資源簡介

第三講 圓柱的體積
1、通過具體情境觀察，實物感知等活動，感受物體體積的大小,發展空間觀念。
2、通過圓柱與長方體的“類比”,經歷“猜想與驗證”探索圓柱體積計算方法的過程，體會“類比”的數學思想方法。
3、掌握圓柱體積的計算方法，能正確計算圓柱的體積，能運用圓柱的體積計算方法解決簡單的實際問題。
1、意義：圓柱形物體所占空間的大小叫作圓柱的體積。
2、圓柱的體積的計算公式。
圓柱的體積=底面積×高。
如果用V表示圓柱的體積，S表示底面積，h表示高，那么圓柱的體積計算公式是V=Sh,用字母表示：V=S×h。
3、圓柱體積公式的應用。
圓柱的體積=底面積×高。
①如果已知圓柱的高和底面卓徑，那么圓柱的體積計算公式是V=πr2h。
②如果已知圓柱的高和底面直徑，那么圓柱的體積計算公式是V=π（）2h。
③如果已知圓柱的高和底面周長，那么圓柱的體積計算公式是V=π（）2h。
4、圓柱形容器的容積。
圓柱形容器的容積=圓柱形容器內部的底面積×內部的高，當容器壁的厚度忽略不計時，容器的體積等于容積。
5、不規則物體的體積。
計算不規則物體的體積，可以借助圓柱形容器和水，給圓柱形容器里裝適量的水，量出水的高度，把不規則物體放入容器完全浸入水中，并且水不被溢出，這時測量水的高度，上升的水的體積就是不規則物體的體積。
一、選擇題
1．一個長6米的圓柱體狀的木頭，把它平均截成相等的三段，表面積增加了20平方分米，則這個圓柱體木頭的體積是（ ）。
A．30立方米 B．300立方分米 C．600立方分米 D．60立方米
2．下面運用了“轉化”思想方法的有（ ）。
A．①② B．③④ C．①③④ D．①②③④
3．（2023下·陜西漢中·六年級統考期中）一瓶裝滿水的瓶身呈圓柱形（不包括瓶頸），整個瓶子容量是372.6mL。樂樂口渴了一大半后，發現正放時水的高度是6cm，倒放時無水的高度是12cm，樂樂喝了（ ）。
A．124.2mL B．248.4mL C．246.2mL D．168.4mL
4．（2021下·陜西咸陽·六年級統考期末）一個從里面測得底面半徑是2分米，高是5分米的圓柱形桶中裝有一些牛奶已知桶中牛奶的體積是桶容積的，那么桶中裝有（ ）升牛奶。
A．47.1 B．62.8 C．43.96 D．50.24
5．（2021下·陜西榆林·六年級統考期中）一個圓柱，如果高減少2厘米，表面積就減少25.12平方厘米，體積減少，這個圓柱原來的體積是（ ）立方厘米。
A．251.2 B．125.6 C．94.2 D．62.8
6．（2023下·河南洛陽·六年級統考期末）下面運用了“轉化”的思想方法的有（ ）。

A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
二、填空題
7．（2023下·山西呂梁·六年級校考階段練習）如圖所示，把一個長24cm的圓柱模型平均切成兩部分后，表面積增加了( )，每個小圓柱的體積是( )。
8．（2023下·陜西漢中·六年級統考期中）一個圓柱的底面半徑是2dm，把它沿底面半徑切開，拼成一個與它等底等高的近似長方體，如圖所示。長方體表面積比原來圓柱的表面積增加了，原來圓柱的體積是( )。
9．（2022·陜西西安·統考小升初真題）丁丁把10枚相同的紀念幣摞在一起形成一個圓柱（如圖），圓柱的底面直徑是2厘米，高是2.5厘米。一枚紀念幣的體積是( )立方厘米。
10．（2023下·山西呂梁·六年級校考期中）把一根3米長的圓柱形木頭平均截成3個小圓柱，表面積增加了12.56平方分米，這根木頭的體積是( )立方分米。
11．（2023下·陜西寶雞·六年級統考期末）一個圓柱的底面半徑是4cm，高是10cm，它的底面周長是( )cm，側面積是( )，體積是( )。
12．（2023下·陜西·六年級校考期末）一根自來水管的內直徑是2cm，齊齊出去玩，將水龍頭開到最大，此時水管內水的流速是20cm/s，50秒后被另一名同學發現并關上，此時已經浪費了( )mL水。
三、計算題
13．（2024下·全國·六年級專題練習）計算下面圖形的表面積和體積。
14．（2023下·安徽阜陽·六年級校考期末）求出立體圖形的體積。（單位：cm）
四、解答題
15．（2023下·北京東城·六年級期末）人民大會堂壯觀巍峨，建筑平面呈“山”字形，兩翼略低，中部稍高，四面開門。人民大會堂正門面對天安門廣場，正門門額上鑲嵌著中華人民共和國國徽，正門迎面有十二根淺灰色大理石門柱，正門柱每根直徑2米，高25米。建造這十二根大理石門柱共用石材多少立方米？
16．（2022下·四川成都·六年級統考期末）張師傅用白鐵皮做了一個圓柱形無蓋水桶，底面直徑是6分米，高是5分米。

（1）做一個這樣的水桶（提手不計）至少需要多少平方分米的白鐵皮？
（2）這個水桶能裝多少升的水？
17．（2023下·遼寧大連·六年級統考期末）一個無蓋的圓柱形鐵皮水桶，底面直徑8分米，高12分米，里面裝有6分米深的水。
（1）做這個水桶至少用了多少鐵皮？
（2）王叔叔把一個假山石放入桶中，完全浸沒在水里，結果水面上升了25厘米。這個假山石的體積是多少立方分米？合多少立方米
18．（2021下·陜西寶雞·六年級統考期中）牙膏的出口處是直徑為5毫米的圓形。思思每次刷牙都擠出1厘米長的牙膏，這支牙膏可用36次。該品牌牙膏推出的新包裝只是將出口處直徑改為6毫米，思思還是按照原來的習慣每次擠出1厘米長的牙膏。這支牙膏比之前的少用多少次？
19．（2023下·安徽亳州·六年級校考期中）閱讀下面材料并解決問題。
水是生命之源，是人類賴以生存的物質基礎。黨和政府歷來把安全飲水列為頭等民生大事，集中人力、物力全力保障職工群眾的用水需求。但是好多地方每到夏季用水高峰期，出現水壓低、水量小的現象，有時候甚至無水可用，嚴重影響著居民日常生活。自從開展“我為群眾辦實事”活動以來，地方政府都積極調研。
一個山區的學校修建一個圓柱形蓄水池，水池的底面直徑是8米，深是2.5米。
（1）把水池的內側壁和底面抹上水泥，抹水泥部分的面積是多少平方米？
（2）這個蓄水池能容納多少噸水？（1立方米水的質量是1噸）
20．（2022下·廣東茂名·六年級統考期中）做一個無蓋圓柱形水桶，有以下幾種型號的鐵皮可供搭配選擇。（單位：分米）
（1）你選擇的是（ ）和（ ）搭配使用。（填序號）
（2）你選擇的材料制成水桶需要鐵皮多少平方分米？
（3）你選擇的材料制成的水桶最多能裝水多少升？（鐵皮的厚度略去不計）
參考答案
1．B
【分析】沿著與底面平行的方向截成相等的三段，增加了4個底面積，增加的面積÷4＝圓柱的底面積，圓柱的底面積×圓柱的高＝圓柱的體積，代入數值即可解答。
【詳解】20÷4＝5（平方分米）
6米＝60分米
5×60＝300（立方分米）
這個圓柱體木頭的體積是300立方分米。
故答案為：B
【分析】本題主要考查了圓柱的體積、表面積、先求出圓柱的底面積是關鍵。
2．D
【分析】轉化是數學的一種思想方法，是把新知識轉化為學過的舊知識解決新問題的方法，根據分數除法的計算方法、圓周長公式的推導過程、圓面積公式的推導過程逐個進行分析得出結論。
【詳解】①一個數除以分數：一個數除以分數，等于這個數乘分數的倒數，再利用分數乘法的計算法則計算，利用了轉化思想；
②計算小數乘法，根據小數的基本性質，先把小數化成整數，運用了轉化的思想；
③探索平行四邊形的面積時，利用割補法，將平行四邊形剪切成長方形，運用了轉化的思想；
④求圓柱的體積，利用割補法，將圓柱沿著底面半徑和高切拼成小長方體，運用了轉化的思想。
①②③④都運用了轉化的思想。
故答案為：D
【分析】本題是考查分數除法、小數乘法的計算方法，平行四邊形面積公式的推導，圓柱的體積公式的推導，關鍵是利用“轉化”思想解決問題。
3．B
【分析】可以設瓶子的底面積是Scm2，根據圓柱的體積公式：底面積×高，即此時水的量是：6S，空著的部分是12S，由于剩下的水的量＋空著的部分＝372.6，據此即可列方程求出底面積，用底面積乘12即可求出喝的部分。
【詳解】解：設瓶子的底面積是Scm2。
6S＋12S＝372.6
18S＝372.6
S＝372.6÷18
S＝20.7
20.7×12＝248.4（cm3）
248.4cm3＝248.4mL
所以樂樂喝了248.4mL。
故答案為：B
【分析】本題主要考查圓柱的體積公式，關鍵是要注意瓶子中空白部分是喝的量。
4．A
【分析】根據圓柱的體積（容積）公式：V＝πr2h，用3.14×22×5即可求出桶的容積，然后把桶的容積看作單位“1”，根據分數乘法的意義，用桶的容積×即可求出牛奶的體積，再把單位換算成升。
【詳解】3.14×22×5×
＝3.14×4×5×
＝47.1（立方分米）
47.1立方分米＝47.1升
桶中裝有47.1升牛奶。
故答案為：A
【分析】本題主要考查了圓柱的體積公式的應用以及分數乘法的應用，注意求一個數的幾分之幾是多少，用乘法計算。
5．B
【分析】根據題干，高減少2厘米，表面積就減少25.12平方厘米，減少部分就是高2厘米的圓柱的側面積，利用側面積公式即可求得這個柱的底面周長，從而求得這個圓柱的底面半徑，再根據圓柱的體積公式求得減少部分的體積，根據減少部分的體積是原來圓柱體積的，利用分數除法計算即可求得這個圓柱原來的體積。
【詳解】圓柱的底面半徑為：
25.12÷2÷3.14÷2
＝12.56÷3.14÷2
＝4÷2
＝2（厘米）
減少部分的體積為：
3.14×22×2
＝3.14×4×2
＝12.26×2
＝25.12（立方厘米）
原來圓柱的體積為：
25.12÷＝125.6（立方厘米）
這個圓柱原來的體積為125.6立方厘米。
故答案為：B
【分析】抓住高減少2厘米時，表面積減少25.12平方厘米，從而求得這個圓柱的底面半徑是解決本題的關鍵。
6．C
【分析】轉化思想是將未知解法或難以解決的問題，通過觀察、分析、聯想、類比等思維過程，選擇恰當的方法進行變換，化歸為已知知識范圍內已經解決或容易解決的問題方法的數學思想。據此分析即可。
【詳解】觀察多邊形內角和的規律，總結出內角和與邊的關系，運用了數形結合思想。
將圓柱的體積轉化為長方體的體積，用到轉化思想。
是把異分母分數轉化為同分母分數，運用了“轉化”思想方法。
將平行四邊形的面積轉化為長方形的面積，用到轉化思想。
運用了“轉化”的思想方法的有3個。
故答案為：C
【分析】此題考查了對“轉化”思想方法的運用。
7． 56.52 339.12
【分析】根據題意可知：把圓柱模型平均切成兩部分后，增加了2個截面的面積，根據圓的面積公式：S＝πr2，根據圓柱的體積公式：V＝πr2h，分成2部分后的圓柱的高為24÷2＝12（cm）， 把數據代入公式解答即可。
【詳解】3.14×32×2
＝3.14×9×2
＝28.26×2
＝56.52（）
表面積增加了56.52。
3.14×32×（24÷2）
＝3.14×9×12
＝28.26×12
＝339.12（）
每個小圓柱的體積是339.12。
【分析】此題解答關鍵是明確：把圓柱模型平均切成兩部分后，增加了2個截面的面積，根據圓的面積公式和體積公式解答。
8．1.0048
【分析】根據長方體的體積公式的推導過程可知，近似長方體的表面積比圓柱體的表面積多了長方體左右兩個面，這兩個面是長方形，它的長和寬就是長方體的高和底面半徑，所以用36除以2求出增加的一個長方形的面積，再用增加的一個長方形的面積除以底面半徑（2dm）就是圓柱的高，再根據圓柱體的體積公式：，把數據代入計算即可解答。
【詳解】32÷2＝16（）
2dm＝20cm
16÷20＝0.8（cm）＝0.08dm
3.14×2×2×0.08
＝12.56×0.08
＝1.0048（）
原來圓柱的體積是（1.0048）。
【分析】此題考查的目的是理解掌握圓柱體積公式的推導過程及應用。
9．0.785
【分析】根據圓柱的底面直徑是2厘米，先求出半徑是多少。再根據底面積＝πr2，代入數值求出底面積，再用總高度除以10，求出一枚紀念幣的高度，根據圓柱體體積＝底面積×高，用一枚紀念幣的高與底面積相乘，即可求出一枚紀念幣的體積。
【詳解】半徑：2÷2＝1（厘米）
底面積：3.14×12＝3.14（平方厘米）
一枚紀念幣的高：2.5÷10＝0.25（厘米）
一枚紀念幣的體積：3.14×0.25＝0.785（立方厘米）
一枚紀念幣的體積是0.785立方厘米。
【分析】此題考查了圓柱體積公式的掌握與運用情況，即運用“底面積×高＝體積”進行解答。
10．94.2
【分析】把一根圓柱形木頭平均截成3個小圓柱，要截2次，表面積比原來增加（2×2）個橫截面的面積，據此用（12.56÷4）即可求出橫截面的面積，就是圓柱的底面積，再根據“圓柱的體積公式V＝sh”進行計算即可。
【詳解】（3－1）×2
＝2×2
＝4（個）
3米＝30分米
12.56÷4×30
＝3.14×30
＝94.2（立方分米）
即這根木頭的體積是94.2立方分米。
11． 25.12 251.2 502.4
【分析】圓柱的底面是圓形，，據此可求出圓柱的底面周長，，據此可求出圓柱的側面積，，據此可求出圓柱的體積。
【詳解】由分析可知：
＝2×3.14×4
＝25.12（cm）
＝25.12×10
＝251.2（）
＝3.14××10
＝50.24×10
＝502.4（）
所以一個圓柱的底面半徑是4cm，高是10cm，它的底面周長是25.12cm，側面積是251.2，體積是502.4。
【分析】本題考查圓柱側面積和體積公式的靈活運用，記住公式是關鍵。
12．3140
【分析】根據圓柱的體積公式：V＝πr2h，把數據代入公式求出1秒流出水的體積，然后再乘流水的時間即可。
【詳解】3.14×（2÷2）2×20×50
＝3.14×1×20×50
＝62.8×50
＝3140（cm3）
3140cm3＝3140mL
一根自來水管的內直徑是2cm，齊齊出去玩，將水龍頭開到最大，此時水管內水的流速是20cm/s，50秒后被另一名同學發現并關上，此時已經浪費了340mL水。
【分析】此題主要考查圓柱體積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。
13．表面積：188.4cm2；體積：178.98 cm3
【分析】觀察圖形可知，該立體圖形的表面積等于下方圓柱的表面積加上上方圓柱的側面積，根據圓柱的表面積公式：S＝2πr2＋πdh，圓柱的側面積公式：S＝πdh，據此代入數值進行計算即可；該立體圖形的體積等于下方圓柱的體積加上上方圓柱的體積，再根據圓柱的體積公式：V＝πr2h，據此進行計算即可。
【詳解】表面積：
＝
＝
＝
＝188.4（cm2）
體積：
＝
＝
＝178.98（cm3）
14．13256cm3
【分析】根據對圖片的分析，該立體圖形體積為下面的長方體加上上面的圓柱體的體積之和。
長方體體積公式：V＝長×寬×高，圓柱體積公式為：V＝r2h，將數據代入求解即可。
【詳解】由分析可得：
長方體體積為：
40×30×10
＝1200×10
＝12000（cm3）
圓柱底面半徑為：8÷2＝4（cm）
圓柱體積為：
3.14×42×25
＝3.14×16×25
＝50.24×25
＝1256（cm3）
立體圖形的體積為：12000＋1256＝13256（cm3）
15．942立方米
【分析】根據圓柱的體積公式：V＝πr2h，據此求出1根大理石門柱所用石材的體積，再乘12即可求出建造這十二根大理石門柱共用石材多少立方米。
【詳解】3.14×（2÷2）2×25×12
＝3.14×12×25×12
＝3.14×1×25×12
＝3.14×25×12
＝78.5×12
＝942（立方米）
答：建造這十二根大理石門柱共用石材942立方米。
16．（1）122.46平方分米
（2）141.3升
【分析】（1）求做一個這樣的水桶至少需要多少平方分米的白鐵皮，就是求圓柱的表面積。這個水桶無蓋，則它的表面積＝側面積＋底面積＝πdh＋πr2，據此解答。
（2）求這個水桶能裝多少升的水，就是求圓柱的容積。圓柱的容積＝底面積×高＝πr2h，據此解答。
【詳解】（1）3.14×6×5＋3.14×（6÷2）2
＝94.2＋3.14×9
＝94.2＋28.26
＝122.46（平方分米）
答：做一個這樣的水桶（提手不計）至少需要122.46平方分米的白鐵皮。
（2）3.14×（6÷2）2×5
＝3.14×9×5
＝141.3（立方分米）
＝141.3升
答：這個水桶能裝141.3升的水。
【分析】本題考查了圓柱的表面積和容積的應用。熟練掌握圓柱的表面積和容積公式是解題的關鍵。
17．（1）351.68平方分米
（2）125.6立方分米；0.1256立方米
【分析】（1）要求做這個水桶至少用了多少鐵皮，就是求圓柱的底面積加一個側面積的和，，，據此代入數據計算即可；
（2）假山石的體積就相當于上升的水的體積，根據1厘米＝0.1分米，所以25厘米＝2.5分米，，據此即可求出圓柱形水柱的體積，即假山石的體積；再根據1立方分米＝0.001立方米，即可把單位立方分米換算成立方米。
【詳解】（1）底面積：
＝3.14×（8÷2）2
＝3.14×16
＝50.24（平方分米）
側面積：
＝3.14×8×12
＝25.12×12
＝301.44（平方分米）
需要鐵皮：50.24＋301.44＝351.68（平方分米）
答：做這個水桶至少用了351.68平方分米的鐵皮。
（2）25厘米＝2.5分米
＝50.24×2.5
＝125.6（立方分米）
125.6立方分米＝0.1256立方米
答：這個假山石的體積是125.6立方分米，合0.1256立方米。
【分析】本題考查圓柱表面積和體積的靈活運用，注意：要看清關鍵詞“無蓋”和單位。
18．11次
【分析】由題意知，一支牙膏的容積沒有變，只是原來和現在每次擠出的牙膏體積不同，因而使用的次數也就不同；可利用先求出這支牙膏的體積，再求按現在每次擠出的牙膏量能用多少次，再用原來用的次數減去現在用的次數即可。
【詳解】1厘米＝10毫米
3.14×（5÷2）2×10×36÷[3.14×（6÷2）2×10]
＝3.14×62.5×36÷[3.14×90]
＝7065÷282.6
＝25（次）
36－25＝11（次）
答∶這支牙膏比之前的少用11次。
【分析】此題是考查用圓柱知識解決實際問題，求體積可運用體積公式來解答。
19．（1）113.04平方米
（2）125.6噸
【分析】（1）由于蓄水池無蓋，所以抹水泥部分是這個圓柱的側面和一個底面，根據圓柱的側面積＝底面周長×高，圓的面積公式：S＝πr2，把數據代入公式解答。
（2）根據圓柱的體積公式：V＝πr2h，把數據代入公式求出水的體積，然后用水的體積乘每立方米水的質量即可。
【詳解】（1）3.14×8×2.5＋3.14×（8÷2）2
＝25.12×2.5＋3.14×16
＝62.8＋50.24
＝113.04（平方米）
答：抹水泥部分的面積是113.04平方米。
（2）3.14×（8÷2）2×2.5×1
＝3.14×16×2.5×1
＝50.24×2.5×1
＝125.6×1
＝125.6（噸）
答：這個蓄水池能容納125.6噸水。
【分析】此題主要考查圓柱的表面積公式、體積公式的靈活運用，關鍵是熟記公式。
20．（1）②③；
（2）75.36平方分米；
（3）62.8升
【分析】（1）要做成一個無蓋圓柱形水桶，長方形的長應等于底面圓的周長，與之相配的是②號和③號；
（2）由于水桶無蓋，使用只求這個圓柱的一個底面和側面的總面積，根據圓的面積公式：S＝πr2，圓柱的側面積公式：S＝ch，把數據代入公式解答；
（3）求水桶的容積就是求底面周長是12.56分米，高是5分米的圓柱的體積。
【詳解】（1）要做成一個無蓋圓柱形水桶，長方形的長應等于底面圓的周長，
2號周長是：3.14×4＝12.56（分米）
4號周長是：
2×3.14×3
＝6.28×3
＝18.84（分米）
所以相配的是②號和③號。
（2）3.14×（4÷2）2＋3.14×4×5
＝3.14×4＋12.56×5
＝12.56＋62.8
＝75.36（平方分米）
答：你選擇的材料制成水桶需要鐵皮75.36平方分米。
（3）3.14×（4÷2）2×5
＝3.14×4×5
＝3.14×20
＝62.8（立方分米）
＝62.8（升）
答：你選擇的材料制成的水桶最多能裝水62.8升。
【分析】本題主要考查了圓柱的體積公式V＝Sh＝πr2h在實際生活中的應用。

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