[解析]　由復(fù)數(shù)的幾何意義，知復(fù)數(shù)(3＋2i)，(1＋i)分別對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)(3,2)與點(diǎn)(1,1)，所以|(3＋2i)－(1＋i)|表示點(diǎn)(3,2)與點(diǎn)(1,1)之間的距離，故A正確；(3＋2i)－(1＋i)＝2＋i，與向量(2,1)一一對應(yīng)，(1＋i)－(3＋2i)＝－2－i，與向量(－2，－1)一一對應(yīng)，故C、D正確．
4．如圖在復(fù)平面上，一個(gè)正方形的三個(gè)頂點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是1＋2i，－2＋i,0，那么這個(gè)正方形的第四個(gè)頂點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為( D )
A．3＋i B．3－i
C．1－3i D．－1＋3i
[解析]　∵＝＋，∴對應(yīng)的復(fù)數(shù)為1＋2i－2＋i＝－1＋3i，∴點(diǎn)C對應(yīng)的復(fù)數(shù)為－1＋3i.
5．設(shè)復(fù)數(shù)z1，z2在復(fù)平面內(nèi)的對應(yīng)點(diǎn)分別為A，B，若點(diǎn)A與B關(guān)于實(shí)軸對稱，且2z1＋z2＝3－2i，則z2＝_1＋2i__.
[解析]　因?yàn)锳與B兩點(diǎn)關(guān)于實(shí)軸對稱，所以z1與z2互為共軛復(fù)數(shù)，設(shè)z2＝a＋bi(a，b∈R)，則z1＝a－bi，代入2z1＋z2＝3－2i，整理并化簡，得3a－bi＝3－2i.
所以3a＝3且－b＝－2，所以a＝1，b＝2，
所以z2＝1＋2i.7.2.2　復(fù)數(shù)的乘、除運(yùn)算
課標(biāo)要求
掌握復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘法和除法運(yùn)算，理解復(fù)數(shù)乘法的交換律、結(jié)合律和乘法對加法的分配律．
素養(yǎng)要求
通過本節(jié)課的學(xué)習(xí)體會數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
知識點(diǎn) 1　復(fù)數(shù)的乘法法則
設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則z1·z2＝(a＋bi)(c＋di)＝_(ac－bd)＋(ad＋bc)i__.
知識點(diǎn) 2　復(fù)數(shù)乘法的運(yùn)算律
對任意復(fù)數(shù)z1，z2，z3∈C，有
交換律 z1·z2＝_z2·z1__
結(jié)合律 (z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)
分配律 z1(z2＋z3)＝_z1z2＋z1z3__
想一想：
|z|2＝z2成立嗎？
提示：不一定成立．例如|i|2＝1，而i2＝－1.
練一練：
1．已知復(fù)數(shù)z＝2－i，則z·的值為( A )
A．5 B．
C．3 D．
[解析]　z·＝(2－i)(2＋i)＝22－i2＝4＋1＝5.故選A．
2．復(fù)數(shù)(1＋i)2(2＋3i)的值為( D )
A．6－4i B．－6－4i
C．6＋4i D．－6＋4i
[解析]　(1＋i)2(2＋3i)＝2i(2＋3i)＝－6＋4i.故選D．
[拓展]　對復(fù)數(shù)乘法的三點(diǎn)說明
(1)類比多項(xiàng)式運(yùn)算：復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算與多項(xiàng)式乘法運(yùn)算很類似，可仿多項(xiàng)式乘法進(jìn)行，但結(jié)果要將實(shí)部、虛部分開(i2換成－1)．
(2)運(yùn)算律：多項(xiàng)式乘法的運(yùn)算律在復(fù)數(shù)乘法中仍然成立，乘法公式也適用．
(3)常用結(jié)論
①(a±bi)2＝a2±2abi－b2(a，b∈R)；
②(a＋bi)(a－bi)＝a2＋b2(a，b∈R)；
③(1±i)2＝±2i.
知識點(diǎn) 3　復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法法則
(a＋bi)÷(c＋di)＝＝ ＋i　(a，b，c，d∈R，c＋di≠0)．
[拓展]　對復(fù)數(shù)除法的兩點(diǎn)說明
(1)實(shí)數(shù)化：分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)c－di，化簡后即得結(jié)果，這個(gè)過程實(shí)際上就是把分母實(shí)數(shù)化，這與根式除法的分母“有理化”很類似．
(2)代數(shù)式：注意最后結(jié)果要將實(shí)部、虛部分開．
特別提醒：復(fù)數(shù)的除法類似于根式的分母有理化．
練一練：
已知a∈R，i為虛數(shù)單位，若為實(shí)數(shù)，則a的值為( C )
A．2 B．0
C．－2 D．
[解析]　設(shè)＝b(其中b∈R)，所以a－i＝2b＋bi，故b＝－1，a＝2b＝－2.
題型探究
題型一　復(fù)數(shù)代數(shù)表示式的乘法運(yùn)算
典例1　(1)復(fù)數(shù)z＝－2i(－1＋i)的虛部為( B )
A．－2 B．2
C．2i D．2
(2)設(shè)z＝i(2＋i)，則＝( D )
A．1＋2i B．－1＋2i
C．1－2i D．－1－2i
(3)若復(fù)數(shù)(1＋i)(a＋i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在第三象限，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是( B )
A．(－∞，1) B．(－∞，－1)
C．(1，＋∞) D．(－1，＋∞)
[分析]　利用乘法公式進(jìn)行運(yùn)算．
[解析]　(1)因?yàn)閦＝－2i(－1＋i)＝2＋2i，
所以復(fù)數(shù)z的虛部為2，
故選B．
(2)因?yàn)閦＝i(2＋i)＝－1＋2i，所以＝－1－2i.故選D．
(3)z＝(1＋i)(a＋i)＝(a－1)＋(1＋a)i，因?yàn)閷?yīng)的點(diǎn)在第三象限，所以解得a<－1，故選B．
[歸納提升]　兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式乘法的一般方法
(1)首先按多項(xiàng)式的乘法展開．
(2)再將i2換成－1.
(3)然后再進(jìn)行復(fù)數(shù)的加、減運(yùn)算，化簡為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式．
對點(diǎn)練習(xí) (1)(2022·新高考Ⅱ卷)(2＋2i)·(1－2i)＝( D )
A．－2＋4i B．－2－4i
C．6＋2i D．6－2i
(2)下列各式的運(yùn)算結(jié)果為純虛數(shù)的是( C )
A．i(1＋i)2 B．i2(1－i)
C．(1＋i)2 D．i(1＋i)
[解析]　(1)(2＋2i)(1－2i)＝2＋4－4i＋2i＝6－2i.故選D．
(2)A項(xiàng)，i(1＋i)2＝i·2i＝－2，不是純虛數(shù)；
B項(xiàng)，i2(1－i)＝－(1－i)＝－1＋i，不是純虛數(shù)；
C項(xiàng)，(1＋i)2＝2i,2i是純虛數(shù)；
D項(xiàng)，i(1＋i)＝i＋i2＝－1＋i，不是純虛數(shù)．故選C．
題型二　復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算
典例2　(1)＝( D )
A．1 B．－1
C．i D．－i
(2)若復(fù)數(shù)z滿足z(2－i)＝11＋7i(i是虛數(shù)單位)，則z為( A )
A．3＋5i B．3－5i
C．－3＋5i D．－3－5i
[分析]　復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算就是分子分母同乘分母的共軛復(fù)數(shù)，轉(zhuǎn)化為乘法進(jìn)行．
[解析]　(1)＝＝＝－i.故選D．
(2)∵z(2－i)＝11＋7i，
∴z＝＝＝＝3＋5i.
[歸納提升]　1.兩個(gè)復(fù)數(shù)代數(shù)形式的除法運(yùn)算步驟
(1)首先將除式寫為分式．
(2)再將分子、分母同乘以分母的共軛復(fù)數(shù)．
(3)然后將分子、分母分別進(jìn)行乘法運(yùn)算，并將其化為復(fù)數(shù)的代數(shù)形式．
2．常用公式
(1)＝－i；(2)＝i；(3)＝－i.
對點(diǎn)練習(xí) (1)已知復(fù)數(shù)z滿足i·z＝1－i，其中i為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)等于( B )
A．－1－i B．－1＋i
C．1－i D．1＋i
(2)已知i是虛數(shù)單位，則在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)z＝對應(yīng)的點(diǎn)位于( D )
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
[解析]　(1)因?yàn)閕·z＝1－i，所以z＝＝－1－i，復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)等于－1＋i.故選B．
(2)由z＝可知，z＝＝＝＝－，
因此其對應(yīng)的點(diǎn)為，位于第四象限．故選D．
題型三　實(shí)系數(shù)一元二次方程在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)根的問題
典例3　已知x＝－1＋i是方程x2＋ax＋b＝0(a，b∈R)的一個(gè)根．
(1)求實(shí)數(shù)a，b的值；
(2)結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系，猜測方程的另一個(gè)根，并給予證明．
[分析]　解決實(shí)系數(shù)一元二次方程的基本方法是復(fù)數(shù)相等的充要條件．
[解析]　(1)把x＝－1＋i代入方程x2＋ax＋b＝0，得(－a＋b)＋(a－2)i＝0，
∴解得
(2)由(1)知方程為x2＋2x＋2＝0.
設(shè)另一個(gè)根為x2，由根與系數(shù)的關(guān)系，得－1＋i＋x2＝－2，
∴x2＝－1－i.
把x2＝－1－i代入方程x2＋2x＋2＝0，
則左邊＝(－1－i)2＋2(－1－i)＋2＝0＝右邊，
∴x2＝－1－i是方程的另一個(gè)根．
[歸納提升]　(1)實(shí)系數(shù)一元二次方程的虛根是成對出現(xiàn)的，即若復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R，b≠0)是實(shí)系數(shù)一元二次方程的根，則其共軛復(fù)數(shù)a－bi是該方程的另一根．
(2)和在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)對比，在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)解決實(shí)系數(shù)一元二次方程問題，韋達(dá)定理和求根公式仍然適用，但是判別式判斷方程根的功能就發(fā)生改變了．
對點(diǎn)練習(xí) (多選題)方程x2－2x＋2＝0在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)的根為( AB )
A．1＋i B．1－i
C．1＋2i D．1－2i
[解析]　原方程Δ＝(－2)2－4×1×2＝－4<0，
∴無實(shí)數(shù)根，∴x＝＝1±i.
易錯警示
誤認(rèn)為|z|2＝z2
典例4　已知復(fù)數(shù)z滿足條件z2－|z|－6＝0，求復(fù)數(shù)z.
[錯解]　由z2－|z|－6＝0 (|z|－3)(|z|＋2)＝0.
因?yàn)閨z|＋2≠0，所以|z|＝3.
則在復(fù)平面內(nèi)以原點(diǎn)為圓心，3為半徑的圓上的所有點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)均符合要求．
[錯因分析]　本題將復(fù)數(shù)z的模等同于實(shí)數(shù)的絕對值，誤認(rèn)為|z|2＝z2.
[正解]　設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，
則由條件得x2－y2＋2xyi－－6＝0.
由復(fù)數(shù)相等的充要條件得
解得或(無解)，
即解得
故z＝3或z＝－3.
[誤區(qū)警示]　設(shè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，則z2＝(a＋bi)2＝a2－b2＋2abi，|z|2＝a2＋b2，即z2≠|(zhì)z|2，二者不可混淆．
對點(diǎn)練習(xí) 已知復(fù)數(shù)z滿足z＝－|z|，則z的實(shí)部( B )
A．不小于0 B．不大于0
C．大于0 D．小于0
[解析]　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，
∵z＝－|z|，∴a＋bi＝－，
∴解得故z的實(shí)部不大于0.
1．(2022·新高考Ⅰ卷)若i(1－z)＝1，則z＋＝( D )
A．－2 B．－1
C．1 D．2
[解析]　由題設(shè)有1－z＝＝＝－i，故z＝1＋i，故z＋＝(1＋i)＋(1－i)＝2.故選D．
2．(2022·杭州高一檢測)計(jì)算的值是( A )
A． B．
C． D．
[解析]　＝＝＝.
3．(2023·陜西咸陽)已知復(fù)數(shù)z＝，若z的共軛復(fù)數(shù)為，則z·＝( B )
A． B．5
C． D．10
[解析]　z·＝|z|2＝2＝＝＝5.
故選B．
4．復(fù)數(shù)z＝的模為( B )
A． B．
C． D．2
[解析]　z＝＝＝－－i，|z|＝＝＝，或|z|＝＝＝＝，選B．
5．把復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)記作，已知(1＋2i)＝4＋3i，求z及.
[解析]　設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi，
由已知得：(1＋2i)(a－bi)＝(a＋2b)＋(2a－b)i＝4＋3i，由復(fù)數(shù)相等的定義知，得a＝2，b＝1，
∴z＝2＋i.
∴＝＝＝＝＋i.7.3.1　復(fù)數(shù)的三角表示式
7.3.2　復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義
課標(biāo)要求
通過復(fù)數(shù)的幾何意義，了解復(fù)數(shù)的三角表示；了解復(fù)數(shù)的代數(shù)表示與三角表示之間的關(guān)系；了解復(fù)數(shù)乘除運(yùn)算的三角表示及其幾何意義．
素養(yǎng)要求
通過了解復(fù)數(shù)的三角表示及復(fù)數(shù)乘、除的幾何意義，體會數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
知識點(diǎn) 1　復(fù)數(shù)的三角表示式
如圖，我們可以用刻畫向量大小的模r和刻畫向量方向的角θ來表示復(fù)數(shù)z.
一般地，任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi都可以表示成r(cos θ＋isin θ)的形式．其中，
概念名稱 概念的說明
模r r是復(fù)數(shù)z的模，r＝
輻角θ θ是以x軸的非負(fù)半軸為始邊，向量所在射線(射線OZ)為終邊的角，且cos θ＝，sin θ＝；規(guī)定：復(fù)數(shù)0的輻角是任意的
三角形式 r(cos θ＋isin θ)叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi的三角表示式，簡稱三角形式，該式的結(jié)構(gòu)特征是：_模非負(fù)，角相同，余弦前，加號連__
為了與三角形式區(qū)分開來，a＋bi叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)表示式，簡稱代數(shù)形式．
知識點(diǎn) 2　輻角主值
_0≤θ<2π__范圍內(nèi)的輻角θ的值為輻角的主值，通常記作arg z.
練一練：
判斷正誤．(正確的畫“√”，錯誤的畫“×”)
(1)復(fù)數(shù)的輻角是唯一的．( × )
(2)z＝cos θ－isin θ是復(fù)數(shù)的三角形式．( × )
(3)z＝－2(cos θ＋isin θ)是復(fù)數(shù)的三角形式．( × )
知識點(diǎn) 3　復(fù)數(shù)乘、除運(yùn)算的三角表示
(1) r1(cos θ1＋isin θ1)·r2(cos θ2＋isin θ2) ＝r1r2[cos(θ1＋θ2)＋isin(θ1＋θ2)]．
(2)＝[cos(θ1－θ2)＋isin(θ1－θ2)]．
知識點(diǎn) 4　復(fù)數(shù)乘、除法的幾何意義
(1)復(fù)數(shù)乘法的幾何意義
如圖，兩個(gè)復(fù)數(shù)z1，z2相乘時(shí)，先分別畫出與z1，z2對應(yīng)的向量，，然后把向量繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角θ2(如果θ2<0，就要把繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角|θ2|)，再把它的模變?yōu)樵瓉淼膔2倍，得到向量，表示的復(fù)數(shù)就是積z1z2.
(2)復(fù)數(shù)除法的幾何意義
如圖，兩個(gè)復(fù)數(shù)z1，z2相除時(shí)，先分別畫出與z1，z2對應(yīng)的向量，，然后把向量繞點(diǎn)O按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角θ2(如果θ2<0，就要把繞點(diǎn)O按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)角|θ2|)，再把它的模變?yōu)樵瓉淼谋叮玫较蛄浚硎镜膹?fù)數(shù)就是商.
練一練：
1．×＝( C )
A．1 B．－1
C．i D．－i
[解析]　×＝cos＋isin＝cos＋isin＝i.故選C．
2．4(cos π＋isin π)÷＝( C )
A．1＋i B．1－i
C．－1＋i D．－1－i
[解析]　4(cos π＋isin π)÷＋＝2＝2＋＝－1＋i.故選C．
題型探究
題型一　復(fù)數(shù)的代數(shù)形式化為三角形式
典例1　將下列復(fù)數(shù)代數(shù)式化成三角形式：
(1)2＋2i；(2)1－i.
[分析]　先求復(fù)數(shù)的模，再根據(jù)復(fù)數(shù)所在象限確定復(fù)數(shù)的輻角主值，然后寫出復(fù)數(shù)的三角形式．
[解析]　(1)r＝＝4，所以cos θ＝，對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，所以arg(2＋2i)＝，
所以2＋2i＝4.
(2)r＝＝，所以cos θ＝，
對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以arg(1－i)＝，
所以1－i＝.
[歸納提升]　將復(fù)數(shù)的代數(shù)形式轉(zhuǎn)化為三角形式的步驟：
(1)先求復(fù)數(shù)的模．(2)決定輻角所在的象限．(3)根據(jù)象限求出輻角．(4)求得復(fù)數(shù)的三角形式．
對點(diǎn)練習(xí) 把下列復(fù)數(shù)表示成三角形式．
(1)z1＝－1＋i；
(2)z2＝－4i.
[解析]　(1)由a＝－1，b＝，知點(diǎn)Z1(－1，)在第二象限，故輻角為第二象限的角．
r＝＝2.
又cos θ＝－，所以arg z1＝.
因此復(fù)數(shù)z1＝－1＋i的三角形式為
z1＝2.
(2)由a＝0，b＝－4<0，知
r＝＝4，arg z2＝，
因此復(fù)數(shù)z2＝－4i的三角形式為
z2＝4.
題型二　將復(fù)數(shù)的三角形式化為代數(shù)形式
典例2　將下列復(fù)數(shù)化為代數(shù)形式：
(1)(cos 135°＋isin 135°)；
(2)6.
[分析]　將復(fù)數(shù)的三角形式化為代數(shù)形式，只需要將其中蘊(yùn)含的三角函數(shù)值求出數(shù)值即可．
[解析]　(1)(cos 135°＋isin 135°)
＝
＝－1＋i.
(2)6＝6
＝－3－3i.
[歸納提升]　將復(fù)數(shù)的三角形式化為復(fù)數(shù)代數(shù)形式的方法是：復(fù)數(shù)三角形式z＝r(cos θ＋isin θ)，代數(shù)形式為z＝x＋yi，對應(yīng)實(shí)部等于實(shí)部，虛部等于虛部，即x＝rcos θ，y＝rsin θ.
對點(diǎn)練習(xí) 復(fù)數(shù)的代數(shù)形式為_1－i__.
[解析]　
＝
＝
＝＝1－i.
題型三　復(fù)數(shù)三角形式的乘、除法運(yùn)算
典例3　計(jì)算：
(1)2×；
(2)2(cos 5°＋isin 5°)×4(cos 30°＋isin 30°)×(cos 25°＋isin 25°)；
(3)8÷.
[分析]　按照復(fù)數(shù)三角形式的乘法、除法法則進(jìn)行．
[解析]　(1)2×＝2＝－2i.
(2)2(cos 5°＋isin 5°)×4(cos 30°＋isin 30°)×(cos 25°＋isin 25°)＝8(cos 35°＋isin 35°)×(cos 25°＋isin 25°)＝4(cos 60°＋isin 60°)＝2＋2i.
(3)8÷
＝2＝2
＝－＋i.
[歸納提升]　復(fù)數(shù)三角形式的乘法運(yùn)算法則，即兩個(gè)復(fù)數(shù)相乘，所得的結(jié)果是模相乘，輻角相加．
復(fù)數(shù)三角形式的除法運(yùn)算法則，即兩個(gè)復(fù)數(shù)相除，所得的結(jié)果是模相除，輻角相減．
對點(diǎn)練習(xí) (1)已知z1＝4＋4i的輻角主值為θ1，z2＝－1－i的輻角主值為θ2，求θ1＋θ2的值；
(2)計(jì)算：2i÷.
[解析]　(1)∵z1＝4＋4i＝4，
z2＝－1－i＝，
∴z1z2＝4×
＝8
＝8，
∴θ1＋θ2＝.
(2)2i÷
＝2(cos 90°＋isin 90°)÷
＝4(cos 60°＋isin 60°)＝2＋2i.
題型四　復(fù)數(shù)三角形式乘、除法的幾何意義
典例4　如圖，若與分別表示復(fù)數(shù)z1＝1＋2i，z2＝7＋i，求∠Z2OZ1的大小，并判斷△OZ1Z2的形狀．
[分析]　可以利用復(fù)數(shù)的三角形式的除法的幾何意義來解決三角形中角的大小問題．
[解析]　∵＝＝＝＝
∴∠Z2OZ1＝，且＝.
設(shè)|OZ1|＝k，|OZ2|＝2k(k>0)，
由余弦定理得
|Z1Z2|＝k2＋(2k)2－2k·2k·cos＝3k2，
所以|Z1Z2|＝k，
又k2＋(k)2＝(2k)2，
所以△OZ1Z2為有一銳角為的直角三角形．
對點(diǎn)練習(xí) 已知＝(1,1)，將按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，則點(diǎn)Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)為 ＋i　.
[解析]　＝(1,1)＝，將繞原點(diǎn)O逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)得到，則
＝
＝＝，
即點(diǎn)Z對應(yīng)的復(fù)數(shù)為＋i.
易錯警示
求輻角主值時(shí)的常見誤區(qū)
典例5　求復(fù)數(shù)z＝1＋cos θ＋isin θ(π<θ<2π)的模與輻角主值．
[錯解]　z＝1＋cos θ＋isin θ
＝1＋＋2isin cos
＝2cos
∴復(fù)數(shù)z的模為2cos ，輻角主值為.
[錯因分析]　從形式上看，2cos ＋似乎就是三角形式，不少同學(xué)認(rèn)為r＝2cos ，arg z＝.
錯誤之處在于他們沒有考慮角θ的范圍，因此一定要用“模非負(fù)，角相同，余弦前，加號連”來判斷是否為三角形式．
[正解]　z＝1＋cos θ＋isin θ＝1＋＋2i·sin ·cos ＝2cos .
∵π<θ<2π，∴<<π，∴cos <0，
∴2cos
＝－2cos
＝－2cos ，
∴r＝－2cos ，
∵<<π，∴<π＋<2π，∴arg z＝π＋.
故復(fù)數(shù)z的模是－2cos ，輻角主值是π＋.
對點(diǎn)練習(xí) 求復(fù)數(shù)z＝1＋cos θ－isin θ(π<θ<2π)的模與輻角主值．
[解析]　z＝2cos2－2i·sin cos
＝2cos
＝－2cos
＝－2cos ，
∵π<θ<2π，∴<<π，∴cos<0，
∴0<π－<，∴r＝－2cos ，
arg z＝π－.
故復(fù)數(shù)z的模是－2cos ，輻角主值為π－.
1．下列復(fù)數(shù)是復(fù)數(shù)三角形式表示的是( D )
A．
B．－
C．
D．cos ＋isin
[解析]　選項(xiàng)A，cos 與isin 之間用“－”連接，不是用“＋”連接；選項(xiàng)B，－<0不符合r≥0的要求；選項(xiàng)C，是sin 與icos 用“＋”連接而不是cos ＋isin 的形式．故A、B、C均不是復(fù)數(shù)的三角形式．故選D．
2．復(fù)數(shù)z＝－i的三角形式為( D )
A．2
B．2
C．2
D．2
[解析]　因?yàn)閞＝2，所以cos θ＝，與z＝－i對應(yīng)的點(diǎn)在第四象限，所以arg(－i)＝，
所以z＝－i＝2.
3．復(fù)數(shù)z＝化為代數(shù)形式為( D )
A．＋i B．－＋i
C．－－i D．－i
[解析]　z＝
＝sin ＋icos ＝×＋i×
＝－i.
4．計(jì)算8×＝ －4＋4i　.
[解析]　原式＝8
＝8＝－4＋4i.
5．化下列復(fù)數(shù)為三角形式．
(1)－1＋i；
(2)1－i；
(3)2i；
(4)－1.
[解析]　(1)因?yàn)閦＝－1＋i，所以a＝－1，b＝，
則r＝＝2，tan θ＝－.
而對應(yīng)點(diǎn)M(－1，)在第二象限，θ的主值為π，
∴－1＋i＝2.
(2)因?yàn)閦＝1－i，所以a＝1，b＝－1，
則r＝＝，tan θ＝－1.
而對應(yīng)點(diǎn)M(1，－1)在第四象限，θ的主值為π，
∴－1＋i＝.
(3)因?yàn)閦＝2i，所以a＝0，b＝2，
則r＝2.
對應(yīng)點(diǎn)M(0,2)在y軸正半軸上，θ的主值為，
∴2i＝2.
(4)因?yàn)閦＝－1，所以a＝－1，b＝0，
則r＝1，對應(yīng)點(diǎn)M(－1,0)在x軸負(fù)半軸上，θ的主值為π.
∴－1＝cos π＋isin π.章末知識梳理
1．復(fù)數(shù)的有關(guān)概念
(1)虛數(shù)單位i.(2)復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z＝a＋bi(a，b∈R)．(3)復(fù)數(shù)的實(shí)部、虛部、虛數(shù)與純虛數(shù)．
2．復(fù)數(shù)集
復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)
3．復(fù)數(shù)的幾何形式
(1)用點(diǎn)Z(a，b)表示復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，用向量表示復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)，Z稱為z在復(fù)平面上的對應(yīng)點(diǎn)，復(fù)數(shù)與復(fù)平面上的點(diǎn)一一對應(yīng)(坐標(biāo)原點(diǎn)對應(yīng)實(shí)數(shù)0)．
(2)任何一個(gè)復(fù)數(shù)z＝a＋bi一一對應(yīng)著復(fù)平面內(nèi)一個(gè)點(diǎn)Z(a，b)，也一一對應(yīng)著一個(gè)從原點(diǎn)出發(fā)的向量.
4．共軛復(fù)數(shù)與復(fù)數(shù)的模
(1)若z＝a＋bi(a，b∈R)，則＝a－bi，z＋為實(shí)數(shù)，z－為純虛數(shù)(b≠0)．
(2)復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模|z|＝，且z·＝|z|2＝a2＋b2.
5．復(fù)數(shù)加、減法的幾何意義
(1)復(fù)數(shù)加法的幾何意義
若復(fù)數(shù)z1，z2對應(yīng)的向量，不共線，則復(fù)數(shù)z1＋z2是以，為兩鄰邊的平行四邊形的對角線所對應(yīng)的復(fù)數(shù)．
(2)復(fù)數(shù)減法的幾何意義
復(fù)數(shù)z1－z2是連接向量，的終點(diǎn)，并指向Z1的向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)．
6．復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算
設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，則
(1)加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
(2)減法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i.
(3)乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.
(4)除法：＝＝
＝(c＋di≠0)．
(5)實(shí)數(shù)四則運(yùn)算的交換律、結(jié)合律、分配律都適合于復(fù)數(shù)的情況．
(6)特殊復(fù)數(shù)的運(yùn)算：in(n為正整數(shù))的周期性運(yùn)算；(1±i)2＝±2i.
要點(diǎn)一　有關(guān)復(fù)數(shù)的概念
復(fù)數(shù)常設(shè)為z＝a＋bi(a，b∈R)，z∈R b＝0；z為虛數(shù) b≠0；z為純虛數(shù) a＝0且b≠0.
典例1　當(dāng)實(shí)數(shù)a為何值時(shí)，z＝a2－2a＋(a2－3a＋2)i.
(1)為實(shí)數(shù)；
(2)為純虛數(shù)；
(3)對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限內(nèi)；
(4)復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)在直線x－y＝0上．
[分析]　根據(jù)題設(shè)條件構(gòu)建方程(組)或不等式(組)求解即可．
[解析]　(1)z∈R a2－3a＋2＝0，解得a＝1或a＝2.
(2)z為純虛數(shù)，
即故a＝0.
(3)z對應(yīng)的點(diǎn)在第一象限，
則所以
所以a<0或a>2.
所以a的取值范圍是(－∞，0)∪(2，＋∞)．
(4)依題設(shè)(a2－2a)－(a2－3a＋2)＝0，所以a＝2.
對點(diǎn)練習(xí) (1)復(fù)數(shù)的虛部是( D )
A．－ B．－
C． D．
(2)設(shè)z是復(fù)數(shù)，則下列命題中的假命題是( C )
A．若z2≥0，則z是實(shí)數(shù)
B．若z2<0，則z是虛數(shù)
C．若z是虛數(shù)，則z2≥0
D．若z是純虛數(shù)，則z2<0
[解析]　(1)因?yàn)椋剑剑玦，
所以復(fù)數(shù)的虛部是.
(2)設(shè)z＝a＋bi(a，b∈R)，則z2＝a2－b2＋2abi，若z2≥0，則
即b＝0，故z是實(shí)數(shù)，A正確；若z2<0，則即故B正確；若z是虛數(shù)，則b≠0，z2＝a2－b2＋2abi無法與0比較大小，故C是假命題；若z是純虛數(shù)，則z2＝－b2<0，故D正確.
要點(diǎn)二　復(fù)數(shù)相等
復(fù)數(shù)的代數(shù)形式z＝x＋yi(x，y∈R)，從實(shí)部、虛部來理解一個(gè)復(fù)數(shù)，把復(fù)數(shù)z滿足的條件轉(zhuǎn)化為實(shí)數(shù)x，y應(yīng)該滿足的條件，從而可以從實(shí)數(shù)的角度利用待定系數(shù)法和方程思想來處理復(fù)數(shù)問題．
典例2　已知x，y為共軛復(fù)數(shù)，且(x＋y)2－3xyi＝4－6i，求x，y.
[解析]　設(shè)x＝a＋bi(a，b∈R)，則y＝a－bi.
又(x＋y)2－3xyi＝4－6i，∴4a2－3(a2＋b2)i＝4－6i，
∴
∴或或或
∴或或
或
對點(diǎn)練習(xí) 已知復(fù)數(shù)z＝，復(fù)數(shù)z1與z在復(fù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱．
(1)求z1；
(2)若復(fù)數(shù)z2＝a＋bi(a，b∈R)，且z2＋az＋b＝1－i，求|z1－z2|.
[解析]　(1)由已知復(fù)數(shù)z＝＝＝＝＝1＋i，
因?yàn)閺?fù)數(shù)z1與z在復(fù)平面上所對應(yīng)的點(diǎn)關(guān)于虛軸對稱，則它們實(shí)部互為相反數(shù)，虛部相等，
所以z1＝－1＋i.
(2)因?yàn)閦2＋az＋b＝1－i，
所以(1＋i)2＋a(1＋i)＋b＝1－i，
整理得a＋b＋(2＋a)i＝1－i，
所以
解得a＝－3，b＝4，
所以復(fù)數(shù)z2＝－3＋4i,
所以z1－z2＝2－3i，
故|z1－z2|＝|2－3i|＝.
要點(diǎn)三　復(fù)數(shù)的模及其幾何意義
1．z≠0，z為純虛數(shù) ＝－z.
2．復(fù)數(shù)模的計(jì)算公式：若z＝a＋bi(a，b∈R)，則|z|＝，在解答有關(guān)復(fù)數(shù)模的問題時(shí)應(yīng)重視以下結(jié)論的運(yùn)用：z·＝|z|2＝||2，|z1·z2|＝|z1|·|z2|，＝(z2≠0)等．
典例3　復(fù)數(shù)z滿足|z＋3－i|＝，求|z|的最大值和最小值．
[解析]　|z＋3－i|＝表示以－3＋i對應(yīng)的點(diǎn)P為圓心，以為半徑的圓，如圖所示，則|OP|＝|－3＋i|＝＝2，
顯然|z|max＝|OA|＝|OP|＋＝3，|z|min＝|OB|＝|OP|－＝.
對點(diǎn)練習(xí) 已知復(fù)數(shù)z1＝1＋(a2－10)i，z2＝(2a－5)i(a>0)，z1＋z2∈R.
(1)求實(shí)數(shù)a的值；
(2)若z∈C，|z－z2|＝2，求|z|的取值范圍．
[解析]　(1)因?yàn)閦1＝1＋(a2－10)i，z2＝(2a－5)i，
所以z1＋z2＝1＋(a2－10)i＋(2a－5)i＝1＋(a2＋2a－15)i.
又因?yàn)閦1＋z2∈R，所以a2＋2a－15＝0，
解得a＝－5或a＝3.又因?yàn)閍>0，所以a＝3.
(2)由(1)知z2＝i，設(shè)z＝x＋yi，
由|z－z2|＝2 |x＋(y－1)i|＝2，所以＝2，
得x2＋(y－1)2＝4，而(y－1)2＝4－x2，
∴0≤(y－1)2≤4，∴－2≤y－1≤2，故y∈[－1,3]．
∴|z|＝＝＝，
∵－1≤y≤3，∴2y＋3∈[1,9]，故|z|∈[1,3].
要點(diǎn)四　復(fù)數(shù)與其他知識的綜合應(yīng)用
復(fù)數(shù)具有代數(shù)形式，且復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)與復(fù)平面內(nèi)的點(diǎn)Z(a，b)之間建立了一一對應(yīng)關(guān)系，復(fù)數(shù)又是數(shù)形結(jié)合的橋梁，要注意復(fù)數(shù)與向量、方程、函數(shù)等知識的交匯．
典例4　四邊形ABCD是復(fù)平面內(nèi)的平行四邊形，A，B，C，D四點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別為1＋3i,2i,2＋i，z.
(1)求復(fù)數(shù)z；
(2)z是關(guān)于x的方程2x2－px＋q＝0的一個(gè)根，求實(shí)數(shù)p，q的值．
[解析]　(1)復(fù)平面內(nèi)A，B，C對應(yīng)的點(diǎn)坐標(biāo)分別為(1,3)，(0,2)，(2,1)，
設(shè)D的坐標(biāo)為(x，y)，由于＝，
∴(x－1，y－3)＝(2，－1)，
∴x－1＝2，y－3＝－1，解得x＝3，y＝2，故D(3,2)，
則點(diǎn)D對應(yīng)的復(fù)數(shù)z＝3＋2i.
(2)∵3＋2i是關(guān)于x的方程2x2－px＋q＝0的一個(gè)根，
∴3－2i是關(guān)于x的方程2x2－px＋q＝0的另一個(gè)根，
則3＋2i＋3－2i＝，(3＋2i)·(3－2i)＝，
即p＝12，q＝26.
對點(diǎn)練習(xí) 已知復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)A，B對應(yīng)的復(fù)數(shù)分別是z1＝sin2θ＋i，z2＝－cos2θ＋icos 2θ，其中θ∈(0，π)，設(shè)對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z.
(1)求復(fù)數(shù)z；
(2)若復(fù)數(shù)z對應(yīng)的點(diǎn)P在直線y＝x上，求θ的值．
[解析]　(1)由題意得z＝z2－z1＝－cos2θ－sin2θ＋(cos 2θ－1)i＝－1＋(－2sin2θ)i.
(2)由(1)知，點(diǎn)P的坐標(biāo)為(－1，－2sin2θ)．
由點(diǎn)P在直線y＝x上，得－2sin2θ＝－，
∴sin2θ＝，又θ∈(0，π)，∴sin θ>0.
因此sin θ＝，∴θ＝或θ＝.

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