資源簡介

第四講 圓錐的體積
1、結合具體情境了解圓錐的體積的意義，經歷探索圓錐的體積的計算方法的過程。
2、采用“類比猜想——驗證說明”的方式來探索圓錐的體積計算公式，能準確地掌握圓錐的體積計算方法，會正確計算圓錐的體積，并能解決一些簡單的實際問題。
3、在活動中增強動手操作、觀察、分析的能力，發展空間觀念，體驗探索的樂趣。
1、意義：圓錐形物體所占空間的大小叫作圓錐的體積。
2、圓錐的體積公式。
一個圓錐和一個圓柱的底面積和高都相等，將圓錐形容器裝滿沙子，再倒入圓柱形容器，3次可以倒滿。所以說圓錐的體積等于與它等底等高的圓柱體積的。
圓錐的體積=圓柱的體積×
用字母表示為V=Sh
V=πr2h×
3、求圓錐體積時，方法如下：
（1）如果題中給出底面積和高這兩個條件，可以直接運用V=Sh這一公式。
（2）如果題中給出底面半徑和高這兩個條件，可以運用V=πr2h這一公式。
（3）如果題中給出底面直徑和高這兩個條件，可以運用V=π（）2h這一公式。
一、選擇題
1．如圖，圓錐體積是圓柱（ ）體積的。

A．① B．② C．③ D．無法確定
2．（2021下·陜西咸陽·六年級統考期中）一個圓錐和一個圓柱底面積相等，體積的比是2∶9。如果圓錐的高是3厘米，那么圓柱的高是（ ）厘米。
A．54 B．13.5 C．9 D．4.5
3．（2022上·黑龍江大慶·六年級校考期中）把一個圓柱體削去18立方厘米，得到一個最大的圓錐體，圓錐體的體積是（ ）立方厘米。
A．9 B．18 C．27 D．36
4．（2021下·陜西西安·六年級統考期中）一個圓錐的底面周長是12.56分米，高9厘米，它的體積是（ ）立方分米。
A．113.04 B．11304 C．37.68 D．3.768
5．把一塊圓柱形的鋼錠熔鑄成與它等底的圓錐，高將（ ）。
A．擴大到原來的3倍 B．擴大到原來的6倍
C．縮小到原來的 D．縮小到原來的
6．（2022下·遼寧大連·六年級期末）一個圓柱和一個圓錐，它們的體積相等，高都是10厘米。如果圓柱的底面積是36平方厘米，那么圓錐的底面積是（ ）平方厘米。
A．36 B．12 C．108 D．24
二、填空題
7．（2023下·陜西·六年級校考期末）在長15cm、寬10cm的長方體容器中注入一些水，將等底等高的圓柱和圓錐浸沒在水中（水未溢出），水面上升了2cm。圓柱的體積是( )cm3，圓錐的體積是( )cm3。
8．（2021下·陜西西安·六年級統考期中）將一個容積為15升的圓柱形塑料桶盛滿水，再把一個與它等底等高的實心圓錐倒放入桶中，此時桶中還剩( )升水。
9．（2021下·安徽阜陽·六年級統考期中）把一個圓柱形木塊削成一個最大的圓錐，削去的體積是18立方分米。原來圓柱的體積是( )立方分米，削成的圓錐的體積是( )立方分米。
10．（2023下·山西呂梁·六年級校考期中）一個圓柱的側面展開圖是一個長方形，已知圓柱的高是20厘米，底面周長是62.8厘米，那么長方形的長是( )厘米，圓柱的底面直徑是( )厘米。這個圓柱的側面積是( )平方厘米，表面積是( )平方厘米，體積是( )立方厘米，與它等底等高的圓錐的體積是( )。（得數保留一位小數）
11．（2022下·遼寧丹東·六年級統考期末）如圖，繞這個直角三角形的一條直角邊旋轉，形成的最大的圓錐的體積是( )。
12．（2023下·陜西延安·六年級統考期末）5月30日上午，神舟十六號載人飛船成功發射，延安蘋果又一次隨航天員去“天宮”。小溫觀看了神舟十六號載人飛船發射后，打算做一個火箭模型，他把棱長8厘米的正方體橡皮泥做成了組合在一起的等底等高的一個圓柱體和一個圓錐體（如圖），這個圓柱體的體積是( )立方厘米，這個圓錐體的體積是( )立方厘米。
三、計算題
13．（2023上·黑龍江大慶·六年級校考期末）求體積。（單位：分米）
14．（2022下·陜西咸陽·六年級校考期中）計算下左圖中圖形的體積與下右圖中圖形的表面積。
四、解答題
15．（2021下·陜西西安·六年級統考期中）一個圓柱形容器，從里面量得底面直徑是12厘米，此時水面高度是底面直徑的，將一底面直徑比圓柱底面直徑少的圓錐形鋼材放入，待完全浸入水中后，水面上升到16厘米（水沒有溢出），圓錐形鋼材的高是多少厘米？
16．（2023下·山西呂梁·六年級校考期中）笑笑的外公家今年收獲的小麥堆放在一起，形狀近似一個圓錐形，高是3米，底面半徑是2米，如果每立方米麥子重500千克，那么這堆麥子重多少千克？
17．（2023下·遼寧大連·六年級統考期末）明明家院子里有一堆沙子，堆成了圓錐形，明明量得它的底面周長是12.56米，高是1.5米，如果每立方米沙子的質量約為1500千克，這堆沙子的質量約為多少千克？
18．（2023·四川成都·統考小升初真題）測量與計算。
有一頂圓錐帳篷，底面直徑約6米，高約3.6米。（取3.14）
（1）它的占地面積約是多少平方米？
（2）它內部的空間約是多少立方米？
19．（2022·陜西西安·統考小升初真題）沙漏又稱沙鐘，是我國古代一種計量時間的儀器，它是根據沙流從一個容器到另一個容器的數量來計算時間，如圖展示了一個沙漏記錄時間的情況。（單位：厘米）
（1）求出沙漏此時上部分的體積。
（2）如果再過1分，沙漏上部的沙子就可以全部被漏到下部，那么現在已經計量了多少分鐘？
20．（2021下·廣東深圳·六年級統考期末）一個圓錐形麥堆，量得地面周長為12.56米，高1.8米，如果把這些小麥裝入一個圓柱形糧囤，剛好裝滿這個糧囤。
（1）這堆小麥的體積是多少立方米？
（2）量得糧囤內底面直徑是2米，這個糧囤的高是多少米？
參考答案
1．A
【分析】等底等高的圓錐的體積是圓柱體積的，據此解答。
【詳解】觀察圖形可知，圓錐和圓柱①等底等高，則圓錐體積是圓柱①體積的。而圓柱②和③的體積明顯小于圓柱①的體積，則圓錐體積不是圓柱②和③體積的。
故答案為：A
【分析】掌握圓柱和圓錐體積的關系是解題的關鍵。也可以根據圓柱和圓錐的體積公式分別計算。
2．D
【分析】根據等底等高的圓錐與圓柱體積比是1∶3，已知一個圓錐和一個圓柱的底面積相等，體積的比是2∶9；由此推出這個圓錐與這個圓柱的高的比是2∶3，根據圓錐高于與圓柱高的比例關系進行解答即可得到答案。
【詳解】解：設圓柱和圓錐的底面積為S，圓錐高為h，圓柱的高為H。
圓錐的體積∶圓柱的體積
Sh∶SH＝2∶9
2SH＝3Sh（S一定）
h∶H＝2∶3
所以圓錐與圓柱高的比是2∶3。
圓柱的高：2∶3＝3∶H
2H＝9
2H÷2＝9÷2
H＝4.5
圓柱的高是4.5厘米。
故答案為：D
【分析】此題主要根據等底等高的圓錐的體積是圓柱的體積的這一關系，由已知圓錐和圓柱體積的比是2∶9，推導出這個圓錐與圓柱高的比是2∶3；由此解答即可。
3．A
【分析】以圓柱的底為底，圓柱的高為高的圓錐是圓柱里面最大的圓錐，等底等高的圓柱的體積是圓錐體積的3倍，圓錐的體積是圓柱體積的，削去部分體積占圓柱體積的1－＝，則削去部分體積是圓錐體積的2倍，圓錐的體積＝削去部分的體積÷2，據此解答。
【詳解】（1－）÷
＝÷
＝×3
＝2
18÷2＝9（立方厘米）
所以，圓錐體的體積是9立方厘米。
故答案為：A
【分析】掌握等底等高的圓柱與圓錐之間的體積關系是解答本題的關鍵。
4．D
【分析】根據圓的周長公式：周長＝π×半徑×2，半徑＝周長÷π÷2，代入數據，求出圓錐底面的半徑，再根據圓錐的體積公式：體積＝底面積×高×，代入數據，即可解答。
【詳解】12.56÷3.14÷2
＝4÷2
＝2（分米）
9厘米＝0.9分米
3.14×22×0.9×
＝3.14×4×0.9×
＝12.56×0.9×
＝11.304×
＝3.768（立方分米）
一個圓錐的底面周長是12.56分米，高9厘米，它的體積是3.768立方分米。+
故答案為：D
【分析】熟練掌握和靈活運用圓的周長公式和圓錐的體積公式是解答本題的關鍵。
5．A
【分析】把一塊圓柱形的鋼錠熔鑄成圓錐，說明體積沒有變，根據圓錐的體積公式：，可推出圓錐的高：，據此解答即可。
【詳解】由分析可知：
設圓柱的底面積為S，高為h，則圓柱的體積為Sh。
圓錐的高為：h＝3V÷S＝3Sh÷S＝3h
3h÷h＝3
所以把一塊圓柱形的鋼錠熔鑄成與它等底的圓錐，高將擴大到原來的3倍；
故答案為：A。
【分析】本題考查圓柱與圓錐的體積關系，明確圓錐高的求法是本題的解題關鍵。
6．C
【分析】因為等底等高的圓錐的體積是圓柱體積的，所以當圓柱和圓錐體積相等、高也相等時，圓錐的底面積是圓柱底面積的3倍；據此解答。
【詳解】36×3＝108（平方厘米）
圓錐的底面積是108平方厘米。
故答案為：C
【分析】此題主要考查等底等高的圓柱與圓錐體積之間關系的靈活運用。
7．225 75
【分析】根據題意可知，水面上升部分的體積就是圓柱和圓錐的體積和，根據長方體體積公式：體積＝長×寬×高，代入數據，求出圓柱和圓錐的體積和；等底等高的圓柱的體積是圓錐的3倍，由此可知，圓柱和圓錐的體積和等于4個圓錐的體積，用圓柱和圓錐的體積和÷4，求出圓錐的體積，進而求出圓柱的體積。
【詳解】15×10×2÷4
＝150×2÷4
＝300÷4
＝75（cm3）
75×3＝225（cm3）
在長15cm、寬10cm的長方體容器中注入一些水，將等底等高的圓柱和圓錐浸沒在水中（水未溢出），水面上升了2cm。圓柱的體積是225cm3，圓錐的體積是75cm3。
【分析】解答本題的關鍵明確等底等高的圓柱的體積是圓錐的體積的3倍。
8．10
【分析】根據圓柱的體積公式：底面積×高；圓錐的體積公式：底面積×高÷3，由此即可知道等底等高的圓柱是圓錐體積的3倍，由于桶中放入一個與它等底等高的圓錐，那么剩下部分水的量相當于2個圓錐的容積，用圓柱的容積除以3即可求出圓錐的容積，再乘2即可求出剩下多少升水。
【詳解】15÷3×2
＝5×2
＝10（升）
此時桶中還剩10升水。
【分析】本題主要考查圓柱和圓錐的體積公式，熟練掌握它們體積之間的關系是解題的關鍵。
9．27 9
【分析】將一個圓柱削成一個最大的圓錐，可知圓柱和圓錐是等底等高的，根據等底等高的圓柱的體積是圓錐體積的3倍，削去的體積是圓錐體積的（3－1）倍，用削去的體積除以（3－1）倍可求出圓錐的體積，再乘3即可得圓柱體積。
【詳解】由分析可得：
18÷（3－1）
＝18÷2
＝9（立方分米）
9×3＝27（立方分米）
綜上所述：把一個圓柱形木塊削成一個最大的圓錐，削去的體積是18立方分米。原來圓柱的體積是27立方分米，削成的圓錐的體積是9立方分米。
【分析】本題考查了等底等高的圓柱和圓錐之間的體積關系，明確等底等高的圓柱體積是圓錐體積的3倍是解題的關鍵。
10．62.8 20 1256 1884 6280 2093.3
【分析】將一個圓柱的側面展開，得到一個長方形，長等于圓柱的底面周長，寬等于圓柱的高；圓柱的底面直徑＝周長÷π；圓柱的側面積＝底面周長×高；圓柱的表面積＝側面積＋底面積×2；圓柱的體積＝底面積×高；與它等底等高的圓錐的體積＝圓柱的體積×，得數保留一位小數看小數點后面第二位，然后運用“四舍五入”法即可解答。
【詳解】由分析可知，長方形的長是62.8厘米，
62.8÷3.14＝20（厘米）
即圓柱的底面直徑是20厘米；
62.8×20＝1256（平方厘米）
即這個圓柱的側面積是1256cm2；
1256＋3.14×（20÷2）2×2
＝1256＋3.14×100×2
＝1256＋314×2
＝1256＋628
＝1884（平方厘米）
即圓柱的表面積是1884cm2；
3.14×（20÷2）2×20
＝3.14×100×20
＝314×20
＝6280（立方厘米）
即圓柱的體積是6280cm3；
6280×≈2093.3（立方厘米）
即與它等底等高的圓錐的體積是2093.3立方厘米。
11．150.72
【分析】如果以4的邊為軸旋轉一周，可得到一個底面半徑是6，高是4的圓錐；如果以6的邊為軸旋轉一周，可得到一個底面半徑是4，高是6的圓錐；根據圓錐的體積公式：V＝πr2h，代入數據解答，然后比較兩個圓錐的體積即可。
【詳解】以4的邊為軸旋轉一周得到的圓錐：
3.14×62×4×
＝3.14×36×4×
＝150.72
以6的邊為軸旋轉一周得到的圓錐：
3.14×42×6×
＝3.14×16×6×
＝100.48
150.72＞100.48
所以以4的邊為軸旋轉一周，得到的體積最大；是150.72。
【分析】本題主要考查了圓錐的認識以及圓錐的體積公式的應用。
12． 384 128
【分析】首先根據正方體的體積公式：V＝a3，求出這塊橡皮泥的體積，因為等底等高的圓柱的體積是圓錐體積的3倍，所以等底等高的圓柱與圓錐的體積和相當于圓錐體積的（3＋1）倍，根據已知一個數的幾倍是多少，求這個數，用除法求出圓錐的體積，進而求出圓柱的體積。
【詳解】8×8×8÷（3＋1）
＝8×8×8÷4
＝128（立方厘米）
128×3＝384（立方厘米）
這個圓柱的體積是384立方厘米，這個圓錐的體積是128立方厘米。
【分析】此題主要考查正方體體積公式的靈活運用，等底等高的圓柱與圓錐體積之間的關系及應用，關鍵是熟記公式。
13．1177.5立方分米
【分析】根據圓柱的體積公式：V＝πr2h，圓錐體積公式：V＝πr2h，把數據代入公式解答。
【詳解】3.14×（10÷2）2×12＋×3.14×（10÷2）2×9
＝3.14×52×12＋×3.14×52×9
＝3.14×25×12＋×3.14×25×9
＝942＋235.5
＝1177.5（立方分米）
體積是1177.5立方分米。
14．753.6立方厘米；1381.6平方厘米
【分析】根據作圖可知，是由一個圓柱和一個圓錐組成，根據圓柱的體積公式：底面積×高，圓錐的體積同時：底面積×高÷3，把數代入即可求解；
第二個圖的表面積：相當于下面一個圓柱的表面積加上上面圓柱的側面積，根據圓柱的側面積公式：底面周長×高，圓柱的底面面積：S＝πr2，把數代入公式，把兩個圓柱的側面積相加，再加兩個下面圓柱的底面積即可求解。
【詳解】第一個：
3.14×（6÷2）2×20＋3.14×（12÷2）2×5÷3
＝3.14×9×20＋3.14×36×5÷3
＝565.2＋188.4
＝753.6（立方厘米）
第二個：
3.14×（20÷2）2×2＋3.14×20×8＋3.14×8×10
＝3.14×100×2＋3.14×160＋3.14×80
＝628＋502.4＋251.2
＝1381.6（平方厘米）
15．12厘米
【分析】根據題意，首先求出圓柱形容器的水面高度和圓錐鋼材的底面直徑，圓柱形容器內放入圓錐后，上升部分水的容積等于這個圓錐的體積，根據圓柱的體積公式：V＝πr2h，把數據代入公式求出這個圓錐鋼材的體積，再根據圓錐的體積公式：V＝πr2h，那么h＝V÷÷πr2，把數據代入公式解答即可。
【詳解】1215（厘米）
12
＝12
6（厘米）
3.14×（12÷2）2×（16－15）
＝3.14×62×1
＝3.14×36×1
＝113.04（立方厘米）
113.04×3÷[3.14×（6÷2）2]
＝339.12÷[3.14×9]
＝339.12÷28.26
＝12（厘米）
答：圓錐形鋼材的高是12厘米。
【分析】此題主要考查圓柱、圓錐體積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。
16．6280千克
【分析】要求這堆麥子的重量，先求麥子的體積，麥堆是圓錐形，利用“圓錐的體積計算公式V＝Sh”求得體積，然后用小麥的體積乘每立方米小麥的質量即可。
【詳解】
＝12.56×3×
＝37.68×
＝12.56（立方米）
12.56×500＝6280（千克）
答：這堆麥子重6280千克。
17．9420千克
【分析】根據，可推出，據此可求出圓錐的底面半徑，根據，即可求出圓錐的體積，再乘1500，即可求出堆沙子的質量約為多少千克。
【詳解】
＝12.56÷3.14÷2
＝4÷2
＝2（米）
×3.14×22×1.5×1500
＝3.14×2×1500
＝9420（千克）
答：這堆沙子的質量約為9420千克。
【分析】本題考查圓錐體積公式的靈活運用，記住公式是關鍵。
18．（1）28.26平方米
（2）33.912立方米
【分析】（1）半徑＝直徑÷2，據此求出該底面半徑，根據圓的面積公式：S＝r2，將數值代入求出占地面積；
（2）根據圓錐的體積（容積）公式：V＝Sh，把數據代入求值即可。
【詳解】由分析可得：
（1）3.14×（6÷2）2
＝3.14×32
＝3.14×9
＝28.26（平方米）
答：它的占地面積約是28.26平方米。
（2）×28.26×3.6
＝9.42×3.6
＝33.912（立方米）
答：它內部的空間約是33.912立方米。
【分析】本題主要考查圓的面積公式和圓錐體積公式的掌握和靈活運用，解題的關鍵是熟記公式。
19．（1）3.14立方厘米
（2）56分鐘
【分析】（1）根據圓錐的體積公式：V＝r2h，把數據代入公式解答；
（2）根據圓錐的體積公式：V＝r2h，分別求出沙漏下部整個圓錐的體積和空余小圓錐的體積，從而求出沙漏下部沙子的體積，根據題意可知，1分鐘沙子漏下的體積是一定的，根據“包含”除法的意義，用現在沙漏下部沙子的體積除以1分鐘漏下沙子的體積即可；據此列式解答。
【詳解】（1）3.14×（2÷2）2×3÷3
＝3.14×1
＝3.14（立方厘米）
答：沙漏上部沙子的體積是3.14立方厘米。
（2）3.14×（8÷2）2×12÷3－3.14×（4÷2）2×（12－6）÷3
＝3.14×16×12÷3－3.14×4×6÷3
＝200.96－25.12
＝175.84（立方厘米）
175.84÷3.14＝56（分鐘）
答：現在已經計量了56分鐘。
【分析】這是一道關于圓錐應用的題目，關鍵是掌握圓錐的體積公式。
20．（1）7.536立方米；（2）2.4米
【分析】（1）麥堆的形狀是圓錐形的，先求出麥堆的底面半徑，利用半徑＝底面周長÷圓周率÷2；再利用圓錐的體積計算公式V錐＝πr2h求得體積；
（2）由題意可知圓錐形麥堆的體積即是圓柱形糧囤的體積，根據圓柱的體積公式V柱＝πr2h，h＝ V柱÷πr2即可解答。
【詳解】×3.14×（12.56÷3.14÷2）2×1.8
＝×3.14×4×1.8
＝3.14×4×0.6
＝7.536（立方米）
答：這堆小麥的體積是7.536立方米。
（2）7.536÷3.14÷（2÷2）2
＝2.4÷1
＝2.4（米）
答：這個糧囤的高是2.4米。
【分析】此題考查的是圓的面積以及圓柱和圓錐的體積公式的應用；計算時注意小數點的位置。

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