資源簡介

第六講 長方體的表面積
1、在解決實際問題的過程中，探索長方體表面積的計算方法。
2、掌握長方體表面積的計算方法，能解決一些簡單的應用問題。
3、初步發展空間觀念，豐富對現實空間的認識，體會數學與生活的密切聯系。
1、長方體的表面積。
（1）長方體的表面積的意義:長方體6個面的面積之和叫作它的表面積。
（2）長方體的表面積=(長×寬+長×高+寬×高)×2
或長方體的表面積=長×寬×2+長×高×2+寬×高×2
2、正方體的表面積。
（1）正方體的表面積的意義:正方體6個面的面積之和叫作它的表面積。
（2）正方體的表面積=棱長×棱長×6
一、選擇題
1．（2023下·安徽安慶·五年級期末）如圖，在棱長為2cm的正方體上截去一個棱長為1cm的小正方體。表面積與原來比，（ ）。
A．變大了 B．變小了 C．不變 D．無法確定
2．（2020下·廣東揭陽·五年級統考期中）把一個棱長為5cm的正方體鋸成兩個小長方體，表面積比原來增加了（ ）cm2。
A．50 B．25 C．20 D．10
3．（2023下·陜西西安·五年級校考期中）一個長方體的茶葉盒，長10厘米，寬8厘米，高12厘米。如果圍著它貼一圈商標紙（上、下面不貼），這張商標紙的面積至少有（ ）平方厘米。
A．120 B．432 C．592 D．960
4．（2023下·廣東揭陽·五年級統考期中）三個棱長6cm的正方體拼成一個長方體，表面積減少了（ ）cm2。
A．144 B．108 C．72 D．18
5．（2023下·廣東深圳·五年級統考期末）“六 一”兒童節時，學校給一年級小朋友們包裝禮物，要包裝的禮物是長12cm，寬8cm，高5cm的長方體盲盒，每4盒包成一包，（ ）最省包裝紙。
A． B． C． D．
6．（2023下·安徽亳州·五年級期末）一塊長方體木料橫截面的面積是，李師傅要把它沿橫截面截成三段，表面積增加（ ）。
A． B． C． D．
二、填空題
7．（2023下·安徽亳州·五年級期末）把一個正方體鋸成兩個長方體，表面積增加了6cm2，那么原正方體的表面積是( ) cm2。
8．（2023下·廣東惠州·五年級校考期末）把一個長、寬、高分別是5分米，3分米、2分米的長方體截成兩個小長方體，表面積最少增加( )平方分米，表面積最多增加( )平方分米。
9．（2023下·廣東清遠·五年級期末）一個長方體框架，長5厘米，寬4厘米，高3厘米，做這個框架共要( )厘米的鐵絲；若在它的表面貼上塑料板，共要( )平方厘米塑料板。
10．（2022下·河南鶴壁·五年級統考期末）用包裝紙將2個相同的長方體紙盒包裝起來（如圖），至少需要( )平方厘米的包裝紙。
11．（2023下·陜西西安·五年級統考期末）兩塊完全一樣的長方體，長6dm、寬5dm、高4dm，把它們拼成一個大長方體后，大長方體的表面積比原來兩個長方體的表面積之和最多減少( )，最少減少( )。
12．（2023下·廣東深圳·五年級統考期末）用一根84厘米長的鐵絲剛好焊接成一個正方體框架，這個正方體框架的每條棱長是( )厘米，這個正方體框架貼上包裝紙后它的表面積是( )平方厘米。
三、計算題
13．（2023下·廣東揭陽·五年級統考期中）求如圖形的表面積。（單位：厘米）
14．根據展開圖，求長方體的表面積。（單位：厘米）
四、解答題
15．（2023下·廣東揭陽·五年級校考期末）中國是茶的故鄉，飲茶始于中國。張伯伯買了一提信陽毛尖，裝茶的手提袋長25厘米，寬12厘米，高32厘米。做這樣一個手提袋至少需要多少平方厘米的紙？

16．（2022下·黑龍江大慶·五年級統考期末）餅干盒長10厘米、寬5厘米，高2厘米，將2盒餅干盒包裝在一起，成為一個包裝盒。
（1）最少用多少平方厘米的包裝紙？
（2）如果用彩帶系在包裝盒上，打結部分為30厘米，至少用多少彩帶？
17．（2023下·山西呂梁·五年級校考期中）用硬紙做兩個盒子，一個是長方體，它的長是1分米，寬8厘米，高6厘米。另一個是正方體，它棱長是8厘米，計算一下，哪個盒子用的材料多？多多少？
18．（2023下·陜西寶雞·五年級統考期末）校園里擺放著一種花箱（如圖所示），底面是長為1.5m，寬為0.8m的長方形鋁合金板。花箱四周用木條圍成（縫隙忽略不計），高0.8m。做這樣的一個花箱，大約需要木條多少平方米？
19．（2023下·浙江金華·五年級統考期末）小林房間打算重新粉刷四面墻壁，已知房間長4米，寬4米，高3米，四壁的門窗面積共5平方米。每平方米用涂料0.6千克，粉刷小林房間需要多少涂料？
20．（2022下·廣東湛江·五年級校考期末）有一個棱長是5厘米的正方體，在它的前面打一個邊長為1厘米的正方形孔洞（打通），在它的上面也打一個邊長為1厘米的正方形孔洞（打通）， 兩個孔洞相交。求剩余部分的表面積是多少平方厘米？
參考答案
1．C
【分析】從圖中可知，在大正方體的右上角截去一個小正方體后，表面積減少了小正方體的3個面，同時又露出了3個相同的面，所以表面積沒有變化。
【詳解】在棱長為2cm的正方體上截去一個棱長為1cm的小正方體，表面積與原來比，不變。
故答案為：C
2．A
【分析】根據題意可知：把1個棱長5厘米的正方體木塊截成兩個完全一樣的長方體，表面積增加了兩個截面的面積，根據正方形的面積公式：s＝a2，把數據代入公式解答。
【詳解】5×5×2
＝25×2
＝50（cm2）
表面積增加了50 cm2。
故答案為：A
【分析】此題主要考查正方形面積公式的靈活運用，關鍵是明確：把1個棱長5厘米的正方體木塊截成兩個完全一樣的長方體，表面積增加了兩個截面的面積。
3．B
【分析】已知這個長方體的長寬高，且要求只圍著側面貼一圈商標紙，這就意味著只求長方體的前后兩面、左右兩面的面積之和即可。
【詳解】（10×12＋8×12）×2
＝（120＋96）×2
＝216×2
＝432（平方厘米）
這張商標紙的面積至少有432平方厘米。
故答案為：B
【分析】明確所求部分面積屬于長方體的哪幾個面，從而確定所運用的相關元素，這是解題關鍵。
4．A
【分析】三個正方體拼成一個長方體，表面積減少了4個面的面積，1個面的面積是36cm2，4個面的面積是144cm2。
【詳解】6×6×4＝144（cm2）
所以，表面積減少了144cm2。
故答案為：A
【分析】本題考查了長方體和正方體的表面積，明確減少了幾個面的面積是解題關鍵。
5．B
【分析】根據題意可知，要想最省包裝紙，需使表面積最小，由題意可知：只要求出哪種情況下，拼組后的大長方體的表面積與原來四個長方體的表面積之和相比，減少的面的面積最大，就最省包裝紙。也就是把4個長方體茶葉盒的最大面重合在一起，拼成一個長是12厘米，寬是8厘米，高是（5×4）厘米的長方體，根據長方體的表面積公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把數據代入公式解答。據此解答即可。
【詳解】A．表面積減少了：
（12×5＋8×5）×4
＝100×4
＝400（cm2）
B．表面積減少了：
12×8×6
＝96×6
＝576（cm2）
C．表面積減少了：
（12×8＋8×5）×4
＝136×4
＝544（cm2）
D．表面積減少了：
8×5×6
＝40×6
＝240（cm2）
576＞544＞400＞240
最省包裝紙的方法是圖B。
故答案為：B
【分析】此題主要考查長方體表面積公式的靈活運用，關鍵是明確：要想最省包裝紙，也就是把4個長方體茶葉盒的最大面重合在一起進行包裝。
6．C
【分析】把長方體木料沿橫截面截成三段，則表面積比原來增加4個橫截面的面積，據此計算并選擇即可。
【詳解】2×4＝8（dm2）
則表面積增加。
故答案為：C
7．18
【分析】根據正方體的特征，正方體有6個面，每個面的面積相等；把一個正方體鋸成兩個長方體，增加的表面積即原正方體的兩個表面的總面積，表面積增加了6 cm2，所以原正方體一個面的面積為6÷2＝3（cm2），由此可計算原正方體的表面積。
【詳解】6÷2＝3（cm2）
3×6＝18（cm2）
所以把一個正方體鋸成兩個長方體，表面積增加了6cm2，那么原正方體的表面積是18cm2。
8．12 30
【分析】根據長方體的特征，其總共有3種不同大小的面，分別是5分米×3分米的面，5分米×2分米的面，3分米×2分米的面，所以如果將該長方體切成兩個小長方體，沿著3種不同的面平行切就有3種切法，無論哪種切法，都會多出兩個面，如果想讓表面積增加的最少，就是沿最小的面平行進行切割，多出來的表面積最少，想讓表面積增加最多，就沿著最大的面平行進行切割，據此判斷即可。
【詳解】由分析可得：
3×2×2
＝6×2
＝12（平方分米）
5×3×2
＝15×2
＝30（平方分米）
綜上所示：把一個長、寬、高分別是5分米，3分米、2分米的長方體截成兩個小長方體，表面積最少增加12平方分米，表面積最多增加30平方分米。
【分析】本題考查的立體圖形的切割問題，需要明確長方體每切一刀，增加兩個面的面積，要想增加的表面積最少，就沿著最小的面平行切即可，增加的面積最大，就沿著最大的面平行進行切割。
9．48 94
【分析】由題意可知，求鐵絲的長度就是求長方體的總棱長，根據長方體的總棱長公式：L＝（a＋b＋h）×4，據此代入數值進行計算即可；求塑料板的面積就是求長方體的表面積，根據長方體的表面積公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，據此進行計算即可。
【詳解】（5＋4＋3）×4
＝12×4
＝48（厘米）
（5×4＋5×3＋4×3）×2
＝（20＋15＋12）×2
＝47×2
＝94（平方厘米）
則做這個框架共要48厘米的鐵絲；若在它的表面貼上塑料板，共要94平方厘米塑料板。
10．592
【分析】由題意可知：將長方體底面拼接在一起所得到的長方體的表面積最小，此時這個長方體的長是12厘米，寬是8厘米，高是5＋5＝10厘米；將數據代入長方體表面積公式計算即可解題。
【詳解】5＋5＝10（厘米）
（12×8＋12×10＋8×10）×2
＝（96＋120＋80）×2
＝296×2
＝592（平方厘米）
至少需要592平方厘米。
【分析】本題主要考查立體圖形的拼接及長方體的表面積公式。
11．60 40
【分析】此題考查的是立體圖形的拆拼，解答此題的關鍵是，將兩個長方體最大的兩個面重疊在起，才能保證拼成的新長方體的表面積最小，將兩個長方體最小的兩個面重疊在一起，才能保證拼成的新長方體的表面積最大。
1、此題考查的是立體圖形的拆拼，關鍵是分析哪兩個面拼接表面積最大；
2、兩個長方體拼成一個大長方體，要使表面積減少的最多，則可以把最大面6×5面相粘合，據此減少了兩個6×5的面的面積；
3、反之，把最小面5×4面相粘合，表面積減少的最少，據此即可解答。
【詳解】6×5×2
＝30×2
＝60（dm2）
5×4×2
＝20×2
＝40（dm2）
大長方體的表面積比原來兩個長方體的表面積之和最多減少60，最少減少40。
【分析】本題解題關鍵是理解要使拼成的大長方體表面積減少最多，必須使原來兩個長方體的最大面重合，反之減少最少即最小面重合，也就是兩個長方體上下面重合的道理。
12．7 294
【分析】正方體的棱長總和＝棱長×12，代入數據即可求出棱長；正方體的表面積＝棱長×棱長×6，代入數據計算即可。
【詳解】84÷12＝7（厘米）
7×7×6
＝49×6
＝294（平方厘米）
這個正方體框架的每條棱長是7厘米，這個正方體框架貼上包裝紙后它的表面積是294平方厘米。
【分析】本題主要考查正方體棱長總和及表面積公式的靈活運用。
13．長方體的表面積是192平方厘米，正方體的表面積是24平方厘米
【分析】利用長方體表面積公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，正方體表面積公式：S＝6a2，代入數據計算即可。
【詳解】（12×3＋12×4＋3×4）×2
＝（36＋48＋12）×2
＝96×2
＝192（平方厘米）
2×2×6＝24（平方厘米）
長方體的表面積是192平方厘米，正方體的表面積是24平方厘米。
14．248平方厘米
【分析】由長方體的展開圖可知：長方體的長是10厘米，寬是6厘米，高是（28－10×2）÷2＝4（厘米）。根據長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，用（10×6＋10×4＋6×4）×2可求出這個長方體的表面積。
【詳解】高：（28－10×2）÷2
＝（28－20）÷2
＝8÷2
＝4（厘米）
表面積：（10×6＋10×4＋6×4）×2
＝（60＋40＋24）×2
＝124×2
＝248（平方厘米）
15．2668平方厘米
【分析】根據題意可知：這樣的一個手提袋是無蓋的，所以只求它的5個面的總面積，根據長方體的表面積公式：S＝（ab＋ah＋bh）×2，把數據代入公式求出它的一個底面和4個側面的總面積即可。
【詳解】25×12＋（25×32＋12×32）×2
＝300＋（800＋384）×2
＝300＋（800＋384）×2
＝300＋1184×2
＝300＋2368
＝2668（平方厘米）
答：至少需要2668平方厘米的紙板。
【分析】解答有關長方體計算的實際問題，一定要搞清所求的是什么，再進一步選擇合理的計算方法進行計算解答問題。
16．（1）220平方厘米
（2）76厘米
【分析】（1）將2盒餅干盒包裝在一起，成為一個包裝盒，最少用紙應該把長方體中最大的兩個面合在一起，求最少用多少平方厘米的包裝紙，就是求的長是10厘米。寬是5厘米，高是2×2＝4厘米的長方體包裝盒的表面積，根據長方體的表面積公式：表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高），代入數據，即可解答；
（2）彩帶的長度是有2個長方體的長的長，2個長方體的寬的長，4個長方體高的長與打結部分的長的和，據此解答。
【詳解】（1）2×2＝4（厘米）
（10×5＋10×4＋5×4）×2
＝（50＋40＋20）×2
＝（90＋20）×2
＝110×2
＝220（平方厘米）
答：最少用多少平方厘米的包裝紙220平方厘米的包裝紙。
（2）2×10＋2×5＋4×4＋30
＝20＋10＋16＋30
＝30＋16＋30
＝46＋30
＝76（厘米）
答：至少用76厘米的彩帶。
【分析】解答本題的關鍵明確最少用紙應該把長方體中最大的兩個面合在一起。
17．正方體；多8平方厘米。
【分析】先換算成統一單位，1分米厘米，將數值代入長方體的表面積＝（長×寬＋長×高＋寬×高）×2，正方體的表面積＝棱長×棱長×6，然后進行比較即可。
【詳解】1分米厘米
（平方厘米）
（平方厘米）
（平方厘米）
答：正方體盒子用料多，多8平方厘米。
【分析】此題主要考查正方體、長方體的表面積公式在實際生活中的應用，關鍵是熟記公式。
18．3.68平方米
【分析】分析題意可知：大約需要木條多少平方米就是求長方體花箱的側面積，利用長方體的側面積＝（長×高＋寬×高）×2，將相關數據代入計算即可。
【詳解】（0.8×1.5＋0.8×0.8）×2
＝（1.2＋0.64）×2
＝1.84×2
＝3.68（平方米）
答：大約需要木條3.68平方米。
【分析】此題重點考查長方體側面積計算方法在實際生活中的運用。
19．25.8千克
【分析】根據題意，四面墻壁的面積＝（長×高＋寬×高）×2，據此代入數據求出四面墻壁的面積，再減去門窗面積即可求出需要粉刷的面積，最后用每平方米用涂料的質量乘粉刷面積即可求出粉刷小林房間需要多少涂料。
【詳解】（4×3＋4×3）×2－5
＝24×2－5
＝48－5
＝43（平方米）
0.6×43＝25.8（千克）
答：粉刷小林房間需要25.8千克涂料。
【分析】本題主要考查長方體表面積的應用。掌握并靈活運用長方體的表面積公式是解題的關鍵。
20．180平方厘米
【分析】根據在正方體打一個邊長為1厘米的正方形空洞（打通），再在它的上面也打一個邊長為5厘米的正方形空洞（打通），可知棱長是5厘米的正方體表面積減少了4個邊長是1厘米的正方形面積，即減少的面積為：1×1×4＝4平方厘米；同時也增加了8個長是5厘米，寬是1厘米的長方形面積，再從中去掉一個棱長1厘米的正方體的表面積，根據正方體表面積公式：棱長×棱長×6；長方形面積公式：面積＝長×寬，代入數據，即可求出剩余面積，據此解答。
【詳解】5×5×6－1×1×4＋5×1×8－1×1×6
＝25×6－1×4＋5×8－1×6
＝150－4＋40－6
＝146＋40－6
＝186－6
＝180（平方厘米）
答：剩余部分的表面積是180平方厘米。
【分析】解答本題的關鍵是兩個空洞相交，需要減去重復的面積，即一個正方體的表面積，利用正方體表面積公式，長方體表面積公式，進行解答。

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