資源簡介

題目 高中數學復習專題講座直線方程及其應用
高考要求
直線是最簡單的幾何圖形，是解析幾何最基礎的部分，本章的基本概念；基本公式；直線方程的各種形式以及兩直線平行、垂直、重合的判定都是解析幾何重要的基礎內容 應達到熟練掌握、靈活運用的程度，線性規劃是直線方程一個方面的應用，屬教材新增內容，高考中單純的直線方程問題不難，但將直線方程與其他知識綜合的問題是學生比較棘手的
重難點歸納
1 對直線方程中的基本概念，要重點掌握好直線方程的特征值(主要指斜率、截距)等問題；直線平行和垂直的條件；與距離有關的問題等
2 對稱問題是直線方程的一個重要應用，中學里面所涉及到的對稱一般都可轉化為點關于點或點關于直線的對稱 中點坐標公式和兩條直線垂直的條件是解決對稱問題的重要工具
3 線性規劃是直線方程的又一應用 線性規劃中的可行域，實際上是二元一次不等式(組)表示的平面區域 求線性目標函數z=ax+by的最大值或最小值時，設t=ax+by,則此直線往右(或左)平移時，t值隨之增大(或減小)，要會在可行域中確定最優解
4 由于一次函數的圖象是一條直線，因此有關函數、數列、不等式、復數等代數問題往往借助直線方程進行，考查學生的綜合能力及創新能力
典型題例示范講解
例1某校一年級為配合素質教育，利用一間教室作為學生繪畫成果展覽室，為節約經費，他們利用課桌作為展臺，將裝畫的鏡框放置桌上，斜靠展出，已知鏡框對桌面的傾斜角為α(90°≤α＜180°)鏡框中，畫的上、下邊緣與鏡框下邊緣分別相距a m,b m,(a＞b) 問學生距離鏡框下緣多遠看畫的效果最佳？
命題意圖 本題是一個非常實際的數學問題，它不僅考查了直線的有關概念以及對三角知識的綜合運用，而且更重要的是考查了把實際問題轉化為數學問題的能力
知識依托 三角函數的定義，兩點連線的斜率公式，不等式法求最值
錯解分析 解決本題有幾處至關重要，一是建立恰當的坐標系，使問題轉化成解析幾何問題求解；二是把問題進一步轉化成求tanACB的最大值 如果坐標系選擇不當，或選擇求sinACB的最大值 都將使問題變得復雜起來
技巧與方法 欲使看畫的效果最佳，應使∠ACB取最大值，欲求角的最值，又需求角的一個三角函數值
解 建立如圖所示的直角坐標系，AO為鏡框邊，AB為畫的寬度，O為下邊緣上的一點，在x軸的正半軸上找一點C(x,0)(x＞0),欲使看畫的效果最佳，應使∠ACB取得最大值
由三角函數的定義知 A、B兩點坐標分別為(acosα,asinα)、
(bcosα,bsinα),于是直線AC、BC的斜率分別為
kAC=tanxCA=,
于是
tanACB=
由于∠ACB為銳角，且x＞0,則tanACB≤,
當且僅當=x，即x=時，等號成立，
此時∠ACB取最大值，對應的點為C(,0),
因此，學生距離鏡框下緣 cm處時，視角最大，即看畫效果最佳
例2預算用2000元購買單件為50元的桌子和20元的椅子，希望使桌椅的總數盡可能的多，但椅子不少于桌子數，且不多于桌子數的1 5倍，問桌、椅各買多少才行？
命題意圖 利用線性規劃的思想方法解決某些實際問題屬于直線方程的一個應用，本題主要考查找出約束條件與目標函數、準確地描畫可行域，再利用圖形直觀求得滿足題設的最優解
知識依托 約束條件，目標函數，可行域，最優解
錯解分析 解題中應當注意到問題中的桌、椅張數應是自然數這個隱含條件，若從圖形直觀上得出的最優解不滿足題設時，應作出相應地調整，直至滿足題設
技巧與方法 先設出桌、椅的變數后，目標函數即為這兩個變數之和，再由此在可行域內求出最優解
解 設桌椅分別買x,y張，把所給的條件表示成不等式組，即約束條件
為由
∴A點的坐標為(，)
由
∴B點的坐標為(25，)
所以滿足約束條件的可行域是以A(，)，B(25，)，O(0，0)為頂點的三角形區域(如右圖)
由圖形直觀可知，目標函數z=x+y在可行域內的最優解為(25，)，但注意到x∈N,y∈N*,故取y=37
故有買桌子25張，椅子37張是最好選擇
例3拋物線有光學性質 由其焦點射出的光線經拋物線折射后，沿平行于拋物線對稱軸的方向射出，今有拋物線y2=2px(p＞0) 一光源在點M(,4)處，由其發出的光線沿平行于拋物線的軸的方向射向拋物線上的點P，折射后又射向拋物線上的點Q，再折射后，又沿平行于拋物線的軸的方向射出，途中遇到直線l 2x－4y－17=0上的點N，再折射后又射回點M(如下圖所示)
(1)設P、Q兩點坐標分別為(x1,y1)、(x2,y2)，證明 y1·y2=－p2；
(2)求拋物線的方程；
(3)試判斷在拋物線上是否存在一點，使該點與點M關于PN所在的直線對稱？若存在，請求出此點的坐標；若不存在，請說明理由
命題意圖 對稱問題是直線方程的又一個重要應用 本題是一道與物理中的光學知識相結合的綜合性題目，考查了學生理解問題、分析問題、解決問題的能力
知識依托 韋達定理，點關于直線對稱，直線關于直線對稱，直線的點斜式方程，兩點式方程
錯解分析 在證明第(1)問題，注意討論直線PQ的斜率不存在時
技巧與方法 點關于直線對稱是解決第(2)、第(3)問的關鍵
(1)證明 由拋物線的光學性質及題意知
光線PQ必過拋物線的焦點F(，0)，
設直線PQ的方程為y=k(x－) ①
由①式得x=y+,將其代入拋物線方程y2=2px中，整理，得y2－y－p2=0,由韋達定理，y1y2=－p2
當直線PQ的斜率角為90°時，將x=代入拋物線方程，得y=±p,同樣得到y1·y2=－p2
(2)解 因為光線QN經直線l反射后又射向M點，所以直線MN與直線QN關于直線l對稱，設點M(，4)關于l的對稱點為M′(x′,y′)，則
解得
直線QN的方程為y=－1,Q點的縱坐標y2=－1，
由題設P點的縱坐標y1=4，且由(1)知 y1·y2=－p2,則4·(－1)=－p2,
得p=2,故所求拋物線方程為y2=4x
(3)解 將y=4代入y2=4x,得x=4，故P點坐標為(4，4)
將y=－1代入直線l的方程為2x－4y－17=0,得x=,
故N點坐標為(，－1)
由P、N兩點坐標得直線PN的方程為2x+y－12=0,
設M點關于直線NP的對稱點M1(x1,y1)
又M1(,－1)的坐標是拋物線方程y2=4x的解，故拋物線上存在一點(，－1)與點M關于直線PN對稱
例3已知|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1,求證 abc+2＞a+b+c
證明 設線段的方程為y=f(x)=(bc－1)x+2－b－c,其中|b|＜1,|c|＜1,|x|＜1,且－1＜a＜1
∵f(－1)=1－bc+2－b－c=(1－bc)+(1－b)+(1－c)＞0
f(1)=bc－1+2－b－c=(1－b)(1－c)＞0
∴線段y=(bc－1)x+2－b－c(－1＜x＜1)在x軸上方，
這就是說，當|a|＜1,|b|＜1,|c|＜1時，恒有abc+2＞a+b+c
學生鞏固練習
1 設M=，則M與N的大小關系為( )
A M＞N B M=N C M＜N D 無法判斷
2 三邊均為整數且最大邊的長為11的三角形的個數為( )
A 15 B 30 C 36 D 以上都不對
3 直線2x－y－4=0上有一點P，它與兩定點A(4，－1)，B(3，4)的距離之差最大，則P點坐標是_________
4 自點A(－3，3)發出的光線l射到x軸上，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2+y2－4x－4y+7=0相切，則光線l所在直線方程為_________
5 函數f(θ)=的最大值為_________，最小值為_________
6 設不等式2x－1＞m(x2－1)對一切滿足|m|≤2的值均成立，則x的范圍為_________
7 已知過原點O的一條直線與函數y=log8x的圖象交于A、B兩點，分別過點A、B作y軸的平行線與函數y=log2x的圖象交于C、D兩點
(1)證明 點C、D和原點O在同一直線上
(2)當BC平行于x軸時，求點A的坐標
8 設數列{an}的前n項和Sn=na+n(n－1)b，(n=1,2,…),a、b是常數且b≠0
(1)證明 {an}是等差數列
(2)證明 以(an,－1)為坐標的點Pn(n=1,2,…)都落在同一條直線上，并寫出此直線的方程
(3)設a=1,b=,C是以(r,r)為圓心，r為半徑的圓(r＞0)，求使得點P1、P2、P3都落在圓C外時，r的取值范圍
參考答案:
1 解析 將問題轉化為比較A(－1，－1）與B(102001，102000）及C(102002，102001）連線的斜率大小，因為B、C兩點的直線方程為y=x，點A在直線的下方，∴kAB＞kAC,即M＞N
答案 A
2 解析 設三角形的另外兩邊長為x,y,則
點(x,y）應在如右圖所示區域內
當x=1時，y=11；當x=2時，y=10,11；
當x=3時，y=9,10,11；當x=4時，y=8,9,10,11;
當x=5時，y=7,8,9,10,11
以上共有15個，x,y對調又有15個，再加上(6，6），(7，7），(8，8），(9，9），(10，10）、(11，11）六組，所以共有36個
答案 C
3 解析 找A關于l的對稱點A′，A′B與直線l的交點即為所求的P點
答案 P(5，6）
4 解析 光線l所在的直線與圓x2+y2－4x－4y+7=0關于x軸對稱的圓相切
答案 3x+4y－3=0或4x+3y+3=0
5 解析 f(θ)=表示兩點(cosθ,sinθ)與(2,1)連線的斜率
答案 0
6 解析 原不等式變為(x2－1)m+(1－2x)＜0,構造線段f(m)=(x2－1)m+1－2x,－2≤m≤2,則f(－2)＜0,且f(2)＜0
答案
7 (1)證明 設A、B的橫坐標分別為x1、x2，由題設知x1＞1,x2＞1,?點A(x1,log8x1),B(x2,log8x2)
因為A、B在過點O的直線上，所以,又點C、D的坐標分別為(x1,log2x1）、(x2,log2x2)
由于log2x1=3log8x1,log2x2=3log8x2,則
由此得kOC=kOD,即O、C、D在同一直線上
(2)解 由BC平行于x軸，有log2x1=log8x2,又log2x1=3log8x1
∴x2=x13
將其代入,得x13log8x1=3x1log8x1,
由于x1＞1知log8x1≠0,故x13=3x1x2=,于是A(，log8)
9 (1)證明 由條件，得a1=S1=a,當n≥2時，
有an=Sn－Sn－1=［na+n(n－1)b］－［(n－1)a+(n－1)(n－2)b］=a+2(n－1)b
因此，當n≥2時，有an－an－1=［a+2(n－1)b］－［a+2(n－2)b］=2b
所以{an}是以a為首項，2b為公差的等差數列
(2)證明 ∵b≠0,對于n≥2,有
∴所有的點Pn(an,－1)(n=1,2,…)都落在通過P1(a,a－1)且以為斜率的直線上 此直線方程為y－(a－1)= (x－a),即x－2y+a－2=0
(3)解 當a=1,b=時，Pn的坐標為(n,),使P1(1,0)、P2(2, )、P3(3,1)都落在圓C外的條件是

由不等式①,得r≠1
由不等式②，得r＜－或r＞+
由不等式③，得r＜4－或r＞4+
再注意到r＞0,1＜－＜4－=+＜4+
故使P1、P2、P3都落在圓C外時，r的取值范圍是
(0，1)∪(1,－)∪(4+,+∞)

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