資源簡介

一道課本習題的應用
蘇教版《普通高中課程標準實驗教科書（必修5）》第98頁第14題：“…，試研究線段GH，KL，EF，MN與代數式，，，之間的關系，…”．
能夠得到結論：，當且僅當時等號成立．
這是對課本第十三章第四節“基本不等式”的整理和引申，定理本身的證明在此不再重復．筆者結合自己的教學實踐，談談這道題的結論在求最值和不等式證明中的應用．
一、求最大（小）值
【例1】若為正實數，且恒成立，則的最小值是 ．
分析：由題意有恒成立，轉化為求的最大值，由基本不等式有
，故，所以．
評析：熟練掌握基本不等式的結構特征，能透過表象看本質，方能求得最值得結果．
【例2】若成等差數列，且，則的最大值為 ．
略解：， ，
由“基本不等式”有：，當且僅當時取等號，故，即的最大值為．
評析：倒序相加，由等差數列的性質為基本不等式的運用做好準備．
【例3】已知，，且，則的最小值為 ．
錯解：，又，得，有，所以的最小值為8．
略解：，當且僅當，即，時取等號．
評析：“正數、定值、取等號”這三個條件是基本不等式的前提，尤其是在不止一次使用基本不等式時，更要注意取等號的條件要一致．
【例4】已知，，且，求的最大值．
分析：由為定值的引導，可將結論式改寫為，便可得到下述解法：
略解：
，當且僅當即時取得最大值．
若題中關系式不具備基本不等式的結構特征，可考慮將關系式變形，如本題將和經“配湊”后向2a + b轉化是成功解題的關鍵，其思維的起點是為定值．
二、證明不等式
【例5】已知a、b、c∈R，求證：．
分析：由上題知，即，
同理：，，三式相加得證．
當且僅當a = b = c時等號成立．
評析：不等式兩邊的結構特征，提示我們選擇“”，而該不等式對a、b∈R就可以了，未必一定要“正數”．
【例6】已知，，求證：．
分析：乍一看，要證明這個不等式好象還不太容易，仔細研究便會發現，構成這個不等式的三個部分都出現在“基本不等式”中，它們之間是有聯系的．具體表現為：，，于是便不難得到證明了．
評析：本題也可以使和均向“靠攏”，或將理解為，再由“基本不等式”得證，充分體現了對“基本不等式”的理解．
【例7】已知，，且，求證：．
證法一：
證法二：，
當且僅當時等號成立．
評析：證法二之所以采用如此“配湊”，是因為“輪換式”的特征讓我們知道“當且僅當時等號成立”，此時．
本題雖可用分析法證明，但上述證法顯得更加靈巧，也更能體現對問題本質的認識．
【例8】若a，b，c為正數，且a + b + c = 1，求滿足不等式的最小整數k．
分析：只要求出的最大值，便可確定最小整數k．仿照例7，有：
，，
即最小整數k的值為5．
從上述幾例可以看到，由這道課本習題所得到的基本不等式在有關最值求解和不等式證明中的作用是顯而易見的，應用過程中要注意基本不等式成立的條件，尤其是取等號的條件是否具備，否則可能會出現錯解．
歷年的高考中不斷出現課本題的“影子”，而對課本例題、習題的引申和挖掘，更能引起學生對課本知識的重視，有利于學生打好基礎，進一步明了知識的發生、發展過程，對掌握知識、提高能力是大有幫助的．

展開更多......

收起↑