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純凈淡雅，內(nèi)涵厚重
-------回歸課本，再現(xiàn)高考試題

包頭土右薩一中 陳明小
2008年高考數(shù)學(xué)江蘇卷第13題：
滿足條件AB=2，AC=BC的△ＡＢＣ的面積的最大值是＿＿＿．
解法探究
思路１：由初中數(shù)學(xué)知識(shí)——三角形面積等于底乘高除以２切入。
設(shè)ＢＣ＝ｘ，則ＡＣ＝ｘ，作ＣＤ⊥ＡＢ，垂足為Ｄ．又設(shè)ＢＤ＝ｙ，ＡＤ＝２±ｙ，則有ＣＤ２＝ｘ２－ｙ２＝（ｘ）２－（２±ｙ）２，所以ｙ＝，
所以ＣＤ＝＝，所以＝ＡＢ×ＣＤ＝
，顯然當(dāng)＝１２，即ｘ＝時(shí)，三角形的面積有最大值。
思路２：由高中數(shù)學(xué)知識(shí)――正弦定理、余弦定理和三角形面積公式切入。
　　△ＡＢＣ的面積＝ＡＢ×ＢＣ×，其中AB=2為定值，ＢＣ是變量，　設(shè)ＢＣ＝ｘ，能否求出關(guān)于ｘ的目標(biāo)函數(shù)呢？
事實(shí)上，＝ｘ，那么能否用ｘ表示呢？
由ＢＣ＝ｘ，得ＡＣ＝ｘ，利用余弦定理得＝，又＝，所以＝ｘ＝。則當(dāng)ｘ＝時(shí)，的最大值為。
思路３：運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)――坐標(biāo)法切入。
由于是定值，為求其面積的最大值，只需求出頂點(diǎn)Ｃ到ＡＢ邊的距離的最大值即可。而AC=BC，說(shuō)明點(diǎn)Ｃ是運(yùn)動(dòng)變化的，那么它的軌跡是什么？到此我們的思維“進(jìn)入了”解析幾何的領(lǐng)域。下面的解法就是自然的了：
以直線ＡＢ為ｘ軸，線段ＡＢ的垂直平分線為ｙ軸，建立如圖所示的直角坐標(biāo)系。由已知得Ａ（－１，０），Ｂ（１，０），設(shè)Ｃ（ｘ，ｙ），由AC=BC得＝，化簡(jiǎn)得　　（ｘ≠０）
　　所以點(diǎn)Ｃ到ＡＢ邊的距離的最大值就是點(diǎn)Ｃ到ｘ軸的最大值，故的最大值為。
評(píng)析與啟迪
思路１只用到了初中數(shù)學(xué)中平凡的知識(shí)，但要具備一定的思維水平和運(yùn)算能力；思路２是本題的一個(gè)自然解法，但過(guò)程繁瑣，要有較高的運(yùn)算能力；思路３用運(yùn)動(dòng)變化的觀點(diǎn)審視靜止的問(wèn)題，吧數(shù)形結(jié)合的思想體現(xiàn)的淋漓盡致，正所謂：“數(shù)缺形時(shí)少直觀，形少數(shù)時(shí)難入微．”
本題純凈淡雅，內(nèi)涵豐富．它以三角形面積為載體，巧妙地將數(shù)學(xué)的主干知識(shí)與重要數(shù)學(xué)思想方法――三角函數(shù)及其變換、函數(shù)思想、化歸與轉(zhuǎn)化思想、數(shù)形結(jié)合思想、靜與動(dòng)等有機(jī)地交匯融為一體，多種思路，彰顯新意，難度不大，是不同層次的考生都能得到個(gè)性化的考查和發(fā)揮，充分體現(xiàn)了新的課程理念，是一道平而不俗、淡而出奇、內(nèi)蘊(yùn)厚重的好題。
題根探源
題根：人民教育出版社“全日制普通高級(jí)中學(xué)教科書(shū)（必修）《數(shù)學(xué)》第二冊(cè)（上），第７８頁(yè)例５“已知一曲線是與兩定點(diǎn)Ｏ（０，０），Ａ（３，０）的距離比為的點(diǎn)的軌跡，求此曲線的方程，并畫(huà)出該曲線。第８５頁(yè)例２和第８８頁(yè)Ａ組１９題都是與題根本質(zhì)相同的試題。
題根變式：
⑴　（２００５年高考數(shù)學(xué)江蘇卷）　圓與圓的半徑都是１，＝４，過(guò)動(dòng)點(diǎn)Ｐ分別作圓與圓的切線ＰＭ，ＰＮ（Ｍ，Ｎ分別為切點(diǎn)），使得ＰＭ＝ＰＮ，
試建立適當(dāng)?shù)闹苯亲鴺?biāo)系，并求動(dòng)點(diǎn)Ｐ的軌跡方程。
　　　　　　　　　　　　　　
⑵ （2006年高考數(shù)學(xué)四川卷） 已知兩定點(diǎn)A(-2, 0)，B(1, 0), 若動(dòng)點(diǎn)P滿足=2，則點(diǎn)P的軌跡所包圍的面積等于 （ ）
A π B 4π C 8π D 9π
4．解題感悟
　此題的情景設(shè)計(jì)與解題思維方法都源于課本，入口淺、寓意深、思路寬，體現(xiàn)了“立足教材，能力立意”的命題原則，強(qiáng)調(diào)了知識(shí)內(nèi)容和思想方法的融會(huì)貫通，突出考查基本數(shù)學(xué)素養(yǎng)。問(wèn)題的設(shè)計(jì)給考生留有很大的思維空間，符合新課程發(fā)展的要求和高考內(nèi)容改革的命題方向，具有很好的導(dǎo)向和引領(lǐng)作用。
　　該題給了我深刻的啟示，中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)應(yīng)該重視從整體上把握主干知識(shí)，注意掌握通性通法，淡化特殊技巧，加強(qiáng)知識(shí)間的縱橫聯(lián)系，讓學(xué)生感悟知識(shí)的形成與發(fā)展過(guò)程，提高對(duì)數(shù)學(xué)基本思想方法的運(yùn)用和理性思維的能力。
　２００８年９月２０日

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