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第六講 比例的應用
1、經歷用多種方法解決“物物交換”問題的過程，體會解決問題方法的多樣性，理解比例的意義。
2、在解決問題的過程中，列出含有未知數(shù)的比例，并自主探索解比例的方法。
3、理解根據(jù)“兩個內項的積等于兩個外項的積”求比例中的未知項，會正確解比例。
1、解比例。
根據(jù)比例的基本性質，如果已知比例中的任何三項，就可以求出這個比例中的另外一個未知項。求比例中的未知項，叫作解比例。
解比例的方法：
（1）根據(jù)比例的基本性質把比例轉化成乘法等式，即一般方程；
（2）解方程求出未知項的值；
（3）把求出的結果代入比例中驗算一下，看比例是否成立。
2、比例的應用。
根據(jù)比例的意義和基本性質，設未知數(shù)、解比例、解決實際問題。
一、選擇題
1．我國逐漸完善養(yǎng)老金制度，居民可自行繳納養(yǎng)老金。甲、乙兩人計劃用相同的年數(shù)分別繳納養(yǎng)老金18萬元和12萬元。甲計劃每年比乙多繳納保險金0.2萬元。若乙每年繳納保險金x萬元，則根據(jù)題意可列出比例為（ ）。
A． B．
C． D．
2．觀察圖，（ ）的面積∶（ ）的面積＝a∶b。
A．上面；左面 B．前面；左面 C．左面；左面 D．后面；左面
3．（2022下·安徽阜陽·六年級統(tǒng)考期中）現(xiàn)在，戴口罩漸漸成了每個人的衛(wèi)生習慣。在某次廣場活動中，參加活動的50人中有一部分人戴上了口罩，下面各比，不能表示戴口罩與沒戴口罩人數(shù)的比的是（ ）。
A．1∶1 B．3∶1 C．7∶3 D．13∶12
4．解比例。
，（　　）
A．1.5 B．0.7 C．5.7 D．5
5．（2022下·廣東深圳·六年級統(tǒng)考期末）用5毫升的蜂蜜兌100毫升水調制成蜂蜜水，如果再加入10毫升的蜂蜜，為了使蜂蜜水的甜度不變，需要加入的水可以是（ ）。
A．10毫升 B．200毫升 C．原來的3倍 D．原來的4倍
6．甲車和乙車分別從A、B兩站同時相向開出，6小時后相遇．相遇后，兩車仍按原速度前進，當它們相距m千米時，甲車行了全程的60%，乙車行了全程的80%．則甲車行完全程需要（　　）小時．
A．10.5 B．π C．m D．14
二、填空題
7．（2022下·廣東茂名·六年級期末）我國國旗法規(guī)定，國旗長和寬的比是3∶2，一面國旗的寬是1.28米，長應是( )米。
8．（2021下·寧夏銀川·六年級統(tǒng)考期末）淘氣要配制味道相同的兩杯蜂蜜水，如表，B杯需要多少( )毫升的水。
A杯 B杯
蜂蜜/毫升 4 10
水/毫升 100 ？
9．（2021下·陜西渭南·六年級統(tǒng)考期末）把中間的長方形分別按比縮小和放大后得到了左、右兩個長方形，請分別寫出兩個比例( )( )，并求出x＝( )，y＝( )。
10．（2022下·廣東湛江·六年級統(tǒng)考期末）當x＝( )時，0.9∶x和3∶4能組成比例；0.5∶的比值是( )。
11．（2023下·陜西西安·六年級統(tǒng)考期中）在一個比例中，兩個內項互為倒數(shù)，其中一個外項是1.6，另一個外項是( )。
12．配制一種藥水，藥粉和水的比是1∶39，現(xiàn)有藥粉4.5千克，可以配制成 千克藥水。
三、計算題
13．（2023下·廣西桂林·六年級統(tǒng)考期中）解比例。
3∶8＝24∶ ∶＝∶ ＝
14．（2023下·陜西寶雞·六年級統(tǒng)考期末）解方程或比例。
4x－x＝69.3 20%x＋3.5＝16.5 2.5∶＝x∶
四、解答題
15．淘氣模仿“曹沖稱象”來稱體重。淘氣站在船上，船下沉2厘米；爸爸站在船上，船下沉4厘米。淘氣的體重是35.7千克，爸爸的體重是多少千克？
16．（2023下·陜西·六年級校考期末）王阿姨和李阿姨做一批仿真花，王阿姨已經做的與李阿姨已經做的數(shù)量比是，已知王阿姨已經做了72朵，李阿姨已經做了多少朵？（用比例解）
17．寒冷的冬天來臨，許多動物都要冬眠。蛇、熊、青蛙就需要冬眠來度過冬天。蛇的冬眠時間是180天，熊的冬眠時間約是蛇的，青蛙的冬眠時間與熊的冬眠時間的比約是5∶4。青蛙的冬眠時間大約是多少天？
18．（2022下·陜西咸陽·六年級校考期中）某核酸檢測點進行了為期三天的核酸檢測，第一天有450人進行了核酸檢測，第二天進行核酸檢測的人數(shù)比第一天多，第三天與第二天進行核酸檢酬的人數(shù)比是，該檢測點第三天有多少人進行了核酸檢測？（用比例解答）
19．請你選擇一個問題填在橫線上，并用比例知識解答出來。
黎明5分鐘可以走325米，照這樣計算，
①18分鐘可以走多少米？
②從家到學校相距1300米，他要走多少分鐘？
20．如圖1，一個底面積為100cm2，高為20cm的長方體水盒內有一個高相同的圓柱形水杯，以不變的水流速度先向水杯中注水，注滿水杯后，繼續(xù)注水，直到注滿整個盒子。盒子內水面上升的高度h與注水時間t的關系如圖2。
（1）求水杯的底面積。
（2）求注水速度（cm3/秒）。（計算時，容器的厚度與體積均忽略不計）
參考答案
1．B
【分析】設乙每年繳納養(yǎng)老保險為x萬元，則甲每年繳納養(yǎng)老保險金為（x＋0.2）萬元，根據(jù)甲、乙兩人計劃用相同的年數(shù)分別繳納養(yǎng)老保險金18萬元和12萬元可知，18比上（x＋0.2）萬元等于12比上x萬元。
【詳解】根據(jù)題意可列出比例為。
故答案為：B
2．A
【分析】根據(jù)長方形的面積公式：S＝ab，把數(shù)據(jù)代入公式，計算出上面、左右、前面、后面的面積，然后進行計算即可。
【詳解】前面的面積＝后面的面積＝a×b＝ab；
左面的面積＝b×c＝bc；
上面的面積＝a×c＝ac；
前面的面積∶左面的面積為
ab∶bc
＝（ab÷b）∶（bc÷b）
＝ a∶c
上面的面積∶左面的面積為
ac∶bc
＝（ac÷c）∶（bc÷c）
＝ a∶b
觀察圖，上面的面積∶左面的面積＝a∶b。
故答案為：A
【分析】此題考查的目的是理解掌握長方體的特征，以及長方形面積公式的靈活運用。
3．B
【分析】用總人數(shù)50除以每個選項中前項與后項的份數(shù)和；根據(jù)求得的商，能整除的是可能表示的比，不能整除是不能表示的比。
【詳解】A.50÷（1＋1）＝25；
B． 50÷（3＋1）＝12 2；
C． 50÷（7＋3）＝5；
D． 50÷（13＋12）＝2；
綜上，經過計算可得3：1不能表示戴口罩和沒戴口罩人的比。
故答案為：B
【分析】此題考查整除的特征，掌握整除的特征是解答的關鍵。
4．B
【解析】根據(jù)比例的基本性質，先寫出兩個內項的積等于兩個外項的積，然后根據(jù)等式的性質即可求出x的值.
【詳解】
解：
0.7
故答案為：B
5．B
【分析】根據(jù)蜂蜜水的甜度不變，即蜂蜜與水的比值一定，據(jù)此列比例解答即可。
【詳解】解：設需要加入x毫升水。
5∶100＝10∶x
5x＝100×10
5x＝1000
x＝200
故答案為：B
【分析】本題主要考查比例的實際應用，答題的關鍵是明確蜂蜜水的濃度不變，也就是蜂蜜與水的比值一定。
6．D
【解析】把全程看作是單位“1”，求出m千米對應的分率，要用60%+80%﹣1＝，所以全程為m÷=；根據(jù)甲車行了全程的60%，乙車行了全程的80%可以求出兩車的速度比為60%：80%＝3：4，根據(jù)全程為，相遇時間為6小時，可以求出兩車的速度和，結合按比例分配問題可以求出甲車的速度，再利用時間＝路程除以速度可求出甲車行駛全程需要的時間。
【詳解】60%+80%﹣1＝，
m÷＝（千米），
甲乙兩車的速度比為60%：80%＝3：4，
甲乙兩車的速度和：÷6＝（千米/小時），
甲車的速度：×=（千米/小時），
甲車的時間：÷=14（小時）
故選：D。
【分析】本題考查行程問題，需要熟練掌握速度、路程和時間三者之間的關系。
7．1.92
【分析】根據(jù)題意可知，國旗的長和寬的比與一面國旗的比組成比例，設一面國旗的長為x米，列比例：3∶2＝x∶1.28，解比例，即可解答。
【詳解】解：設一面國旗的長為x米。
3∶2＝x∶1.28
2x＝1.28×3
2x＝3.84
x＝3.84÷2
x＝1.92
【分析】利用比例的應用，找出相應的關系量，設出未知數(shù)，列比例，解比例。
8．250
【分析】可以設出未知數(shù)，列出比例式，解答即可。
【詳解】解：設B杯需要加入水x毫升。
4∶100＝10∶x
4x＝1000
4x÷4＝1000÷4
x＝250
【分析】此題考查的是對比例的實際應用能力。
9．18∶ 12＝ 12∶x 18∶ 12＝ y∶18 8 27
【分析】根據(jù)“左、右兩個長方形是中間的長方形分別按比縮小和放大后得到的”，可知左、右兩個長方形的長和寬分別與中間的長方形的長和寬的比值相等，據(jù)此分別寫出比例，解比例即可求得x和y的數(shù)值。據(jù)此解答。
【詳解】18∶ 12＝ 12∶x
18x＝12×12
18x ＝ 144
x ＝8
18∶ 12＝y(tǒng)∶18
12y＝ 18 ×18
12y＝ 324
y＝ 27
【分析】關鍵是明確按比縮小和放大后得到的長方形的長和寬與原長方形的長和寬的比值相等。
10．1.2
【分析】表示兩個比相等的式子叫做比例；比例的基本性質：兩外項之積等于兩內項之積；求比值用比的前項除以后項即可。
【詳解】0.9∶x＝3∶4
解：3x＝0.9×4
3x＝3.6
x＝3.6÷3
x＝1.2
0.5÷
＝0.5×
＝
當x＝1.2時，0.9∶x和3∶4能組成比例；0.5∶的比值是。
【分析】此題主要考查了比例的意義、比例的基本性質以及求比值的方法，注意求比值的結果是一個商，可以是整數(shù)、小數(shù)或分數(shù)。
11．
【分析】根據(jù)比例的基本性質：內項積＝外項積，由于兩個內項互為倒數(shù)，則兩個內項的乘積是1，那么兩個外項的乘積也是1，由于一個外項是1.6，則另一個外項用1÷1.6，據(jù)此即可填空。
【詳解】由分析可知：
1÷1.6
＝1×
＝
所以另一個外項是。
【分析】本題主要考查倒數(shù)的意義以及比例的基本性質，熟練掌握比例的基本性質并靈活運用。
12．180
【分析】藥粉與水的比是1∶39，意思就是1份的藥粉配39份的水，現(xiàn)在藥粉是4.5千克，也就是1份代表4.5千克，那么對應的水就是4.5×39，將藥粉和水相加即可解答。
【詳解】水：4.5×39＝175.5（千克）
藥水：175.5＋4.5＝180（千克）
4.5千克的藥粉可以配制成180千克藥水。
【分析】此題主要考查學生對比例的實際應用，同時此題還可以利用設未知數(shù)，解比例進行解答。
13．＝64；＝；＝3
【分析】（1）先根據(jù)比例的基本性質把比例方程改寫成3＝8×24，然后方程兩邊同時除以3，求出方程的解；
（2）先根據(jù)比例的基本性質把比例方程改寫成＝×，然后方程兩邊同時除以，求出方程的解；
（3）先根據(jù)比例的基本性質把比例方程改寫成28＝12×7，然后方程兩邊同時除以28，求出方程的解。
【詳解】（1）3∶8＝24∶
解：3＝8×24
3＝192
3÷3＝192÷3
＝64
（2）∶＝∶
解：＝×
＝1
÷＝1÷
＝1×
＝
（3）＝
解：28＝12×7
28＝84
28÷28＝84÷28
＝3
14．x＝23.1；x＝65；x＝7
【分析】4x－x＝69.3，先化簡方程左邊含有x的算式，即求出4－1的差，再根據(jù)等式的性質2，方程兩邊同時除以4－1的差即可；
20%x＋3.5＝16.5，根據(jù)等式的性質1，方程兩邊同時減去3.5，再根據(jù)等式的性質2，方程兩邊同時除以20%即可；
2.5∶＝x∶，解比例，原式化為：x＝2.5×，再根據(jù)等式的性質2，方程兩邊同時除以即可。
【詳解】4x－x＝69.3
解：3x＝69.3
x＝69.3÷3
x＝23.1
20%x＋3.5＝16.5
解：20%x＝16.5－3.5
20%x＝13
x＝13÷20%
x＝65
2.5∶＝x∶
解：x＝2.5×
x＝
x＝÷
x＝×
x＝7
15．71.4千克
【分析】由題意可知，設爸爸的體重是x千克，根據(jù)體重與船下沉的高度的比值一定，可確定體重與下沉的高度成正比例，據(jù)此可列比例解答即可。
【詳解】解：設爸爸的體重是x千克。
35.7∶2＝x∶4
2x＝35.7×4
2x＝142.8
2x÷2＝142.8÷2
x＝71.4
答：爸爸的體重是71.4千克。
16．88朵
【分析】設李阿姨已經做了x朵，根據(jù)王阿姨已經做的與李阿姨已經做的數(shù)量比是9∶11，列出比例即可。
【詳解】解：設李阿姨已經做了x朵。
72∶x＝9∶11
9x＝792
9x÷9＝792÷9
x＝88
答：李阿姨已經做了88朵。
【分析】找出題目中的等量關系，是解答此題的關鍵。
17．150天
【分析】先用180×得到熊的冬眠時間，然后設青蛙的冬眠時間為x天，然后根據(jù)青蛙的冬眠時間與熊的冬眠時間的比約是5∶4，列比例式即可。
【詳解】解：設青蛙的冬眠時間為x天。
180×＝120（天）
x∶120＝5∶4
4x＝120×5
4x÷4＝600÷4
x＝150
答：青蛙的冬眠時間為150天。
【分析】本題主要考查一個數(shù)的幾分之幾是多少以及比例式的應用，利用數(shù)量關系列式做題。
18．660人
【分析】把第一天進行核酸檢測的人數(shù)看作單位“1”，第二天進行核酸檢測的人數(shù)是第一天的（1＋），用第一天核酸檢測人數(shù)×（1＋），求出第二天核酸檢測人數(shù)；
設該核酸檢查點第三天核酸檢測人數(shù)是x人，根據(jù)第三天與第二天進行核酸檢測的人數(shù)比是11∶9，列比例：x∶第二天核酸檢測人數(shù)＝11∶9，解比例，即可解答。
【詳解】450×（1＋）
＝450×
＝540（人）
解：設該核酸檢查點第三天有x人進行核酸檢測。
x∶540＝11∶9
9x＝540×11
9x＝5940
x＝5940÷9
x＝660
答：該核酸檢測點第三天有660人進行了核酸檢測。
【分析】本題先根據(jù)分數(shù)乘法的意義，求出第二天核酸檢測的人數(shù)，再根據(jù)比例的基本性質，求出第三天核酸檢測的人數(shù)。
19．①1170米
②20分鐘
【分析】（1）假設18分鐘可以走x米，然后利用速度相等，通過速度＝路程÷時間解比例解答；
（2）假設他要走x分鐘，然后利用速度相等，通過速度＝路程÷時間解比例解答；
【詳解】①解：設18分鐘可以走x米。
325∶5＝x∶18
5x＝325×18
5x＝5850
x＝1170
答：18分鐘可以走1170米。
②解：設他要走x分鐘。
325∶5＝1300∶x
325x＝5×1300
325x＝6500
x＝20
答：他要走20分鐘。
【分析】此題考查學生利用解比例解決實際問題的能力。
20．（1）20平方厘米
（2）平方厘米/秒
【分析】（1）根據(jù)水面上升的高度h與注水時間t的圖象關系可知：注滿圓柱水杯用12秒，注滿長方體水盒用60秒，水杯與水盒的高度相同，注水的速度相同，那么水杯的底面積與水盒的底面積的比等于注滿水杯的時間與注滿水盒的時間比，即：水杯底面積∶100＝12∶60，即可求出水杯的底面積；
（2）根據(jù)長方體的體積，底面積×高，求出長方體的體積，注面長方體的體積需要時間是60秒，用長方體的體積÷60，就是每秒鐘注水的速度，即可解答。
【詳解】（1）根據(jù)分析可知：水杯底面積∶100＝12∶60
水杯底面積：100×＝20（平方厘米）
答：水杯底面積是20平方厘米。
（2）100×20÷60
＝2000÷60
＝（平方厘米/秒）
答：注水的速度是平方厘米/秒。
【分析】本題考查比例的基本性質以及長方體體積公式的應用。

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