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正方體模型試題中的熱點問題
高曉丹
正方體模型是最常見、最簡單的空間圖形，近年來，各地考卷中出現了許多正方體模型的有關試題，現分類舉例如下．
一、內接幾何體問題
例1、兩個相同的正四棱錐組成如圖1所示的幾何體，可放入棱長為1的正方體內，使正四棱錐的底面ABCD與正方體的某一個面平行，且各頂點均在正方體的面上，則這樣的幾何體體積的可能值有（ ）．
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 無窮多個
解析：沿正四棱錐的底面所在的平面將正方體切開截面如圖2所示，可見正方形內接的正方形面積S有無窮多個，不可能唯一，故多面體的體積也不唯一，選D．
評析：本題滲透了新課標中三視圖的解法，考查了正方體內接幾何體的空間模型的構建和空間想象能力，解答此類問題的關鍵在于截面圖形的化歸分析．
二、空間角及線面關系問題
例2、如圖3，在棱長為1的正方體ABCD-A1B1C1D1中，P是側棱CC1上的一點，CP=m。
（1）試確定m，使得直線AP與平面BDD1B1所成角的正切值為．
（2）在線段A1C1上是否存在一個定點Q，使得對任意的m，D1Q在平面APD1上的射影垂直于AP？請證明你的結論．
解析：（1）連AC，設AC∩BD=O，AP與面BDD1B1交于點G，連OG．由PC∥面BDD1B1，面BDD1B1∩面APC=OG，得OG∥PC，所以OG=．又AO⊥DB，AO⊥BB1，所以AO⊥面BDD1B1，即∠AGO為AP與平面BDD1B1所成的角．
在Rt△AOG中，tan∠AGO，即
故當m=時，直線AP與平面BDD1B1所成角的正切值為．
（2）依題意，在A1C1上找一點Q，使D1Q⊥AP，可推測A1C1的中點O1即為所求的Q點．因為D1O1⊥A1C1，D1O1⊥AA1，所以D1O1⊥面ACC1A1．又AP面ACC1A1，知D1O1⊥AP，從而D1Ol在平面AD1P上的射影與AP垂直，所以存在定點Q滿足題意．
評析：利用正方體模型來考查線面關系、直線與平面所成角的有關知識，屬于立體幾何中的常規問題，解答此類問題的關鍵是熟悉正方體模型中的線面關系．
三、探索性問題
例3、多面體上，位于同一條棱兩端的頂點稱為相鄰點，如圖4，正方體的一個頂點A在平面內，其余頂點在的同側，正方體上與頂點A相鄰的三個頂點到的距離分別為1、2和4，P是正方體的其余四個頂點中的一個，則P到平面的距離可能是：①3；②4；③5；④6；⑤7．以上結論正確的是 。
解析：如圖4，B、D、A1到平面的距離分別為1、2、4，則DA1的中點到平面的距離為3，所以D1到平面的距離為6；BA1的中點到平面的距離為，所以B1到平面的距離為5；DB的中點到平面的距離為，所以C到平面的距離為3；CA1的中點到平面的距離為，所以C1到平面的距離為7．而P為C、C1、B1、D1中的任意一點，所以選①③④⑤．
評析：本題是一個探索型問題，以正方體為載體考查新情景下的立體幾何知識，這類試題是高考考查同學們創新能力的重要題型．本題也可通過空間向量的思想來解釋，有興趣的同學不妨試一試．
四、體積問題
例4、已知正方體ABCD-A1B1C1D1的棱長為3，P為DD1上任意一點，Q是平面ABCD內的點，PQ=2，M為PQ的中點，則點M的軌跡與正方體的面所圍成的圖形的體積（較小者）為 ．
解析：如圖5，連接DM、PQ、DQ．由直角三角形的性質，知DM，點M到點D的距離為定值，所以點M的軌跡是以點D為球心的球面，它與正方體的面所圍成圖形的體積··
評析：將立體幾何與軌跡問題交匯起來探索是近幾年出現的新型試題，體現了加強能力考查的傾向．解答問題的關鍵是在空間尋找點的軌跡（如球、圓柱），然后求其體積．
五、平面展開圖問題
例5、在單位正方體ABCD-A1B1C1D1中，P、M、N分別為棱DD1、AB、BC的中點。
（1）證明：PB⊥平面MNB1．
（2）畫出一個正方體表面展開圖，使其滿足“有4個正方形面相連成一個長方形”的條件，并求出展開圖中P、B兩點間的最短距離．
解析：（1）在圖6中過點P作PE⊥AA1于E，則PE∥DA．連BE，又DA⊥面ABB1A1，所以PE⊥平面ABB1A1，PE⊥MB1．又BE⊥B1M，得PB⊥MB1．又MN∥AC，BD⊥AC，所以BD⊥MN．又PD⊥面ABCD，知PB⊥MN．所以PB⊥平面MNB1．
（2）圖7為其展開圖的一種形式，由圖7可知，當P位于DD1′的中點時，BP最短，即BP=．
評析：對正方體的平面展開圖的考查由來已久，解決此類問題的關鍵是熟悉空間圖形與平面圖形的轉化．

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