資源簡(jiǎn)介

8．4.2　空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系
課標(biāo)要求
1．借助長(zhǎng)方體，在直觀認(rèn)識(shí)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的基礎(chǔ)上，抽象出空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系的定義．
2．會(huì)用符號(hào)語(yǔ)言表示空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系．
3．根據(jù)有關(guān)概念，學(xué)會(huì)判斷(證明)空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系．
素養(yǎng)要求
在學(xué)習(xí)空間點(diǎn)、直線、平面之間的位置關(guān)系及定義的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、直觀想象和邏輯推理素養(yǎng)．
知識(shí)點(diǎn) 1　點(diǎn)與線和面的位置關(guān)系
(1)點(diǎn)與直線的位置關(guān)系：點(diǎn)在直線上和點(diǎn)在直線外．
(2)點(diǎn)與平面的位置關(guān)系：點(diǎn)在平面內(nèi)和點(diǎn)在平面外．
知識(shí)點(diǎn) 2　空間中直線與直線的位置關(guān)系
1．異面直線的定義和畫(huà)法
(1)定義：_不同在任何一個(gè)平面內(nèi)__的兩條直線叫做異面直線．
(2)畫(huà)法：如果直線a，b為異面直線，為了表示它們不共面的特點(diǎn)，作圖時(shí)，通常用一個(gè)或兩個(gè)_平面__襯托．
2．空間中直線與直線的位置關(guān)系
位置關(guān)系 是否在同一平面內(nèi) 公共點(diǎn)個(gè)數(shù)
共面直線 相交直線 _是__ 1
平行直線 是 0
異面直線 _否__ 0
想一想：
如何判斷異面直線？
提示：(1)定義法；(2)兩直線既不平行也不相交．
練一練：
1．一條直線與兩條平行線中的一條是異面直線，則它與另一條( C )
A．相交 B．異面
C．相交或異面 D．平行
2．在三棱錐S－ABC中，與SA是異面直線的是( C )
A．SB B．SC
C．BC D．AB
3．平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的連線和這個(gè)平面內(nèi)直線的關(guān)系是_相交或異面__.
知識(shí)點(diǎn) 3　空間中直線與平面的位置關(guān)系
位置關(guān)系 定義 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言
直線在平面內(nèi) 有_無(wú)數(shù)__個(gè)公共點(diǎn) a α
直線與平面相交 _有且只有一個(gè)__公共點(diǎn) _a∩α＝A__
直線與平面平行 沒(méi)有公共點(diǎn) _a∥α__
想一想：
直線a與平面α平行，直線b α，則a與b有怎樣的位置關(guān)系？
提示：a與b平行或異面，如圖所示．
練一練：
直線l與平面α有兩個(gè)公共點(diǎn)，則( D )
A．l∈α B．l∥α
C．l與α相交 D．l α
知識(shí)點(diǎn) 4　空間中平面與平面的位置關(guān)系
位置關(guān)系 圖形語(yǔ)言 符號(hào)語(yǔ)言 公共點(diǎn)
兩個(gè)平面平行 _α∥β__ 沒(méi)有公共點(diǎn)
兩個(gè)平面相交 _α∩β＝l__ 有一條公共直線　
想一想：
平面平行有傳遞性嗎？
提示：有．若α，β，γ為三個(gè)不重合的平面，且α∥β，β∥γ，則α∥γ.
練一練：
正方體的六個(gè)面中互相平行的平面有( C )
A．1對(duì) B．2對(duì)
C．3對(duì) D．4對(duì)
[解析]　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，平面ABCD∥平面A1B1C1D1，平面ABB1A1∥平面DCC1D1，平面ADD1A1∥平面BCC1B1，故六個(gè)面中互相平行的平面有3對(duì)．
題|型|探|究
題型一　直線與直線位置關(guān)系的判斷
典例1　如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，
(1)直線A1B與直線D1C的位置關(guān)系是_平行__；
(2)直線A1B與直線B1C的位置關(guān)系是_異面__；
(3)直線D1D與直線D1C的位置關(guān)系是_相交__；
(4)直線AB與直線B1C的位置關(guān)系是_異面__.
[解析]　(1)在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，A1D1綉B(tài)C，∴四邊形A1BCD1為平行四邊形，∴A1B∥D1C.
(2)直線A1B與直線B1C不同在任何一個(gè)平面內(nèi)．
(3)直線D1D與直線D1C相交于點(diǎn)D1.
(4)直線AB與直線B1C不同在任何一個(gè)平面內(nèi)．
[歸納提升]　判定兩條直線是異面直線的方法
(1)定義法：證明兩條直線既不平行又不相交．
(2)重要結(jié)論：連接平面內(nèi)一點(diǎn)與平面外一點(diǎn)的直線，和這個(gè)平面內(nèi)不經(jīng)過(guò)此點(diǎn)的直線是異面直線．用符號(hào)語(yǔ)言可表示為l α，A α，B∈α，B l AB與l是異面直線(如圖)．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) (1)若a和b是異面直線，b和c是異面直線，則a和c的位置關(guān)系是( D )
A．平行 B．異面
C．相交 D．平行、相交或異面
(2)在圖中，G，H，M，N分別是正三棱柱的頂點(diǎn)或所在棱的中點(diǎn)，則表示直線GH，MN是異面直線的圖形有_(2)(4)__.
[解析]　(1)在如圖正方體ABCD－A1B1C1D1中，取D1C1＝a，BB1＝b，則a，b是異面直線，若取DC＝c，則b，c是異面直線，但a，c平行； 若取A1D1＝c，則b，c是異面直線，但a，c相交； 若取AD＝c，則b，c是異面直線，a，c也是異面直線．
(2)如題干圖(1)中，直線GH∥MN；圖(2)中，G，H，N三點(diǎn)共面，但M 平面GHN，因此直線GH與MN異面；圖(3)中，連接MG，GM∥HN，因此，GH與MN共面；圖(4)中，G，M，N共面，但H 平面GMN，所以GH與MN異面，所以圖(2)、(4)中GH與MN異面.
題型二　直線與平面的位置關(guān)系
典例2　下列五個(gè)結(jié)論中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( B )
①如果a、b是兩條直線，a∥b，那么a平行于經(jīng)過(guò)b的任何一個(gè)平面；
②如果直線a和平面α滿足a∥α，那么a與平面α 內(nèi)的任何一條直線平行；
③如果直線a、b滿足a∥α，b∥α，那么a∥b；
④如果直線a、b和平面α滿足a∥b，a∥α，b α，那么b∥α；
⑤如果直線a與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行，那么直線a必平行于平面α.
A．0　　　　 B．1
C．2　　　　 D．3
[解析]　如圖所示，
在長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′中，AA′∥BB′，AA′卻在過(guò)BB′的平面ABB′A′內(nèi)，故①錯(cuò)；AA′∥平面BB′C′C，BC 平面BB′C′C，但AA′不平行于BC，故②錯(cuò)；AA′∥平面BB′C′C，A′D′∥平面BB′C′C，但AA′與A′D′相交，故③錯(cuò)；A′B′∥C′D′，A′B′∥平面ABCD，C′D′ 平面ABCD，則C′D′∥平面ABCD，故④正確；AA′顯然與平面ABB′A′中的無(wú)數(shù)條直線平行，但AA′ 平面ABB′A′，故⑤錯(cuò)誤，故選B.
[歸納提升]　直線與平面位置關(guān)系的判斷：
(1)空間直線與平面位置關(guān)系的分類是解決問(wèn)題的突破口，這類判斷問(wèn)題，常用分類討論的方法解決．另外，借助模型(如正方體、長(zhǎng)方體等)也是解決這類問(wèn)題的有效方法．
(2)要證明直線在平面內(nèi)，只要證明直線上兩點(diǎn)在平面α內(nèi)，要證明直線與平面相交，只需說(shuō)明直線與平面只有一個(gè)公共點(diǎn)，要證明直線與平面平行，則必須說(shuō)明直線與平面沒(méi)有公共點(diǎn)．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，指出B1C，BD1與各面的位置關(guān)系．
[解析]　B1C 平面BCC1B1，
B1C∥平面ADD1A1，B1C與其余4個(gè)面相交．
BD1與6個(gè)面都相交.
題型三　平面與平面的位置關(guān)系
典例3　觀察下面的兩個(gè)圖：
(1)一樓、二樓的地面所在平面的位置關(guān)系是什么？
(2)房頂所在平面的位置關(guān)系是什么？
(3)怎樣用圖形表示兩平面的位置關(guān)系？
[解析]　(1)平行．
(2)相交．
(3)①兩平行平面的畫(huà)法：畫(huà)兩平行的平面時(shí)要注意把表示平面的兩個(gè)平行四邊形畫(huà)成對(duì)應(yīng)邊平行．
②兩相交平面的畫(huà)法：
先畫(huà)表示兩個(gè)平面的平行四邊形的相交兩邊，如圖(1)．
再畫(huà)表示兩平面交線的線段，如圖(2)．
再過(guò)圖(1)中線段的端點(diǎn)分別畫(huà)線段使它平行且等于(2)表示交線的線段，如圖(3)．
再畫(huà)表示平面的平行四邊形的其他邊，如圖(4)．
[歸納提升]　平面與平面的位置關(guān)系的判斷方法：
(1)平面與平面相交的判斷，主要以基本事實(shí)3為依據(jù)找出一個(gè)交點(diǎn)．
(2)平面與平面平行的判斷，主要說(shuō)明兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) (1)如果在兩個(gè)平面內(nèi)分別有一條直線，這兩條直線互相平行，那么這兩個(gè)平面的位置關(guān)系一定是( C )
A．平行 B．相交
C．平行或相交 D．以上都不對(duì)
(2)已知平面α，β，且α∥β，直線a α，直線b β，則直線a與直線b具有怎樣的位置關(guān)系？畫(huà)出圖形．
(3)已知平面α，β，直線a，b，且a α，b β，α∩β＝l，則直線a與直線b具有怎樣的位置關(guān)系？畫(huà)出圖形．
[解析]　(1)如圖，
平面α與β的關(guān)系可以平行，也可以相交．
(2)直線a與直線b平行或異面．
(3)直線a與直線b平行，相交或異面．
易|錯(cuò)|警|示
對(duì)空間線面位置關(guān)系考慮不全面致誤
典例4　設(shè)P是異面直線a、b外的一點(diǎn)，則過(guò)P與a、b都平行的平面( C )
A．有且只有一個(gè)　　　　　　　　　 B．恰有兩個(gè)
C．沒(méi)有或只有一個(gè) D．有無(wú)數(shù)個(gè)
[錯(cuò)解]　如右圖，過(guò)P作a1∥a，b1∥b.∵a1∩b1＝P，∴過(guò)a1、b1有且只有一個(gè)平面．故選A.
[錯(cuò)因分析]　錯(cuò)解是因?yàn)閷?duì)空間概念理解不透徹，對(duì)P點(diǎn)位置沒(méi)有作全面地分析，只考慮了一般情況，而忽略了特殊情形．事實(shí)上，當(dāng)直線a(或b)與點(diǎn)P確定的平面恰與直線b(或a)平行時(shí)，與a、b都平行的平面就不存在了．
[正解]　C
[誤區(qū)警示]　對(duì)于空間中的線面和面面位置關(guān)系問(wèn)題，應(yīng)注意結(jié)合實(shí)例，全面考慮，認(rèn)真分析所有可能的情形，才能避免判斷失誤．
對(duì)點(diǎn)練面外一點(diǎn)，可作這個(gè)平面的平行線條數(shù)為( C )
A．1條 B．2條
C．無(wú)數(shù)條 D．不確定
[解析]　如圖，
過(guò)P點(diǎn)可以作無(wú)數(shù)條直線與平面α平行．
1．如果兩條直線a和b沒(méi)有公共點(diǎn)，那么a和b( D )
A．共面　　　　　　　 B．平行
C．異面 D．平行或異面
[解析]　直線a、b沒(méi)有公共點(diǎn)時(shí)，a、b可能平行，也可能異面．
2．(2022·無(wú)錫高一檢測(cè))用符號(hào)表示“點(diǎn)A在直線l上，l在平面α內(nèi)”，正確的是( D )
A．A∈l，l α B．A l，l α
C．A l，l∈α D．A∈l，l α
[解析]　點(diǎn)與線的位置關(guān)系用“∈”或“ ”表示，線與面的位置關(guān)系用“ ”或“ ”表示，則“點(diǎn)A在直線l上，l在平面α內(nèi)”可用A∈l，l α表示．
3．如圖所示，在長(zhǎng)方體木塊AC1中，E，F(xiàn)分別是B1O和C1O的中點(diǎn)，則長(zhǎng)方體的各棱中與EF平行的有( B )
A．3條 B．4條
C．5條 D．6條
[解析]　EF∥B1C1∥BC∥AD∥A1D1.
4．直線a∥平面α，α內(nèi)有n條直線相交于一點(diǎn)，則這n條直線中與直線a平行的直線有( C )
A．0條 B．1條
C．0條或1條 D．無(wú)數(shù)條
[解析]　過(guò)直線a和n條直線的交點(diǎn)作平面β，設(shè)平面β與α交于直線b，則a∥b.若所給n條直線中有1條直線是與b重合的，則此直線與直線a平行；若沒(méi)有與b重合的直線，則與直線a平行的直線有0條．
5．如圖，點(diǎn)P，Q，R，S分別在正方體的四條棱上，且是所在棱的中點(diǎn)，則直線PQ與RS是異面直線的一個(gè)圖是_③__(填序號(hào))．
[解析]　①中PQ∥RS，②中RS∥PQ，④中RS和PQ相交．8．5.1　直線與直線平行
課標(biāo)要求
1．了解基本事實(shí)4和定理．
2．借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，了解空間中直線與直線平行的關(guān)系．
素養(yǎng)要求
在學(xué)習(xí)和應(yīng)用基本事實(shí)4和定理的過(guò)程中，通過(guò)判定和證明空間兩條直線的位置關(guān)系，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).
知識(shí)點(diǎn) 1　基本事實(shí)4
(1)文字語(yǔ)言：平行于同一條直線的兩條直線 平行　.
(2)圖形語(yǔ)言：
(3)符號(hào)語(yǔ)言：直線a，b，c，a∥b，b∥c a∥c　.
(4)作用：證明兩條直線平行．
(5)說(shuō)明：基本事實(shí)4表達(dá)的性質(zhì)通常叫做平行線的 傳遞性　.
[拓展]　對(duì)基本事實(shí)4的認(rèn)識(shí)
(1)基本事實(shí)4，它表述的性質(zhì)通常叫做平行線的傳遞性．
(2)基本事實(shí)4是論證平行問(wèn)題的主要依據(jù)．
練一練：
1．已知a，b是異面直線，直線c∥直線a，那么c與b( C )
A．一定是異面直線 B．一定是相交直線
C．不可能是平行直線 D．不可能是相交直線
[解析]　假設(shè)c與b平行，由于c∥a，根據(jù)基本事實(shí)4可知a∥b，與a，b是異面直線矛盾，故c與b不可能是平行直線．故選C.
2．已知在棱長(zhǎng)為a的正方體ABCD－A′B′C′D′中，M，N分別為棱CD，AD的中點(diǎn)，則MN與A′C′的位置關(guān)系是_平行__.
[解析]　如圖所示，∵M(jìn)，N分別為CD，AD的中點(diǎn)，∴MN∥AC，
由正方體的性質(zhì)可得AC∥A′C′，
∴MN∥A′C′，即MN與A′C′平行．
知識(shí)點(diǎn) 2　等角定理
文字語(yǔ)言 如果空間中兩個(gè)角的兩條邊分別對(duì)應(yīng)平行，那么這兩個(gè)角_相等__或_互補(bǔ)__
圖形語(yǔ)言
作用 判斷或證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)
[拓展]　對(duì)等角定理的兩點(diǎn)認(rèn)識(shí)
(1)等角定理是由平面圖形推廣到空間圖形而得到的，它是基本事實(shí)4的直接應(yīng)用．
(2)當(dāng)這兩個(gè)角的兩邊方向分別相同或相反時(shí)，它們相等，否則它們互補(bǔ)．因此等角定理用來(lái)證明兩個(gè)角相等或互補(bǔ)．
練一練：
已知∠BAC＝30°，AB∥A′B′，AC∥A′C′，則∠B′A′C′＝( C )
A．30° B．150°
C．30°或150° D．大小無(wú)法確定
[解析]　當(dāng)∠B′A′C′與∠BAC開(kāi)口方向相同時(shí)，∠B′A′C′＝30°，方向相反時(shí)，∠B′A′C′＝150°.故選C.
題|型|探|究
題型一　空間平行線的傳遞性的應(yīng)用
典例1　如圖所示，E，F(xiàn)分別是長(zhǎng)方體A1B1C1D1－ABCD的棱A1A，C1C的中點(diǎn)，求證：四邊形B1EDF是平行四邊形．
[證明]　設(shè)Q是DD1的中點(diǎn)，連接EQ，QC1，
∵E是AA1的中點(diǎn)，
∴EQ綉A1D1.
又在矩形A1B1C1D1中，A1D1綉B(tài)1C1，
∴EQ∥B1C1，
∴四邊形EQC1B1為平行四邊形，
∴B1E綉C1Q.
又∵Q，F(xiàn)分別是矩形DD1C1C的兩邊DD1和CC1的中點(diǎn)，
∴QD綉C1F，
∴四邊形DQC1F為平行四邊形，∴C1Q綉DF.
又∵B1E綉C1Q，∴B1E綉DF，
∴四邊形B1EDF為平行四邊形．
[歸納提升]　證明空間兩條直線平行的方法
(1)平面幾何法
三角形中位線、平行四邊形的性質(zhì)等．
(2)定義法
用定義證明兩條直線平行，要證明兩個(gè)方面：一是兩條直線在同一平面內(nèi)；二是兩條直線沒(méi)有公共點(diǎn)．
(3)基本事實(shí)4
用基本事實(shí)4證明兩條直線平行，只需找到直線b，使得a∥b，同時(shí)b∥c，由基本事實(shí)4即可得到a∥c.
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 如圖，梯形ABCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為BC和AD的中點(diǎn)，將平面DCEF沿EF翻折起來(lái)，使CD到C′D′的位置，G，H分別為AD′和BC′的中點(diǎn)，求證：四邊形EFGH為平行四邊形．
[證明]　因?yàn)樘菪蜛BCD中，AB∥CD，E，F(xiàn)分別為BC，AD的中點(diǎn)，所以EF∥AB且EF＝(AB＋CD)．
又C′D′∥EF，EF∥AB，所以C′D′∥AB.
因?yàn)镚，H分別為AD′，BC′的中點(diǎn)，
所以GH∥AB且GH＝(AB＋C′D′)＝(AB＋CD)，所以GH綉EF，所以四邊形EFGH為平行四邊形.
題型二　等角定理的應(yīng)用
典例2　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F、E1、F1分別是棱AB、AD、B1C1、C1D1的中點(diǎn)．求證：
(1)EF綉E1F1；
(2)∠EA1F＝∠E1CF1.
[分析]　(1)→→
(2)→
[證明]　(1)如圖，連接BD、B1D1，在△ABD中，因?yàn)镋、F分別為AB、AD的中點(diǎn)，所以EF綉B(tài)D.
同理，E1F1綉B(tài)1D1.
在正方體ABCD－A1B1C1D1中，BB1綉DD1，
所以四邊形BB1D1D為平行四邊形，所以BD綉B(tài)1D1，
又EF綉B(tài)D，E1F1綉B(tài)1D1，
所以EF綉E1F1.
(2)取A1B1的中點(diǎn)M，連接F1M、BM，則MF1綉B(tài)1C1.
又B1C1綉B(tài)C，所以MF1綉B(tài)C，
所以四邊形BMF1C為平行四邊形，
所以BM∥CF1.
因?yàn)锳1M＝A1B1，BE＝AB，且A1B1綉AB，
所以A1M綉B(tài)E，
所以四邊形BMA1E為平行四邊形，
所以BM∥A1E，所以CF1∥A1E.
同理可證A1F∥CE1.
因?yàn)椤螮A1F與∠E1CF1的兩邊分別對(duì)應(yīng)平行，且方向都相反，所以∠EA1F＝∠E1CF1.
[歸納提升]　求證角相等：一是用等角定理；二是用三角形全等或相似．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 已知E、E1分別是正方體ABCD－A1B1C1D1的棱AD、A1D1的中點(diǎn)．求證：∠BEC＝∠B1E1C1.
[證明]　如圖，連接EE1，
∵E1、E分別為A1D1、AD的中點(diǎn)，∴A1E1∥AE，且A1E1＝AE，
∴四邊形A1E1EA為平行四邊形，∴A1A∥E1E，且A1A＝E1E.
又∵A1A∥B1B，且A1A＝B1B，
∴E1E∥B1B，且E1E＝B1B，
∴四邊形E1EBB1為平行四邊形，
∴E1B1∥EB.同理E1C1∥EC.
又∠C1E1B1與∠CEB方向相同，
∴∠C1E1B1＝∠CEB.
易|錯(cuò)|警|示
等角定理理解不準(zhǔn)確
典例3　設(shè)已知空間兩個(gè)角α，β且α，β的兩邊分別平行，α＝60°，則β＝_60°或120°__.
[錯(cuò)解]　60°
[錯(cuò)因分析]　在應(yīng)用等角定理解題時(shí)一定要注意“兩組邊對(duì)應(yīng)平行且方向相同”這一條件，在求解本題時(shí)容易忽略此條件而出錯(cuò)誤答案60°.
[正解]　因?yàn)榻铅粒碌膬蛇叿謩e平行，
所以α，β相等或互補(bǔ)，
又α＝60°，所以β＝60°或120°.
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 下列結(jié)論中，正確的結(jié)論有( B )
①如果一個(gè)角的兩邊與另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩個(gè)角相等；
②如果兩條相交直線和另兩條相交直線分別平行，那么這兩組直線所成的銳角(或直角)相等；
③如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別垂直，那么這兩個(gè)角相等或互補(bǔ)；
④如果兩條直線同時(shí)平行于第三條直線，那么這兩條直線互相平行．
A．1個(gè) B．2個(gè)
C．3個(gè) D．4個(gè)
[解析]　②④是正確的．
1．若AB∥A′B′，AC∥A′C′，則有( C )
A．∠BAC＝∠B′A′C′
B．∠BAC＋∠B′A′C′＝180°
C．∠BAC＝∠B′A′C′或∠BAC＋∠B′A′C′＝180°
D．∠BAC＋∠B′A′C′＝90°
2．如果OA∥O1A1，OB∥O1B1，那么∠AOB與∠A1O1B1( C )
A．相等 B．互補(bǔ)
C．相等或互補(bǔ) D．以上均不對(duì)
[解析]　如圖(1)所示，當(dāng)OA與O1A1，且OB與O1B1同向時(shí)，此時(shí)∠AOB＝∠A1O1B1，
如圖(2)所示，當(dāng)OB與O1B1同向時(shí)，且OA與O1A1反向時(shí)，此時(shí)∠AOB＋∠A1O1B1＝180°，
即∠AOB與∠A1O1B1互補(bǔ)，
綜上可得，∠AOB與∠A1O1B1相等或互補(bǔ)．
故選C.
3．如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，∠AD1B1和∠DBC1的關(guān)系為( A )
A．相等 B．互補(bǔ)
C．互余 D．相等或互補(bǔ)
[解析]　∵∠AD1B1與∠DBC1的兩條邊均對(duì)應(yīng)平行，且方向都相反，所以兩角相等．
4．如圖所示，E，F(xiàn)，G，H分別是空間四邊形ABCD各邊AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，若BD＝2，AC＝4，則四邊形EFGH的周長(zhǎng)為_(kāi)6__.
[解析]　 EH＝FG＝BD＝1.
同理EF＝GH＝AC＝2，
所以四邊形EFGH的周長(zhǎng)為6.
5．已知正方體ABCD－A′B′C′D′中，M、N分別為棱CD、AD的中點(diǎn)，求證：四邊形MNA′C′是梯形．
[證明]　如圖，連接AC，
∵M(jìn)、N分別為棱CD、AD的中點(diǎn)，∴MN綉AC.
由正方體性質(zhì)可知AC綉A′C′，
∴MN綉A′C′，
∴四邊形MNA′C′是梯形．8．5.2　直線與平面平行
課標(biāo)要求
1．借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，歸納出直線與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，并加以證明．
2．會(huì)應(yīng)用直線與平面平行的判定定理證明直線與平面平行．
素養(yǎng)要求
通過(guò)線面平行問(wèn)題的證明，培養(yǎng)邏輯推理核心素養(yǎng)；借助幾何體判定直線與平面的位置關(guān)系，培養(yǎng)直觀想象核心素養(yǎng)；通過(guò)根據(jù)平行關(guān)系進(jìn)行數(shù)值計(jì)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).
知識(shí)點(diǎn) 1　直線與平面平行的判定定理
文字語(yǔ)言 如果_平面外__一條直線與此_平面內(nèi)__的一條直線_平行__，那么該直線與此平面平行
符號(hào)語(yǔ)言 _a α，b α，且a∥b__ a∥α
圖形語(yǔ)言
想一想：
若一直線與平面內(nèi)的一條直線平行，一定有該直線與平面平行嗎？
提示：不一定．也有可能直線在平面內(nèi)，所以一定要強(qiáng)調(diào)直線在平面外．
練一練：
能保證直線a與平面α平行的條件是( D )
A．b α，a∥b
B．b α，c∥α，a∥b，a∥c
C．b α，A，B∈a，C，D∈b，且AC∥BD
D．a(chǎn) α，b α，a∥b
[解析]　由線面平行的判定定理可知，D正確．
知識(shí)點(diǎn) 2　直線與平面平行的性質(zhì)定理
文字語(yǔ)言 一條直線與一個(gè)平面_平行__，如果過(guò)該直線的平面與此平面相交，那么該直線與_交線__平行
符號(hào)語(yǔ)言 a∥α，_a β，α∩β＝b__ a∥b
圖形語(yǔ)言
想一想：
(1)一條直線平行于一個(gè)平面，則該直線平行于這個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線嗎？
(2)若直線a∥平面α，過(guò)a與α相交的平面有多少個(gè)？它們與α的交線相互之間有什么關(guān)系？
提示：(1)一條直線平行于一個(gè)平面，它可以與平面內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線平行，但不能與平面內(nèi)的任意一條直線平行，這條直線與平面內(nèi)的任意一條直線可能平行，也可能異面．
(2)過(guò)a與α相交的平面有無(wú)數(shù)多個(gè)，由線面平行的性質(zhì)定理可知，這些交線都與a平行，故它們相互之間互相平行．
練一練：
已知a、b是兩條相交直線，a∥α，則b與α的位置關(guān)系是( D )
A．b∥α B．b與α相交
C．b α D．b∥α或b與α相交
[解析]　由題意得b∥α和b與α相交都有可能．故選D.
題|型|探|究
題型一　理解線面平行
典例1　如果兩直線a∥b，且a∥α，則b與α的位置關(guān)系是( D )
A．相交 B．b∥α
C．b α D．b∥α或b α
[解析]　由a∥b，且a∥α，知b∥α或b α.
[歸納提升]　線面平行的判定定理必須具備三個(gè)條件
(1)直線a在平面α外，即a α；
(2)直線b在平面α內(nèi)，即b α；
(3)兩直線a，b平行，即a∥b，這三個(gè)條件缺一不可．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 下列說(shuō)法正確的是( D )
A．若直線l平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線，則l∥α
B．若直線a在平面α外，則a∥α
C．若直線a∩b＝ ，直線b α，則a∥α
D．若直線a∥b，b α，那么直線a就平行于平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線
[解析]　直線l還可以在平面α內(nèi)，A錯(cuò)誤；直線a在平面α外，包括平行和相交，B錯(cuò)誤；a還可以與平面α相交或在平面α內(nèi)，C錯(cuò)誤．故選D.
題型二　直線與平面平行的判定
典例2　如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，M為PD的中點(diǎn)，求證：PB∥平面ACM.
[證明]　連接BD，交AC于點(diǎn)O，連接OM，
∵M(jìn)為PD的中點(diǎn)，
∴OM為△DPB的中位線，
∴OM∥PB.
又OM 平面ACM，而PB 平面ACM，
∴PB∥平面ACM.
[歸納提升]　利用直線與平面平行的判定定理證線面平行的步驟
上面的第一步“找”是證題的關(guān)鍵，其常用方法有：利用三角形、梯形中位線的性質(zhì)；利用平行四邊形的性質(zhì)；利用平行線分線段成比例定理．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)，G分別是棱BC，CC1，BB1的中點(diǎn)，求證：EF∥平面AD1G.
[解析]　連接BC1，則由E，F(xiàn)分別是BC，CC1的中點(diǎn)，知EF∥BC1.
又AB∥A1B1∥D1C1，且AB＝A1B1＝D1C1，
所以四邊形ABC1D1是平行四邊形，
所以BC1∥AD1，所以EF∥AD1.
又EF 平面AD1G，AD1 平面AD1G，
所以EF∥平面AD1G.
題型三　直線與平面平行的性質(zhì)
典例3　如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，點(diǎn)P是平面ABCD外一點(diǎn)，M是PC的中點(diǎn)，在DM上取一點(diǎn)G，過(guò)G和AP作平面交平面BDM于GH，求證：AP∥GH.
[分析]　根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理，要證AP∥GH，只需證AP∥平面BDM，只需證AP與平面BDM中的某一條直線平行．
[證明]　如圖所示，連接AC交BD于點(diǎn)O，連接MO.
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴O是AC的中點(diǎn)．
又M是PC的中點(diǎn)，∴AP∥OM.
又AP 平面BMD，OM 平面BMD，
∴AP∥平面BMD.
又∵AP 平面PAHG，平面PAHG∩平面BMD＝GH，∴AP∥GH.
[歸納提升]　(1)利用線面平行的性質(zhì)定理解題的步驟
(2)運(yùn)用線面平行的性質(zhì)定理時(shí)，應(yīng)先確定線面平行，再尋找過(guò)已知直線的平面與這個(gè)平面相交的交線，然后確定線線平行．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，過(guò)A1，B，C1的平面與平面ABC相交于l，則( A )
A．l∥AC B．l與AC相交
C．l與AC異面 D．以上均不對(duì)
[解析]　∵ABC－A1B1C1為三棱柱，
∴A1C1∥AC，又AC 平面ABC，A1C1 平面ABC，
∴A1C1∥平面ABC，又平面A1C1B∩平面ABC＝l，
∴A1C1∥l，∴l(xiāng)∥AC.故選A.
題型四　直線與平面平行的判定、性質(zhì)的應(yīng)用
典例4　如圖，三棱錐A－BCD被一平面所截，截面為平行四邊形EFGH，求證：CD∥平面EFGH.
[證明]　因?yàn)樗倪呅蜤FGH為平行四邊形，所以EF∥GH，
因?yàn)镋F 平面BCD，GH 平面BCD，
所以EF∥平面BCD，
又因?yàn)镋F 平面ACD，平面BCD∩平面ACD＝CD，所以EF∥CD，因?yàn)镋F 平面EFGH，CD 平面EFGH，所以CD∥平面EFGH.
[歸納提升]　關(guān)于線面平行關(guān)系的綜合應(yīng)用
線面平行的判定是由線線平行→線面平行，性質(zhì)定理是由線面平行→線線平行，因此線線平行與線面平行可以相互轉(zhuǎn)化，也體現(xiàn)了平面和空間平行關(guān)系的相互轉(zhuǎn)化．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為平行四邊形，N是PB中點(diǎn)，過(guò)A、N、D三點(diǎn)的平面交PC于M.求證：
(1)PD∥平面ANC；
(2)M是PC中點(diǎn)．
[證明]　(1)連接BD，AC，設(shè)AC∩BD＝O，連接NO，
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴O是BD的中點(diǎn)，在△PBD中，N是PB的中點(diǎn)，
∴PD∥NO，
又NO 平面ANC，PD 平面ANC，
∴PD∥平面ANC.
(2)∵底面ABCD為平行四邊形，
∴AD∥BC，
∵BC 平面ADMN，AD 平面ADMN，
∴BC∥平面ADMN.
∵平面PBC∩平面ADMN＝MN，BC在面PBC內(nèi)，
∴BC∥MN，又N是PB的中點(diǎn)，
∴M是PC的中點(diǎn)．
易|錯(cuò)|警|示
忽視定理的必備條件
典例5　證明：已知平面外的兩條平行線中的一條平行于這個(gè)平面，那么另一條直線也平行于該平面．
已知：a∥b，a β，b β，a∥β.
求證：b∥β.
[錯(cuò)解]　因?yàn)閍∥b，所以直線a，b確定平面γ，設(shè)β∩γ＝c.
因?yàn)閍∥β，所以a∥c，又因?yàn)閍∥b，所以b∥c，
又因?yàn)閏 β，b β，所以b∥β.
出錯(cuò)的原因是此時(shí)直線a，b確定的平面γ與β不一定相交，也可能平行，所以直線c也可能不存在．
[錯(cuò)因分析]　使用定理證明或判斷線線平行或線面平行時(shí)，一定要注意定理成立的條件，缺一不可．
[正解]　在平面β內(nèi)任一點(diǎn)A，因?yàn)閍∥β，所以A a.
設(shè)點(diǎn)A與直線a確定平面γ，β∩γ＝c.
又a∥β，由線面平行的性質(zhì)定理可得a∥c，
又a∥b，所以b∥c，又c β，b β，所以b∥β.
對(duì)點(diǎn)練習(xí) b是平面α外的一條直線，可以推出b∥α的條件是( D )
A．b與α內(nèi)的一條直線不相交
B．b與α內(nèi)的兩條直線不相交
C．b與α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線不相交
D．b與α內(nèi)的任何一條直線都不相交
[解析]　∵b∥α，∴b與α無(wú)公共點(diǎn)，從而b與α內(nèi)任何一條直線無(wú)公共點(diǎn)．
1．三棱臺(tái)ABC－A1B1C1中，直線AB與平面A1B1C1的位置關(guān)系是( B )
A．相交 B．平行
C．在平面內(nèi)　 D．不確定
[解析]　∵AB∥A1B1，AB 平面A1B1C1，A1B1 平面A1B1C1，
∴AB∥平面A1B1C1.
2．若直線a不平行于平面α，則下列結(jié)論成立的是( D )
A．平面α內(nèi)不存在與a平行的直線
B．平面α內(nèi)所有直線與a相交
C．平面α內(nèi)所有直線與a異面
D．直線a與平面α至少存在一個(gè)公共點(diǎn)
[解析]　由于直線a不平行于平面α，所以直線a與平面α相交或直線a在平面α內(nèi)，直線a在平面α內(nèi)時(shí)，平面α內(nèi)存在與a平行的直線，故A錯(cuò)誤；直線a與平面α相交時(shí)，平面α內(nèi)存在直線與a異面，故B錯(cuò)誤；直線a在平面α內(nèi)時(shí)，平面α內(nèi)存在與a平行或相交的直線，故C錯(cuò)誤；直線a與平面α相交或直線a在平面α內(nèi)，直線a與平面α至少存在一個(gè)公共點(diǎn)，故D正確．故選D.
3．如圖甲，在梯形ABCD中，AB∥CD，CD＝2AB，E、F分別為AD、CD的中點(diǎn)，以AF為折痕把△ADF折起，使點(diǎn)D不落在平面ABCF內(nèi)(如圖乙)，那么在以下3個(gè)結(jié)論中，正確結(jié)論的個(gè)數(shù)是( C )
①AF∥平面BCD；②BE∥平面CDF；
③CD∥平面BEF.
A．0 B．1
C．2 D．3
[解析]　對(duì)于①，由題意得AB∥CF，AB＝CF，
∴四邊形ABCF是平行四邊形，
∴AF∥BC，
∵AF 平面BCD，BC 平面BCD，
∴AF∥平面BCD，故①正確；
對(duì)于②，取DF中點(diǎn)G，連接EG，CG，
∵E是AD中點(diǎn)，AF∥BC，AF＝BC，
∴EG＝BC，EG∥BC
∴四邊形BCGE為梯形，
∴直線BE與直線CG相交，
∴BE與平面CDF相交，故②錯(cuò)誤；
對(duì)于③，連接AC，交BF于點(diǎn)O，連接OE，
∵四邊形ABCF是平行四邊形，
∴O是AC中點(diǎn)，
∴OE∥CD，
∵OE 平面BEF，CD 平面BEF，
∴CD∥平面BEF，故③正確．
故選C.
4．如圖，已知S為四邊形ABCD外一點(diǎn)，G、H分別為SB、BD上的點(diǎn)，若GH∥平面SCD，則( B )
A．GH∥SA
B．GH∥SD
C．GH∥SC
D．以上均有可能
[解析]　∵GH∥平面SCD，GH 平面SBD，
平面SBD∩平面SCD＝SD，∴GH∥SD.
5．如圖，三棱柱ABC－A′B′C′，點(diǎn)M、N分別為A′B和B′C′的中點(diǎn)．證明：MN∥平面A′ACC′.
[證明]　連接AB′、AC′，則點(diǎn)M為AB′的中點(diǎn)．
又點(diǎn)N為B′C′的中點(diǎn)，所以MN∥AC′.
又MN 平面A′ACC′，AC′ 平面A′ACC′，
因此MN∥平面A′ACC′.8.5.3　平面與平面平行
課標(biāo)要求
1．借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，歸納出平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理，并加以證明．
2．會(huì)應(yīng)用平面與平面平行的判定定理和性質(zhì)定理證明平面與平面平行、直線與平面平行、直線與直線平行．
素養(yǎng)要求
1．借助幾何體判定平面與平面的位置關(guān)系，培養(yǎng)直觀想象、邏輯推理核心素養(yǎng)．
2．通過(guò)根據(jù)平行關(guān)系進(jìn)行相關(guān)計(jì)算，培養(yǎng)數(shù)學(xué)運(yùn)算核心素養(yǎng).
知識(shí)點(diǎn) 1　平面與平面平行的判定定理
文字語(yǔ)言 如果一個(gè)平面內(nèi)的_兩條相交直線__都與另一個(gè)平面平行，那么這兩個(gè)平面平行
符號(hào)語(yǔ)言 a α，b α，a∩b＝P，a∥β，b∥β α∥β
圖形語(yǔ)言
[拓展]　剖析平面與平面平行的判定定理
(1)具備兩個(gè)條件
判定平面α與平面β平行時(shí)，必須具備兩個(gè)條件．
①平面α內(nèi)兩條相交直線a，b，即a α，b α，a∩b＝P.
②兩條相交直線a，b都與平面β平行，即a∥β，b∥β.
(2)體現(xiàn)了轉(zhuǎn)化思想
此定理將證明面面平行的問(wèn)題轉(zhuǎn)化為證明線面平行．
(3)此定理可簡(jiǎn)記為：線面平行 面面平行．
練一練：
在正方體中，相互平行的面不會(huì)是( D )
A．前后相對(duì)側(cè)面 B．上下相對(duì)底面
C．左右相對(duì)側(cè)面 D．相鄰的側(cè)面
[解析]　由正方體的模型知前后面、上下面、左右面都相互平行，故選D.
知識(shí)點(diǎn) 2　平面與平面平行的性質(zhì)定理
文字語(yǔ)言 兩個(gè)平面平行，如果另一個(gè)平面與這兩個(gè)平面相交，那么兩條交線_平行__
符號(hào)語(yǔ)言 α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b _a∥b__
圖形語(yǔ)言
[拓展]　1.解讀平面與平面平行的性質(zhì)定理
(1)兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理揭示了“兩個(gè)平面平行之后它們具有什么樣的性質(zhì)”．該性質(zhì)定理可以看作直線與直線平行的判定定理．可簡(jiǎn)述為“若面面平行，則線線平行”．
(2)用該定理判斷直線a與b平行時(shí)，必須具備三個(gè)條件：
①平面α和平面β平行，即α∥β；
②平面γ和α相交，即α∩γ＝a；
③平面γ和β相交，即β∩γ＝b.
以上三個(gè)條件缺一不可．
(3)在應(yīng)用這個(gè)定理時(shí)，要防止出現(xiàn)“兩個(gè)平面平行，則一個(gè)平面內(nèi)的直線平行于另一個(gè)平面內(nèi)的一切直線”的錯(cuò)誤．
2．兩個(gè)平面平行的一些常見(jiàn)結(jié)論
(1)如果兩個(gè)平面平行，那么在一個(gè)平面內(nèi)的所有直線都與另一個(gè)平面平行．
(2)如果一條直線和兩個(gè)平行平面中的一個(gè)相交，那么它也和另一個(gè)平面相交．
(3)夾在兩個(gè)平行平面間的所有平行線段相等．
練一練：
已知長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′，平面α∩平面ABCD＝EF，平面α∩平面A′B′C′D′＝E′F′，則EF與E′F′的位置關(guān)系是( A )
A．平行 B．相交
C．異面 D．不確定
[解析]　因?yàn)槠矫鍭BCD∥平面A′B′C′D′，所以EF∥E′F′.故選A.
題|型|探|究
題型一　面面平行判定定理的理解
典例1　(多選題)下列命題中正確的是( CD )
A．若一個(gè)平面內(nèi)有兩條直線都與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行
B．若一個(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條直線都與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行
C．若一個(gè)平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行
D．若一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面，則這兩個(gè)平面平行
[解析]　對(duì)A選項(xiàng)，這兩個(gè)平面可能平行，也可能相交；對(duì)B選項(xiàng)，這兩個(gè)平面可能平行，也可能相交；對(duì)C選項(xiàng)，平面內(nèi)任何一條直線都平行于另一個(gè)平面，則一定存在兩條相交直線平行于另一個(gè)平面，所以兩平面一定平行；對(duì)D選項(xiàng)，是面面平行的判定定理．所以選CD.
[歸納提升]　利用判定定理證明面面平行，必須具備兩個(gè)條件：
(1)有兩條直線平行于另一平面；
(2)這兩條直線必須相交．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 已知直線l，m，平面α，β，下列命題正確的是( D )
A．l∥β，l α α∥β
B．l∥β，m∥β，l α，m α α ∥β
C．l∥m，l α，m β α∥β
D．l∥β，m∥β，l α，m α，l∩m＝M α∥β
題型二　平面與平面平行的判定
典例2　如圖所示，在三棱柱ABC－A1B1C1中，點(diǎn)D，E分別是BC與B1C1的中點(diǎn)．求證：平面A1EB∥平面ADC1.
[分析]　要證平面A1EB∥平面ADC1，只需證平面A1EB內(nèi)有兩條相交直線平行于平面ADC1即可．
[證明]　如圖，由棱柱的性質(zhì)知，B1C1∥BC，B1C1＝BC.
又D、E分別為BC，B1C1的中點(diǎn)，
所以C1E∥DB，C1E＝DB，
則四邊形C1DBE為平行四邊形，
因此EB∥C1D.
又C1D 平面ADC1，EB 平面ADC1，
所以EB∥平面ADC1.
連接DE，同理，EB1∥BD，EB1＝BD，
所以四邊形EDBB1為平行四邊形，
則ED∥B1B，ED＝B1B.
因?yàn)锽1B∥A1A，B1B＝A1A(棱柱的性質(zhì))，
所以ED∥A1A，ED＝A1A，
則四邊形EDAA1為平行四邊形，所以A1E∥AD.
又A1E 平面ADC1，AD 平面ADC1，
所以A1E∥平面ADC1.
由A1E∥平面ADC1，EB∥平面ADC1，A1E 平面A1EB，EB 平面A1EB，且A1E∩EB＝E，所以平面A1EB∥平面ADC1.
[歸納提升]　平面與平面平行的判定方法：
(1)定義法：兩個(gè)平面沒(méi)有公共點(diǎn)．
(2)判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線分別平行于另一個(gè)平面．
(3)轉(zhuǎn)化為線線平行：平面α內(nèi)的兩條相交直線與平面β內(nèi)的兩條相交直線分別平行，則α∥β.
(4)利用平行平面的傳遞性：若α∥β，β∥γ，則α∥γ.
對(duì)點(diǎn)練習(xí) (2023·哈爾濱高一檢測(cè))如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，S是B1D1的中點(diǎn)，E，F(xiàn)，G分別是BC，DC，SC的中點(diǎn)．
求證：平面EFG∥平面BDD1B1.
[證明]　連接SD，SB.因?yàn)镕，G分別是DC，SC的中點(diǎn)，所以FG∥SD，
又SD 平面BDD1B1，F(xiàn)G 平面BDD1B1，
所以FG∥平面BDD1B1，同理可證直線EG∥平面BDD1B1，
又直線EG 平面EFG，直線FG 平面EFG，EG∩FG＝G，所以平面EFG∥平面BDD1B1.
題型三　平面與平面平行的性質(zhì)
典例3　(1)如圖，已知平面α∥β，P α且P β，過(guò)點(diǎn)P的直線m與α，β分別交于A，C，過(guò)點(diǎn)P的直線n與α，β分別交于B，D，且PA＝6，AC＝9，PD＝8，則BD＝ 　.
(2)如圖所示，已知三棱柱ABC－A1B1C1中，D是BC的中點(diǎn)，D1是B1C1的中點(diǎn)，設(shè)平面A1D1B∩平面ABC＝l1，平面ADC1∩平面A1B1C1＝l2，求證：l1∥l2.
[解析]　(1)因?yàn)锳C∩BD＝P，
所以經(jīng)過(guò)直線AC與BD可確定平面PCD，
因?yàn)棣痢桅拢痢善矫鍼CD＝AB，β∩平面PCD＝CD，
所以AB∥CD.所以＝，即＝.所以BD＝.
(2)證明：連接D1D，
因?yàn)镈與D1分別是BC與B1C2的中點(diǎn)，
所以DD1綉B(tài)B1，
又BB1綉AA1，所以DD1綉AA1，
所以四邊形A1D1DA為平行四邊形，
所以AD∥A1D1，
又平面A1B1C1∥平面ABC，且平面A1B1C1∩平面A1D1B＝A1D1，平面A1D1B∩平面ABC＝l1，
所以A1D1∥l1，同理可證：AD∥l2，
因?yàn)锳1D1∥AD，所以l1∥l2.
[歸納提升]　(1)面面平行的性質(zhì)定理是由面面平行證明線線平行．證明線線平行的關(guān)鍵是把要證明的直線看作是平面的交線，所以構(gòu)造三個(gè)平面：即兩個(gè)平行平面，一個(gè)經(jīng)過(guò)兩直線的平面．有時(shí)需要添加輔助面．
(2)證明直線與平面平行，除了定義法，判定定理法以外，還可以用兩平面平行的性質(zhì)，也就是說(shuō)為了證明直線與平面平行，也可以先證明兩平面平行，再由兩平面平行的性質(zhì)得到線面平行．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) (1)將本例(1)改為：若點(diǎn)P位于平面α，β之間(如圖)，其他條件不變，試求BD的長(zhǎng)．
(2)如圖所示，在三棱錐P－ABC中，D，E，F(xiàn)分別是PA，PB，PC的中點(diǎn)．M是AB上一點(diǎn)，連接MC，N是PM與DE的交點(diǎn)，連接NF，求證：NF∥CM.
[解析]　(1)與典例3(1)同理，可證AB∥CD.
所以＝，即＝，所以BD＝24.
(2)因?yàn)镈，E分別是PA，PB的中點(diǎn)，所以DE∥AB.
又DE 平面ABC，AB 平面ABC，
所以DE∥平面ABC.
同理DF∥平面ABC，且DE∩DF＝D，
所以平面DEF∥平面ABC.
又平面PCM∩平面DEF＝NF，平面PCM∩平面ABC＝CM，所以NF∥CM.
題型四　平面與平面平行的綜合應(yīng)用
典例4　如圖，在四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為等腰梯形，AB∥CD，AB＝2CD，E，E1分別是棱AD，AA1上的點(diǎn)．設(shè)F是棱AB的中點(diǎn)．
求證：直線EE1∥平面FCC1.
[證明]　因?yàn)镕為AB的中點(diǎn)，所以AB＝2AF，
又因?yàn)锳B＝2CD，所以CD＝AF，
因?yàn)锳B∥CD，所以CD∥AF，
所以四邊形AFCD為平行四邊形，
所以FC∥AD，又FC 平面ADD1A1，
AD 平面ADD1A1，
所以FC∥平面ADD1A1，
因?yàn)镃C1∥DD1，CC1 平面ADD1A1，
DD1 平面ADD1A1，
所以CC1∥平面ADD1A1，又FC∩CC1＝C，
所以平面ADD1A1∥平面FCC1.
又EE1 平面ADD1A1，所以EE1∥平面FCC1.
[歸納提升]　空間中各種平行關(guān)系相互轉(zhuǎn)化關(guān)系的示意圖
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 如圖，在三棱柱BCF－ADE中，若G，H分別是線段AC，DF的中點(diǎn)．
(1)求證：GH∥平面BFC；
(2)在線段CD上是否存在一點(diǎn)P，使得平面GHP∥平面BCF，若存在，指出P的具體位置并證明；若不存在，說(shuō)明理由．
[解析]　(1)連接BD，∵四邊形ABCD為平行四邊形， G是線段BD的中點(diǎn)，
∵G，H分別是線段BD，DF的中點(diǎn)，故GH∥BF，
又BF 平面BFC，GH 平面BFC，故有GH∥平面BFC.
(2)存在，P是線段CD的中點(diǎn)，理由如下：
連接PG，PH，由(1)可知：GH∥BF，GH 平面GHP，BF 平面GHP，
∴BF∥平面GHP，
∵P、H分別是線段CD、DF的中點(diǎn)，則HP∥CF，HP 平面GHP，CF 平面GHP，
∴CF∥平面GHP，BF∩CF＝F，BF 平面BCF，CF 平面BCF，
故平面GHP∥平面BCF.
易|錯(cuò)|警|示
應(yīng)用定理?xiàng)l件不足，推理論證不嚴(yán)密致誤
典例5　在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，E、F、G、H分別是AA1、BB1、CC1、DD1的中點(diǎn)，求證：平面EFGH∥平面ABCD.
[錯(cuò)解]　∵E、F分別是AA1和BB1的中點(diǎn)，∴EF∥AB，
又EF 平面ABCD，AB 平面ABCD，∴EF∥平面ABCD，
同理可證，HG∥平面ABCD.
又EF 平面 EG，HG 平面EG，
∴平面EFGH∥平面ABCD.
[錯(cuò)因分析]　錯(cuò)解中，EF與HG是平面EG內(nèi)的兩條平行直線，不是相交直線，不符合面面平行的判定定理的條件，因此證明不正確．
[正解]　∵E、F分別是AA1和BB1的中點(diǎn)，
∴EF∥AB，又EF 平面ABCD，AB 平面ABCD，
∴EF∥平面ABCD.
同理可證EH∥平面ABCD.
又EF 平面EG，EH 平面EG，EF∩EH＝E，
∴平面EFGH∥平面ABCD.
[誤區(qū)警示]　利用面面平行的判定定理證明兩個(gè)平面平行時(shí)，所滿足的條件必須是明顯或已經(jīng)證明成立的，并且要與定理?xiàng)l件保持一致，否則容易導(dǎo)致錯(cuò)誤．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 如右圖所示，設(shè)E、F、E1、F1分別是長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的棱AB、CD、A1B1、C1D1的中點(diǎn)，則平面EFD1A1與平面BCF1E1的位置關(guān)系是( A )
A．平行 B．相交
C．異面 D．不確定
[解析]　∵E1和F1分別是A1B1和D1C1的中點(diǎn)，
∴A1D1∥E1F1，又A1D1 平面BCF1E1，E1F1 平面BCF1E1，∴A1D1∥平面BCF1E1.
又E1和E分別是A1B1和AB的中點(diǎn)，
∴A1E1綉B(tài)E，∴四邊形A1EBE1是平行四邊形，
∴A1E∥BE1，
又A1E 平面BCF1E1，BE1 平面BCF1E1，
∴A1E∥平面BCF1E1，
又A1E 平面EFD1A1，A1D1 平面EFD1A1，A1E∩A1D1＝A1，∴平面EFD1A1∥平面BCF1E1.
1．六棱柱ABCDEF－A1B1C1D1E1F1的底面是正六邊形，則此六棱柱的面中互相平行的有( D )
A．1對(duì) B．2對(duì)
C．3對(duì) D．4對(duì)
[解析]　正六棱柱3對(duì)側(cè)面和一對(duì)底面都是互相平行的．
2．下列結(jié)論中，錯(cuò)誤的是( A )
A．平行于同一直線的兩個(gè)平面平行
B．平行于同一平面的兩個(gè)平面平行
C．平行于同一平面的兩直線關(guān)系不確定
D．兩平面平行，一平面內(nèi)的直線必平行于另一平面
[解析]　如圖正方體ABCD－A1B1C1D1中，
BB1∥平面ADD1A1，
BB1∥平面DCC1D1，
而平面ADD1A1∩平面DCC1D1＝DD1.故選A.
3．已知α，β是兩個(gè)不重合的平面，直線a α，命題p：a∥β，命題q：α∥β，則p是q的( B )
A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
[解析]　充分性：如圖所示在正方體中，取平面A1BCD1為面α，平面ABCD為面β，A1D1為直線a，滿足直線a α， a∥β，但是α，β相交，不平行．故充分性不滿足．
必要性：由面面平行的性質(zhì)定理可知，若α∥β且a α，則a∥β.故必要性滿足．
故p是q的必要不充分條件．
故選B.
4．已知異面直線l、m，且l∥平面α，m 平面α，l 平面β，α∩β＝n，則直線m、n的位置關(guān)系是_相交__.
[解析]　由于l∥平面α，l 平面β，α∩β＝n，則l∥n.又直線l、m異面，則直線m、n相交．
5．如圖所示，已知正方體ABCD－A1B1C1D1，求證：平面AB1D1∥平面BDC1.
[證明]　∵AB綉A1B1，C1D1綉A1B1，∴AB綉C1D1.
∴四邊形ABC1D1為平行四邊形．∴AD1∥BC1.
又AD1 平面AB1D1，BC1 平面AB1D1，
∴BC1∥平面AB1D1.同理BD∥平面AB1D1.
又∵BD∩BC1＝B，∴平面AB1D1∥平面BDC1.8．6.1　直線與直線垂直
課標(biāo)要求
1．借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，了解空間中直線與直線垂直的關(guān)系．
2．掌握兩異面直線所成的角的求法．
素養(yǎng)要求
在計(jì)算兩異面直線所成的角及證明直線與直線垂直的過(guò)程中，要利用空間的線、面位置關(guān)系，并進(jìn)行計(jì)算，發(fā)展學(xué)生的邏輯推理素養(yǎng)、數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).
知識(shí)點(diǎn) 1　空間兩條直線的位置關(guān)系有三種
(1)平行直線；
(2)相交直線；
(3)異面直線．
知識(shí)點(diǎn) 2　異面直線所成的角
(1)定義：已知兩條異面直線a，b，經(jīng)過(guò)空間任一點(diǎn)O分別作直線a′∥a，b′∥b，我們把直線_a′__與_b′__所成的角叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
(2)空間兩條直線所成角α的取值范圍：_[0°，90°]__.
[拓展]　對(duì)異面直線所成的角的認(rèn)識(shí)理解的注意點(diǎn)
(1)任意性與無(wú)關(guān)性：在定義中，空間一點(diǎn)O是任取的，根據(jù)等角定理，可以斷定異面直線所成的角與a′，b′所成的銳角(或直角)相等，而與點(diǎn)O的位置無(wú)關(guān)．
(2)轉(zhuǎn)化求角：異面直線所成的角是刻畫(huà)兩條異面直線相對(duì)位置的一個(gè)重要的量，通過(guò)轉(zhuǎn)化為相交直線所成的角，將空間角轉(zhuǎn)化為平面角來(lái)計(jì)算．
練一練：
已知正方體ABCD－EFGH，則AH與FG所成角的大小為_(kāi)45°__.
[解析]　如圖，連接BG，則BG∥AH，所以∠BGF為異面直線AH與FG所成的角．因?yàn)樗倪呅蜝CGF為正方形，所以∠BGF＝45°.
知識(shí)點(diǎn) 3　異面直線互相垂直
如果兩條異面直線所成的角是_直角__，那么我們就說(shuō)這兩條異面直線互相垂直．直線a與直線b互相垂直，記作_a⊥b__.
[提醒]　兩條直線垂直是指相交垂直或異面垂直.
題|型|探|究
題型一　理解異面垂直
典例1　(1)如圖，觀察長(zhǎng)方體ABCD－A′B′C′D′，有沒(méi)有兩條棱所在的直線是互相垂直的異面直線？
(2)如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么，另一條直線是否也與這條直線垂直？
(3)垂直于同一條直線的兩條直線是否平行？
[解析]　(1)如題圖中，棱AA′與BC，AA′與CD，AA′與B′C′，AA′與C′D′等所在的直線均是互相垂直的異面直線．
(2)如果兩條平行直線中的一條與某一條直線垂直，那么另一條也與這條直線垂直．
(3)垂直于同一條直線的兩條直線不一定平行，也可能相交或異面．
[歸納提升]　(1)兩條直線垂直，既包括相交垂直，也包括異面垂直．
(2)研究異面直線所成的角，就是通過(guò)平移把異面直線轉(zhuǎn)化為相交直線，把空間角問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面角問(wèn)題，這是研究立體幾何問(wèn)題的一種基本思想．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) (1)如圖，正方體AC1中，與AB垂直的棱有_8__條．
(2)如圖，四面體ABCD中，E，F(xiàn)，G，H分別是AB，BC，CD，DA的中點(diǎn)，并且AC⊥BD，則四邊形EFGH的形狀是_矩形__.
[解析]　(1)與AB垂直的棱有BC以及與BC平行的棱，還有BB1以及與BB1平行的棱，共8條．
(2)由EH綉B(tài)D，F(xiàn)G綉B(tài)D，所以EH綉FG，四邊形EFGH為平行四邊形．由于HG∥AC，EH∥BD，所以∠EHG即為異面直線BD與AC所成角，AC⊥BD，故∠EHG＝90°，所以四邊形EFGH為矩形.
題型二　求異面直線所成的角
典例2　如圖1，P是平面ABC外的一點(diǎn)，PA＝4，BC＝2，D，E分別為PC，AB的中點(diǎn)，且DE＝3，則異面直線PA與BC所成的角的大小為_(kāi)90°__.
[分析]　→→
[解析]　如圖2，取AC的中點(diǎn)F，連接DF，EF，在△PAC中，∵D是PC的中點(diǎn)，F(xiàn)是AC的中點(diǎn)，∴DF∥PA.
同理可得EF∥BC.
∴∠DFE為異面直線PA與BC所成的角(或其補(bǔ)角)．
在△DEF中，DE＝3，又DF＝PA＝2，EF＝BC＝，
∴DE2＝DF2＋EF2，
∴∠DFE＝90°，即異面直線PA與BC所成的角為90°.
[歸納提升]　求兩異面直線所成的角的三個(gè)步驟
(1)作：根據(jù)所成角的定義，用平移法作出異面直線所成的角．
(2)證：證明作出的角就是要求的角．
(3)計(jì)算：求角的值，常利用解三角形得出．
可用“一作二證三計(jì)算”來(lái)概括．同時(shí)注意異面直線所成角的范圍是0°<θ≤90°.
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 如圖，長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，∠AD1D＝45°，∠CDC1＝30°，那么異面直線AD1與DC1所成角的余弦值是 　.
[解析]　如圖：設(shè)AD＝1，
∵∠AD1D＝45°，
∴DD1＝AD＝1，
又∵∠CDC1＝30°，∴C1D＝2，CD＝，
因?yàn)殚L(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，所以AB∥C1D1，AB＝C1D1，
所以四邊形ABC1D1 是平行四邊形，所以AD1∥BC1，
∴∠DC1B即為異面直線AD1與DC1所成的角(或補(bǔ)角)，
在△C1DB中，BD＝2，BC1＝，C1D＝2，
∴cos∠DC1B＝＝＝，
故答案為.
題型三　異面直線垂直的證明
典例3　在直三棱柱ABC－A1B1C1中，AC⊥BC，求證：AC⊥BC1.
[證明]　如圖，連接A1B，設(shè)A1C1＝a，B1C1＝b，AA1＝h，因?yàn)槿庵鵄BC－A1B1C1是直三棱柱，
所以∠BB1C1＝∠A1AB＝90°，
所以BC＝b2＋h2，AB2＝a2＋b2，
A1B2＝a2＋b2＋h2，
所以A1B2＝A1C＋BC，
則A1C1⊥BC1，即∠A1C1B＝90°.
又因?yàn)锳C∥A1C1，所以∠A1C1B就是直線AC與BC1所成的角，
所以AC⊥BC1.
[歸納提升]　(1)要證明兩異面直線垂直，可根據(jù)兩條異面直線垂直的定義，證明這兩條異面直線所成的角為90°.
(2)在證明兩條異面直線垂直時(shí)，和求兩條異面直線所成的角類似，一般也是通過(guò)平移法找到與之平行的直線．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 如圖，在正三棱柱ABC－A′B′C′中，E為棱AC的中點(diǎn)，AB＝BB′＝2.求證：BE⊥AC′.
[證明]　如圖，取CC′的中點(diǎn)F，連接EF，BF，
∵E為AC的中點(diǎn)，F(xiàn)為CC′的中點(diǎn)，
∴EF∥AC′，∴BE和EF所成角為∠BEF(其補(bǔ)角)，
即為異面直線BE與AC′所成角，且EF＝AC′.
在正三棱柱ABC－A′B′C′中，AC′＝2，EF＝.
在等邊三角形ABC中，BE＝＝，
在Rt△BCF中，BF＝＝.
在△BEF中，BE2＋EF2＝BF2，
∴BE⊥EF，∴BE⊥AC′.
易|錯(cuò)|警|示
忽略異面直線所成的角的范圍致誤
典例4　如圖1，已知空間四邊形ABCD中，AD＝BC，M，N分別為AB，CD的中點(diǎn)，且直線BC與MN所成的角為30°，求BC與AD所成的角．
[錯(cuò)解]　如圖2，連接BD，并取其中點(diǎn)E，連接EN，EM，則EN∥BC，ME∥AD，故∠ENM(或其補(bǔ)角)為BC與MN所成的角，∠MEN(或其補(bǔ)角)為BC與AD所成的角．由AD＝BC，知ME＝EN，∴∠EMN＝∠ENM＝30°，
∴∠MEN＝180°－30°－30°＝120°，即BC與AD所成的角為120°.
[錯(cuò)因分析]　解本題時(shí)易忽略異面直線所成的角θ的范圍是0°<θ≤90°，從而由∠MEN＝120°直接得出BC與AD所成的角為120°這一錯(cuò)解．事實(shí)上，在未判斷出∠MEN是銳角、直角還是鈍角之前，不能斷定它就是兩條異面直線所成的角，如果∠MEN為鈍角，那么它的補(bǔ)角才是異面直線所成的角．
[正解]　以上解答同錯(cuò)解；∵異面直線所成角θ∈(0,90°]，∴BC與AD所成的角為60°.
[誤區(qū)警示]　求異面直線所成的角θ的時(shí)候，要注意它的取值范圍是0°<θ≤90°.
兩條異面直線所成的角轉(zhuǎn)化為一個(gè)三角形的內(nèi)角時(shí)，容易忽略這個(gè)三角形的內(nèi)角可能等于兩條異面直線所成的角，也可能等于其補(bǔ)角．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 若∠AOB＝135°，直線a∥OA，a與OB為異面直線，則a與OB所成的角的大小為_(kāi)45°__.
[解析]　平移直線a使之與OA重合，由∠AOB＝135°可知，異面直線a與OB所成的角應(yīng)為45°.
1．已知空間中的三條直線a，b，c滿足a⊥c且b⊥c，則直線a與直線b的位置關(guān)系是( D )
A．平行 B．相交
C．異面 D．平行或相交或異面
[解析]　如圖，直三棱柱ABC－DEF中，
BE⊥BC，BE⊥EF，BC∥EF，
BE⊥DE，BE⊥EF，DE∩EF＝E，
BE⊥DE，BE⊥BC，DE，BC異面，
所以，空間中的三條直線a，b，c滿足a⊥c且b⊥c，則直線a與直線b的位置關(guān)系是平行或相交或異面．
2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，棱所在直線與直線BA1垂直的條數(shù)為( A )
A．4 B．5
C．6 D．7
[解析]　如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，與直線BA1垂直的直線有AD，A1D1，B1C1，BC，共4條．
3．設(shè)P是直線l外一定點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P且與l成30°角的異面直線( A )
A．有無(wú)數(shù)條 B．有兩條
C．至多有兩條 D．有一條
[解析]　如圖所示，過(guò)點(diǎn)P作直線l′∥l，以l′為軸，與l′成30°角的圓錐面的所有母線都與l成30°角．
4．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，E，F(xiàn)分別是AB，B1D1的中點(diǎn)，則直線EF與直線AA1所成角的正切值為( A )
A. B．
C． D．
[解析]　如圖，取BD的中點(diǎn)G，連接EG，F(xiàn)G，則AA1∥FG，且AA1＝FG，
故直線EF與直線AA1所成的角為∠EFG.
因?yàn)锳A1⊥平面ABCD，EG 平面ABCD，所以AA1⊥EG，F(xiàn)G⊥EG，
設(shè)AA1＝FG＝2a，EG＝AD＝a，則tan∠EFG＝＝.
故選A.8．6.2　直線與平面垂直
第1課時(shí)　直線與平面垂直的判定
課標(biāo)要求
1．借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，歸納出直線與平面垂直的判定定理，并加以證明．
2．會(huì)應(yīng)用直線與平面垂直的判定定理證明直線與平面垂直．
素養(yǎng)要求
在發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)和應(yīng)用直線與平面垂直的判定定理的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).
知識(shí)點(diǎn) 1　直線與平面垂直的定義與判定定理
1．直線與平面垂直的定義
定義 一般地，如果直線l與平面α內(nèi)的_任意一條__直線都垂直，我們就說(shuō)直線l與平面α互相垂直
記法 _l⊥α__
有關(guān)概念 直線l叫做平面α的_垂線__，平面α叫做直線l的_垂面__，直線與平面垂直時(shí)，它們唯一的公共點(diǎn)P叫做_垂足__
畫(huà)法 畫(huà)直線與平面垂直時(shí)，通常把直線畫(huà)成與表示平面的平行四邊形的一邊_垂直__
圖示
性質(zhì) 過(guò)一點(diǎn)垂直于已知平面的直線有且只有一條
垂線段與點(diǎn)面距 過(guò)一點(diǎn)作垂直于已知平面的直線，則該點(diǎn)與_垂足__間的線段，叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的垂線段，垂線段的_長(zhǎng)度__叫做這個(gè)點(diǎn)到該平面的距離
2.直線與平面垂直的判定定理
文字語(yǔ)言 如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的_兩條相交直線__垂直，那么該直線與此平面垂直
符號(hào)語(yǔ)言 l⊥a，l⊥b，a α，b α，_a∩b__＝P l⊥α
圖形語(yǔ)言
[拓展]　1.對(duì)直線與平面垂直的幾點(diǎn)說(shuō)明
(1)定義中的“任意一條直線”這一詞語(yǔ)與“所有直線”是同義詞，與“無(wú)數(shù)條直線”不是同義詞．
(2)直線與平面垂直是直線與平面相交的一種特殊情形．
(3)由直線與平面垂直的定義，得如果一條直線垂直于一個(gè)平面，那么這條直線垂直于該平面內(nèi)的任意一條直線．這是判斷兩條直線垂直的一種重要方法．
2．理解直線與平面垂直的判定定理
不能用“一條直線與平面內(nèi)的兩條平行直線垂直來(lái)判斷此直線與平面垂直”．實(shí)際上，由基本事實(shí)4可知，平行具有“傳遞性”，因此一條直線與平面內(nèi)的一條直線垂直，那么它與這個(gè)平面內(nèi)平行于這條直線的所有直線都垂直，但不能保證與其他直線垂直．
3．判定定理所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想
直線與平面垂直的判定定理體現(xiàn)了“轉(zhuǎn)化”的數(shù)學(xué)思想，即將線面垂直轉(zhuǎn)化為線線垂直．
練一練：
1．直線l⊥平面α，直線m α，則l與m不可能( A )
A．平行 B．相交
C．異面 D．垂直
[解析]　因?yàn)閘⊥α，所以l垂直于平面α內(nèi)的每一條直線，又m α，所以l⊥m，所以直線l與m不可能平行．
2．若三條直線OA，OB，OC兩兩垂直，則直線OA垂直于( C )
A．平面OAB B．平面OAC
C．平面OBC D．平面ABC
[解析]　由線面垂直的判定定理知OA垂直于平面OBC，故選C.
3．(多選題)下列說(shuō)法中，正確的是( CD )
A．若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α
B．若直線l與平面α內(nèi)的兩條直線垂直，則l⊥α
C．若直線l與平面α內(nèi)的兩條相交直線垂直，則l⊥α
D．若直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線垂直，則l⊥α
[解析]　對(duì)于A、B，不能判定該直線與平面垂直，該直線與平面可能平行，也可能斜交，也可能在平面內(nèi)，所以是錯(cuò)誤的．C、D是正確的，故選C、D.
知識(shí)點(diǎn) 2　直線與平面所成的角
有關(guān)概念 對(duì)應(yīng)圖形
斜線 一條直線l與平面α_相交__，但不與這個(gè)平面_垂直__，這條直線叫做這個(gè)平面的斜線
斜足 斜線和平面的_交點(diǎn)__叫做斜足
射影 過(guò)斜線上斜足以外的一點(diǎn)P向平面α引_垂線__PO，過(guò)垂足O和斜足A的直線AO叫做斜線在這個(gè)平面上的射影
直線與平面所成的角　 定義：平面的一條斜線和它在平面上的_射影__所成的角，叫做這條直線和這個(gè)平面所成的角．規(guī)定：一條直線垂直于平面，我們說(shuō)它們所成的角是_90°__；一條直線和平面平行，或在平面內(nèi)，我們說(shuō)它們所成的角是_0°__.直線與平面所成的角θ的取值范圍是_[0°，90°]__
[拓展]　直線與平面所成的角的理解和判斷
(1)對(duì)斜線和平面所成的角的定義的理解
斜線和平面所成的角定義表明斜線和平面所成的角是通過(guò)斜線在平面內(nèi)的射影而轉(zhuǎn)化為兩條相交直線所成的角．
(2)判斷方法
首先，判斷直線和平面的位置，若直線在平面內(nèi)或與平面平行，此時(shí)直線與平面所成的角為0°的角；若直線與平面垂直，此時(shí)直線與平面所成的角為90°.
其次，若直線與平面斜交，可在斜線上任取一點(diǎn)作平面的垂線(實(shí)際操作過(guò)程中，這一點(diǎn)的選取要有利于求角)，找出直線在平面內(nèi)的射影，從而確定出直線和平面所成的角，一般轉(zhuǎn)化到直角三角形、等邊三角形中求解．
練一練：
如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，直線AB1與平面ABCD所成的角等于_45°__；
AB1與平面ADD1A1所成的角等于_45°__；
AB1與平面DCC1D1所成的角等于_0°__.
[解析]　∠B1AB為AB1與平面ABCD所成的角，即45°；∠B1AA1為AB1與平面ADD1A1所成的角，即45°；AB1與平面DCC1D1平行，即所成的角為0°.
題|型|探|究
題型一　直線與平面垂直的定義及判定定理的理解
典例1　下列說(shuō)法正確的有_②__(填序號(hào))．
①垂直于同一條直線的兩條直線平行；
②如果一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的一條直線不垂直，那么這條直線就一定不與這個(gè)平面垂直；
③如果一條直線垂直于平面內(nèi)的兩條直線，那么這條直線與這個(gè)平面垂直；
④若l與平面α不垂直，則平面α內(nèi)一定沒(méi)有直線與l垂直．
[解析]　因?yàn)榭臻g內(nèi)與一條直線同時(shí)垂直的兩條直線可能相交，可能平行，也可能異面，故①不正確．
由線面垂直的定義可得，②正確．
因?yàn)檫@兩條直線可能是平行直線，故③不正確．
如圖，l與α不垂直，但a α，l⊥a，故④不正確．
[歸納提升]　(1)對(duì)于線面垂直的定義要注意“直線垂直于平面內(nèi)的所有直線”說(shuō)法與“直線垂直于平面內(nèi)無(wú)數(shù)條直線”不是一回事，后者說(shuō)法是不正確的，它可以使直線與平面斜交．
(2)判定定理中要注意必須是平面內(nèi)兩相交直線．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) (多選題)下列命題中，不正確的是( ABD )
A．若直線l與平面α內(nèi)的一條直線垂直，則l⊥α
B．若直線l垂直于平面α，則l與平面α內(nèi)的直線可能相交，可能異面，也可平行
C．若直線l不垂直于平面α ，則α內(nèi)也可以有無(wú)數(shù)條直線與l垂直
D．若直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則l⊥α
[解析]　當(dāng)l與α內(nèi)的一條直線垂直時(shí)，不能保證l與平面α垂直，所以A不正確；當(dāng)l與α垂直時(shí)，l可能與α內(nèi)的直線垂直異面，但不可能平行，所以B不正確；若l在α內(nèi)，l可以和α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，故D錯(cuò)誤.
題型二　直線與平面垂直的判定
典例2　(1)如圖，已知P是菱形ABCD所在平面外的一點(diǎn)，且PA＝PC，求證：AC⊥平面PBD.
(2)如圖，已知PA⊥平面ABC，AB是⊙O的直徑，C是⊙O上的任一點(diǎn)．求證：PC⊥BC.
[分析]　(1)要證AC垂直平面PBD，則需讓AC與平面PBD內(nèi)的兩條相交直線垂直，由已知可知，AC⊥BD，再由PA＝PC，可證AC與PO垂直．(O為AC中點(diǎn))
(2)要證BC⊥PC，可通過(guò)先證BC⊥平面PAC來(lái)實(shí)現(xiàn)．
[證明]　(1)∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD；
設(shè)AC∩BD＝O，∵PA＝PC，
∴△PAC為等腰三角形，且O為AC中點(diǎn)，
∴AC⊥PO；
又∵BD∩PO＝O，BD 平面PBD，PO 平面PBD，
∴AC⊥平面PBD.
(2)∵PA⊥平面ABC，BC 平面ABC，∴PA⊥BC，
又∵∠ACB為直徑所對(duì)的圓周角，
∴∠ACB＝，即BC⊥AC，
又PA∩AC＝A，且PA 平面PAC，AC 平面PAC，
∴BC⊥平面PAC.
又∵PC 平面PAC，∴BC⊥PC.
[歸納提升]　(1)應(yīng)用直線與平面垂直的判定定理是證明直線與平面垂直的主要方法．如果在一個(gè)問(wèn)題的條件中，出現(xiàn)較多的線線垂直，或線面垂直，那么證線面垂直常會(huì)選擇直線與平面垂直的判定定理．關(guān)鍵是找好平面內(nèi)的兩條相交直線與已知直線垂直．
(2)①計(jì)算也是論證的一種方法；
②勾股定理、余弦定理是常用的工具．
(3)線線垂直 線面垂直 線線垂直，這是經(jīng)常用到的轉(zhuǎn)化方法．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 如圖，在四棱錐P－ABCD中，四邊形ABCD為菱形，∠BAD＝60°，△PAD為正三角形，且E是AD的中點(diǎn)．
求證：BC⊥平面PEB.
[證明]　連接BD.因?yàn)镋是正三角形PAD邊AD的中點(diǎn)，則PE⊥AD.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD為菱形，∠BAD＝60°，
所以正三角形BAD中，BE⊥AD，
因?yàn)锳D∥BC，所以BC⊥PE，BC⊥BE，
又因?yàn)镻E∩BE＝E，
所以BC⊥平面PEB.
題型三　直線與平面所成的角
典例3　在正方體ABCD－A1B1C1D1中．
(1)求直線A1C與平面ABCD所成的角的正切值；
(2)求直線A1B與平面BDD1B1所成的角．
[分析]　(1)求線面角的關(guān)鍵是找出直線在平面內(nèi)的射影，為此須找出過(guò)直線上一點(diǎn)的平面的垂線．
(2)過(guò)A1作平面BDD1B1的垂線，該垂線必與B1D1、BB1垂直，由正方體的特性知，直線A1C1滿足要求．
[解析]　(1)連接AC，∵直線A1A⊥平面ABCD，∴∠A1CA為直線A1C與平面ABCD所成的角，設(shè)A1A＝1，則AC＝，
∴tan ∠A1CA＝.
(2)連接A1C1交B1D1于O，連接BO，在正方形A1B1C1D1中，A1C1⊥B1D1，
∵BB1⊥平面A1B1C1D1，A1C1 平面A1B1C1D1，
∴BB1⊥A1C1，
又BB1∩B1D1＝B1，∴A1C1⊥平面BDD1B1，垂足為O.
∴∠A1BO為直線A1B與平面BDD1B1所成的角，
在Rt△A1BO中，A1O＝A1C1＝A1B，∴∠A1BO＝30°.
即A1B與平面BDD1B1所成的角為30°.
[歸納提升]　求線面角的方法：
(1)求直線和平面所成角的步驟：①尋找過(guò)斜線上一點(diǎn)與平面垂直的直線；②連接垂足和斜足得到斜線在平面上的射影，斜線與其射影所成的銳角或直角即為所求的角；③把該角歸結(jié)在某個(gè)三角形中，通過(guò)解三角形，求出該角．
(2)求線面角的技巧：在上述步驟中，其中作角是關(guān)鍵，而確定斜線在平面內(nèi)的射影是作角的關(guān)鍵，幾何圖形的特征是找射影的依據(jù)，射影一般都是一些特殊的點(diǎn)，比如中心、垂心、重心等．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) (2022·濟(jì)南高一檢測(cè))在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，BC＝1，AA1＝1，則BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為( D )
A. B．
C． D．
[解析]　過(guò)點(diǎn)C1作C1O⊥B1D1于點(diǎn)O，連接OB，由長(zhǎng)方體的性質(zhì)知，BB1⊥平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥C1O，
因?yàn)锽1D1∩BB1＝B1，B1D1，BB1 平面BB1D1D，
所以C1O⊥平面BB1D1D，
所以∠C1BO即為直線BC1與平面BB1D1D所成角．
在Rt△B1C1D1中，B1C1·C1D1＝B1D1·C1O，
即1×2＝×C1O，
所以C1O＝，在Rt△C1BO中，
sin∠C1BO＝＝＝.
所以BC1與平面BB1D1D所成角的正弦值為.
易|錯(cuò)|警|示
邏輯推理不嚴(yán)密致誤
典例4　如圖，在三棱柱ABC－A1B1C1中，AA1⊥平面ABC，AC＝BC，D是AB的中點(diǎn)，連接CD.求證：CD⊥平面ABB1A1.
[錯(cuò)解]　∵AA1⊥平面ABC，CD 平面ABC，∴CD⊥AA1.
又BB1∥AA1，∴CD⊥BB1，
又AA1 平面ABB1A1，BB1 平面ABB1A1，
∴CD⊥平面ABB1A1.
[錯(cuò)因分析]　錯(cuò)解中AA1和BB1是平面ABB1A1內(nèi)的兩條平行直線，不是相交直線，故不滿足直線與平面垂直的判定定理的條件．
[正解]　∵AA1⊥平面ABC，CD 平面ABC，∴CD⊥AA1.
又AC＝BC，D是AB的中點(diǎn)，∴CD⊥AB.∵AB 平面ABB1A1，AA1 平面ABB1A1，AB∩AA1＝A，
∴CD⊥平面ABB1A1.
[誤區(qū)警示]　用判定定理證明線面垂直時(shí)，必須要找全條件，這些條件必須是已知的、或明顯成立的、或已經(jīng)證明的．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 直線l與平面α內(nèi)的無(wú)數(shù)條直線垂直，則直線l與平面α的關(guān)系是( D )
A．l和平面α相互平行
B．l和平面α相互垂直
C．l在平面α內(nèi)
D．不能確定
[解析]　如下圖所示，直線l和平面α相互平行，或直線l和平面α相互垂直或直線l在平面α內(nèi)都有可能．故選D.
1．如圖，將一張三角形紙片沿著B(niǎo)C邊上的高AD翻折后豎立在桌面上，則折痕AD所在直線與桌面α所成的角等于( C )
A．150° B．135°
C．90° D．60°
[解析]　依題意可知AD⊥BD，AD⊥CD，BD∩CD＝D，所以AD⊥平面α，
所以折痕AD所在直線與桌面α所成的角等于90°.
故選C.
2.如圖所示，定點(diǎn)A和B都在平面α內(nèi)，定點(diǎn)P α，PB⊥α，C是平面α內(nèi)異于A和B的動(dòng)點(diǎn)，且PC⊥AC，則△ABC為( B )
A．銳角三角形 B．直角三角形
C．鈍角三角形 D．無(wú)法確定
[解析]　∵A∈α，C∈α，AC α，
又∵PB⊥α，∴PB⊥AC，
又∵PC⊥AC，PB∩PC＝B，∴AC⊥平面PBC，
又∵BC 平面PBC，∴AC⊥BC，
∴△ABC是直角三角形．故選B.
3．如果一條直線垂直于一個(gè)平面內(nèi)的：
①三角形的兩邊；②梯形的兩邊；③圓的兩條直徑；④正六邊形的兩條邊．
則能保證該直線與平面垂直的序號(hào)有( A )
A．①③　　　 B．①②
C．②④　　　 D．①④
[解析]　三角形的兩邊，圓的兩條直徑一定是相交直線，而梯形的兩邊，正六邊形的兩條邊不一定相交，所以保證直線與平面垂直的是①③.
4．如圖所示，PA⊥平面ABC，△ABC中BC⊥AC，則圖中直角三角形的個(gè)數(shù)有_4__個(gè)．
[解析]　∵PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，PA⊥AC，PA⊥BC.
∴△PAB、△PAC為直角三角形．
∵BC⊥AC，PA∩AC＝A，
∴BC⊥平面PAC.∴BC⊥AC，BC⊥PC.
∴△ABC、△PBC為直角三角形．
5．如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD是矩形，且
PA⊥平面ABCD，PA＝5，AB＝4，AD＝3.求直線PC與平面ABCD所成的角的大小．
[解析]　如圖，連接AC，因?yàn)镻A⊥平面ABCD，則AC是PC在平面ABCD上的射影，所以∠PCA是PC與平面ABCD所成的角．
在△PAC中，PA⊥AC，PA＝5，
AC＝＝＝5.則∠PCA＝45°，即直線PC與平面ABCD所成的角的大小為45°.第2課時(shí)　直線與平面垂直的性質(zhì)
課標(biāo)要求
1．借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，歸納出直線和平面垂直的性質(zhì)定理，并加以證明．
2．會(huì)應(yīng)用直線和平面垂直的性質(zhì)定理證明一些空間的簡(jiǎn)單線面關(guān)系．
素養(yǎng)要求
在發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)和應(yīng)用直線與平面垂直的性質(zhì)定理的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng)．
知識(shí)點(diǎn) 1　直線與平面垂直的性質(zhì)
直線與平面垂直的性質(zhì)定理
文字語(yǔ)言 垂直于同一個(gè)平面的兩條直線_平行__
符號(hào)語(yǔ)言 _a∥b__
圖形語(yǔ)言
作用 ①線面垂直 線線平行，②作平行線
練一練：
1．已知直線a，b，平面α，且a⊥α，下列條件中，能
推出a∥b的是( C )
A．b∥α B．b α
C．b⊥α D．b與α相交
[解析]　由線面垂直的性質(zhì)定理可知，當(dāng)b⊥α，a⊥α?xí)r，a∥b.故選C.
2．如圖，已知AF⊥平面ABCD，平面DE⊥平面ABCD，且AF＝DE，AD＝6，則EF＝_6__.
[解析]　∵AF⊥平面ABCD，DE⊥平面ABCD，∴AF∥DE.
∵AF＝DE，
∴四邊形ADEF是平行四邊形，∴EF＝AD＝6.
知識(shí)點(diǎn) 2　距離
1．直線與平面的距離
一條直線與一個(gè)平面平行時(shí)，這條直線上_任意一點(diǎn)__到這個(gè)平面的距離，叫做這條直線到這個(gè)平面的距離．
2．兩個(gè)平行平面間的距離
如果兩個(gè)平面平行，那么其中一個(gè)平面內(nèi)的任意一點(diǎn)到另一個(gè)平面的距離都_相等__，我們把它叫做這兩個(gè)平行平面間的距離．
想一想：
1．l∥平面α，A∈l，B∈l，則A，B到平面α的距離有什么關(guān)系？
提示：相等．
2．在棱柱、棱臺(tái)的體積公式中，它們的高的本質(zhì)是什么？
提示：它們的高的本質(zhì)就是它們的上、下底面間的距離．
練一練：
1．已知在正方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，則點(diǎn)C到平面BDD1B1的距離為( B )
A．1 B．
C．2 D．2
[解析]　如圖，連接AC，與DB交于點(diǎn)O，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，
∵DB⊥AC，BB1⊥AC，BB1∩DB＝B，AC⊥平面BDD1B1.
∴點(diǎn)C到平面BDD1B1的距離為CO.
∵AB＝2，∴AC＝2，
∴CO＝AC＝.
2．線段AB在平面α的同側(cè)，點(diǎn)A，B到α的距離分別為3和5，則AB的中點(diǎn)到α的距離為_(kāi)4__.
[解析]　 如圖，設(shè)AB的中點(diǎn)為M，分別過(guò)A，M，B向α作垂線，垂足分別為A1，M1，B1，則由線面垂直的性質(zhì)可知，AA1∥MM1∥BB1，四邊形AA1B1B為直角梯形，AA1＝3，BB1＝5，MM1為其中位線，∴MM1＝4.
題|型|探|究
題型一　直線與平面垂直的性質(zhì)定理的理解
典例1　已知m，n為兩條不同直線，α，β為兩個(gè)不同平面，給出下列命題：
① n∥α； ② m∥n；
③ α∥β； ④ m∥n.
其中正確命題的序號(hào)是( A )
A．②③ B．③④
C．①② D．①②③④
[解析]　①中n，α可能平行或n在平面α內(nèi)；②③正確；④兩直線m，n平行或異面，故選A.
[歸納提升]　判定兩條直線平行的常用方法
(1)利用線線平行定義：證共面且無(wú)公共點(diǎn)．
(2)利用基本事實(shí)4：證兩線同時(shí)平行于第三條直線．
(3)利用線面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面平行．
(4)利用線面垂直的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證線面垂直．
(5)利用面面平行的性質(zhì)定理：把證線線平行轉(zhuǎn)化為證面面平行．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 已知l，m，n是三條不同的直線，α是一平面．下列命題中正確的個(gè)數(shù)為( B )
①若l∥m，m∥n，l⊥α，則n⊥α；
②若l∥m，m⊥α，n⊥α，則l∥n；
③若l∥α，l⊥m，則m⊥α.
A．1 B．2
C．3 D．0
[解析]　對(duì)于①，因?yàn)閘∥m，m∥n，所以l∥n，又l⊥α，所以n⊥α，即①正確；對(duì)于②，因?yàn)閙⊥α，n⊥α，所以m∥n，又l∥m，所以l∥n，即②正確；對(duì)于③，因
為l∥α，l⊥m，所以m∥α或m α或m⊥α或m與α斜交，即③錯(cuò)誤.
題型二　直線與平面垂直性質(zhì)的應(yīng)用
典例2　如圖，四棱錐P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD為矩形，∠PDA＝45°，M∈AB，N∈PC，且MN⊥AB，MN⊥CP，E為PD中點(diǎn)．求證：AE∥MN.
[證明]　∵PA⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
∴PA⊥AD，又∠PDA＝45°，
∴△PAD為等腰三角形．
∵E為中點(diǎn)，∴AE⊥PD.
∵PA⊥平面ABCD，CD 平面ABCD，
∴PA⊥CD，
又∵AD⊥CD，且PA∩AD＝A，
∴CD⊥平面PAD.
又AE 平面PAD，∴CD⊥AE.
又AE⊥PD，且CD∩PD＝D，
∴AE⊥平面PCD.
又MN⊥AB，
且AB∥CD，所以MN⊥CD，
又∵M(jìn)N⊥CP，且CP∩CD＝C，
∴MN⊥平面PCD.
∵AE⊥平面PCD，∴AE∥MN.
[歸納提升]　(1)若已知一條直線和某個(gè)平面垂直，證明這條直線和另一條直線平行，可考慮利用線面垂直的性質(zhì)定理，證明另一條直線和這個(gè)平面垂直．
(2)在證明時(shí)注意利用正方形、平行四邊形及三角形中位線的有關(guān)性質(zhì)．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 如圖，正方體A1B1C1D1－ABCD中，EF與異面直線AC，A1D都垂直相交．求證：EF∥BD1.
[證明]　如圖所示，連接AB1，B1C，BD.
因?yàn)镈D1⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以DD1⊥AC.
又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，
所以AC⊥平面BDD1.
又BD1 平面BDD1，
所以AC⊥BD1.
同理可證BD1⊥B1C.
又AC∩B1C＝C，所以BD1⊥平面AB1C.
因?yàn)镋F⊥AC，EF⊥A1D，
又A1D∥B1C，所以EF⊥B1C.
又AC∩B1C＝C，所以EF⊥平面AB1C.
所以EF∥BD1.
題型三　空間中的距離問(wèn)題
典例3　如圖，在直三棱柱ABC－DEF中，AC＝BC＝2，AB＝2，AD＝4，M，N分別為AD，CF的中點(diǎn)．
(1)求證：AN⊥平面BCM；
(2)設(shè)G為BE上一點(diǎn)，且BG＝BE，求點(diǎn)G到平面BCM的距離．
[分析]　(1)根據(jù)AC2＋BC2＝AB2得AC⊥BC，并且得出四邊形ACNM為正方形，進(jìn)而即可求證；
(2)利用等體積法的思想求點(diǎn)到平面的距離．
[解析]　(1)證明：在直三棱柱ABC－DEF中，AC＝BC＝2，AB＝2，AD＝4，M，N分別為AD，CF的中點(diǎn)，
∵AC＝BC＝2，AB＝2，∴AC2＋BC2＝AB2，即AC⊥BC，
又ABC－DEF是直三棱柱，
所以AD⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以AD⊥BC，
AC，AD 平面ACFD，AC∩AD＝A，
∴BC⊥平面ACFD，AN 平面ACFD，則BC⊥AN，
∵M(jìn)，N分別為AD，CF的中點(diǎn)，且AD＝4，AC＝2，
∴四邊形ACNM為正方形，則CM⊥AN，又BC∩CM＝C，
BC，CM 平面BCM，∴AN⊥平面BCM.
(2)由(1)知，即AC⊥BC，又ABC－DEF是直三棱柱，∴AC⊥平面BCFE，
∴MA∥FC，則點(diǎn)M到平面GBC的距離即為AC＝2，
∴VG－BCM＝VM－BCG＝S△BCG·AC＝×·BC·BG·AC＝×2×3×2＝2，
由(1)知，BC⊥CM，且CM＝2，∴S△BCM＝×2×2＝2，
設(shè)點(diǎn)G到平面BCM的距離為h，則VG－BCM＝×2h，∴×2h＝2，則h＝，
即點(diǎn)G到平面BCM的距離為.
[歸納提升]　空間中距離的轉(zhuǎn)化
(1)利用線面、面面平行轉(zhuǎn)化：利用線面距離、面面距離的定義，轉(zhuǎn)化為直線或平面上的另一點(diǎn)到平面的距離．
(2)利用中點(diǎn)轉(zhuǎn)化：如果條件中具有中點(diǎn)條件，將一個(gè)點(diǎn)到平面的距離，借助中點(diǎn)(等分點(diǎn))，轉(zhuǎn)化為另一點(diǎn)到平面的距離．
(3)通過(guò)換底轉(zhuǎn)化：一是直接換底，以方便求幾何體的高；二是將底面擴(kuò)展(分割)，以方便求底面積和高．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 如圖，在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，AB＝2，AD＝1，A1A＝1.
(1)證明：BC1∥平面D1AC；
(2)求直線BC1到平面D1AC的距離．
[解析]　(1)證明：因?yàn)锳BCD－A1B1C1D1為長(zhǎng)方體，故AB∥C1D1，AB＝C1D1，故四邊形ABC1D1為平行四邊形，故BC1∥AD1，顯然BC1 面D1AC，于是直線BC1∥平面D1AC.
(2)直線BC1到平面D1AC的距離即為點(diǎn)B到平面D1AC的距離，設(shè)為h，
考慮三棱錐D1－ABC的體積，以平面ABC為底面，可得V＝××1＝，
而△AD1C中，AC＝D1C＝，AD1＝，
cos∠ACD1＝，sin∠ACD1＝，
故S△AD1C＝×××＝.
所以，V＝××h＝，故h＝，
即直線BC1到平面D1AC的距離為.
題型四　直線與平面垂直關(guān)系的綜合應(yīng)用
典例4　如圖所示，四邊形ABCD為正方形，SA⊥平面ABCD，過(guò)A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于點(diǎn)E，F(xiàn)，G.
求證：AE⊥SB.
[證明]　因?yàn)镾A⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AB⊥BC.
因?yàn)镾A∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.
因?yàn)锳E 平面SAB，所以BC⊥AE.
因?yàn)镾C⊥平面AGFE，所以SC⊥AE.
又因?yàn)锽C∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.
而SB 平面SBC，所以AE⊥SB.
[歸納提升]　線線、線面垂直問(wèn)題的解題策略
(1)證明線線垂直，一般通過(guò)證明一條直線垂直于經(jīng)過(guò)另一條直線的平面，為此分析題設(shè)，觀察圖形找到是哪條直線垂直于經(jīng)過(guò)哪條直線的平面．
(2)證明直線和平面垂直，就是要證明這條直線垂直于平面內(nèi)的兩條相交直線，這一點(diǎn)在解題時(shí)一定要體現(xiàn)出來(lái)．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 本例中“過(guò)A且垂直于SC的平面分別交SB，SC，SD于點(diǎn)E，F(xiàn)，G”改為“過(guò)A作AF⊥SC于點(diǎn)F，過(guò)點(diǎn)F作EF⊥SC交SB于點(diǎn)E”，結(jié)論不變，如何證明？
[解析]　因?yàn)镾A⊥平面ABCD，所以SA⊥BC.
因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，所以AB⊥BC.
因?yàn)镾A∩AB＝A，所以BC⊥平面SAB.
因?yàn)锳E 平面SAB，所以BC⊥AE.
又因?yàn)锳F⊥SC于點(diǎn)F，EF⊥SC交SB于點(diǎn)E，
所以SC⊥平面AEF，所以SC⊥AE.
又因?yàn)锽C∩SC＝C，所以AE⊥平面SBC.
而SB 平面SBC，所以AE⊥SB.
易|錯(cuò)|警|示
考慮不周全而致誤
典例5　已知平面α外兩點(diǎn)A，B到平面α的距離分別為1和2，A，B兩點(diǎn)在平面α內(nèi)的射影之間的距離為，求直線AB和平面α所成的角．
[錯(cuò)解]　如圖所示．
分別過(guò)A、B向平面α作垂線，垂足分別為A1、B1，設(shè)直線AB和平面α所成角為θ，則tan θ＝＝.　　∵θ∈，∴θ＝30°.
[錯(cuò)因分析]　解答本題時(shí)只考慮A，B在平面同一側(cè)的情況，沒(méi)有考慮A，B在平面兩側(cè)的情況而出現(xiàn)漏解．
[正解]　①當(dāng)點(diǎn)A，B在平面α的同側(cè)時(shí)，由題意知直線AB與平面α所成的角為30°.
②當(dāng)點(diǎn)A，B位于平面α的兩側(cè)時(shí)，如右圖，過(guò)點(diǎn)A，B分別向平面α作垂線，垂足分別為A1，B1，設(shè)AB與平面α相交于點(diǎn)C，A1B1為AB在平面α上的射影，
∴∠BCB1或∠ACA1為AB與平面α所成的角．
在Rt△BCB1中，BB1＝2.在Rt△ACA1中，AA1＝1.
由題意可知△BCB1∽△ACA1，
∴＝＝2，∴B1C＝2A1C.
∵B1C＋A1C＝，∴B1C＝.
∵tan∠BCB1＝＝＝，∴∠BCB1＝60°，
∴AB與平面α所成的角為60°.
綜合①②可知，直線AB與平面α所成的角為30°或60°.
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 在Rt△ABC中，D是斜邊AB的中點(diǎn)，AC＝6，BC＝8，EC⊥平面ABC，且EC＝12，則ED＝_13__.
[解析]　如圖，連接CD，則在Rt△ABC中，CD＝AB.因?yàn)锳C＝6，BC＝8，所以AB＝＝10.所以CD＝5.因?yàn)镋C⊥平面ABC，CD 平面ABC，所以EC⊥CD.
所以ED＝＝＝13.
1．對(duì)于任意的直線l與平面α，在平面α內(nèi)必有直線m，使m與l( C )
A．平行 B．相交
C．垂直 D．互為異面直線
[解析]　在平面α內(nèi)必有直線m和直線l所成的角為90°，所以二者垂直．
2．已知△ABC所在的平面為α，l，m是兩條不同的直線，l⊥AB，l⊥AC，m⊥BC，m⊥AC，則直線l，m的位置關(guān)系是( C )
A．相交 B．異面
C．平行 D．不確定
[解析]　∵l⊥AB，l⊥AC，AB α，AC α，且AB∩AC＝A，
∴l(xiāng)⊥α，同理可證m⊥α，∴l(xiāng)∥m，
∴直線l，m的位置關(guān)系是平行．故選C.
3．已知PA垂直平行四邊形ABCD所在的平面，若PC⊥BD，則平行四邊形ABCD一定是( D )
A．平行四邊形 B．矩形
C．正方形 D．菱形
[解析]　因?yàn)镻A⊥平面ABCD，
所以PA⊥BD.因?yàn)镻C⊥BD，且PA∩PC＝P，
所以BD⊥平面PAC，所以AC⊥BD.
4．若構(gòu)成教室墻角的三個(gè)墻面記為α，β，γ，交線記為BA，BC，BD，教室內(nèi)一點(diǎn)P到三墻面α，β，γ的距離分別為3 m，4 m，1 m，則P與墻角B的距離為 　m.
[解析]　P與墻角B的距離為＝(m)．
5．在正三棱柱ABC－A1B1C1中，如圖所示，A1A＝AB＝a，G，E，F(xiàn)分別是A1C1，AB，BC的中點(diǎn)，求證：直線EF⊥直線GB.
[證明]　連接B1G.在三角形A1B1C1中，G是A1C1的中點(diǎn)，所以B1G⊥A1C1.
因?yàn)锽1B⊥平面A1B1C1，A1C1 平面A1B1C1，
所以B1B⊥A1C1，
因?yàn)锽1G∩B1B＝B1，B1G，B1B 平面B1BG，
所以A1C1⊥平面B1BG，
因?yàn)锽G 平面B1BG，
所以A1C1⊥BG，
又因?yàn)镋，F(xiàn)分別是AB，BC的中點(diǎn)，所以EF∥AC，所以EF∥A1C1，
所以直線EF⊥直線GB.8.6.3　平面與平面垂直
第1課時(shí)　平面與平面垂直的判定
課標(biāo)要求
1．借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，歸納出平面與平面垂直的判定定理，并加以證明．
2．會(huì)應(yīng)用平面與平面垂直的判定定理證明平面與平面垂直．
素養(yǎng)要求
在發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)和應(yīng)用平面與平面垂直的判定定理的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).
知識(shí)點(diǎn) 1　二面角
定義 從一條直線出發(fā)的_兩個(gè)半平面__所組成的圖形
相關(guān)概念 ①這條直線叫做二面角的_棱__；②這兩個(gè)半平面叫做二面角的_面__
畫(huà)法
記法 二面角_α－l－β__或_α－AB－β__或_P－l－Q__或P－AB－Q
二面角的平面角 在二面角α－l－β的棱l上任取一點(diǎn)O，以點(diǎn)O為垂足，在半平面α和β內(nèi)分別作_垂直于__棱l的射線OA和OB，則射線OA和OB構(gòu)成的　_∠AOB__叫做二面角的平面角．平面角是直角的二面角叫做直二面角．二面角的平面角α的取值范圍是_[0°，180°]__
想一想：
二面角的平面角的大小與棱上取的點(diǎn)的位置有關(guān)嗎？
提示：二面角的平面角的大小是唯一確定的，與棱上取點(diǎn)的位置無(wú)關(guān)．
練一練：
1．如圖所示的二面角可記為( B )
A．α－β－l B．M－l－N
C．l－M－N D．l－β－α
[解析]　根據(jù)二面角的記法規(guī)則可知B正確．故選B.
2．在正方體ABCD－A1B1C1D1中，二面角D1－AB－D的平面角的大小是_45°__.
[解析]　∵AB⊥平面ADD1A1，∴AB⊥AD，AB⊥AD1，
∴∠D1AD為二面角D1－AB－D的平面角．
易知∠D1AD＝45°.
知識(shí)點(diǎn) 2　平面與平面垂直的定義與判定定理
1．平面與平面垂直的定義
定義 一般地，兩個(gè)平面相交，如果它們所成的二面角是_直二面角__，就說(shuō)這兩個(gè)平面互相垂直．平面α與β垂直，記作：_α⊥β__
畫(huà)法 畫(huà)兩個(gè)互相垂直的平面時(shí)，通常把表示平面的兩個(gè)平行四邊形的一組邊畫(huà)成_垂直__
2.平面與平面垂直的判定定理
文字語(yǔ)言 如果一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，那么這兩個(gè)平面垂直
符號(hào)語(yǔ)言 l⊥α，l β α⊥β
圖形語(yǔ)言
[拓展]　剖析平面與平面垂直
(1)兩個(gè)平面垂直是兩個(gè)平面相交的特殊情況．例如正方體中任意相鄰兩個(gè)面都是互相垂直的．
(2)兩個(gè)平面垂直和兩條直線互相垂直的共同點(diǎn)：都是通過(guò)所成的角是直角定義的．
3．詳解平面與平面垂直的判定定理
(1)本質(zhì)：通過(guò)直線與平面垂直來(lái)證明平面與平面垂直，即線面垂直 面面垂直．
(2)證題思路：處理面面垂直問(wèn)題轉(zhuǎn)化為處理線面垂直問(wèn)題，進(jìn)一步轉(zhuǎn)化為處理線線垂直問(wèn)題來(lái)解決．
練一練：
1．直線l⊥平面α，l 平面β，則α與β的位置關(guān)系是( C )
A．平行 B．可能重合
C．垂直 D．相交不垂直
[解析]　由面面垂直的判定定理，得α與β垂直，故選C.
2．在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1的六個(gè)面中，與平面ABCD垂直的面有( C )
A．1個(gè) B．3個(gè)
C．4個(gè) D．5個(gè)
[解析]　與平面ABCD垂直的平面有平面ABB1A1，平面BCC1B1，平面CDD1C1，平面DAA1D1，共4個(gè)．
題|型|探|究
題型一　二面角及其平面角的概念的理解
典例1　下列命題中：
①兩個(gè)相交平面組成的圖形叫做二面角；②異面直線a，b分別和一個(gè)二面角的兩個(gè)面垂直，則a，b所成的角與這個(gè)二面角的平面角相等或互補(bǔ)；③二面角的平面角是從棱上一點(diǎn)出發(fā)，分別在兩個(gè)面內(nèi)作射線所成的角；④二面角的大小與其平面角的頂點(diǎn)在棱上的位置沒(méi)有關(guān)系．
其中正確的是( B )
A．①③ B．②④
C．③④ D．①②
[解析]　由二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，所以①不對(duì)，實(shí)質(zhì)上它共有四個(gè)二面角；由a，b分別垂直于兩個(gè)面，則a，b都垂直于二面角的棱，故②正確；③中所作的射線不一定垂直于二面角的棱，故③不對(duì)；由定義知④正確．故選B.
[歸納提升]　1.要注意區(qū)別二面角與兩相交平面所成的角并不一致．
2．要注意二面角的平面角與頂點(diǎn)在棱上且角兩邊分別在二面角面內(nèi)的角的聯(lián)系與區(qū)別．
3．可利用實(shí)物模型，作圖幫助判斷．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 下列說(shuō)法不正確的是( A )
A．只有過(guò)二面角棱上的某一特殊點(diǎn)，分別在兩個(gè)半平面內(nèi)引垂直于棱的射線，這兩條射線所成的角才為二面角的平面角
B．和二面角的棱垂直的平面與二面角的兩個(gè)半平面的交線所成的角即為二面角的平面角
C．在銳二面角的一個(gè)面內(nèi)引棱的垂線，該垂線與其在另一個(gè)面內(nèi)的射影所成的角是二面角的平面角
D．二面角的平面角可以是一個(gè)銳角、一個(gè)直角或一個(gè)鈍角
[解析]　二面角平面角的大小與其頂點(diǎn)在棱的哪個(gè)位置是無(wú)關(guān)的.
題型二　二面角的求法
典例2　四邊形ABCD是正方形，PA⊥平面ABCD，且PA＝AB.
(1)求二面角A－PD－C的平面角的度數(shù)；
(2)求二面角B－PA－D的平面角的度數(shù)；
(3)求二面角B－PA－C的平面角的度數(shù)；
(4)求二面角B－PC－D的平面角的度數(shù)．
[分析]　求二面角的平面角的大小，先找二面角的平面角，然后在三角形中求解．
[解析]　(1)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以PA⊥CD.因?yàn)樗倪呅蜛BCD為正方形，所以CD⊥AD.又PA∩AD＝A，
所以CD⊥平面PAD.
又CD 平面PCD，所以平面PAD⊥平面PCD.
所以二面角A－PD－C的平面角的度數(shù)為90°.
(2)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AD⊥PA.所以∠BAD為二面角B－PA－D的平面角．又由題意知∠BAD＝90°，所以二面角B－PA－D的平面角的度數(shù)為90°.
(3)因?yàn)镻A⊥平面ABCD，所以AB⊥PA，AC⊥PA.所以∠BAC為二面角B－PA－C的平面角．
又四邊形ABCD為正方形，所以∠BAC＝45°.
所以二面角B－PA－C的平面角的度數(shù)為45°.
(4)作BE⊥PC于E，連接DE、BD，且BD與AC交于點(diǎn)O，連接EO，如圖．由題意知△PBC≌△PDC，則∠BPE＝∠DPE，從而△PBE≌△PDE.
所以∠DEP＝∠BEP＝90°，
且BE＝DE.
所以∠BED為二面角B－PC－D的平面角．
又PA⊥平面ABCD，所以PA⊥BC.
又AB⊥BC，PA∩AB＝A，
所以BC⊥平面PAB.所以BC⊥PB.
設(shè)AB＝a，則PA＝AB＝BC＝a，
所以PB＝a，PC＝a，
所以BE＝＝a，BD＝a.
所以sin∠BEO＝＝＝.
因?yàn)椤螧EO∈(0°，90°)，
所以∠BEO＝60°.所以∠BED＝120°.
所以二面角B－PC－D的平面角的度數(shù)為120°.
[歸納提升]　1.求二面角大小的步驟：
簡(jiǎn)稱為“一作二證三求”．作平面角時(shí)，一定要注意頂點(diǎn)的選擇．
2．作二面角的平面角的方法：
解法一：(定義法)在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別作垂直于棱的射線．
如右圖所示，∠AOB為二面角α－a－β的平面角．
解法二：(垂線法)過(guò)二面角的一個(gè)面內(nèi)一點(diǎn)作另一個(gè)平面的垂線，過(guò)垂足作棱的垂線，利用線面垂直可找到二面角的平面角或其補(bǔ)角．
如圖所示，∠AFE為二面角A－BC－D的平面角．
解法三：(垂面法)過(guò)棱上一點(diǎn)作棱的垂直平面，該平面與二面角的兩個(gè)半平面產(chǎn)生交線，這兩條交線所成的角，即為二面角的平面角．
如圖所示，∠AOB為二面角α－l－β的平面角．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) (1)如圖，AC⊥平面BCD，BD⊥CD，AC＝AD，二面角A－BD－C的大小為_(kāi)30°__；
(2)如圖，在正方體ABCD－A1B1C1D1中，求二面角B－A1C1－B1的正切值．
[解析]　(1)因?yàn)锳C⊥平面BCD，BD 平面BCD，所以BD⊥AC.
又因?yàn)锽D⊥CD，AC∩CD＝C，
所以BD⊥平面ACD.
因?yàn)锳D 平面ACD，所以AD⊥BD，
所以∠ADC即為二面角A－BD－C的平面角．
在Rt△ACD中AC＝AD，所以∠ADC＝30°.
(2)取A1C1的中點(diǎn)O，連接B1O，BO.
由題意知B1O⊥A1C1，
又BA1＝BC1，O為A1C1的中點(diǎn)，所以BO⊥A1C1，
所以∠BOB1即是二面角B－A1C1－B1的平面角．
因?yàn)锽B1⊥平面A1B1C1D1，OB1 平面A1B1C1D1，
所以BB1⊥OB1.
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則OB1＝a，
在Rt△BB1O中，tan∠BOB1＝＝＝，
所以二面角B－A1C1－B1的正切值為.
題型三　平面與平面垂直的證明
典例3　如圖所示，在四棱錐P－ABCD中，底面是邊長(zhǎng)為a的正方形，側(cè)棱PD＝a，PA＝PC＝a.
(1)求證：平面PAD⊥平面ABCD；
(2)求證：平面PAC⊥平面PBD.
[分析]　(1)根據(jù)已知的線段長(zhǎng)度，證明PD⊥DC，PD⊥AD，即可得到PD⊥平面ABCD，然后利用面面垂直的判定定理證得結(jié)論．(2)根據(jù)(1)問(wèn)得到PD⊥平面ABCD，從而有PD⊥AC，然后結(jié)合底面ABCD為正方形得到AC⊥BD，從而找出平面PDB的垂線AC，最后利用判定定理證得結(jié)論．
[證明]　(1)因?yàn)镻D＝a，DC＝a，PC＝a，
所以PC2＝PD2＋DC2，所以PD⊥DC.
同理可證PD⊥AD，又AD∩DC＝D，
所以PD⊥平面ABC.
因?yàn)镻D 平面PAD，所以平面PAD⊥平面ABCD.
(2)由(1)知PD⊥平面ABCD，
所以PD⊥AC，而四邊形ABCD是正方形，
所以AC⊥BD，又BD∩PD＝D，
所以AC⊥平面PDB.
同時(shí)，AC 平面PAC，所以平面PAC⊥平面PBD.
[歸納提升]　證明平面與平面垂直的方法：
(1)定義法：根據(jù)面面垂直的定義判定兩平面垂直實(shí)質(zhì)上是把問(wèn)題轉(zhuǎn)化為求二面角的平面角為直角．
(2)判定定理：判定定理是證明面面垂直的常用方法，即要證面面垂直就要轉(zhuǎn)化為證線面垂直，其關(guān)鍵是在其中一個(gè)平面內(nèi)尋找一條直線與另一個(gè)平面垂直．
(3)利用“兩個(gè)平行平面中的一個(gè)垂直于第三個(gè)平面，則另一個(gè)也垂直于第三個(gè)平面”．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 如圖，PA⊥平面ABC，AB為圓O的直徑，E，F(xiàn)分別為棱PC，PB的中點(diǎn)．
(1)證明：EF∥平面ABC.
(2)證明：平面EFA⊥平面PAC.
[證明]　(1)因?yàn)镋，F(xiàn)分別為棱PC，PB的中點(diǎn)，所以EF∥BC.
因?yàn)镋F 平面ABC，BC 平面ABC，
所以EF∥平面ABC.
(2)因?yàn)锳B為圓O的直徑，所以BC⊥AC.
因?yàn)镻A⊥平面ABC，BC 平面ABC，所以BC⊥PA.
又PA∩AC＝A，PA，AC 平面PAC，所以BC⊥平面PAC.
由(1)知EF∥BC，所以EF⊥平面PAC.
又因?yàn)镋F 平面EFA，所以平面EFA⊥平面PAC.
易|錯(cuò)|警|示
判斷面面位置關(guān)系時(shí)主觀臆斷
典例4　如圖所示，已知在長(zhǎng)方體ABCD－A1B1C1D1中，底面ABCD為正方形，試問(wèn)截面ACB1與對(duì)角面BB1D1D垂直嗎？試說(shuō)明理由．
[錯(cuò)解]　由題意可知，D1B1與AB1不垂直，D1B1與B1C不垂直，所以D1B1與平面ACB1不垂直，故平面BB1D1D與平面ACB1不垂直．
[錯(cuò)因分析]　判斷兩個(gè)平面垂直，只需說(shuō)明其中一個(gè)平面經(jīng)過(guò)另一個(gè)平面的垂線即可，判斷線面、面面位置關(guān)系時(shí)，必須給出嚴(yán)格的推理過(guò)程，不能只憑圖形直觀妄加判斷，要全面理解垂直關(guān)系的實(shí)質(zhì)．
[正解]　因?yàn)樗倪呅蜛BCD是正方形，
所以AC⊥BD，
因?yàn)锽B1⊥底面ABCD，AC 底面ABCD，
所以AC⊥BB1，
又BD∩BB1＝B，所以AC⊥平面BB1D1D，
又AC 截面ACB1，
所以截面ACB1⊥平面BB1D1D.
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 如圖所示，已知AB⊥平面BCD，BC⊥CD，則圖中互相垂直的平面共有幾對(duì)( C )
A．1 B．2
C．3 D．4
[解析]　∵AB⊥平面BCD，且AB 平面ABC和AB 平面ABD，
∴平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD.
∵AB⊥平面BCD，∴AB⊥CD.
又∵BC⊥CD，AB∩BC＝B，∴CD⊥平面ABC.
∵CD 平面ACD，∴平面ABC⊥平面ACD.
故圖中互相垂直的平面有平面ABC⊥平面BCD，平面ABD⊥平面BCD，平面ABC⊥平面ACD.
1．二面角是指( C )
A．一個(gè)平面繞這個(gè)平面內(nèi)的一條直線旋轉(zhuǎn)所組成的圖形
B．一個(gè)半平面與另一個(gè)半平面組成的圖形
C．從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面組成的圖形
D．兩個(gè)相交的平行四邊形組成的圖形
[解析]　根據(jù)二面角的定義可知，選C.
2．已知直線l⊥平面α，則經(jīng)過(guò)l且和α垂直的平面( C )
A．有1個(gè) B．有2個(gè)
C．有無(wú)數(shù)個(gè) D．不存在
[解析]　經(jīng)過(guò)l的平面都與α垂直，所以經(jīng)過(guò)l的平面有無(wú)數(shù)個(gè)，故選C.
3.如圖，在四面體D－ABC中，若AB＝CB，AD＝CD，E是AC的中點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是( C )
A．平面ABC⊥平面ABD
B．平面ABD⊥平面BDC
C．平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE
D．平面ABC⊥平面ADC，且平面ADC⊥平面BDE
[解析]　∵AB＝CB，且E是AC的中點(diǎn)，∴BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE.∵AC在平面ABC內(nèi)，∴平面ABC⊥平面BDE.又AC 平面ACD，∴平面ACD⊥平面BDE，故選C.
4．已知正四棱錐(底面為正方形各側(cè)面為全等的等腰三角形)的體積為12，底面對(duì)角線的長(zhǎng)為2，則側(cè)面與底面所成的二面角的大小為_(kāi)60°__.
[解析]　設(shè)正四棱錐為S－ABCD，
如圖所示，高為h，底面邊長(zhǎng)為a，
則2a2＝(2)2，∴a2＝12.
又a2h＝12，∴h＝＝3.
設(shè)O為S在底面上的投影，作OE⊥CD于E，連接SE，
可知SE⊥CD，∠SEO為所求二面角的平面角．
tan∠SEO＝＝＝，∴∠SEO＝60°.
∴側(cè)面與底面所成二面角的大小為60°.
5.如圖，在四棱錐P－ABCD中，PC⊥底面ABCD，在直角梯形ABCD中，AB⊥AD，BC∥AD，AD＝2AB＝2BC，E是PD中點(diǎn)．求證：
(1)CE∥平面PAB；
(2)平面PCD⊥平面ACE.
[證明]　(1)取線段AP的中點(diǎn)F，連接EF，BF，
∵E，F(xiàn)分別為PD，AP中點(diǎn)，
∴EF∥AD，EF＝AD，
又BC∥AD，BC＝AD，∴EF∥BC，EF＝BC，
∴四邊形BCEF為平行四邊形，∴CE∥BF，
∵BF 平面PAB，CE 平面PAB，∴CE∥平面PAB.
(2)∵PC⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，∴PC⊥AC；
設(shè)AD＝2，則AB＝BC＝1，
∵BC∥AD，AB⊥AD，
∴AB⊥BC，
∴AC＝，CD＝＝，
∴AC2＋CD2＝AD2，∴AC⊥CD；
∵PC∩CD＝C，PC，CD 平面PCD，
∴AC⊥平面PCD，
∵AC 平面ACE，
∴平面PCD⊥平面ACE.第2課時(shí)　平面與平面垂直的性質(zhì)
課標(biāo)要求
1．借助長(zhǎng)方體，通過(guò)直觀感知，歸納出平面與平面垂直的性質(zhì)定理，并加以證明．
2．能用平面與平面垂直的性質(zhì)定理解決一些簡(jiǎn)單的空間線面位置關(guān)系問(wèn)題．
素養(yǎng)要求
在發(fā)現(xiàn)、推導(dǎo)和應(yīng)用平面與平面垂直的性質(zhì)定理的過(guò)程中，發(fā)展學(xué)生的數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)、邏輯推理素養(yǎng)和直觀想象素養(yǎng).
知識(shí)點(diǎn)　平面與平面垂直的性質(zhì)定理
文字語(yǔ)言 兩個(gè)平面垂直，如果一個(gè)平面內(nèi)有一直線垂直于這兩個(gè)平面的_交線__，那么這條直線與另一個(gè)平面_垂直__
符號(hào)語(yǔ)言 α⊥β，α∩β＝l，_a α__，_a⊥l__ a⊥β
圖形語(yǔ)言
[提醒]　對(duì)面面垂直的性質(zhì)定理的理解
(1)定理成立的條件有三個(gè)：
①兩個(gè)平面互相垂直；
②直線在其中一個(gè)平面內(nèi)；
③直線與兩平面的交線垂直．
(2)定理的實(shí)質(zhì)是由面面垂直得線面垂直，故可用來(lái)證明線面垂直．
(3)已知面面垂直時(shí)，可以利用此定理轉(zhuǎn)化為線面垂直，再轉(zhuǎn)化為線線垂直．
[拓展]　平面與平面垂直的其他性質(zhì)與結(jié)論
(1)如果兩個(gè)平面互相垂直，那么經(jīng)過(guò)第一個(gè)平面內(nèi)一點(diǎn)垂直于第二個(gè)平面的直線在第一個(gè)平面內(nèi)．即α⊥β，A∈α，A∈b，b⊥β b α.
(2)如果兩個(gè)平面互相垂直，那么與其中一個(gè)平面平行的平面垂直于另一個(gè)平面．即α⊥β，γ∥β γ⊥α.
(3)如果兩個(gè)平面互相垂直，那么其中一個(gè)平面的垂線平行于另一個(gè)平面或在另一個(gè)平面內(nèi)．即α⊥β，b⊥β b∥α或b α.
(4)如果兩個(gè)相交平面都垂直于第三個(gè)平面，那么它們的交線垂直于第三個(gè)平面．即α∩β＝l，α⊥γ，β⊥γ l⊥γ.
(5)三個(gè)兩兩垂直的平面的交線也兩兩垂直．即α⊥β，α∩β＝l，β⊥γ，β∩γ＝m，γ⊥α，γ∩α＝n l⊥m，m⊥n，l⊥n.
練一練：
平面α⊥平面β，α∩β＝l，n β，n⊥l，直線m⊥α，則直線m與n的位置關(guān)系是_平行__.
[解析]　因?yàn)棣痢挺拢痢搔拢絣，n β，n⊥l，所以n⊥α.
又m⊥α，所以m∥n.
題|型|探|究
題型一　理解面面垂直
典例1　(多選題)已知兩個(gè)平面垂直，下列命題中不正確的是( ACD )
A．一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面內(nèi)的任意一條直線
B．一個(gè)平面內(nèi)的已知直線必垂直于另一個(gè)平面的無(wú)數(shù)條直線
C．一個(gè)平面內(nèi)的任一條直線必垂直于另一個(gè)平面
D．過(guò)一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面
[解析]　一個(gè)平面內(nèi)只有垂直交線的線和另一個(gè)平面垂直，才和另一個(gè)平面內(nèi)任意一條直線垂直，所以A，C錯(cuò)誤；因?yàn)橐粋€(gè)平面內(nèi)有無(wú)數(shù)條平行直線垂直于該平面，都與該直線是垂直的，所以B正確；過(guò)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，該垂線在平面內(nèi)時(shí)，則此垂線必垂直于另一個(gè)平面，若點(diǎn)在交線上時(shí)，作交線的垂線，則垂線不一定在平面內(nèi)，此垂線不一定垂直于另一個(gè)平面．
[歸納提升]　對(duì)于D，很容易認(rèn)為是正確的，其實(shí)與面面垂直的性質(zhì)定理是不同的，“兩個(gè)平面垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線與另一個(gè)平面垂直”與“兩個(gè)平面垂直，過(guò)一個(gè)平面內(nèi)任意一點(diǎn)作交線的垂線，則此垂線與另一個(gè)平面垂直”是不同的，關(guān)鍵是過(guò)平面內(nèi)一點(diǎn)作的直線不一定在平面內(nèi)．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 對(duì)于直線m，n和平面α，β，能得出α⊥β的一個(gè)條件是( C )
A．m⊥n，m∥α，n∥β
B．m⊥n，α∩β＝m，n α
C．m∥n，n⊥β，m α
D．m∥n，m⊥α，n⊥β
[解析]　對(duì)于C選項(xiàng)，在β內(nèi)取兩條相交直線a與b，因?yàn)閚⊥β，所以n⊥a，n⊥b，又m∥n，所以m⊥a，m⊥b，又a與b相交，所以m⊥β，又m α，所以α⊥β，所以C正確.
題型二　平面與平面垂直的性質(zhì)及應(yīng)用
典例2　如圖，在六面體ABCDEF中，AB∥CD，AB⊥AD，且AB＝AD＝CD＝1，四邊形ADEF是正方形，平面ADEF⊥平面ABCD.
證明：平面BCE⊥平面BDE.
[證明]　因?yàn)锳B∥CD，AB⊥AD且AB＝AD＝CD＝1，所以BD＝BC＝，CD＝2，所以BC⊥BD，
因?yàn)槠矫鍭DEF⊥平面ABCD，平面ADEF∩平面ABCD＝AD，
四邊形ADEF是正方形，ED⊥AD，ED 平面ADEF，所以ED⊥平面ABCD，因?yàn)锽C 平面ABCD，
所以BC⊥ED，因?yàn)锽D，ED 平面BDE，BD∩ED＝D，所以BC⊥平面BDE，
因?yàn)锽C 平面BCE，所以平面BCE⊥平面BDE.
[歸納提升]　若所給題目中有面面垂直的條件，一般要利用面面垂直的性質(zhì)定理將其轉(zhuǎn)化為線面垂直、線線垂直．應(yīng)用面面垂直的性質(zhì)定理，注意三點(diǎn)：①兩個(gè)平面垂直是前提條件；②直線必須在其中一個(gè)平面內(nèi)；③直線必須垂直于它們的交線．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 如圖，在四棱錐P－ABCD中，AD＝BD＝BC＝1，AB＝CD＝，PA＝PB，平面PBD⊥平面ABCD.求證：PD⊥AB.
[解析]　因?yàn)锳D＝BD＝BC＝1，AB＝CD＝，
所以四邊形ABCD是平行四邊形，且AD⊥BD.
因?yàn)槠矫鍼BD⊥平面ABCD，平面PBD∩平面ABCD＝BD，AD 平面ABCD，
所以AD⊥平面PBD，所以AD⊥PD，
因?yàn)镻A＝PB，所以△PAD≌△PBD，
所以∠PDB＝∠PDA＝90°，即BD⊥PD，
又因?yàn)锳D∩BD＝D，所以PD⊥平面ABCD，
因?yàn)锳B 平面ABCD，所以PD⊥AB.
題型三　面面垂直的綜合應(yīng)用
典例3　如圖，在四棱錐P－ABCD中，側(cè)面PAD是正三角形，且與底面ABCD垂直，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，∠BAD＝60°，N是PB的中點(diǎn)，過(guò)A，D，N三點(diǎn)的平面交PC于M，E為AD的中點(diǎn)．
求證：(1)EN∥平面PDC；
(2)BC⊥平面PEB；
(3)平面PBC⊥平面ADMN.
[證明]　(1)∵AD∥BC，BC 平面PBC，
AD 平面PBC，
∴AD∥平面PBC.
又∵平面ADMN∩平面PBC＝MN，
∴AD∥MN.
又∵BC∥AD，∴MN∥BC.
又∵N是PB的中點(diǎn)，∴點(diǎn)M為PC的中點(diǎn)．
∴MN∥BC且MN＝BC，
又∵E為AD的中點(diǎn)，
∴MN∥DE且MN＝DE.
∴四邊形DENM為平行四邊形．
∴EN∥DM，且DM 平面PDC，EN 平面PDC，
∴EN∥平面PDC.
(2)∵四邊形ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，且∠BAD＝60°，∴BE⊥AD.
又∵側(cè)面PAD是正三角形，且E為中點(diǎn)，
∴PE⊥AD，
又∵PE∩BE＝E，
∴AD⊥平面PBE.
又∵AD∥BC，∴BC⊥平面PEB.
(3)由(2)知AD⊥平面PBE，
又PB 平面PBE，
∴AD⊥PB.
又∵PA＝AB，N為PB的中點(diǎn)，∴AN⊥PB.
且AN∩AD＝A，∴PB⊥平面ADMN.
又∵PB 平面PBC.
∴平面PBC⊥平面ADMN.
[歸納提升]　垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化
在關(guān)于垂直問(wèn)題的論證中要注意線線垂直、線面垂直、面面垂直的相互轉(zhuǎn)化．每一種垂直的判定都是從某一垂直開(kāi)始轉(zhuǎn)向另一垂直，最終達(dá)到目的，其轉(zhuǎn)化關(guān)系如下：
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 如圖，P是正方形ABCD所在平面外一點(diǎn)，且平面PAC⊥平面ABCD，E、F分別是線段AB、PC的中點(diǎn)．
(1)求證：EF∥平面PAD；
(2)求證：BD⊥PC.
[證明]　(1)證法一：取PD中點(diǎn)G，連接FG，AG，在△PDC中，因?yàn)镕、G分別是PC，PD的中點(diǎn)，
所以FG∥CD，F(xiàn)G＝CD；
因?yàn)镋是正方形ABCD邊AB的中點(diǎn)，
所以AE∥CD，AE＝CD；
所以AE∥GF，AE＝GF；
即四邊形AEFG是平行四邊形，
所以EF∥AG，
又因?yàn)锳G 平面PAD，EF 平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
證法二：延長(zhǎng)DA交CE延長(zhǎng)線于H，連接PH，
由于AE∥CD，AE＝CD，所以A是DH的中點(diǎn)，E是HC的中點(diǎn)，
所以EF∥PH，
又因?yàn)镻H 平面PAD，EF 平面PAD，
所以EF∥平面PAD.
證法三：取CD中點(diǎn)I，連接EI，F(xiàn)I，
由于E，F(xiàn)，I均為中點(diǎn)，所以FI∥PD，EI∥AD，
FI∩EI＝I，F(xiàn)I，EI 平面FIE，PD∩AD＝D，PD，AD 平面PAD，
平面EFI∥平面PAD，
EF 平面FIE，
所以EF∥平面PAD.
(2)因?yàn)檎叫蜛BCD中，BD⊥AC，
又平面ABCD⊥平面PAC;
平面PAC∩平面ABCD＝AC，BD 平面ABCD，
所以BD⊥平面PAC，
因?yàn)镻C 平面PAC，
所以BD⊥PC.
拓|展|應(yīng)|用
垂直的綜合應(yīng)用
典例4　如圖所示，在斜三棱柱A1B1C1－ABC中，底面是等腰三角形，AB＝AC，D是BC的中點(diǎn)，側(cè)面BB1C1C⊥底面ABC.
(1)求證：AD⊥CC1；
(2)過(guò)側(cè)面BB1C1C的對(duì)角線BC1的平面交側(cè)棱于點(diǎn)M，若AM＝MA1，求證：截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C；
(3)若截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C，則AM＝MA1嗎？請(qǐng)敘述你的判斷理由．
[分析]　(1)根據(jù)面面垂直的性質(zhì)定理易證AD⊥CC1；
(2)先證C1N⊥側(cè)面BB1C1C，根據(jù)面面垂直的判定定理即可得證；
(3)先證M，E，D，A四點(diǎn)共面，再證四邊形AMED是平行四邊形，進(jìn)而即可證明．
[解析]　(1)因?yàn)锳B＝AC，D是BC的中點(diǎn)，所以AD⊥BC.
因?yàn)榈酌鍭BC⊥側(cè)面BB1C1C，底面ABC∩側(cè)面BB1C1C＝BC，所以AD⊥側(cè)面BB1C1C.又CC1 平面BB1C1C，
所以AD⊥CC1.
(2)證明：延長(zhǎng)B1A1與BM交于點(diǎn)N，連接C1N.
因?yàn)锳M＝MA1，所以NA1＝A1B1.因?yàn)锳1C1＝A1N＝A1B，
所以C1N⊥B1C1，
所以C1N⊥側(cè)面BB1C1C.
所以截面MBC1⊥側(cè)面BB1C1C.
(3)結(jié)論正確．證明如下：過(guò)M作ME ⊥BC1于點(diǎn)E，連接DE.
因?yàn)榻孛鍹BC1⊥側(cè)面BB1C1C，
所以ME⊥側(cè)面BB1C1C，
又AD⊥側(cè)面BB1C1C，所以ME∥AD，所以M，E，D，A四點(diǎn)共面．
因?yàn)镸A∥側(cè)面BB1C1C，
所以AM∥DE.
所以四邊形AMED是平行四邊形，
又AM∥CC1，所以DE∥CC1.
因?yàn)锽D＝CD，所以DE＝CC1，
所以AM＝CC1＝AA1.
所以AM＝MA1.
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 如圖，在四棱錐P－ABCD中，底面ABCD為菱形，∠BAD＝60°，PA＝PD＝AD＝2，M，N分別為線段PC，AD的中點(diǎn)．
(1)求證：AD⊥平面PBN；
(2)若平面PAD⊥平面ABCD，求三棱錐P－NBM的體積．
[解析]　(1)證明：連接BD，易得△ABD和△PAD都是邊長(zhǎng)為2的正三角形，
∵N為AD的中點(diǎn)，∴AD⊥PN，AD⊥BN，
∵PN∩BN＝N，∴AD⊥平面PBN.
(2)∵平面PAD⊥平面ABCD，且平面PAD∩平面ABCD＝AD，PN⊥AD，PN 平面PAD，
∴PN⊥平面ABCD，
∵BN 平面ABCD，∴PN⊥BN，
易得PN＝BN＝.
∴S△PBN＝××＝.
由(1)知AD⊥平面PBN，
∵底面ABCD為菱形，∴BC∥AD，
∴BC⊥平面PBN.
又M為PC的中點(diǎn)，
∴VP－NBM＝VM－PBN＝VC－PBN＝×××2＝.
1．若平面α⊥平面β，平面β⊥平面γ，則( D )
A．α∥γ
B．α⊥γ
C．α與γ相交但不垂直
D．以上都有可能
2．(2022·長(zhǎng)春高一檢測(cè))已知直線a和平面α、β有如下關(guān)系：①α⊥β，②α∥β，③a⊥β，④a∥α，則下列命題為真的是( C )
A．①③ ④ B．①④ ③
C．③④ ① D．②③ ④
[解析]　由α⊥β，a⊥β，可得a∥α或a α，故A錯(cuò)誤；由α⊥β，a∥α，可得a β或a∥β或a與β相交，故B錯(cuò)誤；由a∥α，過(guò)a作平面γ與α相交，交線為b，則a∥b，因?yàn)閍⊥β，所以b⊥β，而b α，可得α⊥β，故C正確；由α∥β，a⊥β，可得a⊥α，故D錯(cuò)誤．
3．已知互相垂直的平面α，β交于直線l，若直線m，n滿足m∥α，n⊥β，則( C )
A．m∥l B．m∥n
C．n⊥l D．m⊥n
[解析]　因?yàn)棣痢搔拢絣，所以l β，又n⊥β，所以n⊥l.
4．如圖所示，三棱錐P－ABC中，平面PAB⊥底面ABC，且PA＝PB＝PC，則△ABC是_直角__三角形．
[解析]　設(shè)P在平面ABC上的射影為O，
∵平面PAB⊥底面ABC，平面PAB∩平面ABC＝AB，
∴O∈AB.∵PA＝PB＝PC，∴OA＝OB＝OC，
∴O是△ABC的外心，且是AB的中點(diǎn)，
∴△ABC是直角三角形．
5．如圖，在直二面角α－AB－β中，AC和BD分別在平面α和β上，它們都垂直于AB，且AB＝4，AC＝6，BD＝8，則CD＝ 2　.
[解析]　連接BC，在直二面角α－AB－β中BD⊥AB，α∩β＝AB，BD β，
所以BD⊥α，又BC α，則BD⊥BC，又AC⊥AB，
所以，在Rt△ABC、Rt△DBC中CD＝＝2.
故答案為2.章末知識(shí)梳理
一、空間幾何體的結(jié)構(gòu)特征
1．多面體及其結(jié)構(gòu)特征
(1)棱柱：①有兩個(gè)平面(底面)互相平行；②其余各面都是平行四邊形；③每相鄰兩個(gè)平行四邊形的公共邊互相平行．
(2)棱錐：①有一個(gè)面(底面)是多邊形；
②其余各面(側(cè)面)是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形．
(3)棱臺(tái)：①上、下底面互相平行，且是相似圖形；
②各側(cè)棱延長(zhǎng)線相交于一點(diǎn)．
2．旋轉(zhuǎn)體及其結(jié)構(gòu)特征
(1)圓柱：①圓柱的軸垂直于底面；②圓柱的軸截面是矩形；③圓柱的所有母線相互平行且相等，且都與圓柱的軸平行；④圓柱的母線垂直于底面．
(2)圓錐：①圓錐的軸垂直于底面；②圓錐的軸截面為等腰三角形；③圓錐的頂點(diǎn)與底面圓周上任一點(diǎn)的連線都是圓錐的母線，圓錐的母線有無(wú)數(shù)條；④圓錐的底面是一個(gè)圓面．
(3)圓臺(tái)：①圓臺(tái)的上、下底面是兩個(gè)半徑不等的圓面；②圓臺(tái)兩底面圓所在平面互相平行且和軸垂直；③圓臺(tái)有無(wú)數(shù)條母線；④圓臺(tái)的母線延長(zhǎng)線交于一點(diǎn)．
二、空間幾何體的直觀圖
1．斜二測(cè)畫(huà)法中“斜”和“二測(cè)”
“斜”是指在已知圖形的xOy平面內(nèi)與x軸垂直的線段，在直觀圖中均與x′軸成45°或135°；
“二測(cè)”是指兩種度量形式，即在直觀圖中，平行于x′軸或z′軸的線段長(zhǎng)度不變；平行于y′軸的線段長(zhǎng)度變?yōu)樵瓉?lái)的一半．
2．斜二測(cè)畫(huà)法中的建系原則
在已知圖中建立直角坐標(biāo)系，理論上在任何位置建立坐標(biāo)系都行，但實(shí)際作圖時(shí)，一般建立特殊的直角坐標(biāo)系，盡量運(yùn)用原有直線或圖形的對(duì)稱直線為坐標(biāo)軸，圖形的對(duì)稱點(diǎn)為原點(diǎn)或利用原有互相垂直的直線為坐標(biāo)軸等．
三、空間幾何體的表面積和體積
1．多面體的表面積
各個(gè)面的面積之和，也就是展開(kāi)圖的面積．
2．旋轉(zhuǎn)體的表面積
圓柱：S＝2πr2＋2πrl＝2πr(r＋l)．
圓錐：S＝πr2＋πrl＝πr(r＋l)．
圓臺(tái)：S＝π(r′2＋r2＋r′l＋rl)．
球：S＝4πR2.
3．柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式
(1)柱體的體積公式：
V柱體＝Sh(S底面面積，h為高)．
(2)錐體的體積公式V錐體＝Sh(S底面面積，h為高)．
(3)臺(tái)體的體積公式
V臺(tái)體＝(S＋＋S′)h(S′，S分別為上、下底面面積，h為高)．
(4)球的體積公式V＝πR3.
四、空間點(diǎn)、線、面之間的位置關(guān)系
1．平面的基本性質(zhì)
四個(gè)基本事實(shí)及其作用
基本事實(shí)1：過(guò)不在一條直線上的三個(gè)點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面．
作用：①可用來(lái)確定一個(gè)平面；②證明點(diǎn)線共面．
基本事實(shí)2：如果一條直線上的兩個(gè)點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線在此平面內(nèi)．
作用：可用來(lái)證明點(diǎn)、直線在平面內(nèi)．
基本事實(shí)3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn)，那么它們有且只有一條過(guò)該點(diǎn)的公共直線．
作用：①可用來(lái)確定兩個(gè)平面的交線；②判斷或證明多點(diǎn)共線；③判斷或證明多線共點(diǎn)．
基本事實(shí)4：平行于同一條直線的兩條直線平行．
作用：判斷空間兩條直線平行的依據(jù)．
2．空間中兩直線的位置關(guān)系
空間中兩直線的位置關(guān)系
3．空間中直線與平面、平面與平面的位置關(guān)系
(1)直線與平面的位置關(guān)系有相交、平行、在平面內(nèi)三種情況．
(2)平面與平面的位置關(guān)系有平行、相交兩種情況．
五、直線、平面平行的判定與性質(zhì)
1．直線與平面平行
(1)判定定理：平面外一條直線與這個(gè)平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線與此平面平行(線線平行 線面平行)．
(2)性質(zhì)定理：一條直線與一個(gè)平面平行，則過(guò)這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行(簡(jiǎn)記為“線面平行 線線平行”)．
2．平面與平面平行
(1)判定定理：一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個(gè)平面平行，則這兩個(gè)平面平行(簡(jiǎn)記為“線面平行 面面平行”)．
(2)性質(zhì)定理：如果兩個(gè)平行平面同時(shí)和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行．
六、直線、平面垂直的判定及其性質(zhì)
1．直線與平面垂直
(1)直線和平面垂直的定義：
直線l與平面α內(nèi)的任意一條直線都垂直，就說(shuō)直線l與平面α互相垂直．
(2)異面直線所成的角：
定義：設(shè)a，b是兩條異面直線，經(jīng)過(guò)空間中任一點(diǎn)O作直線a′∥a，b′∥b，把a(bǔ)′與b′所成的銳角(或直角)叫做異面直線a與b所成的角(或夾角)．
(3)判定定理：一條直線與一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直．
(4)性質(zhì)定理：垂直于同一個(gè)平面的兩條直線平行．
2．平面與平面垂直
(1)平面和平面垂直的定義：
兩個(gè)平面相交，若所成的二面角是直二面角，則這兩個(gè)平面垂直．
(2)判定定理：一個(gè)平面過(guò)另一個(gè)平面的垂線，則這兩個(gè)平面互相垂直．
(3)性質(zhì)定理：兩個(gè)平面互相垂直，則一個(gè)平面內(nèi)垂直于交線的直線垂直于另一個(gè)平面．
要點(diǎn)一　幾何體的表面積與體積
1.空間幾何體的表面積求法
(1)多面體的表面積是各個(gè)面的面積之和，組合體表面積注意銜接部分的處理．
(2)旋轉(zhuǎn)體的表面積問(wèn)題注意其側(cè)面展開(kāi)圖的應(yīng)用．
2．空間幾何體體積問(wèn)題常見(jiàn)類型
(1)若所給定的幾何體是可直接用公式求解的柱體、錐體或臺(tái)體，則可直接利用公式進(jìn)行求解．
(2)若所給的幾何體的體積不能直接利用公式得出，則常用轉(zhuǎn)換法、分割法、補(bǔ)形法等方法進(jìn)行求解．
典例1　如圖所示(單位：cm)，求圖中陰影部分繞AB旋轉(zhuǎn)一周所形成的幾何體的表面積和體積．
[解析]　由題意知，所求幾何體的表面積由三部分組成：
圓臺(tái)下底面、側(cè)面和一半球面，
S半球＝8π(cm2)，S圓臺(tái)側(cè)＝35π(cm2)，S圓臺(tái)底＝25π(cm2)，
故所求幾何體的表面積為68π cm2.
由V圓臺(tái)＝×[π×22＋＋π×52]×4＝52π(cm3)，V半球＝π×23×＝π(cm3)，
所以所求幾何體的體積為
V圓臺(tái)－V半球＝52π－π＝π(cm3)．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) (2023·上海格致中學(xué)期中)如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8 cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6 cm，如不計(jì)容器的厚度，則球的體積為( A )
A. cm3 B． cm3
C. cm3 D． cm3
[解析]　設(shè)球的半徑為R cm，則由題意知球被正方體上底面截得的圓面的半徑為4 cm，球心到截面圓的距離為(R－2)cm，則R2＝( R－2)2＋42，解得R＝5 cm.
∴球的體積為＝ cm3.
要點(diǎn)二　空間中的平行關(guān)系
1.判斷線面平行的兩種常用方法
面面平行判定的落腳點(diǎn)是線面平行，因此掌握線面平行的判定方法是必要的，判定線面平行的兩種方法：
(1)利用線面平行的判定定理．
(2)利用面面平行的性質(zhì)，即當(dāng)兩平面平行時(shí)，其中一平面內(nèi)的任一直線平行于另一平面．
2．判斷面面平行的常用方法
利用面面平行的判定定理．
典例2　如圖所示，四邊形ABCD是平行四邊形，PB⊥平面ABCD，MA∥PB，PB＝2MA.在線段PB上是否存在一點(diǎn)F，使平面AFC∥平面PMD？若存在，請(qǐng)確定點(diǎn)F的位置；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．
[解析]　當(dāng)點(diǎn)F是PB的中點(diǎn)時(shí)，平面AFC∥平面PMD，證明如下：
如圖連接BD與AC交于點(diǎn)O，連接FO，則PF＝PB.
∵四邊形ABCD是平行四邊形，
∴O是BD的中點(diǎn)，∴OF∥PD.
又OF 平面PMD，PD 平面PMD，
∴OF∥平面PMD.
又MA∥PB且MA＝PB，
∴PF∥MA且PF＝MA，
∴四邊形AFPM是平行四邊形，
∴AF∥PM.
又AF 平面PMD，PM 平面PMD，
∴AF∥平面PMD.
又AF∩OF＝F，AF 平面AFC，OF 平面AFC，
∴平面AFC∥平面PMD.
對(duì)點(diǎn)練習(xí) (2023·江蘇蘇州大學(xué)附屬中學(xué)段考)如圖，已知四棱錐P－ABCD的底面ABCD為平行四邊形，M，N分別是棱AB，PC的中點(diǎn)，平面CMN與平面PAD交于PE.
(1)求證：MN∥平面PAD；
(2)求證：MN∥PE.
[證明]　(1)如圖，取DC的中點(diǎn)Q，連接MQ，NQ.
因?yàn)镹，Q分別是PC，DC的中點(diǎn)，所以NQ∥PD.
因?yàn)镹Q 平面PAD，PD 平面PAD，
所以NQ∥平面PAD.
因?yàn)镸，Q分別是AB，DC的中點(diǎn)，
四邊形ABCD是平行四邊形，所以MQ∥AD.
又MQ 平面PAD，AD 平面PAD，
所以MQ∥平面PAD.
因?yàn)镸Q∩NQ＝Q，MQ 平面MNQ，NQ 平面MNQ，
所以平面MNQ∥平面PAD.
因?yàn)镸N 平面MNQ，
所以MN∥平面PAD.
(2)因?yàn)槠矫鍹NQ∥平面PAD，
且平面PEC∩平面MNQ＝MN，
平面PEC∩平面PAD＝PE，
所以MN∥PE.
要點(diǎn)三　空間中的垂直關(guān)系
1.判定線面垂直的方法
(1)線面垂直定義．
(2)線面垂直判定定理．
(3)平行線垂直平面的傳遞性質(zhì)(a∥b，b⊥α a⊥α)．
(4)面面垂直性質(zhì)(α⊥β，α∩β＝l，a β，a⊥l a⊥α)．
2．判定面面垂直的方法
(1)面面垂直的定義．
(2)面面垂直的判定定理．
典例3　如圖，在四棱錐P－ABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，求證：
(1)PA⊥底面ABCD；
(2)BE∥平面PAD；
(3)平面BEF⊥平面PCD.
[證明]　(1)因?yàn)槠矫鍼AD⊥底面ABCD，平面PAD∩底面ABCD＝AD，PA 平面PAD，PA⊥AD，
所以PA⊥底面ABCD.
(2)因?yàn)锳B∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點(diǎn)，
所以AB∥DE，且AB＝DE.
所以四邊形ABED為平行四邊形，
所以BE∥AD.
又因?yàn)锽E 平面PAD，AD 平面PAD，
所以BE∥平面PAD.
(3)因?yàn)锳B⊥AD，且四邊形ABED為平行四邊形，
所以BE⊥CD，AD⊥CD.
由(1)知PA⊥底面ABCD，
所以AP⊥CD.
又因?yàn)锳P∩AD＝A，AP，AD 平面PAD，
所以CD⊥平面PAD，所以CD⊥PD.
因?yàn)镋和F分別是CD和PC的中點(diǎn)，
所以PD∥EF，所以CD⊥EF.
又因?yàn)镃D⊥BE，EF∩BE＝E，EF，BE 平面BEF，
所以CD⊥平面BEF.
又CD 平面PCD，所以平面BEF⊥平面PCD.
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 　如圖所示，已知AF⊥平面ABCD，四邊形ABEF為矩形，四邊形ABCD為直角梯形，∠DAB＝90°，AB∥CD，AD＝AF＝CD＝2，AB＝4.
(1)求證：AC⊥平面BCE；
(2)求證：AD⊥AE.
[證明]　(1)在直角梯形ABCD中，AD＝CD＝2，AB＝4，
所以AC＝BC＝2，
所以AC2＋BC2＝AB2，所以AC⊥BC.
因?yàn)锳F⊥平面ABCD，AF∥BE，
所以BE⊥平面ABCD，AC 平面ABCD，
所以BE⊥AC.
又BE 平面BCE，BC 平面BCE，BE∩BC＝B，
所以AC⊥平面BCE.
(2)因?yàn)锳F⊥平面ABCD，AD 平面ABCD，
所以AF⊥AD.
又∠DAB＝90°，所以AB⊥AD.
又AF 平面ABEF，AB 平面ABEF，AF∩AB＝A，
所以AD⊥平面ABEF.
又AE 平面ABEF，所以AD⊥AE.
要點(diǎn)四　空間中的角
1.空間中的角包括：異面直線所成的角、直線與平面所成的角以及二面角．這些角是對(duì)點(diǎn)、直線、平面所組成空間圖形的位置關(guān)系進(jìn)行定性分析和定量計(jì)算的重要組成部分，學(xué)習(xí)時(shí)要深刻理解它們的含義，并能綜合應(yīng)用空間各種角的概念和平面幾何的知識(shí)熟練解題．空間角的題目一般都是各種知識(shí)的交匯點(diǎn)，因此，它是高考重點(diǎn)考查的內(nèi)容之一，應(yīng)引起足夠重視．
2．求異面直線所成的角常用平移轉(zhuǎn)化法(轉(zhuǎn)化為相交直線的夾角)．
3．求直線與平面所成的角常用射影轉(zhuǎn)化法(即作垂線、找射影)．
4．常用的三種二面角的平面角的作法：(1)定義法；(2)垂線法；(3)垂面法．
總之，求空間各種角的大小一般都轉(zhuǎn)化為平面角來(lái)計(jì)算，空間角的計(jì)算步驟：一作，二證，三計(jì)算．
典例4　如圖，在四棱錐P－ABCD中，AD⊥平面PDC，AD∥BC，PD⊥PB，AD＝1，BC＝3，CD＝4，PD＝2.
(1)求異面直線AP與BC所成角的余弦值；
(2)求證：PD⊥平面PBC；
(3)求直線AB與平面PBC所成角的正弦值．
[解析]　(1)由已知AD∥BC，故∠DAP或其補(bǔ)角即為異面直線AP與BC所成的角．因?yàn)锳D⊥平面PDC，PD 平面PDC，所以AD⊥PD.在Rt△PDA中，由已知，得AP＝＝，故cos∠DAP＝＝.所以異面直線AP與BC所成角的余弦值為.
(2)證明：因?yàn)锳D⊥平面PDC，直線PD 平面PDC，所以AD⊥PD.又BC∥AD，所以PD⊥BC，又PD⊥PB，BC∩PB＝B，BC，PB 平面PBC，所以PD⊥平面PBC.
(3)過(guò)點(diǎn)D作AB的平行線交BC于點(diǎn)F，連接PF，則DF與平面PBC所成的角等于AB與平面PBC所成的角．
因?yàn)镻D⊥平面PBC，故PF為DF在平面PBC上的射影，所以∠DFP為直線DF和平面PBC所成的角．
由于AD∥BC，DF∥AB，故BF＝AD＝1.由已知，得CF＝BC－BF＝2.又AD⊥DC，故BC⊥DC.
在Rt△DCF中，可得DF＝＝2.
在Rt△DPF中，可得sin∠DFP＝＝.
所以直線AB與平面PBC所成角的正弦值為.
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 　如圖，正方體的棱長(zhǎng)為1，B′C∩BC′＝O，求：
(1)AO與A′C′所成角的大小；
(2)AO與平面ABCD所成角的正切值；
(3)平面AOB與平面AOC所成角的大小．
[解析]　(1)∵A′C′∥AC，
∴AO與A′C′所成的角就是∠OAC.
∵AB⊥平面BC′，OC 平面BC′，∴OC⊥AB，
又OC⊥BO，AB∩BO＝B，AB，BO 平面ABO，
∴OC⊥平面ABO.
又OA 平面ABO，∴OC⊥OA.
在Rt△AOC中，OC＝，AC＝，
sin∠OAC＝＝，∴∠OAC＝30°.
即AO與A′C′所成角為30°.
(2)如圖，作OE⊥BC于E，連接AE.
∵平面BC′⊥平面ABCD，平面BC′∩平面ABCD＝BC，OE 平面BC′，
∴OE⊥平面ABCD，
∴∠OAE為OA與平面ABCD所成的角．
在Rt△OAE中，OE＝，
AE＝＝，
∴tan∠OAE＝＝.
即AO與平面ABCD所成角的正切值為.
(3)由(1)可知OC⊥平面AOB.
又∵OC 平面AOC，
∴平面AOB⊥平面AOC.
即平面AOB與平面AOC所成的角為90°.

展開(kāi)更多......

收起↑