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人教版數(shù)學(xué)高三下學(xué)期高考第二輪大題專題輔導(dǎo)
函數(shù)與導(dǎo)數(shù)、函數(shù)與數(shù)列、函數(shù)與向量
一、函數(shù)與導(dǎo)數(shù)
1、設(shè)、，且，定義在區(qū)間內(nèi)的函數(shù)是奇函數(shù)。
（Ⅰ）求的取值范圍；
（Ⅱ）討論函數(shù)的單調(diào)性。
解：（Ⅰ）函數(shù)在區(qū)間內(nèi)是奇函數(shù)等價(jià)于
對任意都有
即，由此可得，
即，此式對任意都成立相當(dāng)于，
因?yàn)椋啵?得，即，此式對任意
都成立相當(dāng)于，所以得的取值范圍是.
（Ⅱ）設(shè)任意的，且，由，
得，所以，，
從而，
因此在內(nèi)是減函數(shù)，具有單調(diào)性。
2、已知在區(qū)間上是增函數(shù)。
（Ⅰ）求實(shí)數(shù)的值所組成的集合；
（Ⅱ）設(shè)關(guān)于的方程的兩個(gè)根為、，若對任意及，不等式
恒成立，求的取值范圍.
解：（Ⅰ） ，
∵在區(qū)間上是增函數(shù)，∴對恒成立，
即 對恒成立
設(shè)，則問題等價(jià)于
，
對，是連續(xù)函數(shù)，且只有當(dāng)時(shí)， 及當(dāng)時(shí)，
∴
（Ⅱ）由，得，
∵ ∴是方程 的兩非零實(shí)根，
∴，從而，
∵，∴.
∴不等式對任意及恒成立
對任意恒成立
對任意恒成立
設(shè)，則問題又等價(jià)于
即 的取值范圍是.
3、 已知集合，
（Ⅰ）證明：；
（Ⅱ）某同學(xué)注意到是周期函數(shù)，也是偶函數(shù)，于是他著手探究：中的元素是否都是周期函數(shù)？是否都是偶函數(shù)？對這兩個(gè)問題，給出并證明你的結(jié)論。
解：（Ⅰ）∵
∴.
（Ⅱ）①是周期是6的周期函數(shù)，猜測也是周期為6的周期函數(shù)。
由得，
兩式相加可得
即是周期為6的周期函數(shù)，故中的元素是否都是周期函數(shù).
② 令，同上可證得，
∴ ，但是奇函數(shù)不是偶函數(shù)，
∴ 中的元素不都是偶函數(shù).
4、已知函數(shù)．
（1）若在[1，＋∞上是增函數(shù)，求實(shí)數(shù)a的取值范圍；
（2）若x＝3是的極值點(diǎn)，求在[1，a]上的最小值和最大值．
解析：（1）．
　　∵　x≥1．　∴　，
　　當(dāng)x≥1時(shí)，是增函數(shù)，其最小值為．
　　∴　a＜0（a＝0時(shí)也符合題意）．　∴　a≤0．
　　（2），即27-6a-3＝0，　∴　a＝4．
　　∴　有極大值點(diǎn)，極小值點(diǎn)．
　　此時(shí)f（x）在，上時(shí)減函數(shù)，在，＋上是增函數(shù)．
∴　f（x）在，上的最小值是，最大值是，（因）．
5、已知函數(shù)的定義域?yàn)閇，]，值域?yàn)椋⑶以冢蠟闇p函數(shù)．
（1）求a的取值范圍；
（2）求證：；
（3）若函數(shù)，，的最大值為M，求證：
（1）按題意，得．
　　∴　　即　．
　　又∴　關(guān)于x的方程．
　　在（2，＋∞）內(nèi)有二不等實(shí)根x＝、．關(guān)于x的二次方程
在（2，＋∞）內(nèi)有二異根、．
．　　故　．
（2）令，則．
　　∴　．
（3）∵　，
．
　∵　，　∴　當(dāng)（，4）時(shí)，；當(dāng)（4，）是．
　又在[，]上連接，　　∴　在[，4]上遞增，在[4，]上遞減．
　　故　．
　　∵　，　　∴　0＜9a＜1．故M＞0．　若M≥1，則．
∴　，矛盾．故0＜M＜1．
6、已知二次函數(shù)的二次項(xiàng)系數(shù)為，且不等式的解集為 ( http: / / www. / wxc / )　
⑴若方程有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根，求的解析式；
⑵若函數(shù)無極值，求實(shí)數(shù)的取值范圍 ( http: / / www. / wxc / )
⑴設(shè)，∵不等式的解集為 ( http: / / www. / wxc / )
∴ ……… ① ……… ②
又∵有兩等根，
∴……… ③ 由①②③解得 …………（5分）
又∵，∴，故.
∴ ……………………………………………（7分）
⑵由①②得，∴，
…………………………………………（9分）
∵無極值，∴方程
，解得 ………………（12分）
7、已知函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，單調(diào)遞減區(qū)間是[-2，2]。
（I）求函數(shù)的解析式；
（II）若的圖象與直線恰有三個(gè)公共點(diǎn)，求m的取值范圍。
解：（I），依題意有
即
解得。
函數(shù)的解析式為。 6分
（II）由條件可知，函數(shù)有極大值，極小值。 10分
因?yàn)榈膱D象與直線恰有三個(gè)公共點(diǎn)，
所以，。 12分
8、二次函數(shù)滿足條件：
①對任意，均有；②函數(shù)的圖象與直線相切。
（I）求函數(shù)的解析式；
（II）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，恒成立，試求t、m的值。
解：（I）
函數(shù)的圖象與直線相切，
方程組有且只有一解；
即有兩個(gè)相同的實(shí)根，
。
函數(shù)的解析式為。 6分
（其它做法相應(yīng)給分）
（II）當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，恒成立，
不等式的解集為。
即的解集為[4，m]。
方程的兩根為4和m，
即方程的兩根為4和m。
，
解得
和m的值分別為8和12。 13分
9、設(shè)函數(shù)f（x）=在[1+，∞上為增函數(shù).
（1）求正實(shí)數(shù)a的取值范圍.
（2）若a=1，求征：（n∈N*且n≥2）
解:（1）由已知： = …………………………2分
依題意得：≥0對x∈[1，+∞恒成立………………4分
∴ax－1≥0對x∈[1，+∞恒成立 ∴a－1≥0即：a≥1……5分
（2）∵a=1 ∴由（1）知：f（x）=在[1，+∞上為增函數(shù)，
∴n≥2時(shí)：f（）=
即：…7分
∴……………………9分
設(shè)g（x）=lnx－x x∈[1，+∞， 則對恒成立，
∴g′（x）在[1+∞為減函數(shù)…………12分
∴n≥2時(shí)：g（）=ln－即：ln<=1+（n≥2）
∴
綜上所證：（n∈N*且≥2）成立. ……14分
10、
二、函數(shù)與數(shù)列
1、將函數(shù)在區(qū)間內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大的順序排成數(shù)列，.
（Ⅰ）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；
（Ⅱ）設(shè)，求證：，.
解：（Ⅰ）∵
∴的極值點(diǎn)為，從而它在區(qū)間內(nèi)的全部極值點(diǎn)按從小到大排列構(gòu)成以為首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列，
∴，
（Ⅱ）由 知對任意正整數(shù)，都不是的整數(shù)倍，
所以，從而
于是
又，
是以為首項(xiàng)，為公比的等比數(shù)列。
∴，
2、已知函數(shù)和點(diǎn)，過點(diǎn)作曲線的兩條切線、，切點(diǎn)分別為、．
（Ⅰ）設(shè)，試求函數(shù)的表達(dá)式；
（Ⅱ）是否存在，使得、與三點(diǎn)共線．若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
（Ⅲ）在（Ⅰ）的條件下，若對任意的正整數(shù)，在區(qū)間內(nèi)總存在個(gè)實(shí)數(shù)
，，使得不等式成立，求的最大值．
解：（Ⅰ）設(shè)、兩點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為、，
， 切線的方程為：，
又切線過點(diǎn)， 有，
即， ………………………………………………（1） …… 2分
同理，由切線也過點(diǎn)，得．…………（2）
由（1）、（2），可得是方程的兩根，
………………（ * ） ……………………… 4分
，
把（ * ）式代入,得,
因此，函數(shù)的表達(dá)式為． ……………………5分
（Ⅱ）當(dāng)點(diǎn)、與共線時(shí)，，＝，
即＝，化簡，得，
，． ………………（3） …………… 7分
把（*）式代入（3），解得．
存在，使得點(diǎn)、與三點(diǎn)共線，且 ． ……………………9分
（Ⅲ）解法：易知在區(qū)間上為增函數(shù)，
，
則．
依題意，不等式對一切的正整數(shù)恒成立， …………11分
，
即對一切的正整數(shù)恒成立，．
， ，
．
由于為正整數(shù)，． ……………………………13分
又當(dāng)時(shí)，存在，，對所有的滿足條件．
因此，的最大值為． ……………………………14分
解法：依題意，當(dāng)區(qū)間的長度最小時(shí)，得到的最大值，即是所求值．
，長度最小的區(qū)間為， …………………11分
當(dāng)時(shí)，與解法相同分析，得，
解得． ……………………………13分
三、函數(shù)與向量
1、已知二次函數(shù)對任意，都有成立，設(shè)向量（sinx，2），（2sinx，），（cos2x，1），（1，2），當(dāng)[0，]時(shí)，求不等式f（）＞f（）的解集．
解析：設(shè)f（x）的二次項(xiàng)系數(shù)為m，其圖象上兩點(diǎn)為（1-x，）、B（1＋x，）因?yàn)椋裕蓌的任意性得f（x）的圖象關(guān)于直線x＝1對稱，若m＞0，則x≥1時(shí)，f（x）是增函數(shù)，若m＜0，則x≥1時(shí)，f（x）是減函數(shù)．
　　∵　，，，，，
，
　　∴　當(dāng)時(shí)，
EMBED Equation.3
EMBED Equation.3 ，．
　　∵　，　∴　．
　　當(dāng)時(shí)，同理可得或．
　　綜上：的解集是當(dāng)時(shí)，為；
當(dāng)時(shí)，為，或．
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