資源簡介

10.2 排列、組合
1.排列與組合的概念
名稱 定義
排列 從個不同元素中取出（）個元素 按照一定的順序排成一列，叫做從個元素中取出個元素的一個排列
組合 作為一組，叫做從個元素中取出個元素的一個組合
2.排列數與組合數
（1）排列數：
從個不同元素中取出取出（）個元素的所有不同排列的個數，叫做從個元素中取出個元素的一個排列數，用符號表示
（2）組合數：
從個不同元素中取出（）個元素的所有不同組合的個數，叫做從個元素中取出個元素的一個組合數，用符號表示
3.排列數、組合數的公式及性質
（1）
（2）
（3）
（4）；
一、 排列問題
【典例1】現從6名學生干部中選出3名同學分別參加全校資源、生態和環保3個夏令營活動，則不同的選派方案的種數是（ ）
A．20 B．90 C．120 D．240
【答案】C
【解析】共有種不同的選派方案，故選：C.
【典例2】甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則不同的排法有（ ）
A．24種 B．6種 C．4種 D．12種
【答案】B
【解析】甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則只需對剩下3人全排即可，則不同的排法共有，故選：B．
【典例3】某學校社團為舉辦慶祝中國共產黨成立102周年革命歌曲展演．現從《歌唱祖國》《英雄贊歌》《南泥灣》《沒有共產黨就沒有新中國》4首獨唱歌曲和《保衛黃河》《唱支山歌給黨聽》《我和我的祖國》3首合唱歌曲中共選出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必須是合唱，則不同的安排方法共有（ ）
A．40 B．240 C．120 D．360
【答案】D
【解析】根據題意，在3首合唱歌曲中任選1首，安排在最后，有3種安排方法，在其他6首歌曲中任選3首，作為前3首歌曲，有種安排方法，則有種不同的安排方法，故選：D．
【典例4】用數字1，2，3，4，5組成的無重復數字的四位偶數的個數為（ ）
A．8 B．24 C．48 D．120
【答案】C
【解析】由題意知本題需要分步計數，2和4排在末位時，共有種排法，其余三位數從余下的四個數中任取三個有24種排法，根據由分步計數原理得到符合題意的偶數共有2×24＝48（個），
故選：C．
【典例5】一場小型晚會有2個唱歌節目和3個相聲節目，要求排出一個節目單.
（1）3個相聲節目要排在一起，有多少種排法？（結果用數值表示）
（2）2個唱歌節目不相鄰，有多少種排法？（結果用數值表示）
【答案】（1）36（2）72
【解析】解：（1）將三個相聲節目看成一個整體，總共三個節目排列：（種）；
（2）先將相聲節目排好，然后再將唱歌節目插入其中的空中：（種）；
1、現有甲、乙、丙三個人來領取編號為1，2，3的三本書，每個人只能領取一本書，則所有領書方案的情況總數為（ ）
A．1 B．3 C．6 D．12
【答案】C
【解析】因為三本書編號為1，2，3，且每個人只能領取一本書，所以所有領書方案的情況總數為，故選：C.
2、北京冬奧會期間，需從5名志愿者中選3人去為速度滑冰 花樣滑冰 冰球三個競賽項目服務，每個項目必須有志愿者參加且每名志愿者只服務一個項目，不同的安排方法種數為（ ）
A．10 B．27 C．36 D．60
【答案】D
【解析】依題意，從5名志愿者中選3人服務3個不同項目，不同的安排方法有（種），故選：D.
3、“總把新桃換舊符”是指在宋代人們用寫“桃符”的方式來祈福避禍，而現代人們通過貼“福”字、貼春聯、掛燈籠等方式來表達對新年的美好祝愿，某商家在春節前開展商品促銷活動，顧客凡購物金額滿50元，則可以從“福”字、春聯和燈籠這三類禮品中任意免費領取一件，若有3名顧客都領取一件禮品，則他們3人領取的禮品種類都不相同的方法種數是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．27
【答案】B
【解析】根據題意，3名顧客都領取一件禮品，且領取的禮品種類都不相同的方法種數為，故選：B．
4、把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法種數為 ．
【答案】2880
【解析】先把4名女生捆綁在一起，看成一個整體，有種，再把這個整體與另外4名男生進行排列，有種，故不同的排法種數有種，故答案為：.
5、用0，1，2，3，4可以組成數字不重復的兩位數的個數為（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
【答案】B
【解析】若個位數是，則有個；若個位數不是，則有個，則共有個，故選：B．
二 、組合問題
【典例1】北京冬奧會期間，小蘇搶購了3個冰墩墩和4個雪容融且造型不一的吉祥物，現抽取3個吉祥物送給一位朋友，其中至少有冰墩墩雪容融各1個，則不同的送法有________種.（用數字作答）
【答案】30
【解析】若選1個冰墩墩和2個雪容融，則有種；若選2個冰墩墩和1個雪容融，則有種；
綜上可得一共有種，故答案為：.
【典例2】某職校計算機專業開設兩類不同選修課，其中專業類選修課有6門不同課程，公共基礎類選修課有5門不同課程.若從兩類選修課中各選一門學習，則不同的選修方案有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【答案】B
【解析】依題意，專業類選修課有6門不同課程，公共基礎類選修課有5門不同課程，從兩類選修課中各選一門學習，根據分步計數原理，不同的選修方案有種，故選：B.
【典例3】為了宣講新型冠狀病毒肺炎的正確預防措施，某社區擬從5名男志愿宣講員和3名女志愿宣講員中任選3人，參加本社區的宣講服務，則選中的3人中至少有2名女宣講員的選法共有（ ）．
A．12種 B．14種 C．16種 D．32種
【答案】C
【解析】根據題意，分2種情況討論：①選出的宣講員中有3名女宣講員，有種選法；②選出的宣講員中有2名女宣講員和1名男宣講員，有種選法；則一共有1+15＝16種選法，故選：C．
【典例4】某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加社區服務，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數為 .
【答案】
【解析】法一：4人中至少有1名女生包括1女3男及2女2男兩種情況，故不同的選派方案種數為C12 C34+C22 C24=2×4+1×6=14；
法二：從4男2女中選4人共有C46種選法，4名都是男生的選法有C44種，故至少有1名女生的選派方案種數為C46-C44=15-1=14．
故答案為：14.
【典例5】班上每個小組有12名同學，現要從每個小組選4名同學組成一支代表隊，與其他小組進行辯論賽.
（1）每個小組的代表隊有多少種選法？
（2）如果每支代表隊還必須指定1名隊長，那么每個小組的代表隊有多少種選法？
【答案】（1）495；（2）1980.
【解析】解：（1）由題意從12名同學中選4名同學組成一支代表隊，共有種選法.
（2）完成這件事情分為兩步：第一步先選出隊長，有種選法；再選出3名隊員，有種選法，故共有選法.
1、某地區為了組建抗疫醫療隊，現從4名醫生，5名護士中選3名醫護人員組成一個團隊，要求醫生、護士都有，則不同的組隊方案種數是 ．
【答案】
【解析】從4名醫生，5名護士中選3名醫護人員組成一個團隊，要求醫生、護士都有，可分為兩類：第一類：1名醫生2名護士，共有種不同的選法；第二類：2名醫生1名護士，共有種不同的選法，由分類計數原理可得，共有種不同的選法，故答案為：.
2、某天的值日工作由4名同學負責，且其中1人負責清理講臺，另1人負責掃地，其余2人負責拖地，則不同的分工共有（ ）
A．6種 B．12種 C．18種 D．24種
【答案】B
【解析】方法數有：種，故選：B．
3、第二屆消博會暨中國國際消費品博覽會于2022年5月在海南舉辦.某展館將5件相同的紀念品分別贈送給前來參觀的3位游客，每人至少1件，則不同的贈送方案數共有（ ）
A．6 B．9 C．12 D．24
【答案】A
【解析】因為紀念品的相同的，而游客不同，所以以游客為對象分類：
第一種情況，一位游客得一個紀念品，其余兩位游客每人二個紀念品，共有種.
第二種情況，一位游客得三個紀念品，其余兩位游客各一個紀念品，共有種.共計6種贈送方案.
故選：A.
4、從2，3，4，5，6，7任取三個不同的數字，組成無重復數字三位數，要求個位數最大，百位數最小，則這樣的三位數的個數為 .
【答案】20
【解析】先從6個數中任意取三個數，有種選法，再把三個數里最大的數排列在個位，有1種排法，把最小的排在百位，有1種排法，剩下的排在十位，有1種排法，共有種方法，故答案為：20.
5、6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（ ）
A．120種 B．90種 C．60種 D．30種
【答案】C
【解析】首先從名同學中選名去甲場館，方法數有；然后從其余名同學中選名去乙場館，方法數有；最后剩下的名同學去丙場館，故不同的安排方法共有種，故選：C．10.2 排列、組合
1.排列與組合的概念
名稱 定義
排列 從個不同元素中取出（）個元素 按照一定的順序排成一列，叫做從個元素中取出個元素的一個排列
組合 作為一組，叫做從個元素中取出個元素的一個組合
2.排列數與組合數
（1）排列數：
從個不同元素中取出取出（）個元素的所有不同排列的個數，叫做從個元素中取出個元素的一個排列數，用符號表示
（2）組合數：
從個不同元素中取出（）個元素的所有不同組合的個數，叫做從個元素中取出個元素的一個組合數，用符號表示
3.排列數、組合數的公式及性質
（1）
（2）
（3）
（4）；
一、 排列問題
【典例1】現從6名學生干部中選出3名同學分別參加全校資源、生態和環保3個夏令營活動，則不同的選派方案的種數是（ ）
A．20 B．90 C．120 D．240
【典例2】甲、乙、丙、丁四人站成一列，要求甲站在最前面，則不同的排法有（ ）
A．24種 B．6種 C．4種 D．12種
【典例3】某學校社團為舉辦慶祝中國共產黨成立102周年革命歌曲展演．現從《歌唱祖國》《英雄贊歌》《南泥灣》《沒有共產黨就沒有新中國》4首獨唱歌曲和《保衛黃河》《唱支山歌給黨聽》《我和我的祖國》3首合唱歌曲中共選出4首歌曲安排演出，要求最后一首歌曲必須是合唱，則不同的安排方法共有（ ）
A．40 B．240 C．120 D．360
【典例4】用數字1，2，3，4，5組成的無重復數字的四位偶數的個數為（ ）
A．8 B．24 C．48 D．120
【典例5】一場小型晚會有2個唱歌節目和3個相聲節目，要求排出一個節目單.
（1）3個相聲節目要排在一起，有多少種排法？（結果用數值表示）
（2）2個唱歌節目不相鄰，有多少種排法？（結果用數值表示）
1、現有甲、乙、丙三個人來領取編號為1，2，3的三本書，每個人只能領取一本書，則所有領書方案的情況總數為（ ）
A．1 B．3 C．6 D．12
2、北京冬奧會期間，需從5名志愿者中選3人去為速度滑冰 花樣滑冰 冰球三個競賽項目服務，每個項目必須有志愿者參加且每名志愿者只服務一個項目，不同的安排方法種數為（ ）
A．10 B．27 C．36 D．60
3、“總把新桃換舊符”是指在宋代人們用寫“桃符”的方式來祈福避禍，而現代人們通過貼“福”字、貼春聯、掛燈籠等方式來表達對新年的美好祝愿，某商家在春節前開展商品促銷活動，顧客凡購物金額滿50元，則可以從“福”字、春聯和燈籠這三類禮品中任意免費領取一件，若有3名顧客都領取一件禮品，則他們3人領取的禮品種類都不相同的方法種數是（ ）
A．3 B．6 C．9 D．27
4、把4名男生和4名女生排成一排，女生要排在一起，不同的排法種數為 ．
5、用0，1，2，3，4可以組成數字不重復的兩位數的個數為（ ）
A．15 B．16 C．17 D．18
二 、組合問題
【典例1】北京冬奧會期間，小蘇搶購了3個冰墩墩和4個雪容融且造型不一的吉祥物，現抽取3個吉祥物送給一位朋友，其中至少有冰墩墩雪容融各1個，則不同的送法有________種.（用數字作答）
【典例2】某職校計算機專業開設兩類不同選修課，其中專業類選修課有6門不同課程，公共基礎類選修課有5門不同課程.若從兩類選修課中各選一門學習，則不同的選修方案有（ ）
A．種 B．種 C．種 D．種
【典例3】為了宣講新型冠狀病毒肺炎的正確預防措施，某社區擬從5名男志愿宣講員和3名女志愿宣講員中任選3人，參加本社區的宣講服務，則選中的3人中至少有2名女宣講員的選法共有（ ）．
A．12種 B．14種 C．16種 D．32種
【典例4】某班級要從4名男生、2名女生中選派4人參加社區服務，如果要求至少有1名女生，那么不同的選派方案種數為 .
【典例5】班上每個小組有12名同學，現要從每個小組選4名同學組成一支代表隊，與其他小組進行辯論賽.
（1）每個小組的代表隊有多少種選法？
（2）如果每支代表隊還必須指定1名隊長，那么每個小組的代表隊有多少種選法？
1、某地區為了組建抗疫醫療隊，現從4名醫生，5名護士中選3名醫護人員組成一個團隊，要求醫生、護士都有，則不同的組隊方案種數是 ．
2、某天的值日工作由4名同學負責，且其中1人負責清理講臺，另1人負責掃地，其余2人負責拖地，則不同的分工共有（ ）
A．6種 B．12種 C．18種 D．24種
3、第二屆消博會暨中國國際消費品博覽會于2022年5月在海南舉辦.某展館將5件相同的紀念品分別贈送給前來參觀的3位游客，每人至少1件，則不同的贈送方案數共有（ ）
A．6 B．9 C．12 D．24
4、從2，3，4，5，6，7任取三個不同的數字，組成無重復數字三位數，要求個位數最大，百位數最小，則這樣的三位數的個數為 .
5、6名同學到甲、乙、丙三個場館做志愿者，每名同學只去1個場館，甲場館安排1名，乙場館安排2名，丙場館安排3名，則不同的安排方法共有（ ）
A．120種 B．90種 C．60種 D．30種

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