資源簡介

6．1 空間向量及其運算
課程標準 學習目標
（1）能類比平面向量的學習，經歷平面向量推廣到空間向量的過程，并初步建構空間向量及其運算的研究框架． （2）能類比平面向量，用自己的語言解釋空間向量的概念，說明空間向量與平面向量的共性與差異． （3）能將平面向量的線性運算推廣到空間，給出空間向量的加法、減法和數乘運算的定義及其幾何意義． （4）能將平面向量線性運算的運算律推廣到空間，并能借助圖形解釋其意義；會用空間向量的線性運算表示空間中的基本元素，體會空間向量的線性運算在解決立體幾何問題中的作用． （5）能將平面向量數量積的運算推廣到空間，給出空間向量數量積的概念，會計算兩個向量的數量積；能將平面向量數量積的運算律推廣到空間向量數量積的運算律，能用自己的語言解釋空間向量運算律和實數運算律的聯系與區別． （6）能借助圖形解釋空間向量投影的概念以及投影向量的意義． （7）能利用向量數量積解決幾何度量問題，證明與垂直有關的簡單問題；體會空間向量的數量積運算及其運算律在解決立體幾何問題中的作用． （1）了解空間向量的概念，掌握空間向量的幾何表示與字母表示. （2）掌握空間向量的線性運算 （3）掌握共線向量定理，會用共線向量定理解決相關問題． （4）掌握兩個向量的數量積的概念、性質和計算方法. （5）理解空間共面向量定理，會證明直線與平面平行. （6）理解空間向量共面的充要條件，會證明空間四點共面．
知識點01 空間向量的有關概念
1、空間向量
（1）定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．
（2）長度或模：空間向量的大小．
（3）表示方法：
①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；
②字母表示法：用字母表示；若向量的起點是，終點是，也可記作：，其模記為或．
知識點詮釋：
（1）空間中點的一個平移就是一個向量；
（2）數學中討論的向量與向量的起點無關，只與大小和方向有關，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內任意平移，故我們稱之為自由向量．
2、幾類常見的空間向量
名稱 方向 模 記法
零向量 任意 0
單位向量 任意 1
相反向量 相反 相等 的相反向量： 的相反向量：
相等向量 相同 相等
【即學即練1】（2024·山東日照·高二校考階段練習）下列命題中為真命題的是（ ）
A．向量與的長度相等
B．將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構成一個圓
C．空間非零向量就是空間中的一條有向線段
D．不相等的兩個空間向量的模必不相等
【答案】A
【解析】選項A：因為空間向量與互為相反向量，所以空間向量與的長度相等，所以A正確；
選項B：將空間所有的單位向量平移到一個起點，則它們的終點構成一個球面，所以B錯誤；
選項C：空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但空間向量不是有向線段，所以C錯誤；
選項D：兩個空間向量不相等，它們的模可能相等，也可能不相等，如向量與的模相等，所以D錯誤；
故選：A.
知識點02 空間向量的線性運算
（1）向量的加法、減法
空間向量的運算 加法
減法
加法運算律 ①交換律： ②結合律：
（2）空間向量的數乘運算
①定義：實數與空間向量的乘積仍然是一個向量，稱為向量的數乘運算．
當時，與向量方向相同；
當時，與向量方向相反；
當時，；的長度是的長度的倍．
②運算律
結合律：．
分配律：，．
知識點詮釋：
（1）空間向量的運算是平面向量運算的延展，空間向量的加法運算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則．而且滿足交換律、結合律，這樣就可以自由結合運算，可以將向量合并；
（2）向量的減法運算是向量加法運算的逆運算，滿足三角形法則．
（3）空間向量加法的運算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，
即：
因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉化為首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若構成一個封閉圖形，則它們的和為零向量，
即：；
【即學即練2】（2024·廣東中山·高二中山市華僑中學校考階段練習）已知三棱錐，點M，N分別為AB，OC的中點，且，，，用，，表示，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】
.
故選：C.
知識點03 共線問題
共線向量
（1）定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．
（2）方向向量：在直線l上取非零向量，與向量平行的非零向量稱為直線l的方向向量．
規定：零向量與任意向量平行，即對任意向量，都有．
（3）共線向量定理：對于空間任意兩個向量，，的充要條件是存在實數使．
（4）如圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量，則對于直線l上任意一點P，由數乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實數，使得．
知識點詮釋：此定理可分解為以下兩個命題：
（1）存在唯一實數，使得；
（2）存在唯一實數，使得，則．
注意：不可丟掉，否則實數就不唯一．
（3）共線向量定理的用途：
①判定兩條直線平行；（進而證線面平行）
②證明三點共線．
注意：證明平行時，先從兩直線上取有向線段表示兩個向量，然后利用向量的線性運算證明向量共線，進而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法．證明三點共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點．
【即學即練3】（2024·福建莆田·高二校考階段練習）已知不共線向量，，，，，，則一定共線的三個點是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】若，則存在唯一實數使得，
即，
所以，無解，
所以不共線，則三點不共線，
若，則存在唯一實數使得，
即，
所以，無解，
所以不共線，則三點不共線，
，
若，則存在唯一實數使得，
即，
所以，無解，
所以不共線，則三點不共線，
，
所以，
又點為兩向量的公共端點，所以三點共線.
故選：D.
知識點04 向量共面問題
共面向量
（1）定義：平行于同一個平面的向量叫做共面向量．
（2）共面向量定理：若兩個向量，不共線，則向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序實數對，使．
（3）空間一點P位于平面ABC內的充要條件：存在有序實數對，使或對空間任意一點O，有．
（4）共面向量定理的用途：
①證明四點共面
②線面平行（進而證面面平行）．
【即學即練4】（2024·全國·高二專題練習）八十年代初期，空間向量解決立體幾何問題的思路得到了長足的發展，已知A，B，C三點不共線，對空間任意一點O，若，則P，A，B，C四點（ ）
A．不共面 B．不一定共面
C．無法判斷是否共面 D．共面
【答案】D
【解析】對于空間任意一點和不共線三點、、，若點滿足：，且，則、、、四點共面.
而，其中，所以四點共面.
故選：D
知識點05 空間向量數量積的運算
空間向量的數量積
（1）定義：已知兩個非零向量，，則叫做，的數量積，記作．即．
規定：零向量與任何向量的數量積為．
（2）常用結論（，為非零向量）
①．
②．
③．
（3）數量積的運算律
數乘向量與數量積的結合律
交換律
分配律
知識點詮釋：
（1）由于空間任意兩個向量都可以轉化為共面向量，所以空間兩個向量的夾角的定義和取值范圍、兩個向量垂直的定義和表示符號及向量的模的概念和表示符號等，都與平面向量相同．
（2）兩向量的數量積，其結果是數而非向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號由夾角的余弦值決定．
（3）兩個向量的數量積是兩向量的點乘，與以前學過的向量之間的乘法是有區別的，在書寫時一定要將它們區別開來，不可混淆．
【即學即練5】（2024·北京房山·高二統考）在棱長為2的正方體中，（ ）
A． B． C．2 D．4
【答案】D
【解析】
在棱長為2的正方體中,
易知，
因為，與的夾角為，
所以與的夾角為，
.
故選：D
知識點06 夾角問題
1、定義：已知兩個非零向量、，在空間任取一點D，作，，則叫做向量與的夾角，記作，如下圖．
根據空間兩個向量數量積的定義：，
那么空間兩個向量、的夾角的余弦．
知識點詮釋：
（1）規定：
（2）特別地，如果，那么與同向；如果，那么與反向；如果，那么與垂直，記作．
2、利用空間向量求異面直線所成的角
異面直線所成的角可以通過選取直線的方向向量，計算兩個方向向量的夾角得到．
在求異面直線所成的角時，應注意異面直線所成的角與向量夾角的區別：如果兩向量夾角為銳角或直角，則異面直線所成的角等于兩向量的夾角；如果兩向的夾角為鈍角，則異面直線所成的角為兩向量的夾角的補角．
【即學即練6】（2024·山東煙臺·高二校聯考）已知空間向量，，滿足，，且，則與的夾角大小為（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
【答案】C
【解析】由題設，則，
所以，又，可得，即.
故選：C
知識點07 空間向量的長度
1、定義：
在空間兩個向量的數量積中，特別地，所以向量的模：
將其推廣：
；．
2、利用向量求線段的長度．
將所求線段用向量表示，轉化為求向量的模的問題．一般可以先選好基底，用基向量表示所求向量，然后利用來求解．
【即學即練7】（2024·安徽淮北·高二淮北市第十二中學校考）如圖，在平行六面體中，底面是邊長為的正方形，，，，，，為中點．
(1)用空間的一組基表示，；
(2)求，的值．
【解析】（1）由題意可得：，
.
（2）由題意可得：，
因為，
.
題型一：空間向量的概念
例1．（2024·新疆·高二校考階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，互為相反向量，則
C．空間中兩平行向量相等 D．在四邊形ABCD中，
【答案】D
【解析】對于A，向量不可以比較大小，所以A錯誤；
對于B, 若，互為相反向量，則，故B錯誤；
對于C，兩向量相等需要向量的方向相同，且長度相同，故C錯誤；
對于D，四邊形ABCD中，，故D正確.
故選：D
例2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學校校考）給出下列命題，其中正確的是（ ）
A．若，則是鈍角
B．若，則與一定共線
C．若，則AB與CD為同一線段
D．非零向量、、滿足與，與，與都是共面向量，則、、必共面
【答案】B
【解析】A.當時，滿足，但不是鈍角，故A錯誤；
B.當時，，所以與一定共線，故B正確；
C.當時，則與共線，但線段與可能只是平行關系，故C錯誤；
D.如圖所示：
設，
顯然滿足與，與，與都是共面向量，但 不共面，故D錯誤；
故選：B.
例3．（2024·福建泉州·高二統考）在正方體中，與向量相反的向量是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】
如圖所示，可知是的相反向量.
故選：A
變式1．（2024·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學校考階段練習）在長方體中，下列向量與是相等向量的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】如圖所示的長方體中，
A：向量與方向相反，所以這兩個向量不相等，因此本選項不正確；
B：向量與大小相等，方向相同，所以這兩個向量相等，因此本選項正確；
C：向量與方向相反，所以這兩個向量不相等，因此本選項不正確；
D：顯然向量與向量方向相反，所以這兩個向量不相等，因此本選項不正確，
故選：B
【方法技巧與總結】
（1）平面向量是一種特殊的空間向量．
（2）兩個向量相等的充要條件為長度相等，方向相同．
（3）向量不能比較大小．
題型二：空間向量及其線性運算
例4．（2024·貴州·高二統考階段練習）如圖，在四面體中，分別為的中點，為的重心，則（ ）
A．
B．
C．
D．
【答案】B
【解析】因為分別為的中點，所以.
因為為的重心，所以，
所以.
故選：B.
例5．（2024·云南臨滄·高二校考）如圖，在空間四邊形中，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】，
故選：C.
例6．（2024·山東棗莊·高二校聯考階段練習）如圖，在四面體中，點E，F分別是，的中點，點G是線段上靠近點E的一個三等分點，令，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】連接，
.
故選：A.
變式2．（2024·福建漳州·高二校考）已知三棱錐O—ABC，點M，N分別為線段AB，OC的中點，且，，，用，，表示，則等于（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】點M，N分別為線段AB，OC的中點，
則
故選：D
變式3．（2024·山東青島·高二統考）如圖，在三棱錐中，點，分別是，的中點，點在棱上，且滿足，若，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】
如圖，連接因點，分別是，的中點，點在棱上，且滿足
則
即：
故選：C.
【方法技巧與總結】
（1）向量加法的三角形法則和向量減法的定義是解決空間向量加法、減法運算的關鍵，靈活應用相反向量可使向量間首尾相接．
（2）利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量的運算時，務必要注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得更準確的結果．
題型三：共線向量（或平行向量）
例7．（2024·湖北省直轄縣級單位·高二校考）若空間四點滿足，則（ ）
A．直線
B．直線
C．點P可能在直線上，也可能不在直線上
D．直線，且
【答案】A
【解析】由于，所以四點共面，
由于，所以三點共線，
根據平行四邊形法則可知：是線段上，靠近的三等分點（如下圖所示）.
所以A選項正確，BCD選項錯誤.
故選：A
例8．（2024·湖北省直轄縣級單位·高二校考階段練習）下列命題中正確的是（ ）
A．空間任意兩個向量共面
B．向量、、共面即它們所在直線共面
C．若，，則與所在直線平行
D．若，則存在唯一的實數，使
【答案】A
【解析】空間任意兩個向量都能平移到同一平面內，因此它們共面，A正確；
空間三個向量指能平移到同一平面內，而不是指表示它們的直線在同一平面內，B錯；
若，，但當時，與不一定平行，因此它們所在直線也不一定平行，即使兩個向量平行，它們所在的直線也可能是同一直線，不一定平行，C錯；
若，當時，不存在唯一的實數，使，D錯．
故選：A．
例9．（2024·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學校考階段練習）已知是空間的一個基底，，，若，則 （ ）
A． B． C．6 D．5
【答案】C
【解析】因為向量，
又因為，且，
可得，則，解得，
所以.
故選：C.
變式4．（2024·新疆伊犁·高二校考）已知、、為空間三個不共面的向量，向量，，若與共線，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為、、為空間三個不共面的向量，向量，，
若與共線，設，即，
可得，解得，故.
故選：D.
變式5．（2024·全國·高二課堂例題）如圖，平行六面體中，點M在線段上，且，點N在線段上，且．求證：M，N，三點在一條直線上．

【解析】設，，，則．
又，所以，
．
因為，，
所以，
所以．
所以．可知．
又是直線和的公共點，
故和 共線，即M，N，三點在一條直線上．
變式6．（2024·高二課時練習）已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點共線．
【解析】因為，，，
所以，
，
所以，
所以，又為公共點，
所以B，C，D三點共線．
變式7．（2024·高二課時練習）如圖，在平行六面體中，，．
(1)求證：、、三點共線；
(2)若點是平行四邊形的中心，求證：、、三點共線．
【解析】（1）由題意，，，
故
,
,
故，由于有公共點A，
故A、、三點共線；
（2）由題意，點是平行四邊形的中心，
故
，
故 ,因為有公共點D，
故、、三點共線．
變式8．（2024·遼寧·高二本溪高中校聯考）設向量不共面，已知，，若三點共線，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】因為，，
所以，
因為三點共線，所以存在唯一的，使得,
即，
即，解得：.
故選：A.
變式9．（2024·福建福州·高二福州三中校考）已知空間向量，，且，，，則一定共線的三點是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
【答案】C
【解析】因為，，若、、三點共線，
則，而無解，故A錯誤.
因為，若、、三點共線，
則，而無解，故B錯誤.
因為、、，
所以，即，
所以、、三點共線，故選C正確.
因為、、，
所以，若、、三點共線，
則，而無解，故D錯誤.
故選：C.
【方法技巧與總結】
向量共線的判定及應用
（1）判斷或證明兩向量共線，就是尋找實數，使成立，為此常結合題目圖形，運用穴間向量的線性運算法則將目標向量化簡或用同一組向量表達．
（2）判斷或證明空間中的三點（如共線的方法：是否存在實數，使．
題型四：空間向量的夾角
例10．（2024·江蘇南京·高二）已知單位向量滿足，若與的夾角為，則實數 ．
【答案】
【解析】因為與的夾角為，
所以，
即，解得，
又，所以．
故答案為：
例11．（2024·四川成都·高二校考階段練習）如圖，一個結晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點為端點的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是.則與所成角的余弦值為 .

【答案】/
【解析】設，則，
因為以頂點為端點的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是，
故，
故
，
，
，
故，
與為異面直線，所成角范圍為大于小于等于，
故與所成角的余弦值為，
故答案為：
例12．（2024·山東淄博·高二校聯考階段練習）一個結晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點為端點的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是，則與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】不妨設，
則
，
，
則
，
，
，
所以，
即與所成角的余弦值為.
故選：D.
變式10．（2024·河南洛陽·高二校聯考階段練習）已知不共面的三個向量都是單位向量，且夾角都是，則向量和的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】由題意，得，
所以，
設向量和的夾角為，則，
又，所以.
故選：C.
【方法技巧與總結】
空間任意兩個向量可平移到共同起點形成夾角．
題型五：空間向量的數量積
例13．（2024·湖南張家界·高二張家界市民族中學校考階段練習）已知正四面體的棱長為2，點，分別是，的中點，則的值為 ．
【答案】
【解析】由題設，，
所以
.
故答案為：
例14．（2024·遼寧·高二統考）在正三棱錐中，是的中心，，則 .
【答案】/
【解析】如圖所示，
，
因為為正三棱錐且，所以為正四面體，
作中點，因為是的中心，
所以三點共線且，
所以，
所以
故答案為：
例15．（2024·遼寧沈陽·高二沈陽市第十五中學校考階段練習）如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是邊長為1的菱形，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】對于A，因為底面，所以底面，
所以，所以，故A錯誤；
對于B，因為，所以，
所以為等邊三角形，所以，
所以
，故B錯誤；
對于C，
，故C正確；
對于D，，
故D錯誤.
故選：C.
變式11．（2024·北京順義·高二校考）如圖，四面體的所有棱長都是2，則（ ）
A． B． C．2 D．1
【答案】C
【解析】四面體的所有棱長都是2，故，
.
故選：C.
【方法技巧與總結】
由向量數量積的定義知，要求與的數量積，需已知，和，與的夾角與方向有關，一定要根據方向正確判定夾角的大小，才能使計算準確．
題型六：空間向量的投影向量
例16．（2024·全國·高二專題練習）如圖，在棱長為1的正方體中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．

【答案】 ； .
【解析】空（1）法一：在正方體中，易知，，
向量與向量夾角為45°，，，
所以向量在向量上的投影向量是．
法二：設，如圖，由正方體的性質得，，，
向量在向量上的投影向量是．
空（2）如圖，連接AC，交BD于點O，易知，線面垂直性質有，
由，平面，則平面，
所以在平面上的投影向量就是，易知．
故答案為：；
例17．（2024·全國·高二專題練習）四棱錐中，底面，底面是矩形，則在向量上的投影向量為 .
【答案】
【解析】四棱錐，底面是矩形，則，即，
且，由底面，底面，則，
由，面，則面，
又面，則，故向量在向量上的投影向量為，
所以向量在向量上的投影向量為.
故答案為：
例18．（2024·廣東佛山·高二佛山市高明區第一中學校考階段練習）如圖所示，已知平面ABC，，，則向量在向量上的投影向量是 .

【答案】
【解析】在中，由余弦定理得，，
而平面ABC，，故，，
在中，，
即，得
故向量在向量上的投影向量是
故答案為：
變式12．（2024·高二課時練習）已知，為空間單位向量，，則在方向上投影的模為 ．
【答案】
【解析】由題意可知，在方向上投影的模為
故答案為：.
變式13．（2024·高二課時練習）如圖，已知正方體的棱長為1，為棱上的動點，則向量在向量方向上的投影數量的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】由已知E為棱上的動點，設，
因為，
所以
，
所以向量在向量方向上投影數量為，
又，，
，
所以向量在向量方向上投影的數量的取值范圍為
故答案為：
變式14．（2024·高二課時練習）如圖所示，在正六棱柱中，，則向量分別在，方向上的投影向量為 ；向量在方向上的投影數量為 ．
【答案】 ，
【解析】根據正六棱柱的性質，知，，
又，平面，平面，
所以平面，又平面，
所以，所以向量在，方向上的投影向量分別為，．
向量在方向上的投影數量為．
故答案為：，；.
【方法技巧與總結】
利用空間向量的數量積的幾何意義求兩個向量的數量積時，準確探尋某一向量在平面（或直線）上的投影向量是解題的關鍵所在．
題型七：共面向量
例19．（2024·北京·高二北京鐵路二中校考）已知是空間兩個不共線的向量，，那么必有（ ）
A．共線 B．共線
C．共面 D．不共面
【答案】C
【解析】若共線，則，
又，則共線，
與條件矛盾，故A錯誤；
同理若共線，則，
又，則共線，
與條件矛盾，故B錯誤；
根據空間向量的共面定理可知共面，即C正確，D錯誤.
故選：C
例20．（2024·浙江·高二校聯考）在下列條件中，點與點，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】C
【解析】若點與點，，共面，則共面，
從而存在實數使得，
即，
，
，
而AD選項都不滿足，故AD錯誤；
對B，由，可得，
因為，所以B錯誤；
對C，可得，
化簡可得，滿足，
故選：C
例21．（2024·湖北黃岡·高二校聯考）對空間任意一點和不共線三點，，，能得到，，，四點共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【解析】A選項：，故A錯；
B選項：，故B正確；
C選項：，故C錯；
D選項：，故D錯.
故選：B.
【方法技巧與總結】
若與不共線且同在平面內，則與，共面的意義是在內或．
題型八：共面向量定理
例22．（2024·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學階段練習）如圖所示，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，連接PA，PB，PC，PD，點E，F，G，H分別為，，，的重心．求證：E，F，G，H四點共面．

【解析】如圖，分別連接PE，PF，PG，PH并延長交AB，BC，CD，AD于點M，N，Q，R，連接EG，MQ，EF，EH．
由于E，F，G，H分別是所在三角形的重心，
所以M，N，Q，R分別為所在邊的中點，即，，且；
所以順次連接M，N，Q，R所得的四邊形為平行四邊形，
且有，，，．
由于四邊形MNQR為平行四邊形，
可得
．
由于三個向量有公共點E，根據空間向量的共面定理可得向量共面；
所以四點共面.
例23．（2024·河北滄州·高二校聯考階段練習）如圖所示，四面體中，G，H分別是的重心，設，點D，M，N分別為BC，AB，OB的中點．
(1)試用向量表示向量；
(2)試用空間向量的方法證明MNGH四點共面．
【解析】（1）
因為，
而，
又D為的中點，所以，
所以
．
（2）因為，
，
所以，
，所以．
所以四點共面．
例24．（2024·山東濟寧·高二校考階段練習）如圖所示，在平行六面體中，E、F分別在和上，且，．
(1)證明四點共面；
(2)若，求的值．
【解析】（1）證明：在平行六面體中，，，
∵
，
所以共面，且A為公共點，
所以四點共面；
（2），
，
∴，
∵，
∴，
∴．
變式15．（2024·全國·高二專題練習）如圖所示，在長方體中，為的中點，，且，求證：四點共面．
【解析】設，則，
為的中點，，
又，，
，
為共面向量，
又三向量有相同的起點，四點共面．
變式16．（2024·全國·高二專題練習）已知正三棱錐的側棱長為，過其底面中心作動平面交線段于點，分別交的延長線于點，求的值．
【解析】是等邊三角形，是的重心，
如圖，延長交于點，則為的中點，，
故
，
設，
則，
四點共面，，即，
又，，，
，．
【方法技巧與總結】
如果兩個向量，不共線，則向量與向量，共面的充要條件是存在有序實數組，使．在判斷空間的三個向量共面時，注意“兩個向量，不共線”的要求．
題型九：空間四點共面的條件
例25．（2024·四川宜賓·高二四川省宜賓市第一中學校校聯考）在四面體中，空間的一個點滿足，若四點共面，則等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為四點共面，，
所以，解得.
故選：B.
例26．（2024·河南信陽·高二統考）已知，，不共面，，則（ ）
A．，，A，B，C，M四點共面 B．，，A，B，C，M四點不共面
C．，，A，B，C，P四點共面 D．，，A，B，C，四點共面
【答案】A
【解析】，，，A，B，C，M四點共面.
故選:A.
例27．（2024·安徽合肥·高二合肥一中校聯考）已知，，，為空間中不共面的四點，且，若，，，四點共面，則函數的最小值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
【答案】D
【解析】因為，，，四點共面，所以存在，使得，
故,整理得
，又，
所以，所以，
所以，當時，函數取最小值，且最小值為.
故選:D.
變式17．（2024·遼寧大連·高二大連八中校考）已知，，三點不共線，對空間任意一點，若，則可以得到結論是四點（ ）
A．共面 B．不一定共面
C．無法判斷是否共面 D．不共面
【答案】A
【解析】,
則，
所以，則，
故四點共面.
故選：A
【方法技巧與總結】
（1）若已知點在平面內，則有或，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數法求出參數．
（2）證明三個向量共面（或四點共面），需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進行向量的分解與合成，將其中一個向量用另外兩個不共線的向量來表示．
題型十：利用空間向量的數量積求線段的長度
例28．（2024·河南焦作·高二統考）如圖，在三棱柱中，側面與側面都是菱形，，.記.

(1)用表示，并證明；
(2)若為棱的中點，求線段的長.
【解析】（1）由題設，，
，
所以
，
由側面與側面都是菱形且，，
所以，故.
（2）由題設，，
所以
，
所以.
例29．（2024·浙江·高二校聯考）如圖，正四面體（四個面都是正三角形）OABC的棱長為1，M是棱BC的中點，點N滿足，點P滿足．
(1)用向量，，表示；
(2)求．
【解析】（1）因為M是棱BC的中點，點N滿足，點P滿足．
所以．
（2）因為四面體OABC是正四面體，則，
，
，
所以．
例30．（2024·貴州六盤水·統考模擬預測）如圖，在棱長為4的正方體中，，設，，.
(1)試用，，表示；
(2)求的長.
【解析】（1）依題意可得
（2）依題意可得，
所以
，
所以，即.
變式18．（2024·浙江紹興·高二紹興一中校考）三棱柱中，，．設，，．
(1)試用表示向量；
(2)若，，求的長．
【解析】（1）由，則，由，則，
由圖形知
．
（2）由題設條件：，同理可得，
則
，
∴.
變式19．（2024·福建廈門·高二校考）如圖所示，平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都為2，且兩兩夾角為，與的交點為，點在上，且，，，.

(1)用，，表示，；
(2)求的長度.
【解析】（1），
.
（2）由（1）知
∴
∴，
即的長度為.
變式20．（2024·福建福州·高二校聯考）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側棱的長為4，且與的夾角都等于60°，是的中點，設，，.
(1)用基底表示向量；
(2)求的長.
【解析】（1）由題意得
;
（2）由已知，得，，
，,
，,
所以
,
所以的長為.
【方法技巧與總結】
空間向量求模的運算要注意公式的準確應用．向量的模就是表示向量的有向線段的長度，因此求線段長度的總是可用向量求解．
題型十一：利用空間向量的數量積證垂直
例31．（2024·吉林長春·高二統考）已知空間四邊形中，，且分別是的中點，是的中點，用向量方法證明．
【解析】設，
由題意得，，，
因為，所以，
又，
所以，
所以.
例32．（2024·山西太原·高二統考）如圖，四面體OABC各棱的棱長都是1，是的中點，是的中點，記．

(1)用向量表示向量；
(2)利用向量法證明：．
【解析】（1）連接，則
（2），
所以
，
所以.
例33．（2024·河南鄭州·高二校考階段練習）如圖，在平行六面體中，，，設，，

(1)用，，表示出，并求線段的長度；
(2)求直線與夾角的余弦值；
(3)用向量法證明直線平面；
【解析】（1）由題圖可知：
，
所以
.
（2）由題圖可知：
,
所以，
由（1）可知，，
所以
，
所以，
所以直線與夾角的余弦值為.
（3）由題圖可知：
，，
又由（1）可知，
所以，
，
所以，，
又因為平面，，
所以直線平面.
變式21．（2024·高二課時練習）在四面體中，，．證明：．
【解析】因為，，設，
所以
所以，即.
變式22．（2024·高二課時練習）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都為a，點M，N分別是AB，CD的中點．證明：．

【解析】證明：由題意可知，，且向量，，兩兩的夾角均為，連接AN，則，
∴
，
∴，即．
【方法技巧與總結】
立體幾何中有關判斷線線垂直問題，通常可以轉化為求向量的數量積為零．
一、單選題
1．（2024·山東棗莊·高二棗莊市第三中學校考階段練習）如圖，在正方體中，點M是上靠近點C的三等分點，點N滿足，若N為AM與平面的交點，則t＝（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】在正方體中，由點M是上靠近點C的三等分點，
得，于是，
由N為AM與平面的交點，得點共面，則，所以.
故選：C
2．（2024·北京西城·高二統考）空間四邊形中，（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【解析】根據向量的加法、減法法則，得.
故選：A.
3．（2024·江蘇·高三校聯考階段練習）若空間中四點滿足，則（ ）
A． B．3 C． D．
【答案】A
【解析】∵，
,
即,則.
故選：A.
4．（2024·湖南·高二嘉禾縣第一中學校聯考）如圖，一塊礦石晶體的形狀為四棱柱，底面是正方形，，，且，則向量的模長為（ ）
A． B．34 C．52 D．
【答案】D
【解析】由，又底面是正方形，，且，
所以，
故.
故選：D
5．（2024·海南·高二校聯考）已知點為平行四邊形所在平面外一點，為對角線，的交點，，，，，，則線段的長為（ ）
A． B． C．23 D．47
【答案】B
【解析】如圖，
因為為對角線，的交點，所以，
所以
，
因為，，，，，
所以，，，
所以，即，所以.
故選：B
6．（2024·山東濟寧·高二統考）如圖，二面角的度數為，其棱上有兩點、，線段、分別在這個二面角的兩個面內，并且都垂直于棱，若，，則線段的長為（ ）

A． B． C． D．
【答案】D
【解析】由題意可知，，，，，，
則，
因為，
所以，
，
因此，.
故選：D.
7．（2024·福建莆田·高二莆田第五中學校考階段練習）已知空間向量，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】因為，所以，所以，
所以，所以，
所以，
故選：D.
8．（2024·福建福州·高二校考）如圖：在平行六面體中，為的交點．若，則向量（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】因為,
所以
.
故選：B.
二、多選題
9．（2024·廣東惠州·高二惠州市惠陽區崇雅實驗學校校考階段練習）下列命題不正確的是（ ）
A．若A，B，C，D是空間任意四點，則有=
B．“”是“共線”的充要條件
C．若共線，則與所在直線平行
D．對空間任意一點O與不共線的三點A、B、C，若 (其中x、y、z∈R)，則P、A、B、C四點共面
【答案】BCD
【解析】對A，四點恰好圍成一封閉圖形，根據向量的多邊形法則可知，正確；
對B，根據向量的三角不等式等號成立條件可知，同向時，應有，即必要性不成立，錯誤；
對C，根據共線向量的定義可知，所在直線可能重合，錯誤；
對D，根據空間向量基本定理的推論可知，需滿足x+y+z=1，才有P、A、B、C四點共面，錯誤．
故選：BCD．
10．（2024·江西景德鎮·高二景德鎮一中校考）在正方體中，下列結論中正確的是（ ）
A．四邊形的面積為 B．與的夾角為
C． D．
【答案】AC
【解析】A選項：由正方體可知平面，所以，所以四邊形為矩形，，A選項正確；
B選項：由正方體可知，所以與的夾角即為與的夾角，又，所以，所以與的夾角為，B選項錯誤；
C選項：由設正方體的棱長為，則，，所以成立，C選項正確；
D選項：由已知得，，則，D選項錯誤；
故選：AC.
11．（2024·河北·高二校聯考）如圖，在長方體中，E，F分別是AB，BC的中點，則（ ）

A． B． C． D．
【答案】AC
【解析】，A正確，B不正確．
，C正確，D不正確．
故選：AC
12．（2024·青海海南·高二海南藏族自治州高級中學校聯考）已知三棱柱，為空間內一點，若，其中，，則（ ）
A．若，則點在棱上 B．若，則點在線段上
C．若，為棱的中點 D．若，則點在線段上
【答案】ABD
【解析】作出三棱柱，如圖，
對于A，當時，，則，
所以點在棱上，故A正確；
對于B，當時，，
所以點在線段上，故B正確；
對于C，當時，由B知，
所以為棱的中點，故C錯誤；
對于D，當時，，
所以，則，即，
所以點在線段上，故D正確.
故選：ABD.
三、填空題
13．（2024·江西·高二校聯考階段練習）在長方體中，，，則向量在方向上的投影數量與向量在方向上的投影數量之和為 .
【答案】
【解析】
由圖可知.向量 在方向上的投影數量為.
向量在方向上的投影數量為，
所以向量在方向上的投影數量與向量在方向上的投影數量之和為.
故答案為：.
14．（2024·江蘇鎮江·高二統考）在平行六面體中，，，則 .
【答案】
【解析】在平行六面體中，.
因為，所以.
所以
.
故答案為：
15．（2024·山西呂梁·高二統考）在四面體中，，，，，則 ．
【答案】
【解析】因為，所以，
又，所以，
所以.
又，，所以，
所以.
又，所以．
故答案為：
16．（2024·上海·高二上海市育才中學校考）已知空間三個向量,,的模均為1，它們相互之間的夾角均為60°．若，則k的取值范圍為 ．
【答案】
【解析】因為，，的模均為1，他們之間的夾角均為，所以：，.
又
所以：或.
故答案為：
四、解答題
17．（2024·四川綿陽·高二統考）如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側棱的長為2，且. 求：
(1)的長；
(2)直線與所成角的余弦值.
【解析】（1）
因為,
所以
.
（2）,
,
,
,
所以,
因為直線與所成角，
所以直線與所成角的余弦值為.
18．（2024·貴州·高二校聯考）如圖，在三棱柱中，分別為和的中點，設．

(1)用表示向量；
(2)若，，，求．
【解析】（1）由向量的線性運算法則，可得：
．
（2）由向量的數量積的運算法則，可得：
．
19．（2024·重慶開州·高二重慶市開州中學校考階段練習）如圖，棱長為1的正四面體OABC中，，點M滿足，點N為BC中點，

(1)用表示；
(2)求.
【解析】（1）連接，如圖所示：
因為，，
所以.
（2）因為正四面體的棱長為1，所以，
所以
，
所以.
20．（2024·浙江·高二校聯考）如圖，在正四面體中，已知是線段的中點，在上，且

(1)試用向量，，表示向量；
(2)若正四面體的邊長為2，求的值.
【解析】（1）因為點是線段的中點，在上，且,
根據向量的線性運算法則，可得：
，
即.
（2）因為正四面體的邊長為，且，
可得，且，
由（1）可得知
.
21．（2024·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學校考）已知是空間中的三個單位向量, 且, . 若，, .
(1)求;
(2)求和夾角的余弦值.
【解析】（1）由已知可得，
所以；
（2）由，
所以和夾角的余弦值為.
22．（2024·福建泉州·高二福建省南安市僑光中學校考階段練習）如圖，在三棱柱中，，分別是，上的點，且,設，，．

(1)試用 表示向量；
(2)若，，，求線段的長．
【解析】（1）因為，
根據空間向量的運算法則，可得.
（2）因為，，，
可得且，
則
，所以，
即線段的長．6．1 空間向量及其運算
課程標準 學習目標
（1）能類比平面向量的學習，經歷平面向量推廣到空間向量的過程，并初步建構空間向量及其運算的研究框架． （2）能類比平面向量，用自己的語言解釋空間向量的概念，說明空間向量與平面向量的共性與差異． （3）能將平面向量的線性運算推廣到空間，給出空間向量的加法、減法和數乘運算的定義及其幾何意義． （4）能將平面向量線性運算的運算律推廣到空間，并能借助圖形解釋其意義；會用空間向量的線性運算表示空間中的基本元素，體會空間向量的線性運算在解決立體幾何問題中的作用． （5）能將平面向量數量積的運算推廣到空間，給出空間向量數量積的概念，會計算兩個向量的數量積；能將平面向量數量積的運算律推廣到空間向量數量積的運算律，能用自己的語言解釋空間向量運算律和實數運算律的聯系與區別． （6）能借助圖形解釋空間向量投影的概念以及投影向量的意義． （7）能利用向量數量積解決幾何度量問題，證明與垂直有關的簡單問題；體會空間向量的數量積運算及其運算律在解決立體幾何問題中的作用． （1）了解空間向量的概念，掌握空間向量的幾何表示與字母表示. （2）掌握空間向量的線性運算 （3）掌握共線向量定理，會用共線向量定理解決相關問題． （4）掌握兩個向量的數量積的概念、性質和計算方法. （5）理解空間共面向量定理，會證明直線與平面平行. （6）理解空間向量共面的充要條件，會證明空間四點共面．
知識點01 空間向量的有關概念
1、空間向量
（1）定義：在空間，具有大小和方向的量叫做空間向量．
（2）長度或模：空間向量的大小．
（3）表示方法：
①幾何表示法：空間向量用有向線段表示；
②字母表示法：用字母表示；若向量的起點是，終點是，也可記作：，其模記為或．
知識點詮釋：
（1）空間中點的一個平移就是一個向量；
（2）數學中討論的向量與向量的起點無關，只與大小和方向有關，只要不改變大小和方向，空間向量可在空間內任意平移，故我們稱之為自由向量．
2、幾類常見的空間向量
名稱 方向 模 記法
零向量 任意 0
單位向量 任意 1
相反向量 相反 相等 的相反向量： 的相反向量：
相等向量 相同 相等
【即學即練1】（2024·山東日照·高二校考階段練習）下列命題中為真命題的是（ ）
A．向量與的長度相等
B．將空間中所有的單位向量移到同一個起點，則它們的終點構成一個圓
C．空間非零向量就是空間中的一條有向線段
D．不相等的兩個空間向量的模必不相等
知識點02 空間向量的線性運算
（1）向量的加法、減法
空間向量的運算 加法
減法
加法運算律 ①交換律： ②結合律：
（2）空間向量的數乘運算
①定義：實數與空間向量的乘積仍然是一個向量，稱為向量的數乘運算．
當時，與向量方向相同；
當時，與向量方向相反；
當時，；的長度是的長度的倍．
②運算律
結合律：．
分配律：，．
知識點詮釋：
（1）空間向量的運算是平面向量運算的延展，空間向量的加法運算仍然滿足平行四邊形法則和三角形法則．而且滿足交換律、結合律，這樣就可以自由結合運算，可以將向量合并；
（2）向量的減法運算是向量加法運算的逆運算，滿足三角形法則．
（3）空間向量加法的運算的小技巧：
①首尾相接的若干向量之和，等于由起始向量的起點指向末尾向量的終點的向量，
即：
因此，求空間若干向量之和時，可通過平移使它們轉化為首尾相接的向量；
②首尾相接的若干向量若構成一個封閉圖形，則它們的和為零向量，
即：；
【即學即練2】（2024·廣東中山·高二中山市華僑中學校考階段練習）已知三棱錐，點M，N分別為AB，OC的中點，且，，，用，，表示，則等于（ ）
A． B． C． D．
知識點03 共線問題
共線向量
（1）定義：表示若干空間向量的有向線段所在的直線互相平行或重合，則這些向量叫做共線向量或平行向量．
（2）方向向量：在直線l上取非零向量，與向量平行的非零向量稱為直線l的方向向量．
規定：零向量與任意向量平行，即對任意向量，都有．
（3）共線向量定理：對于空間任意兩個向量，，的充要條件是存在實數使．
（4）如圖，O是直線l上一點，在直線l上取非零向量，則對于直線l上任意一點P，由數乘向量定義及向量共線的充要條件可知，存在實數，使得．
知識點詮釋：此定理可分解為以下兩個命題：
（1）存在唯一實數，使得；
（2）存在唯一實數，使得，則．
注意：不可丟掉，否則實數就不唯一．
（3）共線向量定理的用途：
①判定兩條直線平行；（進而證線面平行）
②證明三點共線．
注意：證明平行時，先從兩直線上取有向線段表示兩個向量，然后利用向量的線性運算證明向量共線，進而可以得到線線平行，這是證明平行問題的一種重要方法．證明三點共線問題，通常不用圖形，直接利用向量的線性運算即可，但一定要注意所表示的向量必須有一個公共點．
【即學即練3】（2024·福建莆田·高二校考階段練習）已知不共線向量，，，，，，則一定共線的三個點是（ ）
A． B．
C． D．
知識點04 向量共面問題
共面向量
（1）定義：平行于同一個平面的向量叫做共面向量．
（2）共面向量定理：若兩個向量，不共線，則向量與向量，共面的充要條件是存在唯一的有序實數對，使．
（3）空間一點P位于平面ABC內的充要條件：存在有序實數對，使或對空間任意一點O，有．
（4）共面向量定理的用途：
①證明四點共面
②線面平行（進而證面面平行）．
【即學即練4】（2024·全國·高二專題練習）八十年代初期，空間向量解決立體幾何問題的思路得到了長足的發展，已知A，B，C三點不共線，對空間任意一點O，若，則P，A，B，C四點（ ）
A．不共面 B．不一定共面
C．無法判斷是否共面 D．共面
知識點05 空間向量數量積的運算
空間向量的數量積
（1）定義：已知兩個非零向量，，則叫做，的數量積，記作．即．
規定：零向量與任何向量的數量積為．
（2）常用結論（，為非零向量）
①．
②．
③．
（3）數量積的運算律
數乘向量與數量積的結合律
交換律
分配律
知識點詮釋：
（1）由于空間任意兩個向量都可以轉化為共面向量，所以空間兩個向量的夾角的定義和取值范圍、兩個向量垂直的定義和表示符號及向量的模的概念和表示符號等，都與平面向量相同．
（2）兩向量的數量積，其結果是數而非向量，它的值為兩向量的模與兩向量夾角的余弦的乘積，其符號由夾角的余弦值決定．
（3）兩個向量的數量積是兩向量的點乘，與以前學過的向量之間的乘法是有區別的，在書寫時一定要將它們區別開來，不可混淆．
【即學即練5】（2024·北京房山·高二統考）在棱長為2的正方體中，（ ）
A． B． C．2 D．4
知識點06 夾角問題
1、定義：已知兩個非零向量、，在空間任取一點D，作，，則叫做向量與的夾角，記作，如下圖．
根據空間兩個向量數量積的定義：，
那么空間兩個向量、的夾角的余弦．
知識點詮釋：
（1）規定：
（2）特別地，如果，那么與同向；如果，那么與反向；如果，那么與垂直，記作．
2、利用空間向量求異面直線所成的角
異面直線所成的角可以通過選取直線的方向向量，計算兩個方向向量的夾角得到．
在求異面直線所成的角時，應注意異面直線所成的角與向量夾角的區別：如果兩向量夾角為銳角或直角，則異面直線所成的角等于兩向量的夾角；如果兩向的夾角為鈍角，則異面直線所成的角為兩向量的夾角的補角．
【即學即練6】（2024·山東煙臺·高二校聯考）已知空間向量，，滿足，，且，則與的夾角大小為（ ）
A．30° B．60° C．120° D．150°
知識點07 空間向量的長度
1、定義：
在空間兩個向量的數量積中，特別地，所以向量的模：
將其推廣：
；．
2、利用向量求線段的長度．
將所求線段用向量表示，轉化為求向量的模的問題．一般可以先選好基底，用基向量表示所求向量，然后利用來求解．
【即學即練7】（2024·安徽淮北·高二淮北市第十二中學校考）如圖，在平行六面體中，底面是邊長為的正方形，，，，，，為中點．
(1)用空間的一組基表示，；
(2)求，的值．
題型一：空間向量的概念
例1．（2024·新疆·高二校考階段練習）下列說法正確的是（ ）
A．若，則 B．若，互為相反向量，則
C．空間中兩平行向量相等 D．在四邊形ABCD中，
例2．（2024·黑龍江齊齊哈爾·高二齊齊哈爾市恒昌中學校校考）給出下列命題，其中正確的是（ ）
A．若，則是鈍角
B．若，則與一定共線
C．若，則AB與CD為同一線段
D．非零向量、、滿足與，與，與都是共面向量，則、、必共面
例3．（2024·福建泉州·高二統考）在正方體中，與向量相反的向量是（ ）
A． B． C． D．
變式1．（2024·陜西咸陽·高二咸陽市實驗中學校考階段練習）在長方體中，下列向量與是相等向量的是（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
（1）平面向量是一種特殊的空間向量．
（2）兩個向量相等的充要條件為長度相等，方向相同．
（3）向量不能比較大小．
題型二：空間向量及其線性運算
例4．（2024·貴州·高二統考階段練習）如圖，在四面體中，分別為的中點，為的重心，則（ ）
A．
B．
C．
D．
例5．（2024·云南臨滄·高二校考）如圖，在空間四邊形中，則（ ）
A． B． C． D．
例6．（2024·山東棗莊·高二校聯考階段練習）如圖，在四面體中，點E，F分別是，的中點，點G是線段上靠近點E的一個三等分點，令，，，則（ ）
A． B．
C． D．
變式2．（2024·福建漳州·高二校考）已知三棱錐O—ABC，點M，N分別為線段AB，OC的中點，且，，，用，，表示，則等于（ ）
A． B．
C． D．
變式3．（2024·山東青島·高二統考）如圖，在三棱錐中，點，分別是，的中點，點在棱上，且滿足，若，，，則（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧與總結】
（1）向量加法的三角形法則和向量減法的定義是解決空間向量加法、減法運算的關鍵，靈活應用相反向量可使向量間首尾相接．
（2）利用三角形法則和平行四邊形法則進行向量的運算時，務必要注意和向量、差向量的方向，必要時可采用空間向量的自由平移獲得更準確的結果．
題型三：共線向量（或平行向量）
例7．（2024·湖北省直轄縣級單位·高二校考）若空間四點滿足，則（ ）
A．直線
B．直線
C．點P可能在直線上，也可能不在直線上
D．直線，且
例8．（2024·湖北省直轄縣級單位·高二校考階段練習）下列命題中正確的是（ ）
A．空間任意兩個向量共面
B．向量、、共面即它們所在直線共面
C．若，，則與所在直線平行
D．若，則存在唯一的實數，使
例9．（2024·山東菏澤·高二山東省鄄城縣第一中學校考階段練習）已知是空間的一個基底，，，若，則 （ ）
A． B． C．6 D．5
變式4．（2024·新疆伊犁·高二校考）已知、、為空間三個不共面的向量，向量，，若與共線，則（ ）
A． B． C． D．
變式5．（2024·全國·高二課堂例題）如圖，平行六面體中，點M在線段上，且，點N在線段上，且．求證：M，N，三點在一條直線上．

變式6．（2024·高二課時練習）已知向量，，不共面，，，．求證：B，C，D三點共線．
變式7．（2024·高二課時練習）如圖，在平行六面體中，，．
(1)求證：、、三點共線；
(2)若點是平行四邊形的中心，求證：、、三點共線．
變式8．（2024·遼寧·高二本溪高中校聯考）設向量不共面，已知，，若三點共線，則（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
變式9．（2024·福建福州·高二福州三中校考）已知空間向量，，且，，，則一定共線的三點是（ ）
A．、、 B．、、
C．、、 D．、、
【方法技巧與總結】
向量共線的判定及應用
（1）判斷或證明兩向量共線，就是尋找實數，使成立，為此常結合題目圖形，運用穴間向量的線性運算法則將目標向量化簡或用同一組向量表達．
（2）判斷或證明空間中的三點（如共線的方法：是否存在實數，使．
題型四：空間向量的夾角
例10．（2024·江蘇南京·高二）已知單位向量滿足，若與的夾角為，則實數 ．
例11．（2024·四川成都·高二校考階段練習）如圖，一個結晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點為端點的三條棱長均為6，且它們彼此的夾角都是.則與所成角的余弦值為 .

例12．（2024·山東淄博·高二校聯考階段練習）一個結晶體的形狀為平行六面體，其中，以頂點為端點的三條棱長都相等，且它們彼此的夾角都是，則與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
變式10．（2024·河南洛陽·高二校聯考階段練習）已知不共面的三個向量都是單位向量，且夾角都是，則向量和的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【方法技巧與總結】
空間任意兩個向量可平移到共同起點形成夾角．
題型五：空間向量的數量積
例13．（2024·湖南張家界·高二張家界市民族中學校考階段練習）已知正四面體的棱長為2，點，分別是，的中點，則的值為 ．
例14．（2024·遼寧·高二統考）在正三棱錐中，是的中心，，則 .
例15．（2024·遼寧沈陽·高二沈陽市第十五中學校考階段練習）如圖，在四棱錐中，底面，四邊形是邊長為1的菱形，且，則（ ）
A． B．
C． D．
變式11．（2024·北京順義·高二校考）如圖，四面體的所有棱長都是2，則（ ）
A． B． C．2 D．1
【方法技巧與總結】
由向量數量積的定義知，要求與的數量積，需已知，和，與的夾角與方向有關，一定要根據方向正確判定夾角的大小，才能使計算準確．
題型六：空間向量的投影向量
例16．（2024·全國·高二專題練習）如圖，在棱長為1的正方體中，向量在向量上的投影向量是 ，向量在平面上的投影向量是 ．

例17．（2024·全國·高二專題練習）四棱錐中，底面，底面是矩形，則在向量上的投影向量為 .
例18．（2024·廣東佛山·高二佛山市高明區第一中學校考階段練習）如圖所示，已知平面ABC，，，則向量在向量上的投影向量是 .

變式12．（2024·高二課時練習）已知，為空間單位向量，，則在方向上投影的模為 ．
變式13．（2024·高二課時練習）如圖，已知正方體的棱長為1，為棱上的動點，則向量在向量方向上的投影數量的取值范圍為 ．
變式14．（2024·高二課時練習）如圖所示，在正六棱柱中，，則向量分別在，方向上的投影向量為 ；向量在方向上的投影數量為 ．
【方法技巧與總結】
利用空間向量的數量積的幾何意義求兩個向量的數量積時，準確探尋某一向量在平面（或直線）上的投影向量是解題的關鍵所在．
題型七：共面向量
例19．（2024·北京·高二北京鐵路二中校考）已知是空間兩個不共線的向量，，那么必有（ ）
A．共線 B．共線
C．共面 D．不共面
例20．（2024·浙江·高二校聯考）在下列條件中，點與點，，一定共面的是（ ）
A． B．
C． D．
例21．（2024·湖北黃岡·高二校聯考）對空間任意一點和不共線三點，，，能得到，，，四點共面的是（ ）
A． B．
C． D．
【方法技巧與總結】
若與不共線且同在平面內，則與，共面的意義是在內或．
題型八：共面向量定理
例22．（2024·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學階段練習）如圖所示，已知P是平行四邊形ABCD所在平面外一點，連接PA，PB，PC，PD，點E，F，G，H分別為，，，的重心．求證：E，F，G，H四點共面．

例23．（2024·河北滄州·高二校聯考階段練習）如圖所示，四面體中，G，H分別是的重心，設，點D，M，N分別為BC，AB，OB的中點．
(1)試用向量表示向量；
(2)試用空間向量的方法證明MNGH四點共面．
例24．（2024·山東濟寧·高二校考階段練習）如圖所示，在平行六面體中，E、F分別在和上，且，．
(1)證明四點共面；
(2)若，求的值．
變式15．（2024·全國·高二專題練習）如圖所示，在長方體中，為的中點，，且，求證：四點共面．
變式16．（2024·全國·高二專題練習）已知正三棱錐的側棱長為，過其底面中心作動平面交線段于點，分別交的延長線于點，求的值．
【方法技巧與總結】
如果兩個向量，不共線，則向量與向量，共面的充要條件是存在有序實數組，使．在判斷空間的三個向量共面時，注意“兩個向量，不共線”的要求．
題型九：空間四點共面的條件
例25．（2024·四川宜賓·高二四川省宜賓市第一中學校校聯考）在四面體中，空間的一個點滿足，若四點共面，則等于（ ）
A． B． C． D．
例26．（2024·河南信陽·高二統考）已知，，不共面，，則（ ）
A．，，A，B，C，M四點共面 B．，，A，B，C，M四點不共面
C．，，A，B，C，P四點共面 D．，，A，B，C，四點共面
例27．（2024·安徽合肥·高二合肥一中校聯考）已知，，，為空間中不共面的四點，且，若，，，四點共面，則函數的最小值是（ ）
A．2 B．1 C． D．
變式17．（2024·遼寧大連·高二大連八中校考）已知，，三點不共線，對空間任意一點，若，則可以得到結論是四點（ ）
A．共面 B．不一定共面
C．無法判斷是否共面 D．不共面
【方法技巧與總結】
（1）若已知點在平面內，則有或，然后利用指定向量表示出已知向量，用待定系數法求出參數．
（2）證明三個向量共面（或四點共面），需利用共面向量定理，證明過程中要靈活進行向量的分解與合成，將其中一個向量用另外兩個不共線的向量來表示．
題型十：利用空間向量的數量積求線段的長度
例28．（2024·河南焦作·高二統考）如圖，在三棱柱中，側面與側面都是菱形，，.記.

(1)用表示，并證明；
(2)若為棱的中點，求線段的長.
例29．（2024·浙江·高二校聯考）如圖，正四面體（四個面都是正三角形）OABC的棱長為1，M是棱BC的中點，點N滿足，點P滿足．
(1)用向量，，表示；
(2)求．
例30．（2024·貴州六盤水·統考模擬預測）如圖，在棱長為4的正方體中，，設，，.
(1)試用，，表示；
(2)求的長.
變式18．（2024·浙江紹興·高二紹興一中校考）三棱柱中，，．設，，．
(1)試用表示向量；
(2)若，，求的長．
變式19．（2024·福建廈門·高二校考）如圖所示，平行六面體中，以頂點為端點的三條棱長都為2，且兩兩夾角為，與的交點為，點在上，且，，，.

(1)用，，表示，；
(2)求的長度.
變式20．（2024·福建福州·高二校聯考）如圖，在四棱錐中，底面是邊長為2的正方形，側棱的長為4，且與的夾角都等于60°，是的中點，設，，.
(1)用基底表示向量；
(2)求的長.
【方法技巧與總結】
空間向量求模的運算要注意公式的準確應用．向量的模就是表示向量的有向線段的長度，因此求線段長度的總是可用向量求解．
題型十一：利用空間向量的數量積證垂直
例31．（2024·吉林長春·高二統考）已知空間四邊形中，，且分別是的中點，是的中點，用向量方法證明．
例32．（2024·山西太原·高二統考）如圖，四面體OABC各棱的棱長都是1，是的中點，是的中點，記．

(1)用向量表示向量；
(2)利用向量法證明：．
例33．（2024·河南鄭州·高二校考階段練習）如圖，在平行六面體中，，，設，，

(1)用，，表示出，并求線段的長度；
(2)求直線與夾角的余弦值；
(3)用向量法證明直線平面；
變式21．（2024·高二課時練習）在四面體中，，．證明：．
變式22．（2024·高二課時練習）如圖所示，已知空間四邊形ABCD的各邊和對角線的長都為a，點M，N分別是AB，CD的中點．證明：．

【方法技巧與總結】
立體幾何中有關判斷線線垂直問題，通常可以轉化為求向量的數量積為零．
一、單選題
1．（2024·山東棗莊·高二棗莊市第三中學校考階段練習）如圖，在正方體中，點M是上靠近點C的三等分點，點N滿足，若N為AM與平面的交點，則t＝（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·北京西城·高二統考）空間四邊形中，（ ）
A． B．
C． D．
3．（2024·江蘇·高三校聯考階段練習）若空間中四點滿足，則（ ）
A． B．3 C． D．
4．（2024·湖南·高二嘉禾縣第一中學校聯考）如圖，一塊礦石晶體的形狀為四棱柱，底面是正方形，，，且，則向量的模長為（ ）
A． B．34 C．52 D．
5．（2024·海南·高二校聯考）已知點為平行四邊形所在平面外一點，為對角線，的交點，，，，，，則線段的長為（ ）
A． B． C．23 D．47
6．（2024·山東濟寧·高二統考）如圖，二面角的度數為，其棱上有兩點、，線段、分別在這個二面角的兩個面內，并且都垂直于棱，若，，則線段的長為（ ）

A． B． C． D．
7．（2024·福建莆田·高二莆田第五中學校考階段練習）已知空間向量，則（ ）
A． B． C． D．
8．（2024·福建福州·高二校考）如圖：在平行六面體中，為的交點．若，則向量（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
9．（2024·廣東惠州·高二惠州市惠陽區崇雅實驗學校校考階段練習）下列命題不正確的是（ ）
A．若A，B，C，D是空間任意四點，則有=
B．“”是“共線”的充要條件
C．若共線，則與所在直線平行
D．對空間任意一點O與不共線的三點A、B、C，若 (其中x、y、z∈R)，則P、A、B、C四點共面
10．（2024·江西景德鎮·高二景德鎮一中校考）在正方體中，下列結論中正確的是（ ）
A．四邊形的面積為 B．與的夾角為
C． D．
11．（2024·河北·高二校聯考）如圖，在長方體中，E，F分別是AB，BC的中點，則（ ）

A． B． C． D．
12．（2024·青海海南·高二海南藏族自治州高級中學校聯考）已知三棱柱，為空間內一點，若，其中，，則（ ）
A．若，則點在棱上 B．若，則點在線段上
C．若，為棱的中點 D．若，則點在線段上
三、填空題
13．（2024·江西·高二校聯考階段練習）在長方體中，，，則向量在方向上的投影數量與向量在方向上的投影數量之和為 .
14．（2024·江蘇鎮江·高二統考）在平行六面體中，，，則 .
15．（2024·山西呂梁·高二統考）在四面體中，，，，，則 ．
16．（2024·上海·高二上海市育才中學校考）已知空間三個向量,,的模均為1，它們相互之間的夾角均為60°．若，則k的取值范圍為 ．
四、解答題
17．（2024·四川綿陽·高二統考）如圖，在平行六面體中，底面是邊長為1的正方形，側棱的長為2，且. 求：
(1)的長；
(2)直線與所成角的余弦值.
18．（2024·貴州·高二校聯考）如圖，在三棱柱中，分別為和的中點，設．

(1)用表示向量；
(2)若，，，求．
19．（2024·重慶開州·高二重慶市開州中學校考階段練習）如圖，棱長為1的正四面體OABC中，，點M滿足，點N為BC中點，

(1)用表示；
(2)求.
20．（2024·浙江·高二校聯考）如圖，在正四面體中，已知是線段的中點，在上，且

(1)試用向量，，表示向量；
(2)若正四面體的邊長為2，求的值.
21．（2024·浙江杭州·高二浙江省杭州第二中學校考）已知是空間中的三個單位向量, 且, . 若，, .
(1)求;
(2)求和夾角的余弦值.
22．（2024·福建泉州·高二福建省南安市僑光中學校考階段練習）如圖，在三棱柱中，，分別是，上的點，且,設，，．

(1)試用 表示向量；
(2)若，，，求線段的長．

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