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2009年高考《圓和橢圓》11道創新題
湖南江華一中 何楠
1．與直線和曲線都相切的半徑最小的圓的標準方程是 ．
2．已知圓Ｏ的方程是，圓的方程是，由動點向圓Ｏ和圓所引的切線長相等，則運點的軌跡方程是______________.
3．已知以F1（2,0），F2（2,0）為焦點的橢圓與直線有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為
（A） （B） （C） （D）
4．設分別是橢圓（）的左、右焦點，是其右準線上縱坐標為（為半焦距）的點，且，則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
5．已知長方形，，，則以為焦點，且過兩點的橢圓的離心率為______．
6．已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線與橢圓相交于兩點（不是左右頂點），且以 為直徑的圓過橢圓的右頂點．求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．
7．已知橢圓C:=1(a＞b＞0)的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，
求△AOB面積的最大值.
8．設、分別是橢圓的左、右焦點．
（Ⅰ）若是第一象限內該橢圓上的一點，且，求點的坐標；
（Ⅱ）設過定點的直線與橢圓交于同的兩點、，且為銳角
（其中為作標原點），求直線的斜率的取值范圍．
9．如圖，直線y＝kx＋b與橢圓交于A、B兩點，
記△AOB的面積為S．
(I). 求在k＝0，0＜b＜1的條件下，S的最大值；
（Ⅱ）當｜AB｜＝2，S＝1時，求直線AB的方程．
10．在平面直角坐標系中，已知圓的圓心為，過點且斜率為　的直線與圓相交于不同的兩點．
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在常數，使得向量與共線？如果存在，求值；
如果不存在，請說明理由．
11．設橢圓的左、右焦點分別為是橢圓上的一點，，原點到直線的距離為．
（Ⅰ）證明；
（Ⅱ）求使得下述命題成立：設圓上任意點
處的切線交橢圓于，兩點，則．
圓和橢圓輔導資料
1．與直線和曲線都相切的半徑最小的圓的標準方程是 ．
解：曲線化為，其圓心到直線
的距離為所求的
最小圓的圓心在直線上，其到直線的距離為，
圓心坐標為標準方程為。
2．已知圓Ｏ的方程是，圓的方程是，由動點向圓Ｏ和圓所引的切線長相等，則運點的軌跡方程是______________.
解：圓Ｏ：圓心，半徑；圓：圓心（4，0），半徑．
設，由切線長相等得:，．
3．已知以F1（2,0），F2（2,0）為焦點的橢圓與直線
有且僅有一個交點，則橢圓的長軸長為
（A） （B） （C） （D）
解：設橢圓方程為消x得：
即：
又 聯立解得
由焦點在x軸上，故長軸長為選C。
4．設分別是橢圓（）的左、右焦點，是其右準線上縱坐標為（為半焦距）的點，且，則橢圓的離心率是（ ）
A． B． C． D．
解：由已知P（），所以
化簡得,選D.
5．已知長方形，，，則以為焦點，
且過兩點的橢圓的離心率為______．
6．已知橢圓的中心在坐標原點，焦點在軸上，橢圓上的點到焦點距離的最大值為3，最小值為1．
（1）求橢圓的標準方程；
（2）若直線與橢圓相交于兩點（不是左右頂點），且以 為直徑的圓過橢圓的右頂點．求證：直線過定點，并求出該定點的坐標．
解：（I）由題意設橢圓的標準方程為，
由已知得：，，，，
　橢圓的標準方程為　
（Ⅱ）設，，由 得，
又，
因為以為直徑的圓過橢圓的右焦點，
，即，，
，　
解得：，，且均滿足，
當時，的方程為，直線過定點，與已知矛盾；
當時，的方程為，直線過定點　
所以，直線過定點，定點坐標為　
7．已知橢圓C:=1(a＞b＞0)的離心率為,短軸一個端點到右焦點的距離為.
(Ⅰ)求橢圓C的方程;
(Ⅱ)設直線l與橢圓C交于A、B兩點，坐標原點O到直線l的距離為，
求△AOB面積的最大值.
解：（Ⅰ）設橢圓的半焦距為，依題意，所求橢圓方程為．
（Ⅱ）設，．
（1）當軸時，，不符合題意．
（2）當與軸不垂直時，設直線的方程為．
由已知，得．
把代入橢圓方程，整理得，
，．
．
當且僅當，即時等號成立．當時，，
綜上所述．
當最大時，面積取最大值．
8．設、分別是橢圓的左、右焦點．
（Ⅰ）若是第一象限內該橢圓上的一點，且，求點的坐標；
（Ⅱ）設過定點的直線與橢圓交于同的兩點、，且為銳角
（其中為作標原點），求直線的斜率的取值范圍．
解：（Ⅰ）易知，，．
∴，．設．則
，又，
聯立，解得，．
（Ⅱ）顯然不滿足題設條件．可設的方程為，設，．
聯立
∴，
由
，，得．①
又為銳角，∴
又
∴
∴?。?br/>綜①②可知，∴的取值范圍是．
9．如圖，直線y＝kx＋b與橢圓交于A、B兩點，
記△AOB的面積為S．
(I). 求在k＝0，0＜b＜1的條件下，S的最大值；
（Ⅱ）當｜AB｜＝2，S＝1時，求直線AB的方程．
解：（Ⅰ）設點的坐標為，點的坐標為，由，
解得，所以．
當且僅當時，取到最大值．
（Ⅱ）由得，
，①． ②
設到的距離為，則，
又因為，所以，代入②式并整理，得
，解得，，代入①式檢驗，，
故的方程是或或或
．
10．在平面直角坐標系中，已知圓的圓心為，過點且斜率為　的直線與圓相交于不同的兩點．
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）是否存在常數，使得向量與共線？如果存在，求值；
如果不存在，請說明理由．
解：（Ⅰ）圓的方程可寫成，所以圓心為，過
且斜率為的直線方程為．代入圓方程得，
整理得．　　　
直線與圓交于兩個不同的點，，
解得，即的取值范圍為．
（Ⅱ）設，則，
　　　又．　
而．
所以與共線等價于，解得．
由（Ⅰ）知，故沒有符合題意的常數．
11．設橢圓的左、右焦點分別為是橢圓上的一點，，原點到直線的距離為．
（Ⅰ）證明；
（Ⅱ）求使得下述命題成立：設圓上任意點
處的切線交橢圓于，兩點，則．
解：（Ⅰ）由題設及，，不妨設點，其中
，由于點在橢圓上，有，
，解得，從而得到，
直線的方程為，整理得．
由題設，原點到直線的距離為，即，
將代入原式并化簡得，即．
（Ⅱ）解法一：圓上的任意點處的切線方程為．
當時，圓上的任意點都在橢圓內，
故此圓在點處的切線必交橢圓于兩個不同的點和，設，
當時，由得，
于是，
．
若，則．
所以，．由，得．
在區間內此方程的解為．
當時，必有，同理求得在區間內的解為．
另一方面，當時，可推出，從而．
綜上所述，使得所述命題成立．

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