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10.1 計數原理
一、單選題
1．從甲地到乙地，一天中有5次火車，12次客車，3次飛機航班，還有6次輪船，某人某天要從甲地到乙地，共有不同走法的種數是（ ）
A．26 B．60 C．18 D．1080
【答案】A
【解析】由分類加法計數原理知有（種）不同走法，故選：A．
2．從5件不同的禮物中選出2件，分別送給甲、乙兩人，每人一件禮物，則不同的送法種數為（ ）
A．10 B．20 C．25 D．32
【答案】B
【解析】從5件不同的禮物中選出2件，分別送給甲、乙兩人，每人一件禮物，第一步選一件禮物給甲，有5種不同方法，第二步選一件禮物給乙，有4種不同方法，總方法為，故選：B．
3．某一數學問題可用綜合法和分析法兩種方法證明，有6名同學只會用綜合法證明，有4名同學只會用分析法證明，現從這些同學中任選1名同學證明這個問題，不同的選法種樹為（ ）.
A．10 B．16 C．20 D．24
【答案】A
【解析】由題意，每一種方法都能證明該問題，根據分類加法計數原理，可得共有（種），故選：A.
4．小張去工作室需要通過三重門，他必須問管理員要到每重門的鑰匙才能到達工作室.第一重門的鑰匙有3把（每把顏色不同），第二重門的鑰匙有4把（每把顏色不同），第三重門的鑰匙有3把（每把顏色不同），管理員要求他從這10把鑰匙中取3把，則他能到達工作室的不同的取法共有（ ）
A．10種 B．24種 C．36種 D．120種
【答案】C
【解析】依題意，進入第一重門有3種取法，進入第二重門有4種取法，進入第三重門有3種取法，
由分步乘法計數原理可知，不同的取法共有種，故選：C.
5．某班元旦晚會原定的個節目已排成節目單，開演前又增加了個新節目，如果將這兩個節目插入原節目單中，那么不同的插法的種數有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】D
【解析】將第一個新節目插入個節目排成的節目單中有種插入方法，再將第二個新節目插入到剛排好的個節目排成的節目單中有種插入方法，利用分步乘法計數原理，共有插入方法：（種），故選：D.
6．從10人中選出2人分別為正副班長，選法種數為 （ ）
A.45 B.90 C.30 D.180
【答案】B
【解析】從10人中選出2人分別為正副班長，選法種數為：，故選：B.
7．某學校社團為舉辦慶祝中國共產黨成立102周年革命歌曲展演．現從《歌唱祖國》《英雄贊歌》《南泥灣》《沒有共產黨就沒有新中國》4首獨唱歌曲和《保衛黃河》《唱支山歌給黨聽》《我和我的祖國》3首合唱歌曲中共選出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必須是合唱，則不同的安排方法共有（ ）
A．40 B．240 C．120 D．360
【答案】D
【解析】根據題意，在3首合唱歌曲中任選1首，安排在最后，有3種安排方法，在其他6首歌曲中任選3首，作為前3首歌曲，有種安排方法，則有種不同的安排方法，故選：D．
8．已知集合，．現從集合A中取一個元素作為點P的橫坐標，從集合B中取一個元素作為點P的縱坐標，則位于第四象限的點P有（ ）
A．16個 B．12個 C．9個 D．6個
【答案】D
【解析】因為第四象限的點橫坐標為正，縱坐標為負，所以集合中只有符合，集合中只有符合，所以第四象限的點P有個，故選：D.
9．展開后的項數為（ ）
A．10 B．18 C．24 D．36
【答案】C
【解析】根據分步乘法原理，展開后的項數有：項，故選：C.
10．有5個不同的棱柱、3個不同的棱錐、4個不同的圓臺、2個不同的球，若從中任取多面體和旋轉體各1個，則不同取法的種數是（ ）．
A．14 B．23 C．48 D．120
【答案】C
【解析】分兩步：第1步，取多面體，分兩類，可以從5個不同的棱柱或3個不同的棱錐中取一個，
根據分類加法計數原理有（種）不同的取法；第2步，取旋轉體，分兩類，可以從4個不同的圓臺或2個不同的球中取一個，根據分類加法計數原理有（種）不同的取法．所以根據分步乘法計數原理知不同的取法種數是．故選：C．
二、填空題
11．書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.從書架上任取1本書，不同的取法有__________種.
【答案】9
【解析】由題意，若從第一層取書，則有4種不同的取法，若從第二層取書，則有3種不同的取法，若從第三次取書，則有2種不同的取法，所以不同的取法有種.
故答案為：9.
12．某乒乓球隊有男運動員5人，女運動員6人，從中選派2人參加男女混雙比賽，共有 種不同的排法.
【答案】30
【解析】由題意知本題是一個分步計數問題，首先選出男生和女生各自有5和6種選法，再根據分別計數乘法得到共有6×5=30種結果，故答案為：30．
13．小張同學計劃從6本歷史類讀本、5本軍事類讀本和3本哲學類讀本中任選1本閱讀，則不同的選法共有______種．
【答案】14
【解析】根據分類加法計數原理可知，共有種不同的選法，故答案為：14.
14．教學大樓共有4層，每層都有東西兩個樓梯，由一樓到4樓共有走法種數為 .
【答案】23
【解析】由題意得可知：由一層走到二層有兩種選擇，由二層走到三層有兩種選擇，由三層走到四層有兩種選擇，根據分步計數法的原則可知共有種走法，故答案為：23.
15．5名籃球隊員中，有2名老隊員和3名新隊員，現從中選出3名隊員參加團體比賽，則入選的3名隊員中至少有一名老隊員的選法有 種.（用數字作答）
【答案】9
【解析】分為兩類：兩名老隊員，一名新隊員時，有3種選法；兩名新隊員、一名老隊員時，有2×3＝6(種)選法，即共有9種不同選法，故答案為：9．
16．將5封信投入3個郵筒，不同的投法共有 種．（用數字作答）
【答案】243
【解析】每一封信投到郵筒都有3種選擇，所以將5封信投入3個郵筒，共有種投法，故答案為：243．
17．有不同的紅球8個，不同的白球7個，不同的黃球6個，現從中任取不同的顏色的球兩個，不同的取法有 .
【答案】146
【解析】當取出不同的球為紅球和白球時，一共有種；當取出不同的球為紅球和黃球時，一共有種；當取出不同的球為白球和黃球時，一共有種；綜上：一共有56+48+42=146種.
18．如圖所示，在A，間有四個焊接點1，2，3，4，若焊接點脫落導致斷路，則電路不通，則因為焊接點脫落而導致電路不通情況有 種.
【答案】13
【解析】若脫落1個，則有（1），（4）兩種情況；若脫落2個，則有（1，2），（1，3），（1，4），（2，3），（2，4），（3，4）共6種情況；若脫落3個，則有（1，2，3），（1，2，4），（2，3，4），（1，3，4）共4種情況；若脫落4個，則有（1，2，3，4）共1種情況，綜上共有種情況.故答案為：13.
三、解答題
19．從甲地到乙地，可以乘飛機，也可以乘火車，還可以乘長途汽車.每天飛機有班，火車有班，長途汽車有班.一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的方法？
【答案】
【解析】解：由題意可知，從甲地到乙地，若乘飛機，有種方法；若乘火車，有種方法；若乘長途汽車，有種方法；則從甲地到乙地共有種不同的方法.
20．小明同學要從教學樓的一層到四層，已知從第一層到第二層有4個扶梯可走，從第二層到第三層有3個扶梯可走，從第三層到第四層有2個扶梯可走，那么小明同學從第一層到第四層有多少種不同的走法？
【答案】24
【解析】解：第1步，從第一層到第二層有4種不同的走法；第2步，從第二層到第三層有3種不同的走法；第3步，從第三層到第四層有2種不同的走法；根據分步乘法計數原理，小明同學從教學樓的第一層到第四層的不同走法有種．
21．某人有枚明朝不同年代的古幣和枚清朝不同年代的古幣.
（1）若從中任意取出枚，則有多少種不同取法.
（2）若從中任意取出明、清古幣各枚，則有多少種不同取法.
【答案】(1)；(2)
【解析】解：(1)從枚不同的古幣中，取出枚為明朝的古幣有種不同的取法，取出枚為清朝的古幣有種不同的取法，由分類加法計數原理可知，共有種不同的取法.
(2)分兩步進行，第一步，從枚明朝的古幣中取出枚，有種不同的取法；第二步，從枚清朝的古幣中取出枚古幣，有種不同的取法，由分步乘法計數原理，共有種不同的取法．
22．用一顆骰子連擲三次，投擲出的數字順序排成一個三位數，此時：
（1）各位數字互不相同的三位數有多少個.
（2）可以排出多少個不同的三位數.
【答案】（1）120；（2）216．
【解析】解：（1）三位數的每位上數字均為1，2，3，4，5，6之一．第一步，得首位數字，有6種不同結果；第二步，得十位數字，有5種不同結果；第三步，得個位數字，有4種不同結果．故可得各位數字互不相同的三位數有6×5×4＝120(個)；
（2）三位數，每位上數字均可從1，2，3，4，5，6六個數字中得一個，共有這樣的三位數有6×6×6＝216(個)．
23．有不同的紅球個，不同的白球個.
（1）從中取出一個球，共有多少種不同的取法？
（2）從中取出兩個顏色不同的球，共有多少種不同的取法？
【答案】(1)(2)
【解析】解：(1)從中取出一個紅球，有種取法，從中取出一個白球，有種取法，由分類加法計數原理可知，從中取出一個球，共有種不同的取法.
(2)從中取出一個紅球，有種取法，從中取出一個白球，有種取法，由分布乘法計數原理可知，從中取出兩個顏色不同的球，共有種不同的取法.
24．書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放2本不同的體育書.
（1）從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？
（2）從書架上任取兩本不同學科的書，有多少種不同的取法？
【答案】(1)種；(2)種.
【解析】解：(1)從書架的第1、2、3層各取1本書，可以分成3個步驟完成：第1步從第1層取1本計算機書，有4種方法，第2步從第2層取1本文藝書，有3種方法，第3步從第3層取1本體育書，有2種方法，根據分步乘法計數原理，不同取法的種數是.
(2)第1類方法是4本不同的計算機書和3本不同的文藝書中各選取1本，有種方法，第2類方法是4本不同的計算機書和2本不同的體育書各選取1本，有種方法，第3類方法是3本不同的文藝書和2本不同的體育書各選取1本，有種方法，根據分類加法計數原理，不同取法的種數是.10.1 計數原理
一、單選題
1．從甲地到乙地，一天中有5次火車，12次客車，3次飛機航班，還有6次輪船，某人某天要從甲地到乙地，共有不同走法的種數是（ ）
A．26 B．60 C．18 D．1080
2．從5件不同的禮物中選出2件，分別送給甲、乙兩人，每人一件禮物，則不同的送法種數為（ ）
A．10 B．20 C．25 D．32
3．某一數學問題可用綜合法和分析法兩種方法證明，有6名同學只會用綜合法證明，有4名同學只會用分析法證明，現從這些同學中任選1名同學證明這個問題，不同的選法種樹為（ ）.
A．10 B．16 C．20 D．24
4．小張去工作室需要通過三重門，他必須問管理員要到每重門的鑰匙才能到達工作室.第一重門的鑰匙有3把（每把顏色不同），第二重門的鑰匙有4把（每把顏色不同），第三重門的鑰匙有3把（每把顏色不同），管理員要求他從這10把鑰匙中取3把，則他能到達工作室的不同的取法共有（ ）
A．10種 B．24種 C．36種 D．120種
5．某班元旦晚會原定的個節目已排成節目單，開演前又增加了個新節目，如果將這兩個節目插入原節目單中，那么不同的插法的種數有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
6．從10人中選出2人分別為正副班長，選法種數為 （ ）
A.45 B.90 C.30 D.180
7．某學校社團為舉辦慶祝中國共產黨成立102周年革命歌曲展演．現從《歌唱祖國》《英雄贊歌》《南泥灣》《沒有共產黨就沒有新中國》4首獨唱歌曲和《保衛黃河》《唱支山歌給黨聽》《我和我的祖國》3首合唱歌曲中共選出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必須是合唱，則不同的安排方法共有（ ）
A．40 B．240 C．120 D．360
8．已知集合，．現從集合A中取一個元素作為點P的橫坐標，從集合B中取一個元素作為點P的縱坐標，則位于第四象限的點P有（ ）
A．16個 B．12個 C．9個 D．6個
9．展開后的項數為（ ）
A．10 B．18 C．24 D．36
10．有5個不同的棱柱、3個不同的棱錐、4個不同的圓臺、2個不同的球，若從中任取多面體和旋轉體各1個，則不同取法的種數是（ ）．
A．14 B．23 C．48 D．120
二、填空題
11．書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放有2本不同的體育書.從書架上任取1本書，不同的取法有__________種.
12．某乒乓球隊有男運動員5人，女運動員6人，從中選派2人參加男女混雙比賽，共有 種不同的排法.
13．小張同學計劃從6本歷史類讀本、5本軍事類讀本和3本哲學類讀本中任選1本閱讀，則不同的選法共有______種．
14．教學大樓共有4層，每層都有東西兩個樓梯，由一樓到4樓共有走法種數為 .
15．5名籃球隊員中，有2名老隊員和3名新隊員，現從中選出3名隊員參加團體比賽，則入選的3名隊員中至少有一名老隊員的選法有 種.（用數字作答）
16．將5封信投入3個郵筒，不同的投法共有 種．（用數字作答）
17．有不同的紅球8個，不同的白球7個，不同的黃球6個，現從中任取不同的顏色的球兩個，不同的取法有 .
18．如圖所示，在A，間有四個焊接點1，2，3，4，若焊接點脫落導致斷路，則電路不通，則因為焊接點脫落而導致電路不通情況有 種.
三、解答題
19．從甲地到乙地，可以乘飛機，也可以乘火車，還可以乘長途汽車.每天飛機有班，火車有班，長途汽車有班.一天中，乘坐這些交通工具從甲地到乙地共有多少種不同的方法？
20．小明同學要從教學樓的一層到四層，已知從第一層到第二層有4個扶梯可走，從第二層到第三層有3個扶梯可走，從第三層到第四層有2個扶梯可走，那么小明同學從第一層到第四層有多少種不同的走法？
21．某人有枚明朝不同年代的古幣和枚清朝不同年代的古幣.
（1）若從中任意取出枚，則有多少種不同取法.
（2）若從中任意取出明、清古幣各枚，則有多少種不同取法.
22．用一顆骰子連擲三次，投擲出的數字順序排成一個三位數，此時：
（1）各位數字互不相同的三位數有多少個.
（2）可以排出多少個不同的三位數.
23．有不同的紅球個，不同的白球個.
（1）從中取出一個球，共有多少種不同的取法？
（2）從中取出兩個顏色不同的球，共有多少種不同的取法？
24．書架的第1層放有4本不同的計算機書，第2層放有3本不同的文藝書，第3層放2本不同的體育書.
（1）從書架的第1、2、3層各取1本書，有多少種不同的取法？
（2）從書架上任取兩本不同學科的書，有多少種不同的取法？

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