資源簡介

9．1 向量概念
課程標準 學習目標
（1）能從物理中的力、速度、位移等背景中抽象出向量概念，能說出向量的基本要素，能用自己的語言解釋向量與數量之間的共性與差異性． （2）能說出平面向量的表示方法并能解釋其內涵，能說出零向量和單位向量的含義． （3）能從向量的要素之間的關系出發研究兩個平面向量的位置關系，能刻畫共線向量、相等向量等概念，會判斷兩個平面向量是否相等、共線． （4）能用自己的語言描述向量概念的抽象過程與方法，體會類比、數形結合等數學思想，養成用數學的眼光觀察世界的習慣，發展數學抽象、直觀想象等素養． （1）能結合物理中的力、位移、速度等具體背景認識向量，掌握向量與數量的區別． （2）會用有向線段、字母表示向量，了解有向線段與向量的聯系與區別． （3）理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量、相反向量及向量的模、夾角等概念，會辨識圖形中這些相關的概念．
知識點01向量的概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
2、數量：只有大小，沒有方向的量（如年齡、身高、長度、面積、體積和質量等），稱為數量．
知識點詮釋：
（1）本書所學向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．
（2）看一個量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個要素．
（3）向量與數量的區別：數量與數量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大小．
【即學即練1】（2024·全國·高一專題練習）下列說法正確的個數是（ ）
（1）溫度、速度、位移、功這些物理量是向量；
（2）零向量沒有方向；
（3）向量的模一定是正數；
（4）非零向量的單位向量是唯一的．
A．0 B．1 C．2 D．3
知識點02向量的表示法
1、有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個要素：起點、方向、長度．
2、向量的表示方法：
（1）字母表示法：如等．
（2）幾何表示法：以A為始點，B為終點作有向線段（注意始點一定要寫在終點的前面）．如果用一條有向線段表示向量，通常我們就說向量．
知識點詮釋：
（1）用字母表示向量便于向量運算；
（2）用有向線段來表示向量，顯示了圖形的直觀性．應該注意的是有向線段是向量的表示，不是說向量就是有向線段．由于向量只含有大小和方向兩個要素，用有向線段表示向量時，與它的始點的位置無關，即同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量．
【即學即練2】（2024·山東菏澤·高一山東省東明縣第一中學校考階段練習）對下面圖形的表示恰當的是（ ）．

A． B． C． D．
知識點03向量的有關概念
1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用來表示向量的有向線段的長度）．
知識點詮釋：
（1）向量的模．
（2）向量不能比較大小，但是實數，可以比較大小．
2、零向量：長度為零的向量叫零向量．記作，它的方向是任意的．
3、單位向量：長度等于1個單位的向量．
知識點詮釋：
（1）在畫單位向量時，長度1可以根據需要任意設定；
（2）將一個向量除以它的模，得到的向量就是一個單位向量，并且它的方向與該向量相同．
4、相等向量：長度相等且方向相同的向量．
知識點詮釋：
在平面內，相等的向量有無數多個，它們的方向相同且長度相等．
【即學即練3】（2024·新疆烏魯木齊·高一校考）下列命題：①方向不同的兩個向量不可能是共線向量；②長度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的兩個向量是相等向量；④若，則.其中正確命題的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
知識點04向量的共線或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共線向量（共線向量又稱為平行向量）．
規定：與任一向量共線．
知識點詮釋：
1、零向量的方向是任意的，注意與0的含義與書寫區別．
2、平行向量可以在同一直線上，要區別于兩平行線的位置關系；共線向量可以相互平行，要區別于在同一直線上的線段的位置關系．
3、共線向量與相等向量的關系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量．
【即學即練4】（2024·高一課時練習）如圖所示，△ABC的三邊均不相等，E，F，D分別是AC，AB，BC的中點.
（1）寫出與共線的向量；
（2）寫出與的模大小相等的向量；
（3）寫出與相等的向量.
題型一：向量的基本概念
例1．（2024·全國·高一假期作業）給出下列命題：
①和的模相等；②方向不同的兩個向量一定不平行；③；④．
其中正確命題的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
例2．（2024·海南·高一校考）下列各物理量表示向量的是（ ）
A．質量 B．距度 C．力 D．體重
例3．（2024·新疆·高一校考）已知向量如下圖所示，下列說法不正確的是（ ）
A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向
C．向量的起點是 D．向量的終點是
【方法技巧與總結】
解決向量概念問題一定要緊扣定義，對單位向量與零向量要特別注意方向問題．
題型二：向量的表示方法
例4．（2024·全國·高一隨堂練習）選擇適當的比例尺，用有向線段表示下列向量．
(1)終點A在起點O正東方向3m處；
(2)終點B在起點O正西方向3m處；
(3)終點C在起點O東北方向4m處；
(4)終點D在起點O西南方向2m處．
例5．（2024·安徽淮北·高一濉溪縣臨渙中學校考階段練習）在如圖的方格紙中，畫出下列向量．

(1)，點在點的正西方向；
(2)，點在點的北偏西方向；
(3)求出的值．
例6．（2024·高一課時練習）如圖所示，平行四邊形ABCD中，O是兩對角線AC，BD的交點，設點集S＝{A,B,C,D,O}，向量集合且M，N不重合，試求集合T中元素的個數．
變式1．（2024·高一課時練習）如圖，某人從點A出發，向西走了200m后到達B點，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到達C點，最后又改變方向，向東走了200m到達D點，發現D點在B點的正北方．
(1)作出、、（圖中1個單位長度表示100m）；
(2)求的模．
變式2．（2024·高一課時練習）在平面直角坐標系中，已知，與x軸的正方向所成的角為30°，與y軸的正方向所成的角為120°，試作出.
【方法技巧與總結】
作向量的方法：準確畫出向量的方法是先確定向量的起點，再確定向量的方向，然后根據向量的大小確定向量的終點．
題型三：利用向量相等或共線進行證明
例7．（2024·高一課時練習）如圖所示，在平行四邊形中，，分別是，的中點.
(1)寫出與向量共線的向量；
(2)求證：.
例8．（2024·高一課時練習）如圖所示，四邊形為正方形，為平行四邊形，

(1)與模長相等的向量有多少個？
(2)寫出與相等的向量有哪些？
(3)與共線的向量有哪些？
(4)請列出與相等的向量．
例9．（2024·高一課時練習）如圖，多邊形ABCDEF為正六邊形，在以此六邊形各頂點和中心為起點、終點的向量中：
(1)寫出與相等的向量；
(2)寫出的負向量；
(3)寫出與平行的向量；
(4)寫出與長度相等的向量．
變式3．（2024·高一課時練習）如圖，已知四邊形中，，分別是，的中點，且，求證：.
變式4．（2024·高一課時練習）如圖，半圓的直徑，是半圓上的一點，、分別是、上的點，且，，.
（1）求證：；
（2）求.
【方法技巧與總結】
相等向量與共線向量的探求方法
（1）尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是同向共線．
（2）尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量．
題型四：向量知識在實際問題中的簡單應用
例10．（2024·全國·高一隨堂練習）如圖，某船從點O出發沿北偏東30°的方向行駛至點A處，求該船航行向量的長度（單位：n mile）．

例11．（2024·高一課時練習）已知飛機從地按北偏東方向飛行到達地，再從地按南偏東方向飛行到達地，再從地按西南方向飛行到達地．畫圖表示向量，并指出向量的模和方向．
例12．（2024·高一課時練習）一艘海上巡邏艇從港口向北航行了，這時接到求救信號，在巡邏艇的正東方向處有一艘漁船拋錨需救助.試求：
（1）巡邏艇從港口出發到漁船出事點所航行的路程；
（2）巡邏艇從港口出發到漁船出事點的位移.
變式5．（2024·高一課時練習）一位模型賽車的賽車手遙控一輛賽車向正東方向前進1m，然后將行駛方向按逆時針方向旋轉角度，繼續按直線方向前進1m，再將行駛方向按逆時針方向旋轉角度，然后繼續按直線方向前進1m，…，按此方法繼續操作下去.
（1）作圖說明當時，最少操作幾次可使賽車的位移為0？
（2）按此方法操作，試寫出幾種賽車能回到出發點的操作.
【方法技巧與總結】
準確畫出向量的方法是先確定向量的起點，再確定向量的方向.
一、單選題
1．（2024·黑龍江·高三校聯考階段練習）設，都是非零向量，下列四個條件中，能使一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
2．（2024·福建龍巖·高一福建省連城縣第一中學校考階段練習）下列說法錯誤的是（ ）
A．
B．、是單位向量，則
C．若，則
D．任一非零向量都可以平行移動
3．（2024·河南·高三校聯考階段練習）已知四邊形，下列說法正確的是（ ）
A．若，則四邊形為平行四邊形
B．若，則四邊形為矩形
C．若，且，則四邊形為矩形
D．若，且，則四邊形為梯形
4．（2024·北京·高一北京市第九中學校考）給出下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，，則
C．若且，則 D．若，，則
5．（2024·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學校校考階段練習）下列命題：
①若，則；
②的充要條件是且
③若，則；
④若是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件.
其中，真命題的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2024·湖南長沙·高一長沙一中校考階段練習）下列命題：①若，則；
②若，，則；
③的充要條件是且；
④若，，則；
⑤若、、、是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件.其中，真命題的個數是（ ）
A． B． C． D．
7．（2024·浙江·高三專題練習）給出下列命題：
①兩個具有共同終點的向量，一定是共線向量；
②若是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；
③若與同向，且，則>；
④λ，μ為實數，若λ＝μ，則與共線．
其中假命題的個數為（　　）
A．1 B．2
C．3 D．4
8．（2024·全國·高三專題練習）如圖，等腰梯形中，對角線與交于點，點、分別在兩腰、上，過點，且，則下列等式中成立的是（　　）

A． B．
C． D．
二、多選題
9．（2024·寧夏銀川·高一校考階段練習）在下列結論中，正確的結論為（ ）
A．且是的必要不充分條件
B．且是的既不充分也不必要條件
C．與方向相同且是的充要條件
D．與方向相反或是的充分不必要條件
10．（2024·高一校考課時練習）下列說法中錯誤的是（ ）
A．若||=||，則=
B．若≠，則||≠||
C．零向量的長度為0
D．若則
11．（2024·江蘇無錫·高三統考開學考試）下面的命題正確的有（ ）
A．方向相反的兩個非零向量一定共線
B．單位向量都相等
C．若，滿足且與同向，則
D．“若A、B、C、D是不共線的四點，且”“四邊形ABCD是平行四邊形”
12．（2024·廣東佛山·高一校考階段練習）下列敘述中錯誤的是（ ）
A．若，則
B．若，則與方的方向相同或相反
C．若且，，則
D．對任一向量，是一個單位向量
三、填空題
13．（2024·上海浦東新·高一上海市進才中學校考）下列關于向量的命題，序號正確的是 .
①零向量平行于任意向量；
②對于非零向量，若，則；
③對于非零向量，若，則；
④對于非零向量，若，則與所在直線一定重合.
14．（2024·高一課時練習）下列說法正確的是 （寫序號）．
①若與共線，則點A、B、C、D共線；
②四邊形為平行四邊形，則；
③若，則；
④四邊形中，，則四邊形為正方形．
15．（2024·全國·高一專題練習）給出下列命題：
①若 ，則；
②若單位向量的起點相同，則終點相同；
③起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量；
④向量與是共線向量，則A，B，C，D四點必在同一直線上．
其中正確命題的序號是 ．
四、解答題
16．（2024·高一課時練習）若向量，滿足，，求的最大值及最小值.
17．（2024·四川涼山·高一四川省越西中學校考階段練習）如圖所示，4×3的矩形(每個小方格都是單位正方形)，在起點和終點都在小方格的頂點處的向量中，試問：
（1）與相等的向量共有幾個；
（2）與方向相同且模為的向量共有幾個；
18．（2024·高一課時練習）如圖所示，平行四邊形中，是兩對角線，的交點，設點集，向量集合，試求集合中元素的個數.
19．（2024·全國·高三專題練習）如圖所示，4×3的矩形(每個小方格都是單位正方形)，在起點和終點都在小方格的頂點處的向量中，試問：
(1)與相等的向量共有幾個；
(2)與平行且模為 的向量共有幾個？
(3)與方向相同且模為3 的向量共有幾個？9．1 向量概念
課程標準 學習目標
（1）能從物理中的力、速度、位移等背景中抽象出向量概念，能說出向量的基本要素，能用自己的語言解釋向量與數量之間的共性與差異性． （2）能說出平面向量的表示方法并能解釋其內涵，能說出零向量和單位向量的含義． （3）能從向量的要素之間的關系出發研究兩個平面向量的位置關系，能刻畫共線向量、相等向量等概念，會判斷兩個平面向量是否相等、共線． （4）能用自己的語言描述向量概念的抽象過程與方法，體會類比、數形結合等數學思想，養成用數學的眼光觀察世界的習慣，發展數學抽象、直觀想象等素養． （1）能結合物理中的力、位移、速度等具體背景認識向量，掌握向量與數量的區別． （2）會用有向線段、字母表示向量，了解有向線段與向量的聯系與區別． （3）理解零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量、相反向量及向量的模、夾角等概念，會辨識圖形中這些相關的概念．
知識點01向量的概念
1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量．
2、數量：只有大小，沒有方向的量（如年齡、身高、長度、面積、體積和質量等），稱為數量．
知識點詮釋：
（1）本書所學向量是自由向量，即只有大小和方向，而無特定的位置，這樣的向量可以作任意平移．
（2）看一個量是否為向量，就要看它是否具備了大小和方向兩個要素．
（3）向量與數量的區別：數量與數量之間可以比較大小，而向量與向量之間不能比較大小．
【即學即練1】（2024·全國·高一專題練習）下列說法正確的個數是（ ）
（1）溫度、速度、位移、功這些物理量是向量；
（2）零向量沒有方向；
（3）向量的模一定是正數；
（4）非零向量的單位向量是唯一的．
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【解析】對于（1），溫度與功沒有方向，不是向量，故（1）錯誤，
對于（2），零向量的方向是任意的，故（2）錯誤，
對于（3），零向量的模可能為0，不一點是正數，故（3）錯誤，
對于（4），非零向量的單位向量的方向有兩個，故（4）錯誤，
故選：A．
知識點02向量的表示法
1、有向線段：具有方向的線段叫做有向線段，有向線段包含三個要素：起點、方向、長度．
2、向量的表示方法：
（1）字母表示法：如等．
（2）幾何表示法：以A為始點，B為終點作有向線段（注意始點一定要寫在終點的前面）．如果用一條有向線段表示向量，通常我們就說向量．
知識點詮釋：
（1）用字母表示向量便于向量運算；
（2）用有向線段來表示向量，顯示了圖形的直觀性．應該注意的是有向線段是向量的表示，不是說向量就是有向線段．由于向量只含有大小和方向兩個要素，用有向線段表示向量時，與它的始點的位置無關，即同向且等長的有向線段表示同一向量或相等的向量．
【即學即練2】（2024·山東菏澤·高一山東省東明縣第一中學校考階段練習）對下面圖形的表示恰當的是（ ）．

A． B． C． D．
【答案】C
【解析】圖像有起點有終點，有箭頭有方向，可知其代表的是向量.
故選：C.
知識點03向量的有關概念
1、向量的模：向量的大小叫向量的模（就是用來表示向量的有向線段的長度）．
知識點詮釋：
（1）向量的模．
（2）向量不能比較大小，但是實數，可以比較大小．
2、零向量：長度為零的向量叫零向量．記作，它的方向是任意的．
3、單位向量：長度等于1個單位的向量．
知識點詮釋：
（1）在畫單位向量時，長度1可以根據需要任意設定；
（2）將一個向量除以它的模，得到的向量就是一個單位向量，并且它的方向與該向量相同．
4、相等向量：長度相等且方向相同的向量．
知識點詮釋：
在平面內，相等的向量有無數多個，它們的方向相同且長度相等．
【即學即練3】（2024·新疆烏魯木齊·高一校考）下列命題：①方向不同的兩個向量不可能是共線向量；②長度相等、方向相同的向量是相等向量；③平行且模相等的兩個向量是相等向量；④若，則.其中正確命題的個數是（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】對于①，由共線向量的定義可知：方向相反的兩個向量也是共線向量，故①錯誤；
對于②，長度相等，方向相同的向量是相等向量，故②正確；
對于③，平行向量的方向相同或相反，不一定方向相同，所以不一定相等，故③錯誤；
對于④，若，可能只是方向不相同，但模長相等，故④錯誤.
故選：A
知識點04向量的共線或平行
方向相同或相反的非零向量，叫共線向量（共線向量又稱為平行向量）．
規定：與任一向量共線．
知識點詮釋：
1、零向量的方向是任意的，注意與0的含義與書寫區別．
2、平行向量可以在同一直線上，要區別于兩平行線的位置關系；共線向量可以相互平行，要區別于在同一直線上的線段的位置關系．
3、共線向量與相等向量的關系：相等向量一定是共線向量，但共線向量不一定是相等的向量．
【即學即練4】（2024·高一課時練習）如圖所示，△ABC的三邊均不相等，E，F，D分別是AC，AB，BC的中點.
（1）寫出與共線的向量；
（2）寫出與的模大小相等的向量；
（3）寫出與相等的向量.
【解析】（1）因為E，F分別是AC，AB的中點，
所以.所以與共線的向量有：，，，，，，；
（2）由（1）知且，又D是BC的中點，故與模相等的向量有： ，，，，；
（3）與相等的向量有：與.
題型一：向量的基本概念
例1．（2024·全國·高一假期作業）給出下列命題：
①和的模相等；②方向不同的兩個向量一定不平行；③；④．
其中正確命題的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】①正確，和是方向相反、模相等的兩個向量；②錯誤，方向不同包括反向共線；③錯誤，是一個向量，而0為數量，；④錯誤，向量不能比較大小，故選B．
例2．（2024·海南·高一校考）下列各物理量表示向量的是（ ）
A．質量 B．距度 C．力 D．體重
【答案】C
【解析】由向量的定義可知，力為向量，質量、距離、體重都為數量.
故選：C.
例3．（2024·新疆·高一校考）已知向量如下圖所示，下列說法不正確的是（ ）
A．向量可以用表示 B．向量的方向由指向
C．向量的起點是 D．向量的終點是
【答案】D
【解析】由圖可知，向量可以用表示，故A正確；向量的方向由指向，故B正確；
向量的起點是，故C正確；向量的終點是，故D不正確.
故選：D
【方法技巧與總結】
解決向量概念問題一定要緊扣定義，對單位向量與零向量要特別注意方向問題．
題型二：向量的表示方法
例4．（2024·全國·高一隨堂練習）選擇適當的比例尺，用有向線段表示下列向量．
(1)終點A在起點O正東方向3m處；
(2)終點B在起點O正西方向3m處；
(3)終點C在起點O東北方向4m處；
(4)終點D在起點O西南方向2m處．
【解析】（1）從向東作長度為3m的有向線段：
（2）從向西作長度為3m的有向線段：
（3）從點起向北偏東方向作長度為4m的有向線段：
（4）從點起向南偏西方向作長度為2m的有向線段：
例5．（2024·安徽淮北·高一濉溪縣臨渙中學校考階段練習）在如圖的方格紙中，畫出下列向量．

(1)，點在點的正西方向；
(2)，點在點的北偏西方向；
(3)求出的值．
【解析】（1）因為，點在點的正西方向，故向量的圖示如下：
（2）因為，點在點的北偏西方向，故向量的圖示如下：
（3）
.
例6．（2024·高一課時練習）如圖所示，平行四邊形ABCD中，O是兩對角線AC，BD的交點，設點集S＝{A,B,C,D,O}，向量集合且M，N不重合，試求集合T中元素的個數．
【解析】由題可知，集合T中的元素實質上是S中任意兩點連成的有向線段，共有20個，
即，，，；，，，；
，，，；，，，；
，，，.
由平行四邊形的性質可知，共有8對向量相等，即＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝，＝.
又集合元素具有互異性，故集合T中的元素共有12個．
變式1．（2024·高一課時練習）如圖，某人從點A出發，向西走了200m后到達B點，然后改變方向，沿北偏西一定角度的某方向行走了到達C點，最后又改變方向，向東走了200m到達D點，發現D點在B點的正北方．
(1)作出、、（圖中1個單位長度表示100m）；
(2)求的模．
【解析】（1）根據題意可知，B點在坐標系中的坐標為，
又因為D點在B點的正北方，所以，
又，所以，即D、 C兩點在坐標系中的坐標為，；
即可作出、、如下圖所示.
（2）如圖，作出向量，
由題意可知，且，
所以四邊形是平行四邊形，
則，
所以的模為
變式2．（2024·高一課時練習）在平面直角坐標系中，已知，與x軸的正方向所成的角為30°，與y軸的正方向所成的角為120°，試作出.
【解析】如圖，根據方位角及長度來確定.
【方法技巧與總結】
作向量的方法：準確畫出向量的方法是先確定向量的起點，再確定向量的方向，然后根據向量的大小確定向量的終點．
題型三：利用向量相等或共線進行證明
例7．（2024·高一課時練習）如圖所示，在平行四邊形中，，分別是，的中點.
(1)寫出與向量共線的向量；
(2)求證：.
【解析】（1）因為在平行四邊形中，，分別是，的中點，，，
所以四邊形為平行四邊形，所以.
所以與向量共線的向量為：，，.
（2）證明：在平行四邊形中，，.
因為，分別是，的中點，
所以且，
所以四邊形是平行四邊形，
所以，，
故.
例8．（2024·高一課時練習）如圖所示，四邊形為正方形，為平行四邊形，

(1)與模長相等的向量有多少個？
(2)寫出與相等的向量有哪些？
(3)與共線的向量有哪些？
(4)請列出與相等的向量．
【解析】（1）因為四邊形為正方形，為平行四邊形，
所以，
所以與模長相等的向量有、、、、、、、、共個.
（2）與相等的向量有、.
（3）與共線的向量有，，，，，，.
（4）因為為平行四邊形，所以且，
所以與相等的向量為.
例9．（2024·高一課時練習）如圖，多邊形ABCDEF為正六邊形，在以此六邊形各頂點和中心為起點、終點的向量中：
(1)寫出與相等的向量；
(2)寫出的負向量；
(3)寫出與平行的向量；
(4)寫出與長度相等的向量．
【解析】（1）兩向量相等是指兩向量方向相同，長度相等，由圖可得與相等的向量為：，，；
（2）向量的負向量是指與方向相反，長度相等的向量，由圖可得的負向量為：，，，；
（3）兩向量平行，是指兩向量方向相同或相反，由圖可得平行的向量為：
，，，，，，，，.
（4）由圖，因圖形為正六邊形，則，故與長度相等的向量為：，，，，.
變式3．（2024·高一課時練習）如圖，已知四邊形中，，分別是，的中點，且，求證：.
【解析】因為，所以且，
所以四邊形是平行四邊形，
所以且.
又與的方向相同，所以.
同理可證，四邊形是平行四邊形，所以.
因為，，所以，
又與的方向相同，所以
變式4．（2024·高一課時練習）如圖，半圓的直徑，是半圓上的一點，、分別是、上的點，且，，.
（1）求證：；
（2）求.
【解析】(1)由題意知，在中，，，，
所以，是直角三角形，
因為點為半圓上一點，所以
所以，故
(2)因為，所以，，
即，解得，即。
【方法技巧與總結】
相等向量與共線向量的探求方法
（1）尋找相等向量：先找與表示已知向量的有向線段長度相等的向量，再確定哪些是同向共線．
（2）尋找共線向量：先找與表示已知向量的有向線段平行或共線的線段，再構造同向與反向的向量，注意不要漏掉以表示已知向量的有向線段的終點為起點，起點為終點的向量．
題型四：向量知識在實際問題中的簡單應用
例10．（2024·全國·高一隨堂練習）如圖，某船從點O出發沿北偏東30°的方向行駛至點A處，求該船航行向量的長度（單位：n mile）．

【解析】由題意，
所以向量的長度為2 n mile．
例11．（2024·高一課時練習）已知飛機從地按北偏東方向飛行到達地，再從地按南偏東方向飛行到達地，再從地按西南方向飛行到達地．畫圖表示向量，并指出向量的模和方向．
【解析】以為原點，正東方向為軸正方向，正北方向為軸正方向建立直角坐標系．
由題意知點在第一象限，點在x軸正半軸上，點在第四象限，
向量如圖所示，
由已知可得，
為正三角形，所以．
又，，
所以為等腰直角三角形，
所以，．
故向量的模為，方向為東南方向．
例12．（2024·高一課時練習）一艘海上巡邏艇從港口向北航行了，這時接到求救信號，在巡邏艇的正東方向處有一艘漁船拋錨需救助.試求：
（1）巡邏艇從港口出發到漁船出事點所航行的路程；
（2）巡邏艇從港口出發到漁船出事點的位移.
【解析】（1）畫出示意圖，如圖所示，易得所求路程為巡邏艇兩次路程的和，即.
（2）巡邏艇從港口出發到漁船出事點的位移是向量，既有大小又有方向，其大小為.
由于，故方向約為北偏東53°.
變式5．（2024·高一課時練習）一位模型賽車的賽車手遙控一輛賽車向正東方向前進1m，然后將行駛方向按逆時針方向旋轉角度，繼續按直線方向前進1m，再將行駛方向按逆時針方向旋轉角度，然后繼續按直線方向前進1m，…，按此方法繼續操作下去.
（1）作圖說明當時，最少操作幾次可使賽車的位移為0？
（2）按此方法操作，試寫出幾種賽車能回到出發點的操作.
【解析】
記出發點A.
（1）當時，如圖①，賽車行進路線構成一個正八邊形，最少操作8次可使賽車的位移為0，賽車所行路程是8m.
（2）當時，如圖②，賽車行進路線構成一個正三角形，最少操作3次可使賽車回到出發點，賽車所行路程為3m；
當時，如圖③，賽車行進路程構成一個正方形，最少操作4次可使賽車回到出發點，賽車所行路程為4m；
當時，如圖④，賽車行進路線構成一個正六邊形，最少操作6次可使賽車回到出發點，賽車所行路程為6m.
【方法技巧與總結】
準確畫出向量的方法是先確定向量的起點，再確定向量的方向.
一、單選題
1．（2024·黑龍江·高三校聯考階段練習）設，都是非零向量，下列四個條件中，能使一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【解析】因為，故同向.
對于A:，方向相反,A選項錯誤；
對于B:，得出,不能得出方向，B選項錯誤；
對于C:,方向向相同,則成立，C選項正確；
對于D:,不能確定的方向，D選項錯誤.
故選：C．
2．（2024·福建龍巖·高一福建省連城縣第一中學校考階段練習）下列說法錯誤的是（ ）
A．
B．、是單位向量，則
C．若，則
D．任一非零向量都可以平行移動
【答案】C
【解析】對于A項，因為，所以，故A項正確；
對于B項，由單位向量的定義知，，故B項正確；
對于C項，兩個向量不能比較大小，故C項錯誤；
對于D項，因為非零向量是自由向量，可以自由平行移動，故D項正確.
故選：C.
3．（2024·河南·高三校聯考階段練習）已知四邊形，下列說法正確的是（ ）
A．若，則四邊形為平行四邊形
B．若，則四邊形為矩形
C．若，且，則四邊形為矩形
D．若，且，則四邊形為梯形
【答案】A
【解析】A選項，若，則且，則四邊形為平行四邊形，正確；
選項，如圖
，但是四邊形不是矩形，錯誤；
選項，若，且，則四邊形可以是等腰梯形,也可以是矩形，故錯誤．
選項，若，且，則四邊形可以是平行四邊形，也可以是梯形，故錯誤.
故選：A
4．（2024·北京·高一北京市第九中學校考）給出下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，，則
C．若且，則 D．若，，則
【答案】B
【解析】對于A，當與方向不同時，不成立，∴A錯誤，
對于B，若，，則，∴B正確，
對于C，當與方向相反時，不成立，∴C錯誤，
對于D，當時，滿足，，但不一定成立．所以D錯誤.
故選：B．
5．（2024·黑龍江哈爾濱·高一哈爾濱市第六中學校校考階段練習）下列命題：
①若，則；
②的充要條件是且
③若，則；
④若是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件.
其中，真命題的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】對于①，若，則模相等，方向不一定相同，故錯誤；
對于②，當時也滿足且，故錯誤；
對于③，當時，滿足，但不一定成立；
對于④，若是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件，正確.
故真命題的個數是1個.
故選：B
6．（2024·湖南長沙·高一長沙一中校考階段練習）下列命題：①若，則；
②若，，則；
③的充要條件是且；
④若，，則；
⑤若、、、是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件.其中，真命題的個數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【解析】對于①，因為，但、的方向不確定，則、不一定相等，①錯；
對于②，若，，則，②對；
對于③，且或，
所以，所以，“且”是“”的必要不充分條件，③錯；
對于④，取，則、不一定共線，④錯；
對于⑤，若、、、是不共線的四點，
當時，則且，此時，四邊形為平行四邊形，
當四邊形為平行四邊形時，由相等向量的定義可知，
所以，若、、、是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件，⑤對.
故選：A.
7．（2024·浙江·高三專題練習）給出下列命題：
①兩個具有共同終點的向量，一定是共線向量；
②若是不共線的四點，則是四邊形為平行四邊形的充要條件；
③若與同向，且，則>；
④λ，μ為實數，若λ＝μ，則與共線．
其中假命題的個數為（　　）
A．1 B．2
C．3 D．4
【答案】C
【解析】①不正確．當起點不在同一直線上時，雖然終點相同，但向量不共線；
②正確．∵＝，∴||＝||且；
又∵是不共線的四點，∴四邊形是平行四邊形．
反之，若四邊形是平行四邊形，
則且與方向相同，因此＝；
③不正確．兩向量不能比較大小．
④不正確．當時，與可以為任意向量，
滿足λ＝μ，但與不一定共線．
故選：.
8．（2024·全國·高三專題練習）如圖，等腰梯形中，對角線與交于點，點、分別在兩腰、上，過點，且，則下列等式中成立的是（　　）

A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】在等腰梯形中，、不平行，、不平行，AB均錯；
因為，則，則，則，
即，即，
，則，，即為的中點，
所以，，C錯，D對.
故選：D.
二、多選題
9．（2024·寧夏銀川·高一校考階段練習）在下列結論中，正確的結論為（ ）
A．且是的必要不充分條件
B．且是的既不充分也不必要條件
C．與方向相同且是的充要條件
D．與方向相反或是的充分不必要條件
【答案】ACD
【解析】因為且，所以或，
若，則與方向相同且，所以且是的必要不充分條件，
故選項A正確，選項B錯誤；
對于選項C，因為與方向相同且，所以，
反之，若，則與方向相同且，
所以與方向相同且是的充要條件，正確；
對于選項D，若與方向相反或，則，若，則與方向不同或，
即由得不到與方向相反或，
所以與方向相反或是的充分不必要條件，正確.
故選：ACD
10．（2024·高一校考課時練習）下列說法中錯誤的是（ ）
A．若||=||，則=
B．若≠，則||≠||
C．零向量的長度為0
D．若則
【答案】AB
【解析】因為向量既有大小又有方向, 所以只有方向相同、大小 (長度) 相等的兩個向量才相等, 故 A錯誤;
兩個向量不相等, 但它們的模可以相等, 故B錯誤;
零向量的長度為 0 , 故 C正確;
, 則 它們的相反向量 也相等,故D正確.
故選：AB.
11．（2024·江蘇無錫·高三統考開學考試）下面的命題正確的有（ ）
A．方向相反的兩個非零向量一定共線
B．單位向量都相等
C．若，滿足且與同向，則
D．“若A、B、C、D是不共線的四點，且”“四邊形ABCD是平行四邊形”
【答案】AD
【解析】對于A，由相反向量的概念可知A正確；
對于B，任意兩個單位向量的模相等，其方向未必相同，故B錯誤；
對于C，向量之間不能比較大小，只能比較向量的模，故C錯誤；
對于D，若A、B、C、D是不共線的四點，且，
可得，且，故四邊形ABCD是平行四邊形；
若四邊形ABCD是平行四邊形，可知，且，
此時A、B、C、D是不共線的四點，且，故D正確.
故選：AD.
12．（2024·廣東佛山·高一校考階段練習）下列敘述中錯誤的是（ ）
A．若，則
B．若，則與方的方向相同或相反
C．若且，，則
D．對任一向量，是一個單位向量
【答案】ABD
【解析】對于A，向量不能比較大小，A錯誤；
對于B，零向量與任意向量共線，且零向量的方向是任意的，故B錯誤；
對于C，因為不為零向量，所以與是共線向量，故C正確；
對于D，當時，無意義，故D錯誤.
故選：ABD
三、填空題
13．（2024·上海浦東新·高一上海市進才中學校考）下列關于向量的命題，序號正確的是 .
①零向量平行于任意向量；
②對于非零向量，若，則；
③對于非零向量，若，則；
④對于非零向量，若，則與所在直線一定重合.
【答案】①③
【解析】因為零向量與任一向量平行，所以①正確；
對于非零向量，若，則和是平行向量，而平行向量是方向相同或相反的非零向量，
故不一定等于，故②錯誤；
對于非零向量，若，則與是相等向量或相反向量，故，故③正確；
對于非零向量，若，則和是平行向量，也是共線向量，但與所在直線不一定重合.
故選：①③
14．（2024·高一課時練習）下列說法正確的是 （寫序號）．
①若與共線，則點A、B、C、D共線；
②四邊形為平行四邊形，則；
③若，則；
④四邊形中，，則四邊形為正方形．
【答案】③
【解析】①若與共線，則點，，，共線，不正確，比如平行四邊形的對邊；
②若四邊形為平行四邊形，則，不正確；
③若，，則，正確；
④在四邊形中，，且，則四邊形為正方形或菱形，不正確；
故答案為：③.
15．（2024·全國·高一專題練習）給出下列命題：
①若 ，則；
②若單位向量的起點相同，則終點相同；
③起點不同，但方向相同且模相等的幾個向量是相等向量；
④向量與是共線向量，則A，B，C，D四點必在同一直線上．
其中正確命題的序號是 ．
【答案】③
【解析】①考慮的情況；②根據單位向量的定義判斷.③根據相等向量的定義判斷.④共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，所在直線可能平行也可能重合.①錯誤．若，則①不成立；
②錯誤．起點相同的單位向量，終點未必相同；
③正確．對于一個向量只要不改變其大小和方向，是可以任意移動的；
④錯誤．共線向量即平行向量，只要求方向相同或相反即可，并不要求兩個向量與必須在同一直線上．
故答案為：③
四、解答題
16．（2024·高一課時練習）若向量，滿足，，求的最大值及最小值.
【解析】因為，，
所以，當且僅當向量，方向相同時取得等號；
，當且僅當向量，方向相反時取得等號.
所以的最大值是18，最小值是6.
17．（2024·四川涼山·高一四川省越西中學校考階段練習）如圖所示，4×3的矩形(每個小方格都是單位正方形)，在起點和終點都在小方格的頂點處的向量中，試問：
（1）與相等的向量共有幾個；
（2）與方向相同且模為的向量共有幾個；
【解析】由題可知，每個小方格都是單位正方形，
每個小正方形的對角線的長度為且都與平行，
則，
（1）由于相等向量是指方向和大小都相等的兩個向量，
則與相等的向量共有5個，如圖1；
（2）與方向相同且模為的向量共有2個，如圖2.
18．（2024·高一課時練習）如圖所示，平行四邊形中，是兩對角線，的交點，設點集，向量集合，試求集合中元素的個數.
【解析】由題可知，集合中的元素實質上是中任意兩點連成的有向線段，共有20個，即，，。
由平行四邊形的性質可知，共有對向量相等：即，，，，，，，，
因為集合元素具有互異性，所以集合中的元素共有12個。
19．（2024·全國·高三專題練習）如圖所示，4×3的矩形(每個小方格都是單位正方形)，在起點和終點都在小方格的頂點處的向量中，試問：
(1)與相等的向量共有幾個；
(2)與平行且模為 的向量共有幾個？
(3)與方向相同且模為3 的向量共有幾個？
【解析】(1)根據相等向量的概念，可得與向量相等的向量共有5個(不包括本身)．
(2) 根據向量的模的概念，可得與向量平行且模為 的向量共有24個．
(3) 根據向量的模概念，可得與向量方向相同且模為3的向量共有2個．

展開更多......

收起↑