資源簡介

第八講 圖形的放大和縮小
1、理解圖形放大和縮小的含義，掌握圖形放大和縮小的方法。
2、在方格圖上將簡單圖形按一定的比放大或縮小。
3、進一步感受數學與生活的密切聯系﹐發展空間觀念。
1、圖形的放大和縮小是生活中常見的現象。
保持圖形原來的形狀不變，和原圖相比，圖形變大了，叫做圖形的放大；保持圖形原來的形狀不變，和原圖相比，圖形變小了，叫做圖形的縮小。
2、圖形的放大與縮小的意義。
把一個圖形放大或縮小后得到的圖形與原圖形相比，形狀相同，大小不同。
3、圖形放大或縮小的方格。
在方格紙上按一定的比將圖形放大或縮小，分為三步；
一看：看原圖形每邊各占幾格；
二算：計算按給定的比將圖形的各邊長放大或縮小后得到的新圖形每邊各占幾格；
三畫：按計算出的邊長畫出原圖形的放大圖或縮小圖。
一、選擇題
1．（2022·廣東揭陽·統考小升初真題）把一個面積為12cm2的三角形按3∶1放大，放大后的三角形的面積是（ ）cm2。
A．4 B．36 C．72 D．108
2．（2023下·陜西西安·六年級校聯考期中）一個平行四邊形的底是4厘米，對應的高是2厘米，將這個平行四邊形按放大，放大后圖形的面積是（ ）平方厘米。
A．128 B．256 C．64 D．48
3．（2023下·陜西咸陽·六年級統考期中）將如圖圖形按1∶2的比縮小后的圖形是（ ）。

A． B． C． D．
4．（2022下·六年級單元測試）把中的圖形按照2∶1放大后的圖形是（ ）。
A． B． C． D．
5．（2021下·四川成都·六年級校考期中）把一張長方形的照片按的比例放大后，長與寬的比（ ）。
A．不變 B．變了 C． D．
6．（2022下·廣東清遠·六年級統考階段練習）一張明信片的長4厘米，寬6厘米，下面是三位小朋友畫在方格紙上的明信片示意圖，誰畫得像？（ ）
A．依依 B．淘淘 C．壯壯 D．都不像
二、填空題
7．（2022下·廣東深圳·六年級統考期末）如圖，圖（ ）是將圖A按2∶1放大后的圖形，圖（ ）是將圖A按1∶2縮小后的圖形。
8．（2021下·山西晉城·六年級統考期中）亮亮畫了一個底是2cm，高是3cm的直角三角形，按3∶1放大后，這個三角形的底是（ ）cm，高是（ ）cm，放大后三角形的面積是（ ）cm2。
9．（2023下·安徽亳州·六年級校考期中）把一個正方形按1∶4的比縮小后，周長縮小到原來的（ ），面積縮小到原來的（ ）。
10．（2023下·山西呂梁·六年級校考期中）如果把一個正方形按3∶1的比放大，放大后圖形與原圖形的邊長比是（ ），面積比是（ ）。
11．（2023下·廣東湛江·六年級校考期末）一個長是3厘米，寬是2厘米的長方形，當這個長方形按2∶1擴大后，面積是（ ）平方厘米。
12．（2022下·遼寧朝陽·六年級統考期中）把邊長為4cm的正方形按3∶1的比例放大，放大后的正方形邊長為（ ）cm，周長是（ ） cm。
三、作圖題
13．（2021下·陜西商洛·六年級統考期末）按要求畫一畫。
（1）將圖形①按1∶3縮小。
（2）將圖形②按2∶1放大。
14．（2023下·山西呂梁·六年級校聯考期末）按下面的要求作圖。
（1）以直線MN為對稱軸作圖形A的軸對稱圖形，得到圖形B。
（2）將圖形A繞點O逆時針旋轉90°，得到圖形C。
（3）將圖形C按1∶2的比縮小，得到圖形D。
四、解答題
15．（2023下·廣東揭陽·六年級統考期中）把一個長方形按1∶3的比縮小，縮小后的長方形與原來的圖形的面積相差64平方厘米。原來長方形的面積是多少平方厘米？
16．一張獎狀長40厘米，寬30厘米，笑笑把它的平面圖畫在紙上，平面圖的長是10厘米，寬是2厘米，笑笑畫得像嗎？
17．一個長方形的長是5厘米，按照4∶1放大后，面積增加了150平方厘米，原圖形的寬是多少厘米？
18．（2021·陜西渭南·統考小升初真題）把中間的長方形分別按比例縮小和放大后得到了左、右兩個長方形，請分別寫出兩個比例，并求出未知數x和y。
19．（2022下·廣東揭陽·六年級統考期末）在“垃圾不落地，普寧更美麗”活動中，流沙某街道辦準備增加垃圾桶的投放量。這種垃圾桶內膽是一個鐵皮做的無蓋圓柱，高45厘米，直徑30厘米。（π取3）
（1）請你按照1∶15的比例尺為工人師傅畫出內膽的展開圖（焊接部分忽略不計）。
（2）做一個這樣的垃圾桶內膽需要多少平方厘米鐵皮？（結果保留整十厘米）
（3）這個垃圾桶的內膽的容積是多少立方厘米？
20．（2021下·陜西漢中·六年級統考期末）如圖，已知點A用數對表示為（1，5），按要求填一填，畫一面。
（1）點B用數對表示為（ ， ）點D用數對表示為（ ， ）。
（2）將圖形①繞點C逆時針旋轉90°。
（3）將圖形①先向右平移4格，再向上平移3格。
（4）將圖形①放大，使得放大后的圖形與原圖形對應線段長的比是3∶1。
參考答案
1．D
【分析】根據圖形放大與縮小的意義，面積是12cm2的三角形可看作是底為6cm，高為4cm的三角形，按3∶1放大后的對應邊底是18cm，高是12cm，再根據面積公式求出結果即可。
【詳解】放大后的面積＝18×12÷2＝108（cm2）
故答案為：D。
【分析】熟練掌握圖形方法與縮小的意義是解題的關鍵。
2．A
【分析】將這個平行四邊形按放大，就是放大后的平行四邊形的底和高是原平行四邊形的底和高長度的4倍，則放大后的平行四邊形的底是4×4＝16厘米，高是2×4＝8厘米，依據平行四邊形面積，將數據代入即可。
【詳解】（4×4）×（2×4）
＝16×8
＝128（平方厘米）
放大后圖形的面積是（128）平方厘米。
故答案為：A
【分析】理解放大的意義，求得放大后平行四邊形的底和高的長度是解答本題的關鍵。
3．C
【分析】把圓按1∶2縮小，就是將圓的半徑縮小到原來的，縮小后圓的半徑與原來圓的半徑比是1∶2，據此按縮小后的半徑畫圓，據此解答。
【詳解】A．，不是按照1∶2的比縮小后的圖形，不符合題意；
B．，不是按照1∶2的比縮小后的圖形，不符合題意。
C．，是按照1∶2的比縮小后的圖形，符合題意；
D．，不是按照1∶2縮小后的圖形，不符合題意。
將圖形按1∶2的比縮小后的圖形是。
故答案為：C
【分析】本題考查的目的是理解掌握圖形放大、縮小的方法以及應用。
4．B
【分析】根據圖形放大與縮小的特征可知，圖形放大或縮小只是改變圖形的大小，而不改變其形狀，據此解答。
【詳解】原圖形的寬為1格，高2格，
按2∶1擴大后，寬應為2格，高應為4格，只有B選項符合題意。
故答案為：B
【分析】本題是考查圖形的放大與縮小。使學生在觀察、比較、思考和交流等活動中，感受圖形放大、縮小，初步體會圖形的相似，進一步發展空間觀念。
5．A
【分析】把長方形形按一定的比例放大，就是把長方形的長和寬擴大相同的倍數，根據比的基本性質，長與寬的比是不變的。
【詳解】根據分析可知，把一張長方形的照片按10∶1的比例放大后，長與寬的比10∶1。
設原來長方形的長與寬的比是：a∶b，
放大后的比為：（a×10）∶（b×10）＝a∶b。
故答案為：A
【分析】本題考查長方形按一定的比例放大，長與寬的比是不變的。
6．B
【分析】由于賀卡的長是4厘米，寬是6厘米，它們的比是4厘米∶6厘米＝2∶3；找到方格紙上的賀卡示意圖中的長和寬的比是2∶3即為所求。
【詳解】A．依依畫的長和寬比是1∶2，不符合題意；
B．淘淘畫的長和寬比是2∶3，符合題意；
C．壯壯畫的長和寬的比是2∶4＝1∶2，不符合題意。
故答案為：B
【分析】本題考查圖形的放大與縮小的知識，根據比的意義進行解答。
7．D C
【分析】把一個圖形按照2∶1放大，就是把這個圖形的各條邊按照2∶1進行放大，求出放大圖形A后的長與寬，找出圖形A放大后的圖形；同樣，把一個圖形按照1∶2縮小，就是把這個圖形的各條邊按照1∶2進行縮小，求出縮小圖形A后的長與寬，找出圖形A縮小后的圖形。
【詳解】A圖形的長是：4，寬是：2；放大后長是：4×2＝8，寬是：2×2＝4；
A圖形縮小后長是：4÷2＝2，寬是：2÷2＝1。
圖D是將圖形A按照2∶1放大后的圖形；圖C是將圖形A按照1∶2縮小后的圖形。
【分析】本題考查圖形的放大與縮小的意義，注意放大后縮小后的圖形的邊長：原圖的對應邊長＝放大或縮小的比。
8．6 9 27
【分析】把三角形按3∶1放大，三角形的每條邊都擴大到原來的3倍，據此求出放大后的三角形的底和高；三角形的面積＝底×高÷2，據此把放大后的數據代入公式計算。
【詳解】2×3＝6（cm），3×3＝9（cm），則按3∶1放大后，這個三角形的底是6cm，高是9cm；6×9÷2＝27（cm2），放大后三角形的面積是27cm2。
【分析】本題主要考查圖形的放大與縮小。把圖形按照n∶1放大，就是將圖形的每一條邊放大到原來的n倍。
9．
【分析】把一個正方形按1∶4的比縮小，是指邊長縮小為原來的，可以假設縮小后邊長為1，則原邊長為4，縮小后正方形周長是原正方形周長的＝；縮小后正方形面積是原正方形面積的＝。
【詳解】周長縮小到原來的，面積縮小到原來的。
【分析】此題重點考查圖形縮小是指長度縮小，而面積縮小的倍數是長度縮小倍數的平方。
10．3∶1 9∶1
【分析】圖形的放大或縮小是指圍成圖形的每條線段按比例放大或縮小。
已知一個正方形按3∶1的比放大，即正方形的邊長擴大到原來的3倍；
可以設放大前正方形的邊長是1，那么放大后正方形的邊長是1×3＝3；
根據正方形的面積＝邊長×邊長，分別求出放大前后正方形的面積；
再根據比的意義分別寫出放大后圖形與原圖形的邊長比、面積比即可。
【詳解】設放大前正方形的邊長是1；
放大后正方形的邊長是：1×3＝3
放大前正方形的面積：1×1＝1
放大后正方形的面積：3×3＝9
所以，放大后圖形與原圖形的邊長比是3∶1，面積比是9∶1。
11．24
【分析】根據圖形放大與縮小的意義，按2∶1放大后的長是3×2＝6（厘米），寬是2×2＝4（厘米），由此可求出這個圖形的面積。
【詳解】長是3×2＝6（厘米）
寬是2×2＝4（厘米）
6×4＝24（平方厘米）
一個長是3厘米，寬是2厘米的長方形，當這個長方形按2∶1擴大后，面積是24平方厘米。
【分析】此題主要是考查圖形放大與縮小的意義，圖形放大或縮小的倍數是指對應邊放大或縮小的倍數，面積是這個倍數的平方倍。
12．12 48
【分析】把邊長為4cm的正方形按3∶1的比例放大，就是將正方形的邊長擴大到原來的3倍，由此求出擴大后的邊長，再代入正方形周長公式C＝4a求出周長。
【詳解】3×4＝12（cm）
12×4＝48（cm）
所以把邊長為4cm的正方形按3∶1的比例放大，放大后的正方形邊長為12cm，周長是48cm。
【分析】本題主要考查圖形的放大與縮小，求出正方形的邊長是解題的關鍵。
13．見詳解
【分析】假設每個方格的邊長為1，
（1）原梯形的上底、下底、高分別是6、3、6，縮小后是2、1、2。
（2）原三角形的兩條直角邊是2和4，擴大后分別是4和8。
【詳解】（1）（2）如圖：
【分析】理解縮小與擴大的意義與方法是解決本題的關鍵。
14．（1）（2）（3）見詳解
【分析】（1）作軸對稱圖形的畫法：找出圖形的關鍵點，依據對稱軸畫出關鍵點的對稱點，再依據圖形的形狀順次連接各點，畫出最終的軸對稱圖形，由此即可畫出圖形A的軸對稱圖形B。
（2）據旋轉的特征，圖形A繞點O逆時針旋轉90°，點O的位置不動，其余各部分均繞此點按相同方向旋轉相同的度數即可畫出旋轉后的圖形；
（3）按1∶2把圖形C縮小，則縮小后的圖形各邊的長度是圖形C的。
【詳解】（1）（2）（3）如下圖所示：
【分析】本題主要考查作軸對稱圖形、作旋轉后的圖形以及圖形的放大和縮小，熟練掌握它們的作圖方法并靈活運用。
15．72平方厘米
【分析】根據長方形的面積公式：S＝ab，把長方形按1∶3的比縮小，那么面積會按照1∶32進行縮小，即原來的長方形的面積是縮小后長方形面積的9倍，用64÷（9－1）即可求出縮小后的面積，再乘9即可求解。
【詳解】64÷（3×3－1）
＝64÷（9－1）
＝64÷8
＝8（平方厘米）
8×（3×3）
＝8×9
＝72（平方厘米）
答：原來長方形的面積是72平方厘米。
【分析】本題主要考查圖形的放大和縮小以及長方形的面積公式，熟練掌握它的面積公式并靈活運用。
16．不像
【分析】根據比例尺的公式：比例尺＝圖上距離∶實際距離，把圖形按照比例放大或縮小，才能保證獎狀整體形狀不變，只是大小變化，據此即可解答。
【詳解】40∶10
＝（40÷10）∶（10÷10）
＝4∶1
30∶2
＝（30÷2）∶（2÷2）
＝15∶1
由于長的圖上距離和實際距離的比值與寬的圖上距離和實際距離不相等。
答：笑笑畫得不像。
【分析】熟練掌握比例尺的意義是解題的關鍵。
17．2厘米
【分析】根據題干，假設原來的寬為x，根據4∶1的比例放大后的長是5×4，寬為4x，然后根據長方形面積＝長×寬，放大后的面積減去原來的面積＝增加的面積，即可解答。
【詳解】解：設原來的寬為x厘米，放大后的寬為4x厘米。
5×4×4x－5x＝150
80x－5x＝150
75x＝150
x＝2
答：原圖形的寬是2厘米。
【分析】此題關鍵在于理解增加面積＝放大后的面積－原來的面積，用方程即可解答。
18．x∶12＝12∶18，x＝8；12∶18＝18∶y，y＝27（比例不唯一）
【分析】長方形按比例放大或縮小后，與原圖形對應邊的比相等，可以組成比例。據此列比例解答求出縮小后長方形的寬、放大后長方形的長。
【詳解】x∶12＝12∶18（比例不唯一）
解：18x＝12×12
18x＝144
x＝8
12∶18＝18∶y（比例不唯一）
解：12y＝18×18
12y＝324
y＝27
答：可以寫出比例x∶12＝12∶18和12∶18＝18∶y。x是8 cm，y是27cm。
【分析】根據圖形放大或縮小的特征或意義，放大或縮小后的圖形與原圖形形狀相同，對應邊成比例。
19．（1）見詳解
（2）4730平方厘米
（3）30375立方厘米
【分析】（1）按照1∶15的比例尺畫圖，就是把直徑和高縮小到原來的，再根據圓柱展開圖的特征畫出即可；
（2）無蓋的圓柱的表面積就是圓柱的底面積加圓柱的側面積，根據圓的的表面積公式：底面積＋側面積，代入數據，即可；
（3）再根據圓柱的體積公式：底面積×高，代入數據，即可解答。
【詳解】（1）圓柱的底面直徑：30×＝2（厘米）
底面周長：3×2＝6（厘米）
圓柱的高：45×＝3（厘米）
（2）3×（30÷2）2＋3×30×45
＝3×225＋90×45
＝675＋4050
＝4725
≈4730（平方厘米）
答：做一個這樣的垃圾內膽需要4730平方厘米鐵皮。
（3）3×（30÷2）2×45
＝3×225×45
＝675×45
＝30375（立方厘米）
答：這個垃圾的內膽的容積是30375立方厘米。
【分析】根據圖形的放大和縮小、圓柱的表面積公式以及體積公式進行解答。
20．（1）B（3，5）；D（1，3）
（2）（3）（4）見詳解
【分析】（1）根據數對的表示方法：第一個數字表示列，第二個數字表示行，由此即可解答。
（2）根據旋轉的特征，圖形①繞點C逆時針旋轉90°，點C的位置不動，其余各部分均繞此點按相同方向旋轉相同的度數即可畫出旋轉后的圖形。
（3）按照平移的特征，將圖形①的所有點都向右平移4個，再向上平移3格，然后依次連接得到圖形。
（4）按3∶1把圖形①1放大，則放大后的圖形各邊的長度是圖形①的3倍
【詳解】（1）B（3，5）；D（1，3）
（2）（3）（4）如下圖
【分析】本題考查的知識點比較多，要熟練掌握圖形的旋轉，平移的畫法以及圖形的放大和用數對表示位置的方法并靈活運用。

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