資源簡(jiǎn)介

10．1.1　有限樣本空間與隨機(jī)事件
課標(biāo)要求
結(jié)合具體實(shí)例，理解樣本點(diǎn)和有限樣本空間的含義，理解隨機(jī)事件與樣本點(diǎn)的關(guān)系．
素養(yǎng)要求
能夠在實(shí)際問(wèn)題中抽象出隨機(jī)現(xiàn)象與隨機(jī)事件的概念，能夠用樣本空間去解釋相關(guān)問(wèn)題，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象及邏輯推理素養(yǎng).
知識(shí)點(diǎn) 1　隨機(jī)試驗(yàn)及樣本空間
1．隨機(jī)試驗(yàn)的概念和特點(diǎn)
(1)隨機(jī)試驗(yàn)：我們把對(duì)_隨機(jī)現(xiàn)象__的實(shí)現(xiàn)和對(duì)它的觀察稱為隨機(jī)試驗(yàn)，簡(jiǎn)稱試驗(yàn)，常用字母E來(lái)表示．
(2)隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)：
①試驗(yàn)可以在相同條件下_重復(fù)__進(jìn)行；
②試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是_明確可知__的，并且不止一個(gè)；
③每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果．
2．樣本點(diǎn)和樣本空間
定義 字母表示
樣本點(diǎn) 我們把隨機(jī)試驗(yàn)E的_每個(gè)可能的基本結(jié)果__稱為樣本點(diǎn) 用_w__表示樣本點(diǎn)
樣本空間 全體_樣本點(diǎn)__的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間 用_Ω__表示樣本空間
有限樣本空間 如果一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)有n個(gè)可能結(jié)果w1，w2，…，wn，則稱樣本空間Ω＝{w1，w2，…，wn}為有限樣本空間 Ω＝{w1，w2，…，wn}
[拓展]　關(guān)于樣本點(diǎn)和樣本空間
(1)樣本點(diǎn)是指隨機(jī)試驗(yàn)的每個(gè)可能的基本結(jié)果，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)的樣本空間；
(2)只討論樣本空間為有限集的情況，即有限樣本空間．
練一練：
從標(biāo)有1,2,3,4,5的5張卡片中任取兩張，觀察取出的卡片上的數(shù)字．
(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；
(2)求這個(gè)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)的總數(shù)；
(3)“數(shù)字之和為5”這一事件包含哪幾個(gè)樣本點(diǎn)？
[解析]　(1)這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間Ω＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)}((1,2)表示抽出標(biāo)有1,2的兩張卡片)．
(2)樣本點(diǎn)的總數(shù)是10.
(3)“數(shù)字之和為5”這一事件包含以下兩個(gè)樣本點(diǎn)：(1,4)，(2,3)．
知識(shí)點(diǎn) 2　三種事件的定義
隨機(jī)事件 我們將樣本空間Ω的_子集__稱為隨機(jī)事件，簡(jiǎn)稱事件，并把只包含_一個(gè)__樣本點(diǎn)的事件稱為基本事件，隨機(jī)事件一般用大寫字母A，B，C，…表示．在每次試驗(yàn)中，當(dāng)且僅當(dāng)A中某個(gè)樣本點(diǎn)出現(xiàn)時(shí)，稱為事件A發(fā)生
必然事件 Ω作為自身的子集，包含了_所有的__樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中總有一個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生，所以Ω總會(huì)發(fā)生，我們稱Ω為必然事件
不可能事件 空集 不包含任何樣本點(diǎn)，在每次試驗(yàn)中都不會(huì)發(fā)生，我們稱 為不可能事件
[提醒]　(1)隨機(jī)事件是樣本空間的子集．隨機(jī)事件是由若干個(gè)基本事件構(gòu)成的，當(dāng)然，基本事件也是隨機(jī)事件．
(2)必然事件與不可能事件不具有隨機(jī)性，是隨機(jī)事件的兩個(gè)極端情形．
練一練：
(多選題)下列事件中是隨機(jī)事件的是( AD )
A．連續(xù)擲一枚硬幣兩次、兩次都出現(xiàn)正面朝上
B．異性電荷相互吸引
C．在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水在1 ℃結(jié)冰
D．買一注彩票中了特等獎(jiǎng)
[解析]　A、D是隨機(jī)事件，B為必然事件，C為不可能事件．
題型探究
題型一 事件類型的判斷
典例1　在下列事件中，哪些是必然事件？哪些是不可能事件？哪些是隨機(jī)事件？
(1)如果a、b都是實(shí)數(shù)，那么a＋b＝b＋a；
(2)從分別標(biāo)有1,2,3,4,5,6的6張?zhí)柡炛腥稳∫粡垼玫?號(hào)簽；
(3)沒(méi)有水分，種子發(fā)芽；
(4)某電話總機(jī)在60秒內(nèi)接到至少15個(gè)電話；
(5)在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的溫度達(dá)到50 ℃時(shí)會(huì)沸騰；
(6)同性電荷相互排斥．
[分析]　依據(jù)事件的分類及其定義，在給出的條件下，判斷事件是否發(fā)生．
[解析]　結(jié)合必然事件、不可能事件、隨機(jī)事件的定義可知．
(1)對(duì)任意實(shí)數(shù)，都滿足加法的交換律，故此事件是必然事件．
(2)從6張?zhí)柡炛腥稳∫粡垼玫?號(hào)簽，此事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故此事件是隨機(jī)事件．
(3)適宜的溫度和充足的水分，是種子萌發(fā)不可缺少的兩個(gè)條件，沒(méi)有水分，種子就不可能發(fā)芽，故此事件是不可能事件．
(4)電話總機(jī)在60秒內(nèi)接到至少15個(gè)電話，此事件可能發(fā)生，也可能不發(fā)生，故此事件是隨機(jī)事件．
(5)在標(biāo)準(zhǔn)大氣壓下，水的溫度達(dá)到100 ℃時(shí)，開(kāi)始沸騰，水溫達(dá)到50 ℃，水不會(huì)沸騰，故此事件是不可能事件．
(6)根據(jù)“同種電荷相互排斥，異種電荷相互吸引”的原理判斷，該事件是必然事件．
[歸納提升]　判斷一個(gè)事件是隨機(jī)事件、必然事件還是不可能事件，首先一定要看條件，其次是看在該條件下所研究的事件是一定發(fā)生(必然事件)、不一定發(fā)生(隨機(jī)事件)，還是一定不發(fā)生(不可能事件)．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) (1)(多選題)下列現(xiàn)象中，是隨機(jī)現(xiàn)象的有( ACD )
A．在一條公路上，交警記錄某一小時(shí)通過(guò)的汽車超過(guò)300輛
B．若a為整數(shù)，則a＋1為整數(shù)
C．發(fā)射一顆炮彈，命中目標(biāo)
D．檢查流水線上一件產(chǎn)品是合格品
(2)從100個(gè)同類產(chǎn)品(其中有2個(gè)次品)中任取3個(gè)．
①三個(gè)正品；②兩個(gè)正品，一個(gè)次品；③一個(gè)正品，兩個(gè)次品；④三個(gè)次品；⑤至少一個(gè)次品；⑥至少一個(gè)正品．其中必然事件是_⑥__，不可能事件是_④__，隨機(jī)事件是_①②③⑤__.(填序號(hào))
(3)下列事件中，不可能事件為( C )
A．鈍角三角形兩個(gè)小角之和小于90°
B．三角形中大邊對(duì)大角，大角對(duì)大邊
C．銳角三角形中兩個(gè)內(nèi)角和小于90°
D．三角形中任意兩邊的和大于第三邊
[解析]　(1)當(dāng)a為整數(shù)時(shí)，a＋1一定為整數(shù)，是必然現(xiàn)象，其余3個(gè)均為隨機(jī)現(xiàn)象．故選ACD.
(2)從100個(gè)同類產(chǎn)品(其中有2個(gè)次品)中任取3個(gè)，可能結(jié)果是“三個(gè)全是正品”“兩個(gè)正品一個(gè)次品”“一個(gè)正品兩個(gè)次品”．
(3)若兩內(nèi)角的和小于90°，則第三個(gè)內(nèi)角必大于90°，故不是銳角三角形，所以C為不可能事件，而A，B，D均為必然事件.
題型二 確定試驗(yàn)的樣本空間
典例2　下列隨機(jī)事件中，一次試驗(yàn)各指什么？試寫出試驗(yàn)的樣本空間．
(1)先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣多次；
(2)從集合A＝{a，b，c，d}中任取3個(gè)元素；
(3)從集合A＝{a，b，c，d}中任取2個(gè)元素．
[解析]　(1)一次試驗(yàn)是指“先后拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣一次”，試驗(yàn)的樣本空間為：{(正，反)，(正，正)，(反，反)，(反，正)}．
(2)一次試驗(yàn)是指“從集合A中一次選取3個(gè)元素組成集合”，試驗(yàn)的樣本空間為：{(a，b，c)，(a，b，d)，(a，c，d)，(b，c，d)}．
(3)一次試驗(yàn)是指“從集合A中一次選取2個(gè)元素”，試驗(yàn)的樣本空間為：{(a，b)，(a，c)，(a，d)，(b，c)，(b，d)，(c，d)}．
[歸納提升]　不重不漏地列舉試驗(yàn)的所有樣本點(diǎn)的方法
(1)結(jié)果是相對(duì)于條件而言的，要弄清試驗(yàn)的結(jié)果，必須首先明確試驗(yàn)中的條件．
(2)根據(jù)日常生活經(jīng)驗(yàn)，按照一定的順序列舉出所有可能的結(jié)果，可應(yīng)用畫樹狀圖、列表等方法解決．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 從含有6件次品的200件產(chǎn)品中任取7件，觀察其中次品數(shù)，寫出對(duì)應(yīng)的樣本空間，并說(shuō)出事件A＝{1,2}，B＝{0}的實(shí)際意義．
[解析]　樣本空間為Ω＝{0,1,2,3,4,5,6}，事件A＝{1,2}表示抽取的7件產(chǎn)品中，恰有一件次品或恰有兩件次品，事件B＝{0}表示抽取的7件產(chǎn)品中，沒(méi)有次品.
題型三 隨機(jī)事件的表示
典例3　一個(gè)口袋內(nèi)裝有除顏色外完全相同的5個(gè)球，其中3個(gè)白球，2個(gè)黑球，從中一次摸出2個(gè)球．
(1)一共有多少個(gè)樣本點(diǎn)？
(2)寫出“2個(gè)球都是白球”這一事件的集合表示．
[解析]　(1)分別記白球?yàn)?,2,3號(hào)，黑球?yàn)?,5號(hào)，則這個(gè)試驗(yàn)的樣本點(diǎn)為(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,5)，共10個(gè)[其中(1,2)表示摸到1號(hào)球和2號(hào)球]．
(2)記A表示“2個(gè)球都是白球”這一事件，則A＝{(1,2)，(1,3)，(2,3)}．
[歸納提升]　1.判斷隨機(jī)事件的結(jié)果是相對(duì)于條件而言的，要確定樣本空間，(1)必須明確事件發(fā)生的條件；(2)根據(jù)題意，按一定的次序列出所有樣本點(diǎn)．特別要注意結(jié)果出現(xiàn)的機(jī)會(huì)是均等的，按規(guī)律去寫，要做到既不重復(fù)也不遺漏．
2．試驗(yàn)中當(dāng)試驗(yàn)的結(jié)果不唯一時(shí)，一定要將各種可能都要考慮到，尤其是有順序和無(wú)順序的情況最易出錯(cuò)．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 做拋擲紅、藍(lán)兩枚骰子的試驗(yàn)，用(x，y)表示結(jié)果，其中x表示紅色骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)，y表示藍(lán)色骰子出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)．寫出：
(1)這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間；
(2)指出事件A＝{(1,6)，(2,5)，(3,4)，(4,3)，(5,2)，(6,1)}的含義；
(3)寫出“點(diǎn)數(shù)之和大于8”這一事件的集合表示．
[解析]　(1)這個(gè)試驗(yàn)的樣本空間Ω為{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．
(2)事件A的含義為拋擲紅、藍(lán)兩枚骰子，擲出的點(diǎn)數(shù)之和為7.
(3)記B＝“點(diǎn)數(shù)之和大于8”，則B＝{(3,6)，(4,5)，(4,6)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}．
易錯(cuò)警示
忽視試驗(yàn)結(jié)果與順序的關(guān)系而致誤
典例4　已知集合M＝{－2,3}，N＝{－4,5,6}，從這兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)．
(1)寫出這個(gè)試驗(yàn)的基本事件空間；
(2)求這個(gè)試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)．
[錯(cuò)解]　(1)這個(gè)試驗(yàn)的基本事件空間Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)，(－2,6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)}．
(2)這個(gè)試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)是6.
[錯(cuò)因分析]　題中要求從兩個(gè)集合中各取一個(gè)元素分別作為點(diǎn)的橫、縱坐標(biāo)，所以集合N中的元素也可以作為橫坐標(biāo)，錯(cuò)解中少了以下基本事件：(－4，－2)，(－4,3)，(5，－2)，(5,3)，(6，－2)，(6,3)．
[正解]　(1)這個(gè)試驗(yàn)的基本事件空間Ω＝{(－2，－4)，(－2,5)，(－2,6)，(3，－4)，(3,5)，(3,6)，(－4，－2)，(－4,3)，(5，－2)，(5,3)，(6，－2)，(6,3)}．
(2)這個(gè)試驗(yàn)的基本事件的總數(shù)是12.
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 同時(shí)拋擲兩枚大小相同的骰子，用(x，y)表示結(jié)果，記A為“所得點(diǎn)數(shù)之和小于5”，則事件A包含的樣本點(diǎn)的個(gè)數(shù)是( D )
A．3 B．4
C．5 D．6
[解析]　(1,1)，(1,2)，(1,3)，(2,1)，(2,2)，(3,1)，共6個(gè)樣本點(diǎn)．
1．給出下列事件：①任取一個(gè)整數(shù)，能被2整除；②小明同學(xué)在某次數(shù)學(xué)測(cè)試中成績(jī)一定不低于120分；③甲、乙兩人進(jìn)行競(jìng)技比賽，甲的實(shí)力遠(yuǎn)勝于乙，在一次比賽中甲獲勝；④當(dāng)圓的半徑變?yōu)樵瓉?lái)的2倍時(shí)，圓的面積是原來(lái)的4倍，其中隨機(jī)事件的個(gè)數(shù)是( B )
A．1 B．3
C．0 D．4
[解析]　①②③為隨機(jī)事件，④為必然事件．
2．一個(gè)家庭有兩個(gè)小孩兒，則可能的結(jié)果為( C )
A．{(男，女)，(男，男)，(女，女)}
B．{(男，女)，(女，男)}
C．{(男，男)，(男，女)，(女，男)，(女，女)}
D．{(男，男)，(女，女)}
[解析]　隨機(jī)試驗(yàn)的所有結(jié)果要保證等可能性．兩個(gè)小孩兒有大小之分，所以(男，女)與(女，男)是不同的樣本點(diǎn)．
3．一個(gè)不透明的袋子中裝有5個(gè)黑球和3個(gè)白球，這些球的大小、質(zhì)地完全相同，隨機(jī)從袋子中摸出4個(gè)球，則下列事件是必然事件的是( B )
A．摸出的4個(gè)球中至少有一個(gè)是白球
B．摸出的4個(gè)球中至少有一個(gè)是黑球
C．摸出的4個(gè)球中至少有兩個(gè)是黑球
D．摸出的4個(gè)球中至少有兩個(gè)是白球
[解析]　因?yàn)榇杏写笮　①|(zhì)地完全相同的5個(gè)黑球和3個(gè)白球，
所以從中任取4個(gè)球共有：3白1黑，2白2黑，1白3黑，4黑四種情況．故事件“摸出的4個(gè)球中至少有一個(gè)是白球”是隨機(jī)事件，故A錯(cuò)誤；事件“摸出的4個(gè)球中至少有一個(gè)是黑球”是必然事件，故B正確；事件“摸出的4個(gè)球中至少有兩個(gè)是黑球”是隨機(jī)事件，故C錯(cuò)誤；事件“摸出的4個(gè)球中至少有兩個(gè)是白球”是隨機(jī)事件，故D錯(cuò)誤．
故選B.
4．已知集合A＝{－9，－7，－5，－3，－1,0,2,4,6,8}，從集合A中選取不相同的兩個(gè)數(shù)，構(gòu)成平面直角坐標(biāo)系上的點(diǎn)，觀察點(diǎn)的位置，則事件“點(diǎn)落在x軸上”包含的樣本點(diǎn)共有( C )
A．7個(gè) B．8個(gè)
C．9個(gè) D．10個(gè)
[解析]　點(diǎn)落在x軸上所包含的樣本點(diǎn)為(－9,0)，(－7,0)，(－5,0)，(－3,0)，(－1,0)，(2,0)，(4,0)，(6,0)，(8,0)，共9個(gè)．
5．(1)“某人投籃3次，其中投中4次”是_不可能__事件；
(2)“拋擲一枚硬幣，落地時(shí)正面朝上”是_隨機(jī)__事件；
(3)“拋起一枚正方形骰子，得到點(diǎn)數(shù)不會(huì)小于1”是_必然__事件．
[解析]　(1)共投籃3次，不可能投中4次，投中4次是一個(gè)不可能事件．(2)硬幣落地時(shí)正面和反面朝上都有可能，是一個(gè)隨機(jī)事件．(3)拋一枚骰子，得到點(diǎn)數(shù)不會(huì)小于1，是一個(gè)必然事件．10.1.2　事件的關(guān)系和運(yùn)算
課標(biāo)要求
了解隨機(jī)事件的并、交與互斥的含義，會(huì)進(jìn)行簡(jiǎn)單的隨機(jī)事件的運(yùn)算．
素養(yǎng)要求
通過(guò)相關(guān)概念的學(xué)習(xí)及對(duì)簡(jiǎn)單隨機(jī)事件的運(yùn)算，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象與數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
知識(shí)點(diǎn) 1　事件的運(yùn)算
定義 表示法 圖示
并事件 _事件A與事件B至少有一個(gè)發(fā)生__，稱這個(gè)事件為事件A與事件B的并事件(或和事件) _A∪B__(或　_A＋B__)
交事件 _事件A與事件B同時(shí)發(fā)生__，稱這樣一個(gè)事件為事件A與事件B的交事件(或積事件) _A∩B__(或_AB__)
知識(shí)點(diǎn) 2　事件的關(guān)系
定義 表示法 圖示
包含關(guān)系 若事件A發(fā)生，事件B_一定發(fā)生__，稱事件B包含事件A(或事件A包含于事件B) _B A__(或　_A B__)
互斥事件 如果事件A與事件B_不能同時(shí)發(fā)生__，稱事件A與事件B互斥(且互不相容) 若_A∩B＝ __，則A與B互斥
對(duì)立事件 如果事件A和事件B在任何一次試驗(yàn)中　_有且僅有一個(gè)發(fā)生__，稱事件A與事件B互為對(duì)立，事件A的對(duì)立事件記為 若_A∩B＝ __，且A∪B＝Ω，則A與B對(duì)立
[拓展]　1.互斥事件與對(duì)立事件的區(qū)別與聯(lián)系
(1)區(qū)別：兩個(gè)事件A與B是互斥事件，包括如下三種情況：①若事件A發(fā)生，則事件B就不發(fā)生；②若事件B發(fā)生，則事件A就不發(fā)生；③事件A，B都不發(fā)生．
而兩個(gè)事件A，B是對(duì)立事件，僅有前兩種情況，因此事件A與B是對(duì)立事件，則A∪B是必然事件，但若A與B是互斥事件，則A∪B不一定是必然事件，即事件A的對(duì)立事件只有一個(gè)，而事件A的互斥事件可以有多個(gè)．
(2)聯(lián)系：互斥事件和對(duì)立事件在一次試驗(yàn)中都不可能同時(shí)發(fā)生，而事件對(duì)立是互斥的特殊情況，即對(duì)立必互斥，但互斥不一定對(duì)立．
2．從集合的角度理解互斥事件與對(duì)立事件
(1)幾個(gè)事件彼此互斥，是指由各個(gè)事件所含的結(jié)果組成的集合的交集為空集．
(2)事件A的對(duì)立事件所含的結(jié)果組成的集合，是全集中由事件A所含的結(jié)果組成的集合的補(bǔ)集．
練一練：
1．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件A＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于3}，B＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}，則事件A與事件B的關(guān)系是( B )
A．A B
B．A∩B＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2}
C．事件A與B互斥
D．事件A與B是對(duì)立事件
[解析]　由題意事件A表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是1或2或3；事件B表示出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)是2或4或6.故A∩B＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為2}．
2．一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至少有一次中靶”的互斥事件是( D )
A．至多有一次中靶 B．兩次都中靶
C．只有一次中靶 D．兩次都不中靶
[解析]　事件“至少有一次中靶”包括“中靶一次”和“中靶兩次”兩種情況．由互斥事件的定義，可知“兩次都不中靶”與之互斥．
題型探究
題型一 互斥事件、對(duì)立事件的判定
典例1　從40張撲克牌(紅桃、黑桃、方塊、梅花，點(diǎn)數(shù)從1～10各10張)中，任取一張．
(1)“抽出紅桃”與“抽出黑桃”；
(2)“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”；
(3)“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”．
判斷上面給出的每對(duì)事件是否為互斥事件，是否為對(duì)立事件，并說(shuō)明理由．
[解析]　(1)是互斥事件，不是對(duì)立事件．
理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出紅桃”和“抽出黑桃”是不可能同時(shí)發(fā)生的，所以是互斥事件．同時(shí)，不能保證其中必有一個(gè)發(fā)生，這是由于還可能抽出“方塊”或者“梅花”，因此，二者不是對(duì)立事件．
(2)既是互斥事件，又是對(duì)立事件．
理由是：從40張撲克牌中，任意抽取1張，“抽出紅色牌”與“抽出黑色牌”，兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，但其中必有一個(gè)發(fā)生，所以它們既是互斥事件，又是對(duì)立事件．
(3)不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對(duì)立事件．
理由是：從40張撲克牌中任意抽取1張，“抽出的牌點(diǎn)數(shù)為5的倍數(shù)”與“抽出的牌點(diǎn)數(shù)大于9”這兩個(gè)事件可能同時(shí)發(fā)生，如抽得牌點(diǎn)數(shù)為10，因此，二者不是互斥事件，當(dāng)然不可能是對(duì)立事件．
[歸納提升]　辨析互斥事件與對(duì)立事件的思路
辨析互斥事件與對(duì)立事件，可以從以下幾個(gè)方面入手：
(1)從發(fā)生的角度看
①在一次試驗(yàn)中，兩個(gè)互斥事件有可能都不發(fā)生，也可能有一個(gè)發(fā)生，但不可能同時(shí)發(fā)生；
②兩個(gè)對(duì)立事件必有一個(gè)發(fā)生，但不可能同時(shí)發(fā)生．即兩事件對(duì)立，必定互斥，但兩事件互斥，未必對(duì)立．對(duì)立事件是互斥事件的一個(gè)特例．
(2)從事件個(gè)數(shù)的角度看
互斥的概念適用于兩個(gè)或多個(gè)事件，但對(duì)立的概念只適用于兩個(gè)事件．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) (1)一個(gè)人打靶時(shí)連續(xù)射擊兩次，事件“至多有一次中靶”的互斥事件是( A )
A．兩次都中靶 B．至少有一次中靶
C．兩次都不中靶 D．只有一次中靶
(2)一個(gè)人連續(xù)射擊三次，則事件“至少擊中兩次”的對(duì)立事件是( D )
A．恰有一次擊中 B．三次都沒(méi)擊中
C．三次都擊中 D．至多擊中一次
[解析]　(1)事件“至多有一次中靶”包含“只有一次中靶”和“兩次都不中靶”，因此不會(huì)與其同時(shí)發(fā)生的事件是“兩次都中靶”．
(2)根據(jù)題意，一個(gè)人連續(xù)射擊三次，事件“至少擊中兩次”包括“擊中兩次”和“擊中三次”兩個(gè)事件，其對(duì)立事件為“一次都沒(méi)有擊中和擊中一次”，即“至多擊中一次”.
題型二 事件的運(yùn)算
典例2　在擲骰子的試驗(yàn)中，可以定義許多事件．例如，事件C1＝{出現(xiàn)1點(diǎn)}，事件C2＝{出現(xiàn)2點(diǎn)}，事件C3＝{出現(xiàn)3點(diǎn)}，事件C4＝{出現(xiàn)4點(diǎn)}，事件C5＝{出現(xiàn)5點(diǎn)}，事件C6＝{出現(xiàn)6點(diǎn)}，事件D1＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)不大于1}，事件D2＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}，事件D3＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于5}，事件E＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)小于7}，事件F＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)}，事件G＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)}，請(qǐng)根據(jù)上述定義的事件，回答下列問(wèn)題：
(1)請(qǐng)舉出符合包含關(guān)系、相等關(guān)系的事件；
(2)利用和事件的定義，判斷上述哪些事件是和事件．
[解析]　(1)因?yàn)槭录﨏1，C2，C3，C4發(fā)生，則事件D3必發(fā)生，所以C1 D3，C2 D3，C3 D3，C4 D3.
同理可得，事件E包含事件C1，C2，C3，C4，C5，C6；事件D2包含事件C4，C5，C6；事件F包含事件C2，C4，C6；事件G包含事件C1，C3，C5.
且易知事件C1與事件D1相等，
即C1＝D1.
(2)因?yàn)槭录﨑2＝{出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)大于3}＝{出現(xiàn)4點(diǎn)或出現(xiàn)5點(diǎn)或出現(xiàn)6點(diǎn)}，
所以D2＝C4∪C5∪C6(或D2＝C4＋C5＋C6)．
同理可得，D3＝C1＋C2＋C3＋C4，E＝C1＋C2＋C3＋C4＋C5＋C6，F(xiàn)＝C2＋C4＋C6，G＝C1＋C3＋C5.
[歸納提升]　事件運(yùn)算應(yīng)注意的2個(gè)問(wèn)題
(1)進(jìn)行事件的運(yùn)算時(shí)，一是要緊扣運(yùn)算的定義，二是要全面考查同一條件下的試驗(yàn)可能出現(xiàn)的全部結(jié)果，必要時(shí)可利用Venn圖或列出全部的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析．
(2)在一些比較簡(jiǎn)單的題目中，需要判斷事件之間的關(guān)系時(shí)，可以根據(jù)常識(shí)來(lái)判斷．但如果遇到比較復(fù)雜的題目，就得嚴(yán)格按照事件之間關(guān)系的定義來(lái)推理．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 在試驗(yàn)“連續(xù)拋擲一枚均勻的骰子2次，觀察每次出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)”中，事件A表示隨機(jī)事件“第一次擲出1點(diǎn)”；事件Aj表示隨機(jī)事件“第一次擲出1點(diǎn)，第二次擲出j點(diǎn)”；事件B表示隨機(jī)事件“2次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為6”；事件C表示隨機(jī)事件“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)比第一次的大3”．
(1)試用樣本點(diǎn)表示事件A∩B與A∪B；
(2)試判斷事件A與B，A與C，B與C是否為互斥事件；
(3)試用事件Aj表示隨機(jī)事件A.
[解析]　依題意可知樣本空間為
Ω＝
(1)因?yàn)槭录嗀表示隨機(jī)事件“第一次擲出1點(diǎn)”，所以A＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)}．因?yàn)槭录﨎表示隨機(jī)事件“2次擲出的點(diǎn)數(shù)之和為6”，所以B＝{(1,5)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)}．
所以A∩B＝{(1,5)}，A∪B＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,4)，(3,3)，(4,2)，(5,1)} .
(2)因?yàn)槭录﨏表示隨機(jī)事件“第二次擲出的點(diǎn)數(shù)比第一次的大3”，所以C＝{(1,4)，(2,5)，(3,6)}．
因?yàn)锳∩B＝{(1,5)}≠ ，A∩C＝{(1,4)}≠ ，B∩C＝ ，所以事件A與事件B，事件A與事件C不是互斥事件，事件B與事件C是互斥事件．
(3)因?yàn)槭录嗀j表示隨機(jī)事件“第一次擲出1點(diǎn)，第二次擲出j點(diǎn)”，所以A1＝{(1,1)}，A2＝{(1,2)}，A3＝{(1,3)}，A4＝{(1,4)}，A5＝{(1,5)}，A6＝{(1,6)}，所以A＝A1∪A2∪A3∪A4∪A5∪A6.
題型三 用集合運(yùn)算表示隨機(jī)事件
典例3　設(shè)A，B，C表示三個(gè)隨機(jī)事件，試將下列事件用A，B，C表示出來(lái)．
(1)三個(gè)事件都發(fā)生；
(2)三個(gè)事件至少有一個(gè)發(fā)生；
(3)A發(fā)生，B，C不發(fā)生；
(4)A，B都發(fā)生，C不發(fā)生；
(5)A，B至少有一個(gè)發(fā)生，C不發(fā)生；
(6)A，B，C中恰好有兩個(gè)發(fā)生．
[解析]　(1)ABC　(2)A∪B∪C
(3)A　(4)AB　(5)(A∪B)
(6)AB∪AC∪BC
[歸納提升]　利用隨機(jī)事件的運(yùn)算與集合運(yùn)算的對(duì)應(yīng)關(guān)系，可以有效地解決此類問(wèn)題．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 從某大學(xué)數(shù)學(xué)系圖書室中任選一本書．設(shè)A表示事件“任選一本書，這本書為數(shù)學(xué)書”；B表示事件“任選一本書，這本書為中文版的書”；C表示事件“任選一本書，這本書為2000年后出版的書”．問(wèn)：
(1)AB表示什么事件？
(2)在什么條件下有ABC＝A
(3) B表示什么意思？
[解析]　(1)AB表示事件“任選一本書，這本書為2000年或2000年前出版的中文版的數(shù)學(xué)書”．
(2)在“圖書室中所有數(shù)學(xué)書都是2000年后出版的且為中文版”的條件下才有ABC＝A.
(3) B表示2000年或2000年前出版的書全是中文版的．
易錯(cuò)警示
不能正確區(qū)分對(duì)立事件和互斥事件致錯(cuò)
典例4　進(jìn)行拋擲一枚骰子的試驗(yàn)，有下列各組事件：
(1)“出現(xiàn)1點(diǎn)”與“出現(xiàn)2點(diǎn)”；
(2)“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”；
(3)“出現(xiàn)大于3的點(diǎn)”與“出現(xiàn)大于4的點(diǎn)”．
其中是對(duì)立事件的組數(shù)是( B )
A．0 B．1
C．2 D．3
[錯(cuò)解]　C
[錯(cuò)因分析]　錯(cuò)解混淆了互斥事件與對(duì)立事件，誤將互斥事件當(dāng)作了對(duì)立事件．只有(2)“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”是對(duì)立事件，而(1)中“出現(xiàn)1點(diǎn)”與“出現(xiàn)2點(diǎn)”是互斥事件，但不是對(duì)立事件，(3)中“出現(xiàn)大于3的點(diǎn)”與“出現(xiàn)大于4的點(diǎn)”不是互斥事件，所以也不是對(duì)立事件．
[正解]　B
[誤區(qū)警示]　對(duì)立事件一定是互斥事件，而互斥事件卻不一定是對(duì)立事件．忽略互斥事件與對(duì)立事件之間的區(qū)別與聯(lián)系，對(duì)“恰”“至少”“都”等詞語(yǔ)理解不透徹．判斷兩個(gè)事件是否互斥，就要看它們是否能同時(shí)發(fā)生；判斷兩個(gè)互斥事件是否對(duì)立，就要看它們是否有一個(gè)必然發(fā)生．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) (2023·廣東省茂名市期末)若干人站成一排，其中為互斥事件的是( A )
A．“甲站排頭”與“乙站排頭”
B．“甲站排頭”與“乙站排尾”
C．“甲站排頭”與“乙不站排頭”
D．“甲不站排頭”與“乙不站排頭”
[解析]　根據(jù)互斥事件不能同時(shí)發(fā)生，判斷A是互斥事件；B，C，D中兩事件能同時(shí)發(fā)生，故不是互斥事件．
1．?dāng)S一枚質(zhì)地均勻的骰子，下列事件具有包含關(guān)系的是( C )
A．“出現(xiàn)小于2點(diǎn)”與“出現(xiàn)大于2點(diǎn)”
B．“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”與“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”
C．“出現(xiàn)2點(diǎn)”與“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”
D．“出現(xiàn)小于4點(diǎn)”與“出現(xiàn)大于2點(diǎn)”
[解析]　出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)，即出現(xiàn)2點(diǎn)、4點(diǎn)或6點(diǎn)，與出現(xiàn)2點(diǎn)是包含關(guān)系．
2．給出事件A與B的關(guān)系示意圖，如圖所示，則( C )
A．A B B．A B
C．A與B互斥 D．A與B互為對(duì)立事件
3．已知A、B為兩個(gè)隨機(jī)事件，則“A、B為互斥事件”是“A、B為對(duì)立事件”的( B )
A．充分非必要條件
B．必要非充分條件
C．充要條件
D．非充分非必要條件
[解析]　根據(jù)互斥事件和對(duì)立事件的概念可知，互斥不一定對(duì)立，對(duì)立一定互斥，所以“ A、B為互斥事件”是“ A、B 為對(duì)立事件”的必要非充分條件．故選B.
4．設(shè)M，N，P是三個(gè)事件，則M，N至少有一個(gè)不發(fā)生且P發(fā)生可表示為( A )
A．(∪)P B．()P
C．(∪)∪P D．(N)∪(M)
5．盒子里有6個(gè)紅球，4個(gè)白球，現(xiàn)從中任取3個(gè)球，設(shè)事件A＝{3個(gè)球中有1個(gè)紅球2個(gè)白球}，事件B＝{3個(gè)球中有2個(gè)紅球1個(gè)白球}，事件C＝{3個(gè)球中至少有1個(gè)紅球}，事件D＝{3個(gè)球中既有紅球又有白球}，事件E＝{3個(gè)球都是紅球}，事件F＝{3個(gè)球中至少有一個(gè)白球}．
(1)事件D與A，B是什么樣的運(yùn)算關(guān)系？
(2)事件C與A的交事件是什么事件？
(3)事件C與A、B、E是什么運(yùn)算關(guān)系？C與F的交事件是什么？
[解析]　(1)對(duì)于事件D，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球2個(gè)白球或2個(gè)紅球1個(gè)白球，故D＝A∪B.
(2)對(duì)于事件C，可能的結(jié)果為1個(gè)紅球2個(gè)白球或2個(gè)紅球1個(gè)白球或3個(gè)均為紅球，故C∩A＝A.
(3)由事件C包括的可能結(jié)果有1個(gè)紅球2個(gè)白球，2個(gè)紅球1個(gè)白球，3個(gè)紅球三種情況，故A C，B C，E C，而事件F包括的可能結(jié)果有1個(gè)白球2個(gè)紅球，2個(gè)白球1個(gè)紅球，3個(gè)白球，所以C∩F＝{1個(gè)紅球2個(gè)白球，2個(gè)紅球1個(gè)白球}＝D.10.1.3　古典概型
課標(biāo)要求
理解古典概型，能運(yùn)用古典概型計(jì)算概率．能在實(shí)際問(wèn)題中建立古典概型模型．
素養(yǎng)要求
通過(guò)具體實(shí)例的探究理解古典概型，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
知識(shí)點(diǎn) 1　事件的概率
對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生_可能性大小__的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用_P(A)__表示．
知識(shí)點(diǎn) 2　古典概型
一般地，若試驗(yàn)E具有以下特征：
(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有_有限個(gè)__；
(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性_相等__.
稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為_(kāi)古典概率__模型，簡(jiǎn)稱_古典概型__.
知識(shí)點(diǎn) 3　古典概型的概率公式
一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率P(A)＝ 　＝ 　.
[拓展]　(1)隨機(jī)試驗(yàn)E中的樣本點(diǎn)
①任何兩個(gè)樣本點(diǎn)都是互斥的；
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成某些樣本點(diǎn)的和．
(2)求解古典概型問(wèn)題的一般思路
①明確試驗(yàn)的條件及要觀察的結(jié)果，用適當(dāng)?shù)姆?hào)(字母、數(shù)字、數(shù)組等)表示試驗(yàn)的樣本點(diǎn)(借助圖表可以幫助我們不重不漏地列出所有樣本點(diǎn))；
②根據(jù)實(shí)際問(wèn)題情景判斷樣本點(diǎn)的等可能性；
③計(jì)算樣本點(diǎn)總個(gè)數(shù)及事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，求出事件A的概率．
練一練：
1．袋中裝有紅白球各一個(gè)，每次任取一個(gè)，有放回地抽取三次，所有的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)是_8__.
[解析]　從裝有紅白兩球的袋中有放回的取出，所有取法有：
共8個(gè)樣本點(diǎn)．
2．從1,2,3中任取兩個(gè)數(shù)字，設(shè)取出的數(shù)字含有2為事件A，則P(A)＝ 　.
[解析]　從1,2,3中任取兩個(gè)數(shù)字，所有可能的結(jié)果有：(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3個(gè)，其中含有2的結(jié)果有2個(gè)，故P(A)＝.
題型探究
題型一 古典概型的判斷
典例1　下列試驗(yàn)是古典概型的是_①②④__.
①?gòu)?名同學(xué)中選出4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每人被選中的可能性大小；
②同時(shí)擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)和為6的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率．
[分析]　緊扣古典概型的兩大特征——有限性與等可能性進(jìn)行判斷．
[解析]　①②④是古典概型，因?yàn)榉瞎诺涓判偷奶卣鳎鄄皇枪诺涓判停驗(yàn)椴环系瓤赡苄裕涤晔芏喾矫嬉蛩赜绊懀?br/>[歸納提升]　判斷試驗(yàn)是不是古典概型，關(guān)鍵看是否符合兩大特征——有限性和等可能性．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 下列是古典概型的是( C )
A．任意擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和作為基本事件時(shí)
B．求任意的一個(gè)正整數(shù)平方的個(gè)位數(shù)字是1的概率，將取出的正整數(shù)作為基本事件時(shí)
C．從甲地到乙地共n條路線，求某人正好選中最短路線的概率
D．拋擲一枚均勻硬幣首次出現(xiàn)正面為止
[解析]　A項(xiàng)中由于點(diǎn)數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等，故A不是；B項(xiàng)中的基本事件是無(wú)限的，故B不是；C項(xiàng)滿足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D項(xiàng)中基本事件可能會(huì)無(wú)限個(gè)，故D不是.
題型二 古典概型的概率計(jì)算
典例2　(2023·福建省泉州市期末)將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，事件A：“兩數(shù)之和為8”，事件B：“兩數(shù)之和是奇數(shù)”，事件C：“兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”．
(1)寫出該試驗(yàn)的樣本空間Ω，并求事件A發(fā)生的概率；
(2)求事件B發(fā)生的概率；
(3)事件A 與事件C至少有一個(gè)發(fā)生的概率．
[解析]　(1)將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，
Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共包含36個(gè)樣本點(diǎn)，
事件A：“兩數(shù)之和為8”，如圖1所示，A＝{(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)}，A包含5個(gè)樣本點(diǎn)，
圖1
∴事件A發(fā)生的概率為P(A)＝.
(2)事件B：“兩數(shù)之和是奇數(shù)”，如圖2所示，B＝{(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)，}
圖2
∴事件B發(fā)生的概率P(B)＝＝.
(3)事件C：“兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，C＝{(2,2)，(2,4)，(2,6)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(6,2)，(6,4)，(6,6)}，事件A與事件C至少有一個(gè)發(fā)生包含的樣本點(diǎn)有11個(gè)，如圖3所示，即A＋C＝{(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,3)，(6,2)，(6,4)，(6,6)}，
圖3
∴事件A與事件C至少有一個(gè)發(fā)生的概率為P(A＋C)＝.
[歸納提升]　1.將所有的樣本點(diǎn)用有序?qū)崝?shù)組一一列舉出來(lái)，此時(shí)有幾粒骰子每個(gè)實(shí)數(shù)組中就包含幾個(gè)數(shù)．
2．對(duì)于拋擲兩粒均勻的骰子的試驗(yàn)，樣本點(diǎn)(共36個(gè))可以用列表法或坐標(biāo)系法(x軸、y軸分別表示拋擲兩粒骰子的結(jié)果)表示出來(lái)．這兩種方法在求向上的點(diǎn)數(shù)之和(或差)的概率時(shí)很方便．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 某旅游愛(ài)好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國(guó)家A1，A2，A3和3個(gè)歐洲國(guó)家B1，B2，B3中選擇2個(gè)國(guó)家去旅游．
(1)若從這6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè)，求這2個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的概率；
(2)若從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選1個(gè)，求這2個(gè)國(guó)家包括A1但不包括B1的概率．
[解析]　(1)由題意知，從6個(gè)國(guó)家中任選兩個(gè)國(guó)家，其一切可能的結(jié)果組成的樣本點(diǎn)有：
{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共15個(gè)．
所選兩個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的事件所包含的樣本點(diǎn)有：
{(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)}，共3個(gè)，
則所求事件的概率為P＝＝.
(2)從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選一個(gè)，其一切可能的結(jié)果組成的樣本點(diǎn)有：
{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)}，共9個(gè)．
包括A1但不包括B1的事件所包含的樣本點(diǎn)有：
{(A1，B2)，(A1，B3)}，共2個(gè)，則所求事件的概率為P＝.
題型三 古典概型中的無(wú)放回抽取、有放回抽取和同時(shí)抽取的概率
典例3　口袋內(nèi)有紅、白、黃大小完全相同的三個(gè)小球，求：
(1)從中任意摸出兩個(gè)小球，摸出的是紅球和白球的概率；
(2)從袋中摸出一個(gè)后放回，再摸出一個(gè)，兩次摸出的球是一紅一白的概率．
[解析]　(1)任意摸出兩個(gè)小球的樣本空間為{(紅，白)，(紅，黃)，(白，黃)}，所以摸出的是紅球和白球的概率為.
(2)樣本空間為{(紅，紅)，(紅，白)，(紅，黃)，(白，白)，(白，紅)，(白，黃)，(黃，紅)，(黃，白)，(黃，黃)}，而事件“摸出一紅一白” 包括(紅，白)，(白，紅)2個(gè)樣本點(diǎn)，所以兩次摸出的球是一紅一白的概率是.
[歸納提升]　無(wú)放回抽取、有放回抽取和同時(shí)抽取的概率
1．“有放回抽取”和“無(wú)放回抽取”的概率求解問(wèn)題是初學(xué)者特別容易出錯(cuò)的，而且也是特別經(jīng)典的題型，學(xué)習(xí)時(shí)要注意區(qū)分是“有放回抽取”還是“無(wú)放回抽取”．“有放回”是指抽取物體時(shí)，每次抽取之后，都把抽取的物體放回原處，這樣前后兩次抽取時(shí)，被抽取的物體的總數(shù)是一樣的．“無(wú)放回”是指抽取物體時(shí)，在每一次抽取后，把抽取的物體放到一邊，并不放回原處，這樣，前后兩次抽取時(shí)，后一次被抽取的物體總數(shù)較前一次被抽取的物體總數(shù)少．
2．有放回抽取和無(wú)放回抽取的區(qū)別在于，同一件物品“有放回抽取”可能被抽到兩次，而“無(wú)放回抽取”最多被抽到一次．這正是“有放回抽取”的樣本空間包含的樣本點(diǎn)數(shù)量比“無(wú)放回抽取”樣本空間包含的樣本點(diǎn)數(shù)量多的原因．
3．同時(shí)抽取的實(shí)質(zhì)是把不同性質(zhì)的兩(多)組元素混合在一起抽取，沒(méi)有先后順序，只考慮配對(duì)，所以對(duì)應(yīng)樣本空間包含的樣本點(diǎn)數(shù)量一般要比“逐個(gè)不放回抽取”對(duì)應(yīng)的樣本空間包含的樣本點(diǎn)數(shù)量要少．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀、大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1,2,3,4.
(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率；
(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m，將球放回袋中，然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n，求n[解析]　(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6個(gè)，從袋中取出的兩個(gè)球的編號(hào)之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2個(gè)，因此所求事件的概率為P＝＝.
(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為m，放回后，再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為n，其一切可能的結(jié)果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個(gè)．
又滿足條件n易錯(cuò)警示
對(duì)“有序”與“無(wú)序”判斷不準(zhǔn)而致錯(cuò)
典例4　甲、乙兩人參加普法知識(shí)競(jìng)賽，共有5道不同的題目，其中3道選擇題，2道填空題，甲、乙兩人依次抽取1道題．求甲抽到選擇題、乙抽到填空題的概率．
[錯(cuò)解]　因?yàn)橥ㄟ^(guò)列舉法可得甲抽到選擇題、乙抽到填空題的可能結(jié)果有6個(gè)，且甲、乙兩人依次抽取1道題的可能結(jié)果有10個(gè)，所以甲抽到選擇題、乙抽到填空題的概率為＝.
[錯(cuò)因分析]　錯(cuò)解中忽略了甲、乙兩人依次抽取1道題與順序有關(guān)，甲從5道題中任抽1道題有5種方法，乙從剩下的4道題中任抽1道題有4種方法，所以基本事件總數(shù)應(yīng)為20.
[正解]　因?yàn)橥ㄟ^(guò)列舉法可得甲抽到選擇題、乙抽到填空題的可能結(jié)果有6個(gè)，而甲、乙兩人依次抽取1道題的可能結(jié)果有20個(gè)，所以甲抽到選擇題、乙抽到填空題的概率為＝.
[誤區(qū)警示]　在計(jì)算基本事件的總數(shù)時(shí)，若分不清“有序”和“無(wú)序”，將會(huì)出現(xiàn)“重算”或“漏算”的錯(cuò)誤．突破這一思維障礙的方法是交換次序，看是否對(duì)結(jié)果造成影響，有影響是“有序”，無(wú)影響是“無(wú)序”．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 小李在做一份調(diào)查問(wèn)卷，共有5道題，其中有兩種題型，一種是選擇題，共3道，另一種是填空題，共2道．
(1)小李從中任選2道題解答，每一次選1題(不放回)，求所選的題不是同一種題型的概率；
(2)小李從中任選2道題解答，每一次選1題(有放回)，求所選的題不是同一種題型的概率．
[解析]　將3道選擇題依次編號(hào)為1,2,3；2道填空題依次編號(hào)為4,5.
(1)從5道題中任選2道題解答，每一次選1題(不放回)，則樣本空間Ω1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，共20個(gè)樣本點(diǎn)，而且這些樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性是相等的．
設(shè)事件A＝“所選的題不是同一種題型”，則事件A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}，共12個(gè)樣本點(diǎn)，所以P(A)＝＝0.6.
(2)從5道題中任選2道題解答，每一次選1題(有放回)，則樣本空間Ω2＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，共25個(gè)樣本點(diǎn)，而且這些樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性是相等的．
設(shè)事件B＝“所選的題不是同一種題型”，由(1)知所選題不是同一種題型的樣本點(diǎn)共12個(gè)，所以P(B)＝＝0.48.
1．下列試驗(yàn)中是古典概型的是( B )
A．在適宜的條件下，種下一粒大豆，觀察它是否發(fā)芽
B．口袋里有2個(gè)白球和2個(gè)黑球，這4個(gè)球除顏色外完全相同，從中任取一球
C．向一個(gè)圓面內(nèi)隨機(jī)地投一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)落在圓內(nèi)任意一點(diǎn)都是等可能的
D．射擊運(yùn)動(dòng)員向一靶心進(jìn)行射擊，試驗(yàn)結(jié)果為命中10環(huán)，命中9環(huán)，…，命中0環(huán)
[解析]　根據(jù)古典概型的特點(diǎn)，A項(xiàng)中，種子發(fā)芽與否的概率不相等；B項(xiàng)中，摸到每個(gè)球的概率相等，且只有4球；C項(xiàng)中，點(diǎn)落在圓內(nèi)的結(jié)果數(shù)量是無(wú)限的；D項(xiàng)中，射擊命中環(huán)數(shù)的概率也不一定相等．故只有B項(xiàng)是古典概型．
2．某小組有三名男生和兩名女生，從中任選兩名去參加比賽，則參加比賽的都是女生的概率為( A )
A. B．
C． D．
[解析]　依題意記三名男生分別為a、b、c，兩名女生分別為A、B，
從中任意選兩名同學(xué)有ab、ac、aA、aB、bc、bA、bB、cA、cB、AB，共10種情況，
其中都是女生的只有AB這1種情況，
故參加比賽的都是女生的概率P＝.故選A.
3．某小說(shuō)有三冊(cè)，任意排放在書架的同一層上，則各冊(cè)從左到右或從右到左恰好為第1,2,3冊(cè)的樣本點(diǎn)有( B )
A．1個(gè) B．2個(gè)
C．3個(gè) D．4個(gè)
[解析]　所有基本事件是123,132,213,231,312,321共6個(gè)，其中恰好為1,2,3的為123,321共2個(gè)．
4．某學(xué)校食堂推出兩款優(yōu)惠套餐，若甲、乙、丙三位同學(xué)選擇每款套餐的可能性相同，則三位同學(xué)選擇同一款套餐的概率為 　.
[解析]　設(shè)兩款優(yōu)惠套餐分別為A，B，列舉所有可能結(jié)果如圖所示．
由圖可知，共有8種等可能的結(jié)果，其中甲、乙、丙三位同學(xué)選擇同一款套餐包含2種結(jié)果，故所求概率為＝.
5．拋擲兩枚骰子，求：
(1)點(diǎn)數(shù)之和為4的倍數(shù)的概率；
(2)點(diǎn)數(shù)之和大于5而小于10的概率；
(3)同時(shí)拋兩枚骰子，求至少有一個(gè)5點(diǎn)或者6點(diǎn)的概率．
[解析]　將點(diǎn)數(shù)之和列表如下：
從表中易看出基本事件總數(shù)為36種
(1)記“點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)”為事件A，從圖中看出事件A包含的基本事件共9個(gè)，故P(A)＝＝.
(2)記“點(diǎn)數(shù)之和大于5小于10”為事件B，從圖中看出事件B包含的基本事件共20個(gè)，故P(B)＝＝.
(3)同時(shí)拋出兩個(gè)骰子，按(第一個(gè)的點(diǎn)數(shù)，第二個(gè)的點(diǎn)數(shù))，列出所有基本事件(仿(1))可得基本事件有36個(gè)，其中至少有一個(gè)5點(diǎn)或6點(diǎn)的事件為事件C，C含有20個(gè)基本事件，所以概率為P(C)＝＝.10.1.3　古典概型
課標(biāo)要求
理解古典概型，能運(yùn)用古典概型計(jì)算概率．能在實(shí)際問(wèn)題中建立古典概型模型．
素養(yǎng)要求
通過(guò)具體實(shí)例的探究理解古典概型，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
知識(shí)點(diǎn) 1　事件的概率
對(duì)隨機(jī)事件發(fā)生_可能性大小__的度量(數(shù)值)稱為事件的概率，事件A的概率用_P(A)__表示．
知識(shí)點(diǎn) 2　古典概型
一般地，若試驗(yàn)E具有以下特征：
(1)有限性：樣本空間的樣本點(diǎn)只有_有限個(gè)__；
(2)等可能性：每個(gè)樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性_相等__.
稱試驗(yàn)E為古典概型試驗(yàn)，其數(shù)學(xué)模型稱為_(kāi)古典概率__模型，簡(jiǎn)稱_古典概型__.
知識(shí)點(diǎn) 3　古典概型的概率公式
一般地，設(shè)試驗(yàn)E是古典概型，樣本空間Ω包含n個(gè)樣本點(diǎn)，事件A包含其中的k個(gè)樣本點(diǎn)，則定義事件A的概率P(A)＝ 　＝ 　.
[拓展]　(1)隨機(jī)試驗(yàn)E中的樣本點(diǎn)
①任何兩個(gè)樣本點(diǎn)都是互斥的；
②任何事件(除不可能事件)都可以表示成某些樣本點(diǎn)的和．
(2)求解古典概型問(wèn)題的一般思路
①明確試驗(yàn)的條件及要觀察的結(jié)果，用適當(dāng)?shù)姆?hào)(字母、數(shù)字、數(shù)組等)表示試驗(yàn)的樣本點(diǎn)(借助圖表可以幫助我們不重不漏地列出所有樣本點(diǎn))；
②根據(jù)實(shí)際問(wèn)題情景判斷樣本點(diǎn)的等可能性；
③計(jì)算樣本點(diǎn)總個(gè)數(shù)及事件A包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)，求出事件A的概率．
練一練：
1．袋中裝有紅白球各一個(gè)，每次任取一個(gè)，有放回地抽取三次，所有的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)是_8__.
[解析]　從裝有紅白兩球的袋中有放回的取出，所有取法有：
共8個(gè)樣本點(diǎn)．
2．從1,2,3中任取兩個(gè)數(shù)字，設(shè)取出的數(shù)字含有2為事件A，則P(A)＝ 　.
[解析]　從1,2,3中任取兩個(gè)數(shù)字，所有可能的結(jié)果有：(1,2)，(1,3)，(2,3)，共3個(gè)，其中含有2的結(jié)果有2個(gè)，故P(A)＝.
題型探究
題型一 古典概型的判斷
典例1　下列試驗(yàn)是古典概型的是_①②④__.
①?gòu)?名同學(xué)中選出4人參加數(shù)學(xué)競(jìng)賽，每人被選中的可能性大小；
②同時(shí)擲兩顆骰子，點(diǎn)數(shù)和為6的概率；
③近三天中有一天降雨的概率；
④10人站成一排，其中甲、乙相鄰的概率．
[分析]　緊扣古典概型的兩大特征——有限性與等可能性進(jìn)行判斷．
[解析]　①②④是古典概型，因?yàn)榉瞎诺涓判偷奶卣鳎鄄皇枪诺涓判停驗(yàn)椴环系瓤赡苄裕涤晔芏喾矫嬉蛩赜绊懀?br/>[歸納提升]　判斷試驗(yàn)是不是古典概型，關(guān)鍵看是否符合兩大特征——有限性和等可能性．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 下列是古典概型的是( C )
A．任意擲兩枚骰子，所得點(diǎn)數(shù)之和作為基本事件時(shí)
B．求任意的一個(gè)正整數(shù)平方的個(gè)位數(shù)字是1的概率，將取出的正整數(shù)作為基本事件時(shí)
C．從甲地到乙地共n條路線，求某人正好選中最短路線的概率
D．拋擲一枚均勻硬幣首次出現(xiàn)正面為止
[解析]　A項(xiàng)中由于點(diǎn)數(shù)的和出現(xiàn)的可能性不相等，故A不是；B項(xiàng)中的基本事件是無(wú)限的，故B不是；C項(xiàng)滿足古典概型的有限性和等可能性，故C是；D項(xiàng)中基本事件可能會(huì)無(wú)限個(gè)，故D不是.
題型二 古典概型的概率計(jì)算
典例2　(2023·福建省泉州市期末)將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，事件A：“兩數(shù)之和為8”，事件B：“兩數(shù)之和是奇數(shù)”，事件C：“兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”．
(1)寫出該試驗(yàn)的樣本空間Ω，并求事件A發(fā)生的概率；
(2)求事件B發(fā)生的概率；
(3)事件A 與事件C至少有一個(gè)發(fā)生的概率．
[解析]　(1)將一顆骰子先后拋擲2次，觀察向上的點(diǎn)數(shù)，
Ω＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(1,6)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(2,6)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(3,6)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(4,6)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)，(5,6)，(6,1)，(6,2)，(6,3)，(6,4)，(6,5)，(6,6)}，共包含36個(gè)樣本點(diǎn)，
事件A：“兩數(shù)之和為8”，如圖1所示，A＝{(2,6)，(3,5)，(4,4)，(5,3)，(6,2)}，A包含5個(gè)樣本點(diǎn)，
圖1
∴事件A發(fā)生的概率為P(A)＝.
(2)事件B：“兩數(shù)之和是奇數(shù)”，如圖2所示，B＝{(1,2)，(1,4)，(1,6)，(2,1)，(2,3)，(2,5)，(3,2)，(3,4)，(3,6)，(4,1)，(4,3)(4,5)，(5,2)，(5,4)，(5,6)，(6,1)，(6,3)，(6,5)，}
圖2
∴事件B發(fā)生的概率P(B)＝＝.
(3)事件C：“兩個(gè)數(shù)均為偶數(shù)”，C＝{(2,2)，(2,4)，(2,6)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(6,2)，(6,4)，(6,6)}，事件A與事件C至少有一個(gè)發(fā)生包含的樣本點(diǎn)有11個(gè)，如圖3所示，即A＋C＝{(2,2)，(2,4)，(2,6)，(3,5)，(4,2)，(4,4)，(4,6)，(5,3)，(6,2)，(6,4)，(6,6)}，
圖3
∴事件A與事件C至少有一個(gè)發(fā)生的概率為P(A＋C)＝.
[歸納提升]　1.將所有的樣本點(diǎn)用有序?qū)崝?shù)組一一列舉出來(lái)，此時(shí)有幾粒骰子每個(gè)實(shí)數(shù)組中就包含幾個(gè)數(shù)．
2．對(duì)于拋擲兩粒均勻的骰子的試驗(yàn)，樣本點(diǎn)(共36個(gè))可以用列表法或坐標(biāo)系法(x軸、y軸分別表示拋擲兩粒骰子的結(jié)果)表示出來(lái)．這兩種方法在求向上的點(diǎn)數(shù)之和(或差)的概率時(shí)很方便．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 某旅游愛(ài)好者計(jì)劃從3個(gè)亞洲國(guó)家A1，A2，A3和3個(gè)歐洲國(guó)家B1，B2，B3中選擇2個(gè)國(guó)家去旅游．
(1)若從這6個(gè)國(guó)家中任選2個(gè)，求這2個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的概率；
(2)若從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選1個(gè)，求這2個(gè)國(guó)家包括A1但不包括B1的概率．
[解析]　(1)由題意知，從6個(gè)國(guó)家中任選兩個(gè)國(guó)家，其一切可能的結(jié)果組成的樣本點(diǎn)有：
{(A1，A2)，(A1，A3)，(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，A3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)，(B1，B2)，(B1，B3)，(B2，B3)}，共15個(gè)．
所選兩個(gè)國(guó)家都是亞洲國(guó)家的事件所包含的樣本點(diǎn)有：
{(A1，A2)，(A1，A3)，(A2，A3)}，共3個(gè)，
則所求事件的概率為P＝＝.
(2)從亞洲國(guó)家和歐洲國(guó)家中各任選一個(gè)，其一切可能的結(jié)果組成的樣本點(diǎn)有：
{(A1，B1)，(A1，B2)，(A1，B3)，(A2，B1)，(A2，B2)，(A2，B3)，(A3，B1)，(A3，B2)，(A3，B3)}，共9個(gè)．
包括A1但不包括B1的事件所包含的樣本點(diǎn)有：
{(A1，B2)，(A1，B3)}，共2個(gè)，則所求事件的概率為P＝.
題型三 古典概型中的無(wú)放回抽取、有放回抽取和同時(shí)抽取的概率
典例3　口袋內(nèi)有紅、白、黃大小完全相同的三個(gè)小球，求：
(1)從中任意摸出兩個(gè)小球，摸出的是紅球和白球的概率；
(2)從袋中摸出一個(gè)后放回，再摸出一個(gè)，兩次摸出的球是一紅一白的概率．
[解析]　(1)任意摸出兩個(gè)小球的樣本空間為{(紅，白)，(紅，黃)，(白，黃)}，所以摸出的是紅球和白球的概率為.
(2)樣本空間為{(紅，紅)，(紅，白)，(紅，黃)，(白，白)，(白，紅)，(白，黃)，(黃，紅)，(黃，白)，(黃，黃)}，而事件“摸出一紅一白” 包括(紅，白)，(白，紅)2個(gè)樣本點(diǎn)，所以兩次摸出的球是一紅一白的概率是.
[歸納提升]　無(wú)放回抽取、有放回抽取和同時(shí)抽取的概率
1．“有放回抽取”和“無(wú)放回抽取”的概率求解問(wèn)題是初學(xué)者特別容易出錯(cuò)的，而且也是特別經(jīng)典的題型，學(xué)習(xí)時(shí)要注意區(qū)分是“有放回抽取”還是“無(wú)放回抽取”．“有放回”是指抽取物體時(shí)，每次抽取之后，都把抽取的物體放回原處，這樣前后兩次抽取時(shí)，被抽取的物體的總數(shù)是一樣的．“無(wú)放回”是指抽取物體時(shí)，在每一次抽取后，把抽取的物體放到一邊，并不放回原處，這樣，前后兩次抽取時(shí)，后一次被抽取的物體總數(shù)較前一次被抽取的物體總數(shù)少．
2．有放回抽取和無(wú)放回抽取的區(qū)別在于，同一件物品“有放回抽取”可能被抽到兩次，而“無(wú)放回抽取”最多被抽到一次．這正是“有放回抽取”的樣本空間包含的樣本點(diǎn)數(shù)量比“無(wú)放回抽取”樣本空間包含的樣本點(diǎn)數(shù)量多的原因．
3．同時(shí)抽取的實(shí)質(zhì)是把不同性質(zhì)的兩(多)組元素混合在一起抽取，沒(méi)有先后順序，只考慮配對(duì)，所以對(duì)應(yīng)樣本空間包含的樣本點(diǎn)數(shù)量一般要比“逐個(gè)不放回抽取”對(duì)應(yīng)的樣本空間包含的樣本點(diǎn)數(shù)量要少．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 一個(gè)袋中裝有四個(gè)形狀、大小完全相同的球，球的編號(hào)分別為1,2,3,4.
(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，求取出的球的編號(hào)之和不大于4的概率；
(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為m，將球放回袋中，然后再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，該球的編號(hào)為n，求n[解析]　(1)從袋中隨機(jī)取兩個(gè)球，其一切可能的結(jié)果組成的基本事件有：1和2,1和3,1和4,2和3,2和4,3和4，共6個(gè)，從袋中取出的兩個(gè)球的編號(hào)之和不大于4的事件有：1和2,1和3，共2個(gè)，因此所求事件的概率為P＝＝.
(2)先從袋中隨機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為m，放回后，再?gòu)拇须S機(jī)取一個(gè)球，記下編號(hào)為n，其一切可能的結(jié)果(m，n)有：(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，共16個(gè)．
又滿足條件n易錯(cuò)警示
對(duì)“有序”與“無(wú)序”判斷不準(zhǔn)而致錯(cuò)
典例4　甲、乙兩人參加普法知識(shí)競(jìng)賽，共有5道不同的題目，其中3道選擇題，2道填空題，甲、乙兩人依次抽取1道題．求甲抽到選擇題、乙抽到填空題的概率．
[錯(cuò)解]　因?yàn)橥ㄟ^(guò)列舉法可得甲抽到選擇題、乙抽到填空題的可能結(jié)果有6個(gè)，且甲、乙兩人依次抽取1道題的可能結(jié)果有10個(gè)，所以甲抽到選擇題、乙抽到填空題的概率為＝.
[錯(cuò)因分析]　錯(cuò)解中忽略了甲、乙兩人依次抽取1道題與順序有關(guān)，甲從5道題中任抽1道題有5種方法，乙從剩下的4道題中任抽1道題有4種方法，所以基本事件總數(shù)應(yīng)為20.
[正解]　因?yàn)橥ㄟ^(guò)列舉法可得甲抽到選擇題、乙抽到填空題的可能結(jié)果有6個(gè)，而甲、乙兩人依次抽取1道題的可能結(jié)果有20個(gè)，所以甲抽到選擇題、乙抽到填空題的概率為＝.
[誤區(qū)警示]　在計(jì)算基本事件的總數(shù)時(shí)，若分不清“有序”和“無(wú)序”，將會(huì)出現(xiàn)“重算”或“漏算”的錯(cuò)誤．突破這一思維障礙的方法是交換次序，看是否對(duì)結(jié)果造成影響，有影響是“有序”，無(wú)影響是“無(wú)序”．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 小李在做一份調(diào)查問(wèn)卷，共有5道題，其中有兩種題型，一種是選擇題，共3道，另一種是填空題，共2道．
(1)小李從中任選2道題解答，每一次選1題(不放回)，求所選的題不是同一種題型的概率；
(2)小李從中任選2道題解答，每一次選1題(有放回)，求所選的題不是同一種題型的概率．
[解析]　將3道選擇題依次編號(hào)為1,2,3；2道填空題依次編號(hào)為4,5.
(1)從5道題中任選2道題解答，每一次選1題(不放回)，則樣本空間Ω1＝{(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)}，共20個(gè)樣本點(diǎn)，而且這些樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性是相等的．
設(shè)事件A＝“所選的題不是同一種題型”，則事件A＝{(1,4)，(1,5)，(2,4)，(2,5)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(5,1)，(5,2)，(5,3)}，共12個(gè)樣本點(diǎn)，所以P(A)＝＝0.6.
(2)從5道題中任選2道題解答，每一次選1題(有放回)，則樣本空間Ω2＝{(1,1)，(1,2)，(1,3)，(1,4)，(1,5)，(2,1)，(2,2)，(2,3)，(2,4)，(2,5)，(3,1)，(3,2)，(3,3)，(3,4)，(3,5)，(4,1)，(4,2)，(4,3)，(4,4)，(4,5)，(5,1)，(5,2)，(5,3)，(5,4)，(5,5)}，共25個(gè)樣本點(diǎn)，而且這些樣本點(diǎn)發(fā)生的可能性是相等的．
設(shè)事件B＝“所選的題不是同一種題型”，由(1)知所選題不是同一種題型的樣本點(diǎn)共12個(gè)，所以P(B)＝＝0.48.
1．下列試驗(yàn)中是古典概型的是( B )
A．在適宜的條件下，種下一粒大豆，觀察它是否發(fā)芽
B．口袋里有2個(gè)白球和2個(gè)黑球，這4個(gè)球除顏色外完全相同，從中任取一球
C．向一個(gè)圓面內(nèi)隨機(jī)地投一個(gè)點(diǎn)，該點(diǎn)落在圓內(nèi)任意一點(diǎn)都是等可能的
D．射擊運(yùn)動(dòng)員向一靶心進(jìn)行射擊，試驗(yàn)結(jié)果為命中10環(huán)，命中9環(huán)，…，命中0環(huán)
[解析]　根據(jù)古典概型的特點(diǎn)，A項(xiàng)中，種子發(fā)芽與否的概率不相等；B項(xiàng)中，摸到每個(gè)球的概率相等，且只有4球；C項(xiàng)中，點(diǎn)落在圓內(nèi)的結(jié)果數(shù)量是無(wú)限的；D項(xiàng)中，射擊命中環(huán)數(shù)的概率也不一定相等．故只有B項(xiàng)是古典概型．
2．某小組有三名男生和兩名女生，從中任選兩名去參加比賽，則參加比賽的都是女生的概率為( A )
A. B．
C． D．
[解析]　依題意記三名男生分別為a、b、c，兩名女生分別為A、B，
從中任意選兩名同學(xué)有ab、ac、aA、aB、bc、bA、bB、cA、cB、AB，共10種情況，
其中都是女生的只有AB這1種情況，
故參加比賽的都是女生的概率P＝.故選A.
3．某小說(shuō)有三冊(cè)，任意排放在書架的同一層上，則各冊(cè)從左到右或從右到左恰好為第1,2,3冊(cè)的樣本點(diǎn)有( B )
A．1個(gè) B．2個(gè)
C．3個(gè) D．4個(gè)
[解析]　所有基本事件是123,132,213,231,312,321共6個(gè)，其中恰好為1,2,3的為123,321共2個(gè)．
4．某學(xué)校食堂推出兩款優(yōu)惠套餐，若甲、乙、丙三位同學(xué)選擇每款套餐的可能性相同，則三位同學(xué)選擇同一款套餐的概率為 　.
[解析]　設(shè)兩款優(yōu)惠套餐分別為A，B，列舉所有可能結(jié)果如圖所示．
由圖可知，共有8種等可能的結(jié)果，其中甲、乙、丙三位同學(xué)選擇同一款套餐包含2種結(jié)果，故所求概率為＝.
5．拋擲兩枚骰子，求：
(1)點(diǎn)數(shù)之和為4的倍數(shù)的概率；
(2)點(diǎn)數(shù)之和大于5而小于10的概率；
(3)同時(shí)拋兩枚骰子，求至少有一個(gè)5點(diǎn)或者6點(diǎn)的概率．
[解析]　將點(diǎn)數(shù)之和列表如下：
從表中易看出基本事件總數(shù)為36種
(1)記“點(diǎn)數(shù)之和是4的倍數(shù)”為事件A，從圖中看出事件A包含的基本事件共9個(gè)，故P(A)＝＝.
(2)記“點(diǎn)數(shù)之和大于5小于10”為事件B，從圖中看出事件B包含的基本事件共20個(gè)，故P(B)＝＝.
(3)同時(shí)拋出兩個(gè)骰子，按(第一個(gè)的點(diǎn)數(shù)，第二個(gè)的點(diǎn)數(shù))，列出所有基本事件(仿(1))可得基本事件有36個(gè)，其中至少有一個(gè)5點(diǎn)或6點(diǎn)的事件為事件C，C含有20個(gè)基本事件，所以概率為P(C)＝＝.10．1.4　概率的基本性質(zhì)
課標(biāo)要求
通過(guò)實(shí)例，理解概率的性質(zhì)，掌握隨機(jī)事件概率的運(yùn)算法則．
素養(yǎng)要求
通過(guò)具體實(shí)例，抽象出概率的性質(zhì)，掌握概率的運(yùn)算方法，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
知識(shí)點(diǎn)　概率的基本性質(zhì)
任何事件的概率都是非負(fù)的；
在每次試驗(yàn)中，必然事件一定發(fā)生，不可能事件一定不會(huì)發(fā)生．
一般地，概率有如下性質(zhì)：
性質(zhì)1　對(duì)任意的事件A，都有P(A)≥0.
性質(zhì)2　必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0.即 P(Ω)＝1，P( )＝0.
性質(zhì)3　如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B) ＝ P(A)＋P(B) .
因?yàn)槭录嗀和事件B互斥，即A與B不含有相同的樣本點(diǎn)，所以n(A∪B)＝n(A)＋n(B)，這等價(jià)于P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，即兩個(gè)互斥事件的和事件的概率等于這兩個(gè)事件概率之和．
推廣：如果事件A1，A2，…，Am兩兩互斥，那么P(A1∪A2∪…∪Am)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(Am)．
[提醒]　對(duì)于一個(gè)較復(fù)雜的事件，一般將其分解成幾個(gè)簡(jiǎn)單的事件，當(dāng)這些事件彼此互斥時(shí)，原事件的概率等于這些事件概率的和．并且互斥事件的概率加法公式可以推廣為：P(A1∪A2∪…∪An)＝P(A1)＋P(A2)＋…＋P(An)．其使用的前提仍然是A1，A2，…，An彼此互斥．故解決此類題目的關(guān)鍵在于分解事件及確立事件是否互斥．
性質(zhì)4　如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)＝1－ P(A)，P(A)＝1－ P(B)．
因?yàn)槭录嗀和事件B互為對(duì)立事件，所以和事件A∪B為必然事件，即P(A∪B)＝1.由性質(zhì)3，得1＝P(A∪B)＝P(A)＋P(B)．
性質(zhì)5　如果A B，那么P(A)≤P(B)．
(1)對(duì)于事件A與事件B，如果A B，即事件A發(fā)生，則事件B一定發(fā)生，那么事件A的概率不超過(guò)事件B的概率．
(2)由性質(zhì)5可得，對(duì)于任意事件A，因?yàn)? A Ω，所以0≤P(A)≤1.
性質(zhì)6　設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
想一想：
在同一試驗(yàn)中，對(duì)任意兩個(gè)事件A，B，P(A∪B)＝P(A)＋P(B)一定成立嗎？
提示：只有A、B互斥才成立．
練一練：
1．在擲骰子的游戲中，向上的數(shù)字是5或6的概率是( B )
A. B．
C． D．1
[解析]　事件“向上的數(shù)字是5”與事件“向上的數(shù)字是6”為互斥事件，且二者發(fā)生的概率都是，所以“向上的數(shù)字是5或6”的概率是＋＝.
2．事件A與B是對(duì)立事件，且P(A)＝0.2，則P(B)＝_0.8__.
[解析]　因?yàn)锳與B是對(duì)立事件，所以P(A)＋P(B)＝1，即P(B)＝1－P(A)＝0.8.
3．事件A與B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(B)＝0.5，則P(A∪B)＝_0.7__.
[解析]　因?yàn)锳與B互斥，故P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.2＋0.5＝0.7.
題型探究
題型一 互斥事件概率公式的應(yīng)用
典例1　(1)盒子里裝有6只紅球，4只白球，從中任取3只球．設(shè)事件A表示“3只球中有1只紅球，2只白球”，事件B表示“3只球中有2只紅球，1只白球”．已知P(A)＝，P(B)＝，求這3只球中既有紅球又有白球的概率．
(2)某商場(chǎng)在元旦舉行購(gòu)物抽獎(jiǎng)促銷活動(dòng)，規(guī)定顧客從裝有編號(hào)為0,1,2,3,4的五個(gè)相同小球的抽獎(jiǎng)箱中一次任意摸出兩個(gè)小球，若取出的兩個(gè)小球的編號(hào)之和等于7，則中一等獎(jiǎng)；等于6或5，則中二等獎(jiǎng)；等于4，則中三等獎(jiǎng)，其余結(jié)果不中獎(jiǎng)．
①求中二等獎(jiǎng)的概率；
②求不中獎(jiǎng)的概率．
[解析]　(1)因?yàn)锳，B是互斥事件，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝，所以這3只球中既有紅球又有白球的概率是.
(2)①?gòu)奈鍌€(gè)球中任意摸出兩個(gè)小球，共有10種取法，中二等獎(jiǎng)包含(2,4)，(2,3)，(1,4)三種情況，
∴P(中二等獎(jiǎng))＝.
②不中獎(jiǎng)的對(duì)立事件為中獎(jiǎng)，中獎(jiǎng)的兩小球編號(hào)之和包括4,5,6,7，共有(1,3)，(0,4)，(2,3)，(1,4)，(2,4)，(3,4)六個(gè)結(jié)果．
∴P (中獎(jiǎng))＝.
∴P(不中獎(jiǎng))＝1－＝＝.
[歸納提升]　(1)公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，只有當(dāng)A、B兩事件互斥時(shí)才能使用，如果A、B不互斥，就不能應(yīng)用這一公式；(2)解決本題的關(guān)鍵是正確理解“A∪B”的意義．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) (1)若A，B是互斥事件，P(A)＝0.2，P(A∪B)＝0.5，則P(B)等于( A )
A．0.3 B．0.7
C．0.1 D．1
(2)在一次隨機(jī)試驗(yàn)中，彼此互斥的事件A，B，C，D的概率分別是0.2,0.2,0.3,0.3，則下列說(shuō)法正確的( D )
A．A＋B與C是互斥事件，也是對(duì)立事件
B．B＋C與D是互斥事件，也是對(duì)立事件
C．A＋C與B＋D是互斥事件，但不是對(duì)立事件
D．A與B＋C＋D是互斥事件，也是對(duì)立事件
[解析]　(1)∵A，B是互斥事件，
∴P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.5，
∵P(A)＝0.2，∴P(B)＝0.5－0.2＝0.3.故選A.
(2)由于A，B，C，D彼此互斥，且由P(A＋B＋C＋D)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＋P(D)＝1，知A＋B＋C＋D是一個(gè)必然事件，故某事件的關(guān)系如圖所示．由圖可知，任何一個(gè)事件與其余3個(gè)事件的和事件必然是對(duì)立事件，任何兩個(gè)事件的和事件與其余兩個(gè)事件的和事件也是對(duì)立事件，故只有D中的說(shuō)法正確．
題型二 概率一般加法公式(性質(zhì)6)的應(yīng)用
典例2　甲、乙、丙、丁四人參加4×100米接力賽，求甲跑第一棒或乙跑第四棒的概率．
[解析]　設(shè)事件A為“甲跑第一棒”，事件B為“乙跑第四棒”，
則P(A)＝，P(B)＝.
記甲跑第x棒，乙跑第y棒，則結(jié)果可記為(x，y)，共有12種等可能結(jié)果：(1,2)，(1,3)，(1,4)，(2,1)，(2,3)，(2,4)，(3,1)，(3,2)，(3,4)，(4,1)，(4,2)，(4,3)．
而甲跑第一棒且乙跑第四棒只有一種可能．即(1,4)．
故P(A∩B)＝.
所以“甲跑第一棒或乙跑第四棒”的概率
P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝＋－＝.
[歸納提升]　(1)概率的一般加法公式及互斥事件的概率加法公式在限制條件上的區(qū)別：在公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)中，事件A，B是互斥事件；在公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)中，事件A，B可以是互斥事件，也可以不是互斥事件．可借助圖形理解．
(2)利用概率的一般加法公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)求解的關(guān)鍵在于理解兩個(gè)事件A，B的交事件A∩B的含義，準(zhǔn)確求出其概率．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 在對(duì)200家公司的最新調(diào)查中發(fā)現(xiàn)，40%的公司在大力研究廣告效果，50%的公司在進(jìn)行短期銷售預(yù)測(cè)，而30%的公司在從事這兩項(xiàng)研究．假設(shè)從這200家公司中任選一家，記事件A為“該公司在研究廣告效果”，記事件B為“該公司在進(jìn)行短期銷售預(yù)測(cè)”，求P(A)，P(B)，P(A∪B)．
[解析]　P(A)＝40%＝0.4，P(B)＝50%＝0.5，又已知P(A∩B)＝30%＝0.3，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.4＋0.5－0.3＝0.6.
題型三 利用互斥與對(duì)立的概率公式多角度求解
典例3　如果從不包括大小王的52張撲克牌中隨機(jī)抽取一張，那么抽取到紅心(事件A)的概率是，取到方塊(事件B)的概率是，求取到黑色牌(事件D)的概率．
[分析]　先確定事件D的對(duì)立事件C(取到紅色牌)，也就是事件C就是所求事件D的對(duì)立事件，而事件C包含A和B兩個(gè)彼此互斥的事件，故可直接利用互斥事件加法公式求解；然后根據(jù)對(duì)立事件概率公式求解．
[解析]　記“取出的是紅色牌”為事件C，則C＝A∪B，且A與B不會(huì)同時(shí)發(fā)生，所以事件A與事件B互斥．
根據(jù)概率的加法公式得P(C)＝P(A)＋P(B)＝.
又因?yàn)槭录﨏與事件D互斥，且C∪D為必然事件，
因此事件C與事件D是對(duì)立事件，
所以P(D)＝1－P(C)＝.
[歸納提升]　對(duì)于較復(fù)雜事件的概率在求解時(shí)通常有兩種方法：一是將所求事件轉(zhuǎn)化成彼此互斥的事件的和；二是先求對(duì)立事件的概率，進(jìn)而再求所求事件的概率．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 某射擊運(yùn)動(dòng)員在一次射擊比賽中，每次射擊比賽成績(jī)均計(jì)整數(shù)環(huán)且不超過(guò)10環(huán)，其中射擊一次命中各環(huán)數(shù)概率如表：
命中環(huán)數(shù) 6及以下 7 8 9 10
概率 0.10 0.12 0.18 0.28 0.32
求該射擊運(yùn)動(dòng)員射擊一次．
(1)命中9環(huán)及10環(huán)的概率；
(2)命中不足7環(huán)的概率．
[解析]　記“射擊一次命中k環(huán)”的事件為Ak(k∈N，k≤10)，則事件Ak彼此互斥．
(1)記“射擊一次命中9環(huán)或10環(huán)”為事件A，則當(dāng)A9或A10之一發(fā)生時(shí)，事件A發(fā)生，由互斥事件的概率公式，得P(A)＝P(A9)＋P(A10)．因此命中9環(huán)或10環(huán)的概率為0.60.
(2)解法一：由于事件“射擊一次命中不足7環(huán)”是“射擊一次至少命中7環(huán)”的對(duì)立事件，故所求的概率為P＝1－(0.12＋0.18＋0.28＋0.32)＝0.10，因此命中不足7環(huán)的概率為0.10.
解法二：由題意可知“命中環(huán)數(shù)不足7環(huán)”即“命中環(huán)數(shù)為6環(huán)及以下”，故P＝0.10.
易錯(cuò)警示
忽略概率加法公式的應(yīng)用前提
典例4　投擲一枚質(zhì)地均勻的骰子，向上的一面出現(xiàn)1點(diǎn)，2點(diǎn)，3點(diǎn)，4點(diǎn)，5點(diǎn)，6點(diǎn)的概率都是，記事件A為“出現(xiàn)奇數(shù)點(diǎn)”，事件B“向上的點(diǎn)數(shù)不超過(guò)3”，則P(A∪B)＝　 　.
[錯(cuò)解]　因?yàn)镻(A)＝＝，P(B)＝＝，
所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝＋＝1.
[錯(cuò)因分析]　造成錯(cuò)解的原因在于忽略了“事件和”概率公式P(A＋B)＝P(A)＋P(B)的使用前提：事件A，B彼此互斥．此題的兩個(gè)事件A，B不是互斥事件，如出現(xiàn)的點(diǎn)數(shù)為1或3時(shí)，事件A，B同時(shí)發(fā)生，故此題應(yīng)用性質(zhì)6.
[正解]　因?yàn)镻(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)＝＋－＝.
[誤區(qū)警示]　在使用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)時(shí)，一定要注意公式成立的前提，即事件A與事件B互斥．若事件A，B不互斥，則應(yīng)用公式P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(AB)．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 甲、乙兩人各射擊一次，命中率分別為0.8和0.5，兩人都命中的概率為0.4，求甲、乙兩人至少有一人命中的概率．
[解析]　至少有一人命中，可看成“甲命中”和“乙命中”這兩個(gè)事件的并事件．設(shè)事件A為“甲命中”，事件B為“乙命中”，則“甲、乙兩人至少有一人命中”為事件A∪B，所以P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)＝0.8＋0.5－0.4＝0.9.
1．若事件A和B是互斥事件，且P(A)＝0.1，則P(B)的取值范圍是( A )
A．[0,0.9] B．[0.1,0.9]
C．(0,0.9] D．[0,1]
[解析]　由于事件A和B是互斥事件，則P(A∪B)＝P(A)＋P(B)＝0.1＋P(B)，又0≤P(A∪B)≤1，所以0≤0.1＋P(B)≤1，所以0≤P(B)≤0.9.故選A.
2．某產(chǎn)品分甲、乙、丙三級(jí)，其中乙、丙均屬于次品，生產(chǎn)中出現(xiàn)乙級(jí)品的概率為0.03，丙級(jí)品的概率為0.01.若從中抽查一件，則恰好得正品的概率為( B )
A．0.09 B．0.96
C．0.97 D．0.98
[解析]　記事件A＝{甲級(jí)品}，B＝{乙級(jí)品}，C＝{丙級(jí)品}，則A與B＋C是對(duì)立事件，所以P(A)＝1－P(B＋C)＝1－0.03－0.01＝0.96.
故選B.
3．若A與B為互斥事件，則( D )
A．P(A)＋P(B)<1 B．P(A)＋P(B)>1
C．P(A)＋P(B)＝1 D．P(A)＋P(B)≤1
[解析]　若A與B為互斥事件，則P(A)＋P(B)≤1.故選D.
4．如圖所示，靶子由一個(gè)中心圓面Ⅰ和兩個(gè)同心圓環(huán)Ⅱ，Ⅲ構(gòu)成，射手命中Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ的概率分別為0.35,0.3，0.25，則未命中靶的概率是_0.1__.
[解析]　令事件A＝“命中Ⅰ”，事件B＝“命中Ⅱ”，事件C＝“命中Ⅲ”，事件D＝“未命中靶”，則A，B，C彼此互斥，故射手中靶的概率為P(A∪B∪C)＝P(A)＋P(B)＋P(C)＝0.35＋0.3＋0.25＝0.9.
因?yàn)橹邪泻筒恢邪惺菍?duì)立事件，所以未命中靶的概率為P(D)＝1－P(A∪B∪C)＝1－0.9＝0.1.
5．某商店月收入(單位：元)在下列范圍內(nèi)的概率如下表所示：
月收入 [1 000，1 500) [1 500，2 000) [2 000，2 500) [2 500，3 000)
概率 0.12 a b 0.14
已知月收入在[1 000,3 000)內(nèi)的概率為0.67，則月收入在[1 500,3 000)內(nèi)的概率為_(kāi)0.55__.
[解析]　P ＝0.67－0.12＝0.55.10.2　事件的相互獨(dú)立性
課標(biāo)要求
結(jié)合有限樣本空間，了解兩個(gè)事件獨(dú)立性的含義，結(jié)合古典概型，利用獨(dú)立性計(jì)算概率．
素養(yǎng)要求
結(jié)合具體實(shí)例了解事件獨(dú)立性的含義及利用獨(dú)立性計(jì)算概率，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象及數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng).
知識(shí)點(diǎn) 1　相互獨(dú)立事件的定義
對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)＝_P(A)P(B)__成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立．
知識(shí)點(diǎn) 2　相互獨(dú)立事件的性質(zhì)
當(dāng)事件A，B相互獨(dú)立時(shí)，則事件_A__與事件 　相互獨(dú)立，事件 　與事件_B__相互獨(dú)立，事件 　與事件 　相互獨(dú)立．
想一想：
兩個(gè)事件獨(dú)立與互斥的區(qū)別是什么？
提示：兩個(gè)事件互斥是指兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生；兩個(gè)事件相互獨(dú)立是指一個(gè)事件的發(fā)生與否對(duì)另一事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響．
一般地，兩個(gè)事件不可能既互斥又相互獨(dú)立，因?yàn)榛コ馐录豢赡芡瑫r(shí)發(fā)生，而相互獨(dú)立事件是以它們能夠同時(shí)發(fā)生為前提．
知識(shí)點(diǎn) 3　判定相互獨(dú)立事件的方法
(1)由定義，若P(AB)＝P(A)·P(B)，則A，B獨(dú)立．
(2)有些事件不必通過(guò)概率的計(jì)算就能判定其獨(dú)立性，如有放回的兩次抽獎(jiǎng)，由事件本身的性質(zhì)就能直接判定出是否相互影響，從而得出它們是否相互獨(dú)立．
[拓展]　1.公式的推廣
如果事件A1，A2，…，An相互獨(dú)立，那么這n個(gè)事件同時(shí)發(fā)生的概率等于每個(gè)事件發(fā)生的概率的積，即P(A1A2…An)＝P(A1)P(A2)…P(An)．
2．相互獨(dú)立事件與互斥事件的概率計(jì)算
概率 A，B互斥 A，B相互獨(dú)立
P(A∪B) P(A)＋P(B) 1－P()P()
P(AB) 0 P(A)P(B)
P() 1－[P(A)＋P(B)] P()P()
P(A∪B) P(A)＋P(B) P(A)P()＋P()P(B)
說(shuō)明：①(A)∪(B)，表示的是A與B的和，實(shí)際意義是：A發(fā)生且B不發(fā)生，或者A不發(fā)生且B發(fā)生，換句話說(shuō)就是A與B中恰有一個(gè)發(fā)生．
②同數(shù)的加、減、乘、除混合運(yùn)算一樣，事件的混合運(yùn)算也有優(yōu)先級(jí)，我們規(guī)定：求積運(yùn)算的優(yōu)先級(jí)高于求和運(yùn)算，因此(A)∪(B)可簡(jiǎn)寫為A∪B.
練一練：
1．甲、乙兩人參加“社會(huì)主義核心價(jià)值觀”知識(shí)競(jìng)賽，甲、乙兩人能榮獲一等獎(jiǎng)的概率分別為和，甲、乙兩人是否獲得一等獎(jiǎng)相互獨(dú)立，則這兩個(gè)人中恰有一人獲得一等獎(jiǎng)的概率為( D )
A. B．
C. D．
[解析]　根據(jù)題意，恰有一人獲得一等獎(jiǎng)即甲獲得乙沒(méi)有獲得或甲沒(méi)有獲得乙獲得，則所求概率是×＋×＝，故選D.
2．甲、乙兩水文站同時(shí)作水文預(yù)報(bào)，如果甲站、乙站各自預(yù)報(bào)的準(zhǔn)確率為0.8和0.7.那么，在一次預(yù)報(bào)中，甲、乙兩站預(yù)報(bào)都準(zhǔn)確的概率為_(kāi)0.56__.
[解析]　由題意知，兩水文站水文預(yù)報(bào)相互獨(dú)立，故在一次預(yù)報(bào)中甲、乙兩站預(yù)報(bào)都準(zhǔn)確的概率為0.8×0.7＝0.56.
題型探究
題型一 相互獨(dú)立事件的判斷
典例1　下列每對(duì)事件中，哪些是互斥事件，哪些是相互獨(dú)立事件？
(1)1 000張有獎(jiǎng)銷售的獎(jiǎng)券中某張獎(jiǎng)券是一等獎(jiǎng)與該張獎(jiǎng)券是二等獎(jiǎng)；
(2)甲，乙兩人同時(shí)購(gòu)買同一期的雙色球彩票各一張，甲中獎(jiǎng)與乙中獎(jiǎng)；
(3)甲組3名男生、2名女生，乙組2名男生、3名女生，現(xiàn)從甲，乙兩組中各選1名同學(xué)參加演講比賽，“從甲組中選出1名男生”與“從乙組中選出1名女生”；
(4)容器內(nèi)盛有5個(gè)白球和3個(gè)黃球，“從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”與“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的還是白球”．
[解析]　(1)一張獎(jiǎng)券不可能既是一等獎(jiǎng)又是二等獎(jiǎng)，即這兩個(gè)事件不可能同時(shí)發(fā)生，故它們是互斥事件．
(2)由雙色球的中獎(jiǎng)規(guī)則可知，甲是否中獎(jiǎng)對(duì)乙是否中獎(jiǎng)沒(méi)有影響，反之亦然，故它們是相互獨(dú)立事件．
(3)“從甲組中選出1名男生”這一事件是否發(fā)生對(duì)“從乙組中選出1名女生”這一事件發(fā)生的概率沒(méi)有影響，反之亦然，所以它們是相互獨(dú)立事件．
(4)“從8個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的是白球”的概率為，若前一事件發(fā)生了，則“從剩下的7個(gè)球中任意取出1個(gè)，取出的仍是白球”的概率為；若前一事件沒(méi)有發(fā)生，則后一事件發(fā)生的概率為.可見(jiàn)，前一事件是否發(fā)生，對(duì)后一事件發(fā)生的概率有影響，所以二者不是相互獨(dú)立事件，也不是互斥事件．
[歸納提升]　兩種方法判斷兩事件是否具有獨(dú)立性
(1)定義法：直接判定兩個(gè)事件發(fā)生是否相互影響．
(2)公式法：檢驗(yàn)P(AB)＝P(A)P(B)是否成立．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) (1)甲、乙兩名射手同時(shí)向一目標(biāo)射擊，設(shè)事件A：“甲擊中目標(biāo)”，事件B：“乙擊中目標(biāo)”，則事件A與事件B( A )
A．相互獨(dú)立但不互斥
B．互斥但不相互獨(dú)立
C．相互獨(dú)立且互斥
D．既不相互獨(dú)立也不互斥
(2)擲一枚正方體骰子一次，設(shè)事件A：“出現(xiàn)偶數(shù)點(diǎn)”，事件B：“出現(xiàn)3點(diǎn)或6點(diǎn)”，則事件A，B的關(guān)系是( B )
A．互斥但不相互獨(dú)立
B．相互獨(dú)立但不互斥
C．互斥且相互獨(dú)立
D．既不相互獨(dú)立也不互斥
[解析]　(1)對(duì)同一目標(biāo)射擊，甲、乙兩射手是否擊中目標(biāo)是互不影響的，所以事件A與事件B相互獨(dú)立；對(duì)同一目標(biāo)射擊，甲、乙兩射手可能同時(shí)擊中目標(biāo)，也就是說(shuō)事件A與事件B可能同時(shí)發(fā)生，所以事件A與事件B不是互斥事件．
(2)事件A＝{2,4,6}，事件B＝{3,6}，事件AB＝{6}，樣本點(diǎn)空間Ω＝{1,2,3,4,5,6}．
所以P(A)＝＝，P(B)＝＝，P(AB)＝＝×，
即P(AB)＝P(A)P(B)，因此，事件A與B相互獨(dú)立．當(dāng)“出現(xiàn)6點(diǎn)”時(shí)，事件A，B同時(shí)發(fā)生，所以A，B不是互斥事件.
題型二 相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算
典例2　甲、乙、丙3位大學(xué)生同時(shí)應(yīng)聘某個(gè)用人單位的職位，3人能被選中的概率分別為，，，且各自能否被選中互不影響．
(1)求3人同時(shí)被選中的概率；
(2)求3人中至少有1人被選中的概率；
(3)求3人均未被選中的概率．
[解析]　設(shè)甲、乙、丙能被選中的事件分別為A，B，C，則P(A)＝，P(B)＝，P(C)＝.
(1)3人同時(shí)被選中的概率
P1＝P(ABC)＝P(A)P(B)P(C)＝××＝.
(2)3人中有2人被選中的概率
P2＝P(AB∪AC∪BC)
＝××＋××＋××＝.
3人中只有1人被選中的概率
P3＝P(A∪B∪C)＝××＋××＋××＝.
故3人中至少有1人被選中的概率為
P1＋P2＋P3＝＋＋＝.
(3)解法一：三人均未被選中的概率
P＝P()＝××＝.
解法二：由(2)知，
三人至少有1人被選中的概率為，
∴P＝1－＝.
[歸納提升]　1.求相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率的步驟：
(1)首先確定各事件之間是相互獨(dú)立的；
(2)確定這些事件可以同時(shí)發(fā)生；
(3)求出每個(gè)事件的概率，再求積．
2．使用相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率計(jì)算公式時(shí)，要掌握公式的適用條件，即各個(gè)事件是相互獨(dú)立的，而且它們同時(shí)發(fā)生．
3．明確事件中的“至少有一個(gè)發(fā)生”“至多有一個(gè)發(fā)生”“恰好有一個(gè)發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語(yǔ)的意義．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 已知甲、乙、丙參加某項(xiàng)測(cè)試時(shí)，通過(guò)的概率分別為0.6,0.8,0.9，而且這3人之間的測(cè)試互不影響．
(1)求甲、乙、丙都通過(guò)測(cè)試的概率；
(2)求甲未通過(guò)且乙、丙通過(guò)測(cè)試的概率；
(3)求甲、乙、丙至少有一人通過(guò)測(cè)試的概率．
[解析]　(1)甲、乙、丙都通過(guò)測(cè)試的概率為0.6×0.8×0.9＝0.432.
(2)甲未通過(guò)且乙、丙通過(guò)測(cè)試的概率為(1－0.6)×0.8×0.9＝0.288.
(3)甲、乙、丙至少有一人通過(guò)測(cè)試的概率為1－(1－0.6)×(1－0.8)×(1－0.9)＝0.992.
題型三 相互獨(dú)立事件概率的綜合應(yīng)用
典例3　甲、乙兩人進(jìn)行圍棋比賽，比賽要求雙方下滿五盤棋，開(kāi)始時(shí)甲每盤棋贏的概率為，由于心態(tài)不穩(wěn)，甲一旦輸一盤棋，他隨后每盤棋贏的概率就變?yōu)?假設(shè)比賽沒(méi)有和棋，且已知前兩盤棋都是甲贏．
(1)求第四盤棋甲贏的概率；
(2)求比賽結(jié)束時(shí)，甲恰好贏三盤棋的概率．
[解析]　(1)第四盤棋甲贏分兩種情況．
①第三盤棋和第四盤棋都是甲贏，此時(shí)的概率P1＝×＝；
②第三盤棋乙贏，第四盤棋甲贏，此時(shí)的概率P2＝×＝.
設(shè)事件A為“第四盤棋甲贏”，
則P(A)＝P1＋P2＝＋＝.
(2)若甲恰好贏三盤棋，則他在后三盤棋中只贏一盤，分三種情況．
①甲第三盤贏，此時(shí)的概率P3＝××＝；
②甲第四盤贏，此時(shí)的概率P4＝××＝；
③甲第五盤贏，此時(shí)的概率P5＝××＝.
設(shè)事件B為“比賽結(jié)束時(shí)，甲恰好贏三盤棋”，則P(B)＝P3＋P4＋P5＝＋＋＝.
[歸納提升]　求相互獨(dú)立事件的概率的思路
計(jì)算相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，先用字母表示出事件，再分析題中涉及的事件．
(1)簡(jiǎn)單計(jì)算問(wèn)題：將題中所求事件轉(zhuǎn)化為若干個(gè)獨(dú)立事件的交事件，利用獨(dú)立事件的性質(zhì)和推廣求解．
(2)復(fù)雜計(jì)算問(wèn)題：一般將問(wèn)題劃分為若干個(gè)彼此互斥的事件，然后運(yùn)用互斥事件的概率加法公式和相互獨(dú)立事件的概率計(jì)算公式求解.
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 某學(xué)生語(yǔ)、數(shù)、英三科考試成績(jī)，在一次考試中排名全班第一的概率：語(yǔ)文為0.9，數(shù)學(xué)為0.8，英語(yǔ)為0.85，問(wèn)一次考試中
(1)三科成績(jī)均未獲得第一名的概率是多少？
(2)恰有一科成績(jī)未獲得第一名的概率是多少？
[解析]　分別記該生語(yǔ)、數(shù)、英考試成績(jī)排名全班第一的事件為A，B，C，則A，B，C兩兩相互獨(dú)立且P(A)＝0.9，P(B)＝0.8，P(C)＝0.85.
(1)“三科成績(jī)均未獲得第一名”可以用　　表示，
P()＝P()P()P()
＝[1－P(A)][1－P(B)][1－P(C)]
＝(1－0.9)(1－0.8)(1－0.85)＝0.003.
所以三科成績(jī)均未獲得第一名的概率是0.003.
(2)“恰好一科成績(jī)未獲得第一名”可以用(BC)＋(AC)＋(AB)表示．
由于事件BC，AC和AB兩兩互斥，
根據(jù)概率加法公式和相互獨(dú)立事件的意義，所求的概率為P(BC)＋P(AC)＋P(AB)＝P()P(B)P(C)＋P(A)P()·P(C)＋P(A)P(B)P()＝[1－P(A)]·P(B)P(C)＋P(A)[1－P(B)]P(C)＋P(A)P(B)[1－P(C)]＝(1－0.9)×0.8×0.85＋0.9×(1－0.8)×0.85＋0.9×0.8×(1－0.85)＝0.329，
所以恰有一科成績(jī)未獲得第一名的概率是0.329.
易錯(cuò)警示
混淆互斥事件和獨(dú)立事件的概念
典例4　甲投籃的命中率為0.8，乙投籃的命中率為0.7，每人投3次，兩人恰好都命中2次的概率是多少？
[錯(cuò)解]　記A＝“甲恰好命中2次”，B＝“乙恰好命中2次”，則P(兩人恰好都命中2次)＝P(A)＋P(B)＝3×0.82×0.2＋3×0.72×0.3＝0.825.
[錯(cuò)因分析]　錯(cuò)誤地把相互獨(dú)立事件當(dāng)成互斥事件來(lái)考慮，將“兩人恰好都命中2次的概率”理解成A＝“甲恰好命中2次”與B＝“乙恰好命中2次”的概率之和．
[正解]　記A＝“甲恰好命中2次”，B＝“乙恰好命中2次”，A，B為相互獨(dú)立事件，兩人恰好都命中2次的概率為P(AB)，則P(AB)＝P(A)P(B)＝3×0.82×0.2×3×0.72×0.3≈0.169.
[誤區(qū)警示]　首先理解清楚互斥事件與相互獨(dú)立事件的概念，并且區(qū)分計(jì)算概率的公式．A，B為互斥事件時(shí)，有概率公式為P(A∪B)＝P(A)＋P(B)，A，B為獨(dú)立事件時(shí)，有概率公式為P(AB)＝P(A)P(B)．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 打靶時(shí)甲每打10次，可中靶8次；乙每打10次，可中靶7次．若兩人同時(shí)射擊一個(gè)目標(biāo)，則它們都中靶的概率是( D )
A. B．
C． D．
[解析]　由題意知甲中靶的概率為，乙中靶的概率為，兩人打靶相互獨(dú)立，同時(shí)中靶的概率P＝×＝.故選D.
1．袋中有黑、白兩種顏色的球，從中進(jìn)行有放回地摸球，用A1表示第一次摸得黑球，A2表示第二次摸得黑球，則A1與2是( A )
A．相互獨(dú)立事件　　　 B．不相互獨(dú)立事件
C．互斥事件 D．對(duì)立事件
[解析]　由題意可得2表示第二次摸到的不是黑球，即2表示第二次摸到的是白球，由于采用有放回地摸球，故每次是否摸到白球互不影響，故事件A1與2是相互獨(dú)立事件，由于A1與2可能同時(shí)發(fā)生，故不是互斥事件也不是對(duì)立事件．故選A.
2．從應(yīng)屆高中生中選拔飛行員，已知這批學(xué)生體型合格的概率為，視力合格的概率為，其他幾項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)合格的概率為，從中任選一名學(xué)生，則該生三項(xiàng)均合格的概率為(假設(shè)三項(xiàng)標(biāo)準(zhǔn)互不影響)( C )
A. B．
C． D．
[解析]　P＝××＝.
3．(多選題)分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，設(shè)事件A＝“第一枚出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，事件B＝“第二枚出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，則下列結(jié)論正確的是( AD )
A．P(A)＝ B．P(AB)＝
C．事件A與B互斥 D．事件A與B相互獨(dú)立
[解析]　分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的骰子，其中基本事件的總數(shù)為36種，事件A＝“第一枚出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為奇數(shù)”，共有3×6＝18種，所以P(A)＝，所以A正確；由事件B＝“第二枚出現(xiàn)點(diǎn)數(shù)為偶數(shù)”，所以P(AB)＝＝，所以B不正確；當(dāng)?shù)谝幻稈伋?點(diǎn)，第二枚拋出2點(diǎn)時(shí)，此時(shí)事件A與事件B同時(shí)發(fā)生，所以A與B不互斥，所以C不正確；由P(B)＝＝，可得P(AB)＝P(A)P(B)，所以事件A與事件B相互獨(dú)立，所以D正確．故選AD.
4．端午節(jié)放假，甲、乙、丙回老家過(guò)節(jié)的概率分別為，，.假定三人的行動(dòng)相互之間沒(méi)有影響，那么這段時(shí)間內(nèi)至少有1人回老家過(guò)節(jié)的概率為( B )
A. B．
C． D．
[解析]　因?yàn)榧住⒁摇⒈乩霞疫^(guò)節(jié)的概率分別為，，，所以他們不回老家過(guò)節(jié)的概率分別為，，.“至少有1人回老家過(guò)節(jié)”的對(duì)立事件是“沒(méi)有人回老家過(guò)節(jié)”，所以至少有1人回老家過(guò)節(jié)的概率為1－××＝.
5．事件A，B，C相互獨(dú)立，若P(AB)＝，P(C)＝，P(AB)＝，則P(B)＝ 　，P(B)＝ 　，P(B＋C)＝ 　.
[解析]　由A，B，C相互獨(dú)立，P(AB)＝，得
P(AB)＝P(AB)·P()＝.
∴P()＝，P(C)＝.
又P(C)＝，∴P()＝，則P(B)＝.
又P(AB)＝，∴P(A)＝.
∴P(B)＝P()·P(B)＝×＝，
P(B＋C)＝1－P(　)＝1－P()·P()＝1－×＝.10.3　頻率與概率
課標(biāo)要求
1．了解隨機(jī)事件發(fā)生的不確定性和頻率的穩(wěn)定性．
2．理解概率的意義，利用概率知識(shí)正確求解現(xiàn)實(shí)生活中的實(shí)際問(wèn)題．
3．理解概率的意義及頻率與概率的區(qū)別．
4．能夠利用古典概型或蒙特卡洛法進(jìn)行求解．
素養(yǎng)要求
通過(guò)運(yùn)用恰當(dāng)?shù)睦映橄蟪鲱l率的穩(wěn)定性，理解頻率與概率之間的聯(lián)系與區(qū)別，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象與邏輯推理素養(yǎng)．通過(guò)了解隨機(jī)數(shù)的意義及用模擬的方法估計(jì)概率，發(fā)展數(shù)學(xué)抽象及數(shù)據(jù)分析素養(yǎng).
知識(shí)點(diǎn) 1　頻率的穩(wěn)定性
大量的試驗(yàn)證明，在任何確定次數(shù)的隨機(jī)試驗(yàn)中，一個(gè)隨機(jī)事件A發(fā)生的頻率具有_隨機(jī)性__.一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的幅度會(huì)_縮小__，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)，我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的_穩(wěn)定性__.因此我們可以用頻率fn(A)估計(jì)_概率P(A)__.
[拓展]　頻率與概率的關(guān)系
概率可以通過(guò)頻率來(lái)“測(cè)量”或者說(shuō)頻率是概率的一個(gè)近似，概率從數(shù)量上反映了一個(gè)事件發(fā)生的可能性的大小．
說(shuō)明：(1)頻率本身是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定，做同樣次數(shù)的重復(fù)試驗(yàn)得到事件的頻率會(huì)不同．而概率是一個(gè)確定的常數(shù)，是客觀存在的，與每次試驗(yàn)無(wú)關(guān)．
(2)頻率是概率的近似值，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)越來(lái)越接近概率．
練一練：
氣象臺(tái)預(yù)測(cè)“本市明天降雨的概率是90%”，對(duì)預(yù)測(cè)的正確理解是( D )
A．本市明天將有90%的地區(qū)降雨
B．本市明天將有90%的時(shí)間降雨
C．明天出行不帶雨具肯定會(huì)淋雨
D．明天出行不帶雨具可能會(huì)淋雨
[解析]　“本市明天降雨的概率是90%”也即為“本市明天降雨的可能性為90%”．故選D.
知識(shí)點(diǎn) 2　隨機(jī)模擬
1．隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生
(1)標(biāo)號(hào)：把n個(gè)_大小、形狀__相同的小球分別標(biāo)上1,2,3，…，n.
(2)攪拌：放入一個(gè)袋中，把它們_充分?jǐn)嚢鑏_.
(3)摸取：從中摸出_一個(gè)__.
這個(gè)球上的數(shù)就稱為從1～n之間的隨機(jī)整數(shù)，簡(jiǎn)稱隨機(jī)數(shù)．
2．偽隨機(jī)數(shù)的產(chǎn)生
(1)規(guī)則：依照確定的算法．
(2)特點(diǎn)：具有周期性(周期很長(zhǎng))．
(3)性質(zhì)：它們具有類似_隨機(jī)數(shù)__的性質(zhì)．
計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)并不是真正的隨機(jī)數(shù)，我們稱為_(kāi)偽隨機(jī)數(shù)__.
3．產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的常用方法
①_用計(jì)算器產(chǎn)生__；②_用計(jì)算機(jī)產(chǎn)生__；③_抽簽法__.
4．隨機(jī)模擬方法(蒙特卡洛方法)
利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)來(lái)做模擬試驗(yàn)，通過(guò)模擬試驗(yàn)得到的_頻率__來(lái)估計(jì)_概率__，這種用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器模擬試驗(yàn)的方法稱為隨機(jī)模擬方法或蒙特卡洛方法．
[拓展]　用隨機(jī)模擬法估計(jì)概率
(1)隨機(jī)模擬法估計(jì)概率的思想
隨機(jī)模擬法是通過(guò)將一次試驗(yàn)所有可能發(fā)生的結(jié)果數(shù)字化，用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器產(chǎn)生的隨機(jī)數(shù)來(lái)替代每次試驗(yàn)的結(jié)果．其基本思想是，用產(chǎn)生整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)的頻率估計(jì)事件發(fā)生的概率．
(2)隨機(jī)模擬法的優(yōu)點(diǎn)
不需要對(duì)試驗(yàn)進(jìn)行具體操作，是一種簡(jiǎn)單、實(shí)用的科研方法，可以廣泛地應(yīng)用到生產(chǎn)生活的各個(gè)領(lǐng)域中去．
(3)隨機(jī)模擬法的步驟
①建立概率模型；
②進(jìn)行模擬試驗(yàn)(可用計(jì)算器或計(jì)算機(jī)進(jìn)行)；
③統(tǒng)計(jì)試驗(yàn)結(jié)果．
練一練：
在用隨機(jī)模擬方法解決“盒中僅有4個(gè)白球和5個(gè)黑球，從中取4個(gè)，求取出2個(gè)白球2個(gè)黑球的概率”問(wèn)題時(shí)，可讓計(jì)算機(jī)產(chǎn)生1～9的隨機(jī)整數(shù)，并用1～4代表白球，用5～9代表黑球．因?yàn)槭敲?個(gè)球，所以每4個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組．若得到的一組隨機(jī)數(shù)為“4678”，則它代表的含義是_摸出的4個(gè)球中，只有1個(gè)白球__.
[解析]　分析題意，易知數(shù)字4代表白球，數(shù)字6,7,8代表黑球，因此這組隨機(jī)數(shù)的含義為摸出的4個(gè)球中，只有1個(gè)白球．
題型探究
題型一 頻率與概率的關(guān)系
典例1　下列說(shuō)法正確的是( A )
①頻率反映事件發(fā)生的頻繁程度，概率反映事件發(fā)生的可能性的大小；
②做n次隨機(jī)試驗(yàn)，事件A發(fā)生了m次，則事件A發(fā)生的概率P(A)＝；
③含百分比的數(shù)是頻率，但不是概率；
④頻率是不能脫離n次隨機(jī)試驗(yàn)的試驗(yàn)值，而概率是脫離隨機(jī)試驗(yàn)的客觀值；
⑤概率是頻率的穩(wěn)定值．
A．①④⑤ B．①②
C．②③ D．②③⑤
[解析]　根據(jù)頻率與概率的定義，可知①正確；概率不是頻率，而②中所給的是事件A發(fā)生的頻率，因此②錯(cuò)誤；概率是一個(gè)數(shù)值，可以是百分?jǐn)?shù)也可以是小數(shù)，因此③錯(cuò)誤；根據(jù)概率的定義可知，概率是一個(gè)客觀值，頻率是一個(gè)試驗(yàn)值，因此④正確，⑤正確．故選A.
[歸納提升]　(1)頻率是概率的近似值，隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，頻率會(huì)越來(lái)越接近概率．
(2)頻率本身是隨機(jī)的，在試驗(yàn)前不能確定．
(3)概率是一個(gè)確定的常數(shù)，是客觀存在的，在試驗(yàn)前已經(jīng)確定，與試驗(yàn)次數(shù)無(wú)關(guān)．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 在n次重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率為，當(dāng)n很大時(shí)，那么P(A)與的大小關(guān)系是( A )
A．P(A)≈ B．P(A)<
C．P(A)> D．P(A)＝
[解析]　在n次重復(fù)進(jìn)行的試驗(yàn)中，事件A發(fā)生的頻率為，當(dāng)n很大時(shí)，越來(lái)越接近P(A)，因此我們可以用近似地代替P(A)．故選A.
題型二 用隨機(jī)事件的頻率估計(jì)其概率
典例2　為了了解一個(gè)小水庫(kù)中養(yǎng)殖的魚的有關(guān)情況，從這個(gè)水庫(kù)中多個(gè)不同位置捕撈出100條魚，稱得每條魚的質(zhì)量(單位：kg)，并將所得數(shù)據(jù)分組，畫出頻率分布直方圖(如圖)．
(1)在下面的表格中填寫相應(yīng)的頻率；
分組 頻率
[1.00,1.05)
[1.05,1.10)
[1.10,1.15)
[1.15,1.20)
[1.20,1.25)
[1.25,1.30]
(2)估計(jì)數(shù)據(jù)落在[1.15,1.30]中的概率為多少；
(3)將上面捕撈的100條魚分別做一記號(hào)后再放回水庫(kù)，幾天后再?gòu)乃畮?kù)的多處不同位置捕撈出120條魚，其中帶有記號(hào)的魚有6條，請(qǐng)根據(jù)這一情況來(lái)估計(jì)該水庫(kù)中魚的總條數(shù)．
[解析]　(1)由頻率分布直方圖可知，頻率＝組距×，故可得下表：
分組 頻率
[1.00,1.05) 0.05
[1.05,1.10) 0.20
[1.10,1.15) 0.28
[1.15,1.20) 0.30
[1.20,1.25) 0.15
[1.25,1.30] 0.02
(2)0.30＋0.15＋0.02＝0.47，故估計(jì)數(shù)據(jù)落在[1.15，1.30]中的概率為 0.47.
(3)＝2 000，即估計(jì)該水庫(kù)中魚的總條數(shù)為2 000.
[歸納提升]　將容量為n的樣本放回總體后，要等這個(gè)樣本在總體中分布均勻后才能再次抽取，這樣，才能保證在下次抽取時(shí)，每個(gè)個(gè)體被抽到的機(jī)會(huì)均等．高考對(duì)該部分內(nèi)容的考查以概率在實(shí)際生活中的綜合應(yīng)用為主，涉及面廣，包括古典概型的求解及其應(yīng)用等，多與其他知識(shí)相結(jié)合，以解答題的形式進(jìn)行考查，但難度不大．
對(duì)點(diǎn)練來(lái)，我國(guó)肥胖人群的規(guī)模急速增長(zhǎng)，常用身體質(zhì)量指數(shù)BMI來(lái)衡量人體胖瘦程度．其計(jì)算公式是：BMI＝，成年人的BMI數(shù)值標(biāo)準(zhǔn)是：BMI<18.5為偏瘦；18.5≤BMI<24為正常；24≤BMI<28為偏胖；BMI≥28為肥胖．某公司隨機(jī)抽取了100個(gè)員工的體檢數(shù)據(jù)，將其BMI值分成以下五組：[12,16)，[16,20)，[20,24)，[24,28)，[28,32]，得到相應(yīng)的頻率分布直方圖．
(1)求a的值，并估計(jì)該公司員工BMI的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)與中位數(shù)(精確到0.1)；
(2)該公司共有1 200名員工，用頻率估計(jì)概率，估計(jì)該公司員工BMI數(shù)值正常的人數(shù)．
[解析]　(1)根據(jù)頻率分布直方圖可知組距為4，
所以4×(0.01＋0.04＋0.09＋a＋0.03)＝1，解得a＝0.08.
該公司員工BMI的樣本數(shù)據(jù)的眾數(shù)為22 .
設(shè)該公司員工BMI的樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)為x，
則4×0.01＋4×0.04＋(x－20)×0.09＝0.5，解得x≈23.3.
故該公司員工BMI的樣本數(shù)據(jù)的中位數(shù)約為23.3.
(2)因?yàn)槌赡耆说腂MI數(shù)值18.5≤BMI<24為正常，
所以該公司員工BMI數(shù)值正常的概率為
0．04×(20－18.5)＋0.09×(24－20)＝0.42，
所以該公司員工BMI數(shù)值正常的人數(shù)為1 200×0.42＝504.
題型三 簡(jiǎn)單的隨機(jī)模擬試驗(yàn)的應(yīng)用
典例3　一份測(cè)試題包括6道選擇題，每題4個(gè)選項(xiàng)且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，如果一個(gè)學(xué)生對(duì)每一道題都隨機(jī)猜一個(gè)答案，用隨機(jī)模擬方法估計(jì)該學(xué)生至少答對(duì)3道題的概率．(已知計(jì)算機(jī)或計(jì)算器做模擬試驗(yàn)可以模擬每次猜對(duì)的概率是25%)
[解析]　我們通過(guò)設(shè)計(jì)模擬試驗(yàn)的方法來(lái)解決問(wèn)題，利用計(jì)算機(jī)或計(jì)算器可以產(chǎn)生0到3之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，我們用0表示猜的選項(xiàng)正確，1,2,3表示猜的選項(xiàng)錯(cuò)誤，這樣可以體現(xiàn)猜對(duì)的概率是25%，因?yàn)楣膊?道題，所以每6個(gè)隨機(jī)數(shù)作為一組，例如，產(chǎn)生25組隨機(jī)數(shù)：
330130　302220　133020　022011　313121
222330　231022　001003　213322　030032
100211　022210　231330　321202　031210
232111　210010　212020　230331　112000
102330　200313　303321　012033　321230
就相當(dāng)于做了25次試驗(yàn)，在每組數(shù)中，如果恰有3個(gè)或3個(gè)以上的數(shù)是0，則表示至少答對(duì)3道題，它們分別是001003,030032,210010,112000，即共有4組數(shù)，我們得到該同學(xué)6道選擇題至少答對(duì)3道題的概率近似為＝0.16.
[歸納提升]　用隨機(jī)數(shù)模擬法求事件概率的方法
在使用整數(shù)隨機(jī)數(shù)模擬試驗(yàn)時(shí)，首先要確定隨機(jī)數(shù)的范圍和用哪個(gè)代表試驗(yàn)結(jié)果．
(1)試驗(yàn)的基本結(jié)果是等可能時(shí)，樣本點(diǎn)的總數(shù)即為產(chǎn)生隨機(jī)數(shù)的范圍，每個(gè)隨機(jī)數(shù)代表一個(gè)樣本點(diǎn)．
(2)研究等可能事件的概率時(shí)，用按比例分配的方法確定表示各個(gè)結(jié)果的數(shù)字個(gè)數(shù)及總個(gè)數(shù)．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 袋子中有四個(gè)小球，分別寫有“春、夏、秋、冬”四個(gè)字，從中任取一個(gè)小球，取到“冬”就停止，用隨機(jī)模擬的方法估計(jì)直到第二次停止的概率：先由計(jì)算器產(chǎn)生1到4之間取整數(shù)值的隨機(jī)數(shù)，且用1,2,3,4表示取出的小球上分別寫有“春、夏、秋、冬”四個(gè)字，每?jī)蓚€(gè)隨機(jī)數(shù)為一組，代表兩次的結(jié)果，經(jīng)隨機(jī)模擬產(chǎn)生了20組隨機(jī)數(shù)：
13　24　12　32　43　14　24　32　31　21
23　13　32　21　24　42　13　32　21　34
據(jù)此估計(jì)，直到第二次就停止的概率為( B )
A. B．
C． D．
[解析]　在這20組數(shù)據(jù)中，第一個(gè)數(shù)不是2，第二個(gè)數(shù)是2的就表示第一次沒(méi)取到“冬”，第二次取到“冬”，它們分別是12,32,32,32,42,32，共有5組，因此直到第二次就停止的概率為＝.
易錯(cuò)警示
對(duì)頻率與概率的關(guān)系理解不清
典例4　某同學(xué)擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣10次，共有8次反面向上，于是他指出：“擲一枚質(zhì)地均勻的硬幣，出現(xiàn)反面向上的概率應(yīng)為0.8”．你認(rèn)為他的結(jié)論正確嗎？為什么？
[錯(cuò)解]　正確．?dāng)S硬幣10次，有8次反面向上，則出現(xiàn)反面向上的概率P＝＝0.8.
[錯(cuò)因分析]　得出概率為0.8，顯然是對(duì)概率的統(tǒng)計(jì)性定義的曲解．事實(shí)上，概率定義中用頻率的近似值刻畫概率，要求試驗(yàn)次數(shù)足夠多．
[正解]　不正確．因?yàn)楦怕适鞘挛锏谋举|(zhì)屬性，不隨試驗(yàn)次數(shù)的改變而改變，用頻率的近似值刻畫概率時(shí)，要求試驗(yàn)次數(shù)足夠多．
[誤區(qū)警示]　隨著試驗(yàn)次數(shù)的增加，隨機(jī)事件發(fā)生的頻率會(huì)在某個(gè)常數(shù)附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定，用這個(gè)常數(shù)來(lái)刻畫該隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小，即稱為這一事件發(fā)生的概率的近似值，而概率是一個(gè)確定的常數(shù)，與試驗(yàn)的次數(shù)無(wú)關(guān)．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) “某彩票的中獎(jiǎng)概率為”意味著( D )
A．買100張彩票就一定能中獎(jiǎng)
B．買100張彩票能中一次獎(jiǎng)
C．買100張彩票一次獎(jiǎng)也不中
D．購(gòu)買彩票中獎(jiǎng)的可能性為
[解析]　某彩票的中獎(jiǎng)率為，意味著中獎(jiǎng)的可能性為，可能中獎(jiǎng)，也可能不中獎(jiǎng)．
1．某同學(xué)做立定投籃訓(xùn)練，共做3組，每組投籃次數(shù)和命中的次數(shù)如下表：
第一組 第二組 第三組 合計(jì)
投籃次數(shù) 100 200 300 600
命中的次數(shù) 68 124 174 366
命中的頻率 0.68 0.62 0.58 0.61
根據(jù)表中的數(shù)據(jù)信息，用頻率估計(jì)一次投籃命中的概率，則使誤差較小、可能性大的估計(jì)值是( B )
A．0.58 B．0.61
C．0.62 D．0.68
[解析]　由題可知，試驗(yàn)次數(shù)越多，頻率越接近概率，對(duì)可能性的估計(jì)誤差越小，可能性越大，所以合計(jì)列對(duì)應(yīng)的頻率最為合適．故選B.
2．若在同等條件下進(jìn)行n次重復(fù)試驗(yàn)得到某個(gè)事件A發(fā)生的頻率f(n)，則隨著n的逐漸增加，有( D )
A．f(n)與某個(gè)常數(shù)相等
B．f(n)與某個(gè)常數(shù)的差逐漸減小
C．f(n)與某個(gè)常數(shù)差的絕對(duì)值逐漸減小
D．f(n)在某個(gè)常數(shù)的附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定
[解析]　隨著n的增大，頻率f(n)會(huì)在概率附近擺動(dòng)并趨于穩(wěn)定，這也是頻率與概率的關(guān)系．
3．在利用整數(shù)隨機(jī)數(shù)進(jìn)行隨機(jī)模擬試驗(yàn)中，整數(shù)a到整數(shù)b之間的每個(gè)整數(shù)出現(xiàn)的可能性是 　.
[解析]　[a，b]中共有b－a＋1個(gè)整數(shù)，每個(gè)整數(shù)出現(xiàn)的可能性相等，所以每個(gè)整數(shù)出現(xiàn)的可能性是.
4．某商品的合格率為99.9%，某單位購(gòu)買此商品1 000件，他們認(rèn)為其中一定有一件是不合格的，你認(rèn)為這種判斷_不合理__(填“合理”或“不合理”)．
5．某射手在同一條件下進(jìn)行射擊，結(jié)果如下表所示：
射擊次數(shù)n 10 20 50 100 200 500
擊中靶心次數(shù)m 8 19 44 92 178 455
擊中靶心的頻率
(1)填寫表中擊中靶心的頻率；
(2)這個(gè)射手射擊一次，擊中靶心的概率約是多少？
(3)這個(gè)射手連續(xù)射擊兩次(第一次是否擊中靶心對(duì)第二次沒(méi)有影響)，恰有一次擊中靶心的概率約為多少？
[解析]　(1)表中依次填入的數(shù)據(jù)為：0.80,0.95，0.88，0.92，0.89,0.91.
(2)由于頻率穩(wěn)定在常數(shù)0.9附近，所以這個(gè)射手射擊一次，擊中靶心的概率約是0.9.
(3)由(2)可知連續(xù)射擊兩次，恰有一次擊中靶心的概率約為0.9×(1－0.9)＋(1－0.9)×0.9＝0.18.章末知識(shí)梳理
1．隨機(jī)試驗(yàn)的特點(diǎn)
(1)試驗(yàn)可以在相同條件下重復(fù)進(jìn)行．
(2)試驗(yàn)的所有可能結(jié)果是明確可知的，并且不止一個(gè)．
(3)每次試驗(yàn)總是恰好出現(xiàn)這些可能結(jié)果中的一個(gè)，但事先不能確定出現(xiàn)哪一個(gè)結(jié)果．
2．有限樣本空間與隨機(jī)事件
(1)有限樣本空間：隨機(jī)試驗(yàn)E的每個(gè)可能的基本結(jié)果稱為樣本點(diǎn)，用ω表示，全體樣本點(diǎn)的集合稱為試驗(yàn)E的樣本空間，用Ω表示，稱樣本空間Ω＝{ω1，ω2，ω3，…，ωn}為有限樣本空間．
(2)樣本空間Ω的子集稱為隨機(jī)事件，稱Ω為必然事件，稱 為不可能事件．
3．事件的關(guān)系與運(yùn)算
事件關(guān)系或運(yùn)算 含義 符號(hào)表示
包含 A發(fā)生導(dǎo)致B發(fā)生 A B
并事件(和事件) A與B至少一個(gè)發(fā)生 A∪B或A＋B
交事件(積事件) A與B同時(shí)發(fā)生 A∩B或AB
互斥(互不相容) A與B不能同時(shí)發(fā)生 A∩B＝
互為對(duì)立 A與B有且僅有一個(gè)發(fā)生 A∩B＝ ，且A∪B＝Ω
4.古典概型計(jì)算公式
P(A)＝＝，其中n(A)和n(Ω)分別表示事件A和樣本空間Ω包含的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)．
5．概率的基本性質(zhì)
性質(zhì)1　對(duì)任意事件A，都有P(A)≥0；
性質(zhì)2　必然事件的概率為1，不可能事件的概率為0，即P(Ω)＝1；P( )＝0；
性質(zhì)3　如果事件A與事件B互斥，那么P(A∪B)＝P(A)＋P(B)；
性質(zhì)4　如果事件A與事件B互為對(duì)立事件，那么P(B)＝1－P(A)，P(A)＝1－P(B)；
性質(zhì)5　如果A B，那么P(A)≤P(B)；
性質(zhì)6　設(shè)A，B是一個(gè)隨機(jī)試驗(yàn)中的兩個(gè)事件，我們有P(A∪B)＝P(A)＋P(B)－P(A∩B)．
6．事件的相互獨(dú)立性
對(duì)任意兩個(gè)事件A與B，如果P(AB)＝P(A)P(B)成立，則稱事件A與事件B相互獨(dú)立，簡(jiǎn)稱為獨(dú)立．
7．頻率與概率
一般地，隨著試驗(yàn)次數(shù)n的增大，頻率偏離概率的
幅度會(huì)縮小，即事件A發(fā)生的頻率fn(A)會(huì)逐漸穩(wěn)定于事件A發(fā)生的概率P(A)．我們稱頻率的這個(gè)性質(zhì)為頻率的穩(wěn)定性．因此，可以用頻率fn(A)估計(jì)概率P(A)．
要點(diǎn)一 互斥事件、對(duì)立事件與相互獨(dú)立事件
典例1　從1,2,3，…，7這7個(gè)數(shù)中任取兩個(gè)數(shù)，其中：
①恰有一個(gè)是偶數(shù)和恰有一個(gè)是奇數(shù)；
②至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是奇數(shù)；
③至少有一個(gè)是奇數(shù)和兩個(gè)都是偶數(shù)；
④至少有一個(gè)是奇數(shù)和至少有一個(gè)是偶數(shù)．
上述事件中，是對(duì)立事件的是( C )
A．① B．②④
C．③ D．①③
[解析]　③中“至少有一個(gè)是奇數(shù)”，即“兩個(gè)奇數(shù)或一奇一偶”，而從1～7中任取兩個(gè)數(shù)，根據(jù)取到數(shù)的奇偶性可認(rèn)為共有三個(gè)事件：“兩個(gè)都是奇數(shù)”“一奇一偶”“兩個(gè)都是偶數(shù)”，故“至少有一個(gè)是奇數(shù)”與“兩個(gè)都是偶數(shù)”是對(duì)立事件，易知其余都不是對(duì)立事件．
[歸納提升]　1.互斥事件是不可能同時(shí)發(fā)生的兩個(gè)事件；對(duì)立事件除要求這兩個(gè)事件不同時(shí)發(fā)生外，還要求二者必須有一個(gè)發(fā)生．因此對(duì)立事件一定是互斥事件，但互斥事件不一定是對(duì)立事件，對(duì)立事件是互斥事件的特殊情況．
2．掌握互斥事件和對(duì)立事件的概率公式及應(yīng)用，提升邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算素養(yǎng)．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) (1)在5張電話卡中，有3張移動(dòng)卡和2張聯(lián)通卡，從中任取2張，若事件“2張全是移動(dòng)卡”的概率是，那么概率是的事件是( A )
A．至多有一張移動(dòng)卡
B．恰有一張移動(dòng)卡
C．都不是移動(dòng)卡
D．至少有一張移動(dòng)卡
(2)(2021·全國(guó)新高考Ⅰ)有6個(gè)相同的球，分別標(biāo)有數(shù)字1,2,3,4,5,6，從中有放回的隨機(jī)取兩次，每次取1個(gè)球、甲表示事件“第一次取出的球的數(shù)字是1”，乙表示事件“第二次取出的球的數(shù)字是2”，丙表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是8”，丁表示事件“兩次取出的球的數(shù)字之和是7”，則( B )
A．甲與丙相互獨(dú)立
B．甲與丁相互獨(dú)立
C．乙與丙相互獨(dú)立
D．丙與丁相互獨(dú)立
[解析]　由獨(dú)立事件的定義知B正確.
要點(diǎn)二 古典概型
典例2　我國(guó)數(shù)學(xué)家陳景潤(rùn)在哥德巴赫猜想的研究中取得了世界領(lǐng)先的成果，哥德巴赫猜想的內(nèi)容是：每個(gè)大于2的偶數(shù)都可以表示為兩個(gè)素?cái)?shù)的和，例如：4＝2＋2,6＝3＋3,8＝3＋5，那么在不超過(guò)12的素?cái)?shù)中隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，其和為奇數(shù)的概率為( B )
A. B．
C． D．
[解析]　不超過(guò)12 的素?cái)?shù)為2,3,5,7,11，隨機(jī)選取兩個(gè)不同的數(shù)，共有(2,3)，(2,5)，(2,7)，(2,11)，(3,5)，(3,7)，(3,11)，(5,7)，(5,11)，(7,11)，共10種方法，其和為奇數(shù)的共有4種方法，故其和為奇數(shù)的概率為＝.
[歸納提升]　1.古典概型是一種最基本的概率模型，是學(xué)習(xí)其他概率模型的基礎(chǔ)，解題時(shí)要緊緊抓住古典概型的兩個(gè)基本特征，即有限性和等可能性．在應(yīng)用公式P(A)＝時(shí)，關(guān)鍵在于正確理解試驗(yàn)的發(fā)生過(guò)程，求出試驗(yàn)的樣本空間的樣本點(diǎn)總數(shù)n和事件A的樣本點(diǎn)個(gè)數(shù)m.
2．掌握古典概型的概率公式及其應(yīng)用，提升數(shù)學(xué)抽象、數(shù)據(jù)分析的數(shù)學(xué)素養(yǎng)．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 為全面貫徹落實(shí)習(xí)近平總書記“把周總理的家鄉(xiāng)建設(shè)好，很有象征意義”的殷切囑托，近年來(lái)，淮安加快建設(shè)稻米、小龍蝦、規(guī)模畜禽、螃蟹、特色蔬菜五大產(chǎn)業(yè)集群，小龍蝦產(chǎn)業(yè)獲批國(guó)家優(yōu)勢(shì)特色產(chǎn)業(yè)集群，創(chuàng)成以小龍蝦為主導(dǎo)的國(guó)家現(xiàn)代農(nóng)業(yè)產(chǎn)業(yè)園、特色農(nóng)產(chǎn)品優(yōu)勢(shì)區(qū)．為了進(jìn)一步擴(kuò)大產(chǎn)業(yè)規(guī)模，某村農(nóng)業(yè)綜合服務(wù)中心決定對(duì)20戶養(yǎng)殖戶進(jìn)行技術(shù)幫扶，每戶配發(fā)同樣重量的龍蝦苗，經(jīng)過(guò)一段時(shí)間的養(yǎng)殖后，根據(jù)這20戶未存活的龍蝦苗重量(單位：公斤)繪制如下頻率直方圖，未存活重量超過(guò)30公斤的養(yǎng)殖戶，列為“重點(diǎn)幫扶養(yǎng)殖戶”．
(1)根據(jù)頻率直方圖估計(jì)這20戶的未存活龍蝦苗的平均數(shù)和中位數(shù)；
(2)現(xiàn)從“重點(diǎn)幫扶養(yǎng)殖戶”中隨機(jī)抽取兩戶調(diào)查其養(yǎng)殖情況，求抽出來(lái)的養(yǎng)殖戶中恰有一戶未存活龍蝦苗重量在(40,50]的概率．
[解析]　(1)根據(jù)頻率直方圖可得：每組的頻率依次為0.2,0.2,0.3,0.2,0.1，
估計(jì)平均數(shù)為：＝5×0.2＋15×0.2＋25×0.3＋35×0.2＋45×0.1＝23.
因?yàn)?.2＋0.2＝0.4<0.5,0.2＋0.2＋0.3＝0.7>0.5，
可知中位數(shù)位于[20,30)內(nèi)，設(shè)為m，
則0.4＋0.03(m－20)＝0.5，解得m＝，
所以可估計(jì)中位數(shù)為.
(2)由(1)可知：未存活龍蝦苗重量在(30,40]的養(yǎng)殖戶有20×0.2＝4個(gè)，記為A，B，C，D；
未存活龍蝦苗重量在(40,50]的養(yǎng)殖戶有20×0.1＝2個(gè)，記為a，b；
從“重點(diǎn)幫扶養(yǎng)殖戶”中隨機(jī)抽取兩個(gè)，則有AB，AC，AD，Aa，Ab，BC，BD，Ba，Bb，CD，Ca，Cb，Da，Db，ab，共15種情況，
其中有且僅有一個(gè)“重點(diǎn)幫扶養(yǎng)殖戶”在(40,50]的情況有Aa，Ab，Ba，Bb，Ca，Cb，Da，Db，共8種情況，
所以恰有一戶未存活龍蝦苗重量在(40,50]的概率P＝.
要點(diǎn)三 相互獨(dú)立事件概率的求法
典例3　甲、乙兩人進(jìn)行跳繩比賽，規(guī)定：若甲贏一局，比賽結(jié)束，甲勝出；若乙贏兩局，比賽結(jié)束，乙勝出．已知在一局比賽中甲、乙兩人獲勝的概率分別為，，則甲勝出的概率為 　.
[解析]　(解法一)甲勝的情況：①舉行一局比賽，甲勝出，比賽結(jié)束；②舉行兩局比賽，第一局乙勝、第二局甲勝．①②的概率分別為，×，且這兩個(gè)事件是互斥的，所以甲勝出的概率為＋×＝.
(解法二)因?yàn)楸荣愔挥屑讋俪龊鸵覄俪龅膬煞N結(jié)果，而乙勝出的情況只有一種，舉行兩局比賽都是乙勝出，其概率為×＝，所以甲勝出的概率為1－＝.
[歸納提升]　計(jì)算相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率，一般分為以下幾步：
(1)先用字母表示出事件，再分析題中涉及的事件，把這些事件分為若干個(gè)彼此互斥的事件的和；(2)根據(jù)相互獨(dú)立事件的概率公式計(jì)算出這些彼此互斥的事件的概率；(3)根據(jù)互斥事件的概率加法公式求出結(jié)果．
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 為研究某種農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格變化的規(guī)律，收集得到了該農(nóng)產(chǎn)品連續(xù)40天的價(jià)格變化數(shù)據(jù)，如下表所示．在描述價(jià)格變化時(shí)，用“＋”表示“上漲”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格高；用“－”表示“下跌”，即當(dāng)天價(jià)格比前一天價(jià)格低；用“0”表示“不變”，即當(dāng)天價(jià)格與前一天價(jià)格相同.
時(shí)段 價(jià)格變化
第1天到第20天 － ＋ ＋ 0 － － － ＋ ＋ 0 ＋ 0 － － ＋ － ＋ 0 0 ＋
第21天到第40天 0 ＋ ＋ 0 － － － ＋ ＋ 0 ＋ 0 ＋ － － － ＋ 0 － ＋
用頻率估計(jì)概率．
(1)試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”的概率；
(2)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化是相互獨(dú)立的．在未來(lái)的日子里任取4天，試估計(jì)該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格在這4天中2天“上漲”、1天“下跌”、1天“不變”的概率；
(3)假設(shè)該農(nóng)產(chǎn)品每天的價(jià)格變化只受前一天價(jià)格變化的影響．判斷第41天該農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格“上漲”“下跌”和“不變”的概率估計(jì)值哪個(gè)最大．(結(jié)論不要求證明)
[解析]　(1)根據(jù)表格數(shù)據(jù)可以看出，40天里，有16個(gè)＋，也就是有16天是上漲的，
根據(jù)古典概型的計(jì)算公式，農(nóng)產(chǎn)品價(jià)格上漲的概率為：＝0.4
(2)在這40天里，有16天上漲，14天下跌，10天不變，也就是上漲，下跌，不變的概率分別是0.4,0.35,0.25，
于是未來(lái)任取4天，2天上漲，1天下跌，1天不變的概率是C×0.42×C×0.35×0.25＝0.168
(3)由于第40天處于上漲狀態(tài)，從前39次的15次上漲進(jìn)行分析，上漲后下一次仍上漲的有4次，不變的有9次，下跌的有2次，
因此估計(jì)第41次不變的概率最大.
要點(diǎn)四 頻率與概率
典例4　某學(xué)校為了解高一新生的體質(zhì)健康狀況，對(duì)學(xué)生的體質(zhì)進(jìn)行了測(cè)試．現(xiàn)從男、女生中各隨機(jī)抽取20人，把他們的測(cè)試數(shù)據(jù)，按照《國(guó)家學(xué)生體質(zhì)健康標(biāo)準(zhǔn)》整理如下表．規(guī)定：數(shù)據(jù)≥60，體質(zhì)健康為合格.
等級(jí) 數(shù)據(jù)范圍 男生人數(shù) 男生平均分 女生人數(shù) 女生平均分
優(yōu)秀 [90,100] 5 91.3 2 91
良好 [80,89] 4 83.9 4 84.1
及格 [60,79] 8 70 11 70.2
不及格 60以下 3 49.6 3 49.1
合計(jì) －－ 20 75.0 20 71.9
(1)從樣本中隨機(jī)選取一名學(xué)生，求這名學(xué)生體質(zhì)健康為合格的概率；
(2)從男生樣本和女生樣本中各隨機(jī)選取一人，求恰有一人的體質(zhì)健康等級(jí)是優(yōu)秀的概率．
[解析]　(1)樣本中合格的學(xué)生人數(shù)為5＋2＋4＋4＋8＋11＝34，樣本總數(shù)為20＋20＝40，則這名學(xué)生體質(zhì)健康為合格的概率是＝.
(2)設(shè)事件A為“從男生樣本中隨機(jī)選出一人的體質(zhì)健康等級(jí)是優(yōu)秀”，則P(A)＝＝.事件B為“從女生樣本中隨機(jī)選出一人的體質(zhì)健康等級(jí)是優(yōu)秀”，則P(B)＝＝.
因?yàn)锳，B為獨(dú)立事件，故所求概率為P(A＋B)＝P(A)＋P(B)＝×＋×＝.
對(duì)點(diǎn)練習(xí) 某學(xué)生興趣小組隨機(jī)調(diào)查了某市100天中每天的空氣質(zhì)量等級(jí)和當(dāng)天到某公園鍛煉的人次，整理數(shù)據(jù)得到下表(單位：天)：
空氣質(zhì)量等級(jí) 鍛煉人次
[0,200] (200,400] (400,600]
1(優(yōu)) 2 16 25
2(良) 5 10 12
3(輕度污染) 6 7 8
4(中度污染) 7 2 0
(1)分別估計(jì)該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的概率；
(2)求一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值(同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點(diǎn)值為代表)．
[解析]　(1)由所給數(shù)據(jù)，得該市一天的空氣質(zhì)量等級(jí)為1,2,3,4的頻數(shù)依次為43,27,21,9，
則頻率依次為0.43,0.27,0.21,0.09，
用頻率估計(jì)概率，可得概率的估計(jì)值如下表：
空氣質(zhì)量等級(jí) 1 2 3 4
概率的估計(jì)值 0.43 0.27 0.21 0.09
(2)由題意可得：在[0,200]，(200,400]，(400,600]內(nèi)的人次依次為20,35,45，
所以一天中到該公園鍛煉的平均人次的估計(jì)值為×(100×20＋300×35＋500×45)＝350.

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