資源簡介

第五講 展開與折疊
1、經歷長方體和正方體的展開與折疊的過程，體險長方體、正方體等圖形展開與折疊之間的關系，加深對長方體和正方體的認識。
2、能正確判斷長方體和正方體與展開圖之間的對應關系。
3、在想象、操作等活動中，發展空間觀念，激發學習數學的興趣。
1、長方體的展開圖。
長方體的展開圖是由6個長方形組成的，相對面的面積相等，而且相鄰面的面積一般不相等(特殊情況也有4個面的面積相等)。
2、正方體的展開圖。
正方體的展開圖是由6個正方形組成的，而且6個正方形的面積相等。
3、判斷一個圖形折疊后相對的面，可以根據長方體，正方體的特點，先確定一個面為下底面，再想象折疊的過程，從而找出相對的面，也可以用實物圖折一折。
一、選擇題
1．（2022下·陜西咸陽·五年級統考期中）如下圖，每顆骰子上分別刻有個圓點，用于表示數字，且相對的兩個面的點數之和為7，下列展開圖中，有（ ）幅圖能夠折成這樣的骰子。
A．1 B．2 C．3 D．4
2．（2021下·陜西咸陽·五年級統考期中）下圖是一個長方體的展開圖（單位：），則陰影部分的面積是（ ）。
A．15 B．21 C．35 D．50
3．（2023下·陜西安康·五年級校考期中）將下圖沿虛線折起來，可折成一個小正方體。這個小正方體1號面的對面是（ ）號面。
A．2 B．6 C．4 D．5
4．（2023下·浙江金華·五年級統考期末）下邊圖形的展開圖，不正確的是（ ）。

A． B．
C． D．
5．（2023下·遼寧大連·六年級統考期末）下面四個圖形中，不能折疊成正方體的是（ ）。
A． B． C． D．
6．（2023下·陜西榆林·五年級統考期末）如圖是一個正方體的平面展開圖，與漢字“塞”相對面上的漢字是（ ）。
A．榆 B．林 C．明 D．珠
二、填空題
7．（2023下·廣東深圳·五年級統考期末）如圖是正方形展開圖，將相對面上的字母填在括號里：A與( )相對，C與( )相對。
8．（2022下·陜西漢中·五年級統考期末）下面各展開圖中，可以圍成長方體的是( )，可以圍成正方體的是( )。
9．（2022下·黑龍江大慶·五年級統考期末）如下圖，正方體的展開圖上有編號，請你寫出相對面的號碼：3的相對面是( )，4的相對面是( )，5的相對面是( )。
10．一個長方體的長是7厘米，寬是5厘米，高是3厘米。說出這個長方體的底面、前面和左面的面積各是多少平方厘米？
底面的面積是( )平方厘米。
前面的面積是( )平方厘米。
左面的面積是( )平方厘米。
11．（2022下·遼寧大連·五年級校考期末）下圖是一個長方體的展開圖，圍成長方體時，點C與點( )重合。
12．（2022下·山西呂梁·六年級統考期末）如圖，將一張紙對折再對折，把對折的角剪下，紙上有一個洞，如果將一張紙對折4次，把對折的角剪下，紙上有( )個洞。（可以動手試一試哦！）
三、作圖題
13．（2023下·廣東深圳·五年級統考期末）如圖，有一個正方體的上半部分涂上了黑色，請在展開圖上涂出剩余的黑色部分。

14．（2023下·廣東清遠·五年級統考期中）下面是一個正方體的表面展開圖的一部分，請你添上兩個正方形，將圖形補完整。
四、解答題
15．如圖，一張硬紙板剪下4個邊長4厘米的小正方形后，可以做成一個沒有蓋子的盒子。請你求出剪后的硬紙板的面積？
16．（2022下·四川成都·五年級統考期末）如圖，將此平面圖沿虛線折疊出來是一座房屋的模型。制作這座房屋模型的屋頂，至少要用去多大面積的紙板？
17．貝貝為媽媽準備了一份生日禮物（如下圖）。他用下面第（ ）種尺寸的包裝紙包裝這個禮物盒比較合適。先畫一畫這個禮物盒的展開圖，再選擇。
18．宣紙質地柔軟，經久耐用，被稱為“千年壽紙”。陳師傅將宣紙裁成了如圖A的形狀，藝術創作后，準備加上木條制作成如圖B所示的長方體燈罩，要做出這樣一個燈罩，至少需要多少厘米的木條？
19．（2023下·廣東清遠·五年級統考期中）在下面方格圖（每個小正方形邊長均為1厘米）上補全這個長方體展開圖的上面、右面和后面，并填空。

上圖長方體的長（ ）厘米，寬（ ）厘米，高（ ）厘米。
20．熊媽媽在魔方的六個面上各貼了一個數字，分別是1，2，3，4，5，6。第一次熊寶寶看到了，第二次熊寶寶又看到了。數字1，2，3對面分別是多少？
參考答案
1．B
【分析】根據正方體的展開圖可知，該展開圖屬于1－4－1結構，即最上面和最下面的兩個面是相對的，然后中間的4個小正方形，左邊數第一個和第三個相對，第二個和第四個相對，據此即可逐項分析。
【詳解】，，，第一個展開圖不符合題意；
，，，第二個展開圖符合題意；
，，，第三個展開圖符合題意；
，，，第四個展開圖不符合題意。
即上列展開圖中有2幅圖能夠折成這樣的骰子。
故答案為：B
【分析】本題主要考查正方體的展開圖，熟練掌握它的展開圖的特點并靈活運用。
2．B
【分析】觀察圖形可知，長方體的長是7dm，寬是5dcm，高是3dm，陰影部分的長是等于長方體的長，等于7dcm，寬等于長方體的高，等于是3dm，根據長方形面積公式：面積＝長×寬，代入數據，即可解答。
【詳解】7×3＝21（dm2）
則陰影部分的面積是21dm2。
故答案為：B
【分析】解答本題的關鍵是根據長方體展開圖的特征確定陰影部分的長和寬的長度。
3．D
【分析】將圖沿虛線折起來，使它成為一個正方體，這個正方體1號面對的面是5號，2號面對的面是4號，3號面的對面是6。
【詳解】由分析可得：這個小正方體1主要是號面的對面是5號面；
故答案為：D
【分析】本題是考查正方體的展開圖,訓練學生的觀察能力和空間想象能力。
4．C
【分析】觀察圖形，可知這是一個特殊的長方體，有2個相對的面是正方形，有4個完全相同的長方形；沿著長方體的一些棱剪開，可以得到長方體的展開圖，在展開圖中，長方體相對的面完全相同；據此分析即可。
【詳解】據上分析可知：A、B、D三個選項的展開圖是正確的，而C選項中有4個正方形面，是不正確的。
故答案為：C
【分析】此題重點考查對長方體特征的認識和展開圖的識別。
5．B
【分析】正方體的展開圖類型：（1）“1—4—1”型：中間4個一連串，兩邊各一隨便放；
（2）“2—3—1”型：二三緊連錯一個，三一相連一隨便；
（3）“2—2—2”型：兩兩相連各錯一；
（4）“3—3”型：三個兩排一對齊；
不能圍成正方體的展開圖類型：
（1）一條線上不過四；
（2）“田字形”“七字型”“凹字型”；據此解答。
【詳解】由分析可知：
A.屬于“2—3—1”型，能折疊成正方體；
B．不屬于正方體的展開圖類型，不能折疊成正方體，折疊時有重疊的面；
C．屬于“2—3—1”型，能折疊成正方體；
D．屬于“1—4—1”型，能折疊成正方體。
故答案為：B
【分析】本題考查正方體展開圖。有11種情況，分四種類型： “1－4－1”結構、“2－2－2”結構、“3－3”結構和“2－3－1”結構。
6．C
【分析】此圖屬于正方體展開圖的“1－4－1”型，“1－4－1”型需要中間4個一連串，兩邊各一隨便放，也就是一個的正方形需要在4個的正方形兩邊，不能同時出現在一邊；
相對的兩個小正方形（中間隔著一個小正方形）是正方體的兩個對面，“z”字兩端處的小正方形是正方體的對面，據此答題即可。
【詳解】由分析可得：
如圖：折成正方體后，“榆”與“林”相對，“塞”與“明”相對，“上”與“珠”相對。
故答案為：C
【分析】正方體展開圖分四種類型，11種情況，每種情況折成正方體后哪些面相對是有規律的，掌握規律是解答本題的關鍵。
7．F E
【分析】據正方體展開圖11種特征，此圖屬于正方體展開圖的“1－4－1”型，根據特征進行判斷即可。
【詳解】由分析可得：
該展開圖中，折成正方體后，“A”和“F”相對，“B”和“D”相對，“C”和“E”相對。
綜上所述：A與F相對，C與E相對。
【分析】本題考查了正方體展開圖的特征，總共分四種類型，11種情況，每種情況折成正方體后哪些面相對是有規律的，可自己動手操作一下并且記住規律。
8．⑥ ①⑤
【分析】根據正方形展開圖的特征、長方形展開圖的特征進行解答。
【詳解】①符合正方體展開圖的“1－4－1”型，能圍成正方體；
②不符合長方體展開圖的特征，不能圍成長方體；
③圍成幾何體時，相交的棱長不相等，不符合長方體展開圖的特征，不能圍成長方體；
④不符合正方體展開圖的特征，不能圍成正方體；
⑤符合正方體展開圖的“2－2－2”型，能圍成正方體；
⑥符合長方體展開圖的“1－4－1”型，能圍成長方體。
⑥能圍成長方體；①⑤能圍成正方體。
【分析】利用長方體展開圖和正方體展開圖的特征進行解答，關鍵是熟記展開圖的特征。
9．6 1 2
【分析】根據正方體展開圖的11種特征，此圖屬于正方形展開圖的“2－2－2”型，并且根據正方體展開圖的相對面辨別方法：相對的兩個小正方形（中間隔著一個小正方形）是正方體的兩個對面，“z”字兩端處的小正方形是正方體的對面，據此判斷即可。
【詳解】由分析可得：
通過對展開圖的觀察，1和4在對面，3和6在對面，剩下的2和5在對面。
綜上所述：如下圖，正方體的展開圖上有編號，請你寫出相對面的號碼：3的相對面是6，4的相對面是1，5的相對面是2。
【分析】本題考查了正方體展開圖的特征，總共分四種類型，11種情況，每種情況折成正方體后哪些面相對是有規律的，可自己動手操作一下并且記住規律。
10．35 21 15
【分析】根據題意可知，底面面積＝長×寬，前面面積＝長×高，左面面積＝寬×高，以此解答。
【詳解】底面的面積：7×5＝35（平方厘米）
前面的面積：3×7＝21（平方厘米）
左面的面積：3×5＝15（平方厘米）
【分析】此題主要考查學生對長方體表面積的理解與應用。
11．D
【分析】由圖可知，此題屬于長方體展開圖中的“1-4-1”型，折疊成長方體后，點C與點D重合，據此選擇。
【詳解】由分析可知，圍成長方體時，點C與點D重合。
【分析】本題主要考查長方體的展開圖。
12．4
【分析】對折1次紙分成21份，4次以后，紙被分成24；在角上剪一刀，紙上洞的個數為24－2＝22個，依此即可求解。
【詳解】由分析可知，如果將一張紙對折4次，把對折的角剪下，紙上有24－2＝22＝4個洞
【分析】此題考查了剪紙問題，解題的關鍵是讓學生親自動手操作，培養學生的動手能力和空間想象能力。
13．見詳解
【分析】此正方體展開圖屬于“1-4-1”型，折成正方體后，1號面與6號面相對，2號面與4號面相對，3號面與5號面相對，其中4號面涂色，進而推出，與4號面相鄰的4個面是1號、3號、5號、6號。根據左邊的正方體涂色部分可知，1號左部邊涂色，3號面右部涂色，5號面左部涂色，6號面下部涂色。
【詳解】如圖：

【分析】解答此題的關鍵是弄清右邊的展開圖折成正方體后哪些面相對，進而推出哪些面相鄰。
14．見詳解（答案不唯一）
【分析】正方體展開圖一共有11種。
（1）“1－4－1”型： 中間4個一連串，兩邊各一隨便放。
（2）“2－3－1”型： 二三緊連錯一個，三一相連一隨便。
（3）“2－2－2”型：兩兩相連各錯一。
（4）“3－3”型：三個兩排一對齊。
據此解答。
【詳解】根據正方體展開圖的特點，可作圖如下：
【分析】掌握正方體11種展開圖的特點是解題的關鍵。
15．456平方厘米
【分析】由題意可知，剪后的硬紙板的面積＝原長方形面積－4×小正方形面積，將數值代入長方形面積計算公式求值即可。
【詳解】26×20－4×4×4
＝520－64
＝456（cm2）
答：剪后的硬紙板的面積是456平方厘米。
【分析】此題主要考查了學生動手操作的能力，在計算不規則圖形的面積時，一般都會把它轉化成幾個規則圖形的面積之和或差，再利用規則圖形的面積公式進行解答。
16．32平方厘米
【分析】先將平面圖折疊成立體圖，判斷出房屋模型中的屋頂面是哪個面，然后根據屋頂面形狀，求出它的大小。在此模型中，屋頂面是由兩個長方形面組成，所以運用長方形面積計算公式計算即可。
【詳解】由分析可知：屋頂是由兩個長為8厘米，寬為2厘米的長方形組成的。
8×2×2
＝16×2
＝32（平方厘米）
答：至少要用去32平方厘米的紙板。
【分析】本題主要考查對圖形的展開與折疊靈活運用。
17．①；
【分析】先畫出長方體禮盒展開圖，分別計算出長＋高×2，寬＋高×2，與①號和②號長方形的長和寬進行比較即可。
【詳解】作圖如下：
21＋13×2＝21＋26＝47（厘米）
15＋13×2＝15＋26＝41（厘米）
60＞47，50＞41；②70＞47，40＜41
所以用第①中尺寸的包裝紙比較合適。
【分析】本題考查了長方體的展開圖，長方體有6個面，相對的面完全一樣。
18．280厘米
【分析】根據題意可知，燈罩的長36厘米、寬12厘米、高22厘米，根據長方體的棱長和公式：長方體棱長和＝（長＋寬＋高）×4，代入數據解答，即可求出至少需要多少厘米的木條。
【詳解】（36＋22＋12）×4
＝70×4
＝280（厘米）
答：至少需要280厘米的木條。
【分析】本題主要考查了長方體棱長和公式的靈活應用，要熟練掌握公式。
19．畫圖見詳解；5；4；2
【分析】根據長方體的特征，長方體的上面和下面完全相同，左面和右面完全相同，前面和后面完全相同，據此畫圖即可；由上圖可數出長方體的長為5格，即5厘米，寬為4格，即4厘米，高為2格，即2厘米。
【詳解】如下如：

長是5厘米，寬是4厘米，高是2厘米。
【分析】本題考查長方體的特征以及長方體的展開圖，學生需熟練掌握長方體的基本特征。
20．見詳解
【分析】從兩次的圖形中可以得知：3是和1、2、4、6相鄰，所以3的對面就是5；由第二次看到的圖形可以得知2與1、3、5、6相鄰，據此可推出2的對面是4，進而推出1的對面是6。據此解答。
【詳解】根據分析可得，以3為中心的展開圖如下：
答：數字1的對面是數字6；數字2的對面是數字4；數字3的對面是數字5。
【分析】本題的關鍵是明確數字6是靠著數字2的。

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