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靈活多變培養思維品質

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思維的本身是人的意識對客觀事物的本質屬性和內部規律的概括和間接的反映，數學思維則是人腦和數學對象（空間形式，數量關系）相互作用并按照一般思維規律認識數學內容的過程和活動。而數學內容具有“動”與“靜”、“變”與“不變”等特點，因此對于一個數學問題從辯證的角度，靈活的去觀察、分析并處理，針對思維活動中的關鍵環節和薄弱活動，有意識的進行訓練，能改善思維品質，提高思維能力，掌握思維方法。
變換解題方法，培養學生思維的廣闊性。
思維的廣闊性表現在多層面，多角度去思考問題，發現事物之間的聯系并找出多種解法。
題目1：過點（0，-1）作一直線，與雙曲線相交于M、N兩點，MN的中點的橫坐標為，求直線的方程。
思考一：依題意所求直線的斜率存在。設直線方程。將直線代入雙曲線得，所以，△>0。
∴ k=1 ∴所求直線方程y=x-1。
思考二：設，直線斜率為K。
①； ②； ①-②得 ③
又因MN的中點 ∴
∴，又 代入③式得k=1。
這樣，經常從多角度去分析解決問題，不斷總結，不斷探索，尋找合理、準確、恰當的思維起點，使解題思路自然、流暢，能不斷開發解題智慧，逐步提高分析問題和解決問題的能力。
題目2：已知，對任意的恒成立，試求實數a的范圍。
思考一：在上，
令，∵g(x)在上單調遞增。∴對任意恒成立即 a>–3。
思考二：由題意得。當時上式恒成立，此時的最大值為–3，∴a>–3。
思考三：
當a≥0，f(x)恒正。
當a<0，f(x)在上單調遞增?！啵藭r恒成立，∴a>-3得-3–3。
靈感的產生來源于扎實的基礎，簡捷的方法來自于豐富的聯想。抓住有利時機，啟發學生在所學的基礎上盡可能提出不同的新構思，不僅有利于對基礎知識的縱橫聯系和溝通，更有利于培養學生思維的廣闊性。
變換相似條件，培養學生思維的發散性
思維的發散性表現在能準確找到相似事物之間的共性與區別，從而把一個問題的處理辦法推廣到類似問題中去。
如在定理≥（當且僅當a=b時取“=”）的教學中，可設計下面的題目和變式。
題目3：已知x>0，求的最小值。
變式1：已知x<0，求的最大值。
變式2：已知，求的值域。
變式3：已知x>0，求（a>0，b>0）的最小值。
變式4：已知x>0，求（a<0，b<0）有最小值嗎？
變式5：實數的最小值是2嗎？
由該題及變式的解答，使學生加深了對定理的三個條件“一正二定三相等”的理解和掌握。
在平時教學中，教師要積極鼓勵學生主動參與，只有長期堅持這種訓練，才能提高學生認識數學習題的層次，拓展認識數學問題的視野，從而有利于培養學生思維的發散性。
變換限制條件，培養學生思維的靈活性。
思維的靈活性是指具體問題具體分析，善于根據情況的變化，克服思維定勢的影響及時調整思維過程與方法，靈活地運用各種方法與模式。
題目4：已知a，b>0，實數當b>1時，證明：對任意，
≤１的充要條件是b-1≤a≤。
若把本題的限制條件b>1變為0從表面上看，兩個問題似乎相互獨立，但仔細分析后發現，兩個問題實質上完全相通。
因為≤1≤1且max≤1≤1，
≤1且max=≤1或，max=≤1a≤2b,
b-1≤a≤b+1且a≤或a>2b且b-1≤a≤b+1,所以，當b>1時，
b-1≤a≤
當0即實質是相互補充的一個整體.
限制條件的變化可以讓學生全面地、深刻地去理解一個問題，把握數學中變與不變的關系，從而增強解決問題的應變能力。
變換題目，注重通性通法，培養學生思維的獨創性。
思維的獨創性是指主動地、獨立地發現新事物，提出新見解，解決新問題的思維形式，它是一種綜合性的思維活動。
題目5. 已知不等式≥0的解集為R，求a的取值范圍。
題目6. 已知恒有不等式≥0成立，求a的取值范圍。
題目7 已知的定義域R，求a的取值范圍。
題目8. ≥0的解集為R，求a的取值范圍。
以上4個題的解法是通用的：由題意≥0對恒成立。顯然a≤0不可能，故a>0且△≤0，得0“不識廬山真面目，只緣身在此山中”，當我們走出題海，看到了構成題目的本質，就會有撥云見日，柳暗花明的感受。
變換結論，培養學生思維的深刻性
思維的深刻性是指思維活動的抽象程度和邏輯水平，以及思維活動的深度和難度，它主要表現在能深入地鉆研和思考問題，善于從復雜的事物中把握本質規律，從而達到解決問題的目的。
題目9： 已知是正整數，且1（）。
若把題中的證明變為：，此時沒有了明顯的特征，證明比較困難。
但 ∴，。
要證只需證即證，。逐項比較即可證明，我們可清楚地看到其本質實際是一致的。
當然思維品質的培養不是靠一兩道題的變式就可解決，我們必須充分挖掘優秀試題的內涵，不失時機地靈活處理，從而優化學生的思維品質，日積月累，就能在真正意義上提高學生分析問題和解決問題的能力。
【參考文獻】：《數學方法論與解題研究》《高中數學教與學》

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