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七年級數(shù)學(xué)上期末大串講+練專題復(fù)習(xí)
專題八 數(shù)式規(guī)律探究專題
類型一、式子的規(guī)律
數(shù)字的規(guī)律探究，觀察前幾個數(shù)字的變化特點(diǎn)，找出一般性規(guī)律，如果數(shù)字是循環(huán)性規(guī)律，先找出循環(huán)周期內(nèi)數(shù)字的變化特點(diǎn)，然后用序數(shù)除以循環(huán)數(shù)，觀察商和余數(shù)。
【例1-1】．有一組數(shù)：，1，2，，5，8，，21，34請觀察這組數(shù)的構(gòu)成規(guī)律，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定第前 個數(shù)的和首次超過100．
【例1-2】．觀察一列數(shù):，請你找出其中排列的規(guī)律.
(1)第10個數(shù)是 ，第15個數(shù)是 ；
(2)第2018個數(shù)是 .
【例1-3】有一列數(shù)，，，，，…，則第個數(shù)是 ．
針對練習(xí)1
1．已知一列數(shù)，它們滿足關(guān)系式，當(dāng)時，則（ ）
A．2 B． C． D．
2．按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：，，，…，則第個單項(xiàng)式是（　　）
A． B． C． D．
3．按一般規(guī)律排列的一列數(shù)依次為：，，，，，……，按此規(guī)律排列下去，這列數(shù)中的第個數(shù)是 ．
類型二，整式的規(guī)律
整式排列的規(guī)律可以從三個方面分析：
符號
系數(shù)的絕對值
指數(shù)
系數(shù)、指數(shù)通常按“勻增加”、“成倍增加”的規(guī)律變化
【例2-1】按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：，，，，.則按此規(guī)律排列的第n個單項(xiàng)式為_______.（用含有n的代數(shù)式表示）
【例2-2】一組按規(guī)律排列的代數(shù)式：，，，，…，則第n個式子是___________.
【例2-3】給定下面一列分式:，…(其中)
1.把任意一個分式除以前面一個分式，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？
2.根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出給定的那列分式中的第2019個分式.
【例2-4】一組按規(guī)律排列的式子:則第n個式子是(用含n的式子表示，n為正整數(shù))( )
A. B. C. D.
針對練習(xí)2
1、依次排列的兩個整式a，b，將第1個整式乘以2再減去第2個整式，稱為第1次操作，得到第3個整式；將第2個整式乘以2再減去第3個整式，稱為第2次操作，得到第4個整式；將第3個整式乘以2再減去第4個整式，稱為第3次操作，得到第5個整式，以此類推，下列4個說法，其中正確的結(jié)論有( )
①第7個整式為
②第34個整式中a系數(shù)的絕對值比b系數(shù)的絕對值大1
③第11個整式與12個整式所有系數(shù)的絕對值之和為1024
④若，則第2023次操作完成后，所有整式之和為2025
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
2、有依次排列的兩個整式:, 對任意相鄰的兩個整式, 都用右邊的整式減去左邊的整式, 所得之差 寫在這兩個整式之間, 可以產(chǎn)生一個新整式串, 這稱為第一次操作; 將第一次操作后的整式 串按上述方式再做一次操作, 可以得到第二次操作后的整式串 以此類推. 通過實(shí)際操作, 得出以 下結(jié)論：
①第二次操作后的整式串為:x,,3,x,;
②當(dāng) 時,第二次操作后所有整式的積為正數(shù);
③第四次操作后的整式串中共有 19 個整式;
④第 2023 次操作后,所有的整式的和為.
四個結(jié)論中正確的有( )
A. ①②④ B. ①④ C. ①②③ D. ②③④
3、按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：，，，，…，則第n個代數(shù)式是( )
A. B. C. D.
類型三、圖形的排列規(guī)律
圖形排列規(guī)律問題，實(shí)質(zhì)也是整式排列的規(guī)律問題，將圖形中相關(guān)的數(shù)據(jù)用含項(xiàng)數(shù)字母的整式表示出來，最后看看這些排列有怎樣的規(guī)律，再根據(jù)所推導(dǎo)的規(guī)律解題。
【例3-1】觀察下列圖形：它們是按一定規(guī)律排列的，依此規(guī)律，第6個圖形共有 ．

【例3-2】觀察圖，解答下列問題．
(1)圖中的小圓圈被折線隔開分成六層，第一層有1個小圓圈，第二層有3個圓圈，第三層有5個圓圈，…，第六層有11個圓圈．如果要你繼續(xù)畫下去，第n層有______個圓圈．
(2)某層上有67個圓圈，這是第______層．
(3)數(shù)圖中的圓圈個數(shù)可以有多種不同的方法．
比如：前兩層的圓圈個數(shù)和或，由此得，．同樣，
由前三層的圓圈個數(shù)和得：．
由前四層的圓圈個數(shù)和得：．
由前五層的圓圈個數(shù)和得：．
請你猜測，從1開始的n個連續(xù)奇數(shù)之和是多少？用公式把它表示出來______．
(4)計(jì)算：的和；
(5)計(jì)算：的和．
【例3-3】如圖是我國古代窗格的一部分，其中“〇”代表窗紙上所貼的剪紙．圖1中所貼剪紙“O”為5個，圖2中所貼剪紙“O”為8個，圖3中所貼剪紙“〇”為11個，…，以此類推．

(1)求圖4和圖10中所貼剪紙“〇”的個數(shù)；
(2)第n個圖中所貼剪紙“〇”的個數(shù)．
【例3-4】如圖是一組有規(guī)律的圖案,第個圖案由個▲組成,第個圖案由個▲組成,第個圖案由個▲組成,第個圖案由個▲組成,……,則第 (為正整數(shù))個圖案由_____個▲組成。
針對練習(xí)3
1．如圖，由等圓組成的一組圖中，第1個圖由1個圓組成，第2個圖由7個圓組成，第3個圖由19個圓組成，，按照這樣的規(guī)律排列下去，則第個圖形由( )個圓組成．
A．37 B．61 C．91 D．127
2．如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相同的灰白兩種顏色的小正方形組成的，按照這樣的規(guī)律，若組成的圖案中有個灰色小正方形，則這個圖案是（ ）
A．第個 B．第個 C．第個 D．第個
3．如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由大小相同的五角星組合而成，第1個圖案中有4個五角星，第2個圖案中有7個五角星，第3個圖案中有10個五角星……按照此規(guī)律擺下去，第20個圖案中有 個五角星．
4．觀察下列一組圖形中的個數(shù)，其中第1個圖中共有4個點(diǎn)，第2個圖中共有10個點(diǎn)，第3個圖中共有19個點(diǎn)，……，按此規(guī)律第2022個圖中共有點(diǎn)的個數(shù)是( )
5．觀察并找出圖形變化的規(guī)律，則第2023個圖形中黑色正方形的數(shù)量是 ．
類型四、算式規(guī)律
一般是先寫出算式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過橫比(比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系)或縱比(比較不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系)找出各部分的特征，改寫成要求的格式．
【例4-1】觀察下列等式：；；；
；…
(1)根據(jù)上述規(guī)律，可以得出 ＝ ．
(2)請直接用一個含有n（n為正整數(shù)）的等式表示這個規(guī)律．
(3)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算下面算式的值：．
【例4-2】觀察下列兩組等式：
①
②
(1)根據(jù)你的觀察，先寫出猜想：
①_____________
②_____________
(2)然后，用簡便方法計(jì)算下列各題：
①
②若有理數(shù)滿足，試求：
的值
【例4-3】觀察下列等式，探究其中的規(guī)律并解答問題：
．
……
(1)第4個等式中，______；
(2)第n個等式為：______（其中n為正整數(shù)）．
【例4-4】觀察以下等式：
第1個等式：，
第2個等式：，
第3個等式：，
第4個等式：，
第5個等式：，
……
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）寫出第6個等式；
（2）寫出你猜想的第n個等式(用含n的等式表示），并說明理由
針對練習(xí)4
1．觀察下列等式：
……
探究：直接寫出第個等式為 ．
2．下列是一些兩位數(shù)減法運(yùn)算：
，
觀察上述算式及其計(jì)算結(jié)果，對兩位數(shù)減法運(yùn)算中的某種特殊情形進(jìn)行探究：
（1）請另外寫出一個符合上述規(guī)律的算式： ；
（2）用字母表示你所觀察到的規(guī)律 ．
3．觀察下列各式，回答問題：
第一個等式：
第二個等式：
第三個等式：
(1)猜想并寫出：第n個等式為__________________（n為正整數(shù)）；
(2)請直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果：
①________________；
②__________________；
(3)探究并計(jì)算：的值．
4．①．
②．
③．
④．…
(1)根據(jù)上述式子所呈現(xiàn)的規(guī)律，請寫出第n個等式：　　；
(2)按（1）中的規(guī)律計(jì)算：
①；
②．
5．小明同學(xué)平時愛好數(shù)學(xué)，他探索發(fā)現(xiàn)了：從2開始，連續(xù)的幾個偶數(shù)相加，如表所示：
加數(shù)的個數(shù)n 連續(xù)偶數(shù)的和S
1
2
3
4
5
請你根據(jù)表中提供的規(guī)律解答下列問題：
(1)如果時，那么S的值為 　　；
(2)根據(jù)表中的規(guī)律猜想：用字母n的式子表示S，則　　；
(3)利用上題的猜想結(jié)果，計(jì)算的值（要有計(jì)算過程）．
類型五、綜合性問題
【例5-1】綜合與實(shí)踐
【問題情境】數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想，有時我們可以借助圖形的直觀性研究數(shù)之間的某種關(guān)系．?dāng)?shù)學(xué)課上數(shù)學(xué)老師組織同學(xué)們以探究“？”為主題開展數(shù)學(xué)活動．
【實(shí)踐探究】小明所在這個數(shù)學(xué)小組想到了用圖形來幫忙解決這個問題，解決方法如下：
； ；
．
【問題解決】
（1）請你觀察上面圖形和式子填空：
______；
（2）根據(jù)以上分析，他們得出“？”的計(jì)算方法為______（用含的代數(shù)式表示，為正整數(shù)）
（3）利用上述結(jié)論計(jì)算：．
【拓展延伸】
計(jì)算：．
【例5-2】探索規(guī)律．
(1)觀察上面的各圖形，我們會發(fā)現(xiàn)：
圖①空白部分小正方形的個數(shù)是，
圖②空白部分小正方形的個數(shù)是，
圖③空白部分小正方形的個數(shù)是____________；
(2)像這樣繼續(xù)排列下去請你再寫出一道算式：______，
你會發(fā)現(xiàn)這些算式存在一個規(guī)律：
請歸納______（用含有字母的算式表示，其中為正整數(shù)）；
(3)運(yùn)用這個規(guī)律計(jì)算：．
針對練習(xí)5
1．觀察下面的點(diǎn)陣圖和相應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律：
(1)在④后面的橫線上寫出相應(yīng)的等式；
①；②；③；④ ；
(2)試用含有n的式子表示這一規(guī)律： ；（為正整數(shù)）
(3)請計(jì)算：．
2．探索規(guī)律．
(1)觀察上面的圖，發(fā)現(xiàn)：
圖①空白部分小正方形的個數(shù)是
圖②空白部分小正方形的個數(shù)是
圖③空白部分小正方形的個數(shù)是______＋______．
(2)像這樣繼續(xù)排列下去，你會發(fā)現(xiàn)一些有趣的規(guī)律，請你再寫出一道算式：______．
(3)運(yùn)用規(guī)律計(jì)算：．
3．用邊長為1的兩種不同顏色的正方形紙片，按下圖方式拼正方形．
第（1）個圖形用了1張正方形紙片；
第（2）個圖形用了張正方形紙片；
第（3）個圖形用了張正方形紙片；
第（4）個圖形用了張正方形紙片；……
(1)由此可得：______(用含n的式子表示)；
(2)完成下列問題：
①直接寫出的計(jì)算結(jié)果是______；
②計(jì)算的結(jié)果．
七年級數(shù)學(xué)上期末大串講+練專題復(fù)習(xí)
專題八 數(shù)式規(guī)律專題探究
類型一、式子的規(guī)律
數(shù)字的規(guī)律探究，觀察前幾個數(shù)字的變化特點(diǎn)，找出一般性規(guī)律，如果數(shù)字是循環(huán)性規(guī)律，先找出循環(huán)周期內(nèi)數(shù)字的變化特點(diǎn)，然后用序數(shù)除以循環(huán)數(shù)，觀察商和余數(shù)。
【例1-1】．有一組數(shù)：，1，2，，5，8，，21，34請觀察這組數(shù)的構(gòu)成規(guī)律，用你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律確定第前 個數(shù)的和首次超過100．
【答案】12
【分析】找到這組數(shù)據(jù)的規(guī)律，故可求解；
此題主要考查規(guī)律的查找，解題的關(guān)鍵是根據(jù)已知的數(shù)據(jù)發(fā)現(xiàn)符號的規(guī)律，從而求解．
【詳解】規(guī)律是：從第三個數(shù)開始往后，每一個數(shù)的絕對值是前兩個數(shù)絕對值的和，數(shù)所站位置數(shù)字被3除，余數(shù)為1的時候，此位置的數(shù)的符號為負(fù)，其余的數(shù)的符號為正，
故第10個數(shù)為，
第11個數(shù)為，
第12個數(shù)為，
∵第1個到第11個的和為，
第1個到第12個的和為，
故第前12個數(shù)的和首次超過100，
故答案為：12．
【例1-2】答案：(1) (2)
解析：(1)觀察數(shù)字，可以得出以下規(guī)律:偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，分子為項(xiàng)數(shù)，分母為項(xiàng)數(shù)加1，所以第10個數(shù)是;奇數(shù)項(xiàng)為正，分子為1，分母為項(xiàng)數(shù)加1，所以第15個數(shù)是;
(2)由(1)中總結(jié)的規(guī)律可知偶數(shù)項(xiàng)為負(fù)，分子為項(xiàng)數(shù)，分母為項(xiàng)數(shù)加1，所以第2018個數(shù)是.
【例1-3】有一列數(shù)，，，，，…，則第個數(shù)是 ．
【答案】
【分析】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，第1個數(shù)的分子是，分母為，第2個數(shù)的分子為1，分母為，第3個數(shù)的分子為，分母為，可得第n個數(shù)的分子與分母．
【詳解】解：根據(jù)已知條件找規(guī)律可得，第n個數(shù)的分子為，分母為，
∴第n個數(shù)應(yīng)是，
故答案為：．
針對練習(xí)1
1．已知一列數(shù)，它們滿足關(guān)系式，當(dāng)時，則（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了數(shù)字的變化規(guī)律，根據(jù)題目所給的關(guān)系式，先得出前幾個數(shù)，總結(jié)出一般規(guī)律每3個數(shù)為以組，每組按照的順序循環(huán)，即可解答．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
∴，
，
……
∴每3個數(shù)為以組，每組按照的順序循環(huán)，
∵，
∴為第674組第3個數(shù)，
∴，
故選：D．
2．按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：，，，…，則第個單項(xiàng)式是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題主要考查數(shù)字的變化規(guī)律，解答的關(guān)鍵是根據(jù)所給的式子得出變化規(guī)律．符號、系數(shù)和字母的指數(shù)部分分別找規(guī)律，符號規(guī)律為，系數(shù)規(guī)律為，字母的指數(shù)規(guī)律為，進(jìn)而可以得出第個單項(xiàng)式．
【詳解】解：第個單項(xiàng)式是：，
第個單項(xiàng)式是：，
第3個單項(xiàng)式是：，
…，
第個單項(xiàng)式是：，
則第7個單項(xiàng)式是：，
故選：B．
3．按一般規(guī)律排列的一列數(shù)依次為：，，，，，……，按此規(guī)律排列下去，這列數(shù)中的第個數(shù)是 ．
【答案】
【分析】本題考查了數(shù)字的變化類，通過觀察，分析，歸納，發(fā)現(xiàn)數(shù)字的變化規(guī)律，是解答本題的關(guān)鍵．
根據(jù)觀察，分子的規(guī)律：分子是常數(shù)項(xiàng)；分母的規(guī)律：第奇數(shù)項(xiàng)的分母為：，第偶數(shù)項(xiàng)的分母為：，由此得到答案．
【詳解】解：根據(jù)題意得：
一列數(shù)依次為：，，，，，……，
分子的規(guī)律：分子是常數(shù)項(xiàng)；
分母的規(guī)律：第個數(shù)的分母是：，
第個數(shù)的分母是：，
第個數(shù)的分母是：，
第個數(shù)的分母是：，
第個數(shù)的分母是：，
第個數(shù)的分母是：，
第奇數(shù)項(xiàng)的分母為：，
第偶數(shù)項(xiàng)的分母為：，
這列數(shù)中的第個數(shù)是：，
故答案為：．
類型二，整式的規(guī)律
整式排列的規(guī)律可以從三個方面分析：
符號
系數(shù)的絕對值
指數(shù)
系數(shù)、指數(shù)通常按“勻增加”、“成倍增加”的規(guī)律變化
【例2-1】按一定規(guī)律排列的單項(xiàng)式：，，，，.則按此規(guī)律排列的第n個單項(xiàng)式為_______.（用含有n的代數(shù)式表示）
答案：
解析：5a系數(shù)為，次數(shù)為1；
系數(shù)為，次數(shù)為2；
系數(shù)為，次數(shù)為3；
系數(shù)為，次數(shù)為4；
第n個單項(xiàng)式的系數(shù)可表示為：，字母a的次數(shù)可表示為：n，
第n個單項(xiàng)式為：.
【例2-2】一組按規(guī)律排列的代數(shù)式：，，，，…，則第n個式子是___________.
答案：
解析：解：當(dāng)n為奇數(shù)時，；
當(dāng)n為偶數(shù)時，，
第n個式子是：.
故答案為：
【例2-3】給定下面一列分式:，…(其中)
1.把任意一個分式除以前面一個分式，你發(fā)現(xiàn)了什么規(guī)律？
2.根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，試寫出給定的那列分式中的第2019個分式.
答案：1.第二個分式除以第一個分式得，第三個分式除以第二個分式得，
同理，第四個分式除以第三個分式也是，故規(guī)律是任意一個分式除以前面一個分式恒等于.
2.由1可知該第2019個分式應(yīng)該是.
【例2-4】一組按規(guī)律排列的式子:則第n個式子是(用含n的式子表示，n為正整數(shù))( )
B. C. D.
答案：B
解析：因?yàn)樗缘趎個式子是.故選B.
針對練習(xí)2
1、依次排列的兩個整式a，b，將第1個整式乘以2再減去第2個整式，稱為第1次操作，得到第3個整式；將第2個整式乘以2再減去第3個整式，稱為第2次操作，得到第4個整式；將第3個整式乘以2再減去第4個整式，稱為第3次操作，得到第5個整式，以此類推，下列4個說法，其中正確的結(jié)論有( )
①第7個整式為
②第34個整式中a系數(shù)的絕對值比b系數(shù)的絕對值大1
③第11個整式與12個整式所有系數(shù)的絕對值之和為1024
④若，則第2023次操作完成后，所有整式之和為2025
A.1個 B.2個 C.3個 D.4個
答案：B
解析：①第1個整式：a，
第2個整式：b，
第3個整式：，
第4個整式：，
第5個整式：，
第6個整式：，
第7個整式：，
故①符合題意；
②由①可知，當(dāng)n是奇數(shù)時，a的系數(shù)比b的系數(shù)大1，當(dāng)n是偶數(shù)時，b的系數(shù)比a的系數(shù)大1，
第34個整式中a系數(shù)的絕對值比b系數(shù)的絕對值大1，
故②符合題意；
③第1個整式和第2個整式的系數(shù)和是2，
第3個整式和第4個整式的系數(shù)和是，
第5個整式和第6個整式的系數(shù)和是，
……
第11個整式和第12個整式的系數(shù)和是，
故③不符合題意；
④第2023次操作完成后，得到第2027個等式，
（其中1012個，1015個1）
故④不符合題意；
故選：B.
2、有依次排列的兩個整式:, 對任意相鄰的兩個整式, 都用右邊的整式減去左邊的整式, 所得之差 寫在這兩個整式之間, 可以產(chǎn)生一個新整式串, 這稱為第一次操作; 將第一次操作后的整式 串按上述方式再做一次操作, 可以得到第二次操作后的整式串 以此類推. 通過實(shí)際操作, 得出以 下結(jié)論：
①第二次操作后的整式串為:x,,3,x,;
②當(dāng) 時,第二次操作后所有整式的積為正數(shù);
③第四次操作后的整式串中共有 19 個整式;
④第 2023 次操作后,所有的整式的和為.
四個結(jié)論中正確的有( )
A. ①②④ B. ①④ C. ①②③ D. ②③④
答案：B
解析： 第一次操作后的整式串為,
第二次操作后的整式串為, 即, 故結(jié)論①正確;，，, 即, , 即當(dāng) 時, 第二次操作后所有 整式的積為非負(fù)數(shù), 故結(jié)論②錯誤; 第二次操作后的 整式串中有 5 個整式, 第三次操作后的整式串中整式 有 (個), 第四次操作后的整式串中整式有 (個), 故結(jié)論③錯誤; 第一次操作后所有整式 的和為, 第二次操作后所有整式 的和為, 第三次操 作后所有整式的和為，, 第 n次操作后所 有整式的和為 ， 第 2023 次操作后, 所 有的整式的和為, 故結(jié) 論④正確. 正確的結(jié)論有①④, 故選 B.
3、按一定規(guī)律排列的代數(shù)式：，，，，…，則第n個代數(shù)式是( )
A. B. C. D.
答案：D
解析：，，，，…，第n個代數(shù)式是.
4、觀察給定的分式:,…,猜想并探索規(guī)律,第n個分式是______.
、答案：
解析：∵，，，
∴第n個分式是
類型三、圖形的排列規(guī)律
圖形排列規(guī)律問題，實(shí)質(zhì)也是整式排列的規(guī)律問題，將圖形中相關(guān)的數(shù)據(jù)用含項(xiàng)數(shù)字母的整式表示出來，最后看看這些排列有怎樣的規(guī)律，再根據(jù)所推導(dǎo)的規(guī)律解題。
【例3-1】觀察下列圖形：它們是按一定規(guī)律排列的，依此規(guī)律，第6個圖形共有 ．

【答案】16
【分析】將每一個圖案分成兩部分，最下面位置處的3個與上面中間1個不變，上面兩側(cè)每一個圖形比前一個圖形多2個，根據(jù)此規(guī)律找出第n個圖形中★的個數(shù)的關(guān)系式，然后把代入計(jì)算即可．
【詳解】解：觀察發(fā)現(xiàn)，
第1個圖形★的個數(shù)是，，
第2個圖形★的個數(shù)是，，
第3個圖形★的個數(shù)是，，
…，
依此類推，第n個圖形★的個數(shù)是，，
故當(dāng)時，．
故答案為：16．
【點(diǎn)睛】本題主要考查了圖形變化規(guī)律問題，把★分成兩部分進(jìn)行考慮，并找出第n個圖形★的個數(shù)的表達(dá)式是解題的關(guān)鍵．
【例3-2】觀察圖，解答下列問題．
(1)圖中的小圓圈被折線隔開分成六層，第一層有1個小圓圈，第二層有3個圓圈，第三層有5個圓圈，…，第六層有11個圓圈．如果要你繼續(xù)畫下去，第n層有______個圓圈．
(2)某層上有67個圓圈，這是第______層．
(3)數(shù)圖中的圓圈個數(shù)可以有多種不同的方法．
比如：前兩層的圓圈個數(shù)和或，由此得，．同樣，
由前三層的圓圈個數(shù)和得：．
由前四層的圓圈個數(shù)和得：．
由前五層的圓圈個數(shù)和得：．
請你猜測，從1開始的n個連續(xù)奇數(shù)之和是多少？用公式把它表示出來______．
(4)計(jì)算：的和；
(5)計(jì)算：的和．
【答案】(1)
(2)34
(3)
(4)40000
(5)37500
【分析】此題主要考查了圖形的變化類；
（1）根據(jù)已知數(shù)據(jù)即可得出每一層小圓圈個數(shù)是連續(xù)的奇數(shù)，進(jìn)而得出答案；
（2）利用（1）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律得出答案即可；
（3）利用已知數(shù)據(jù)得出答案即可；
（4）利用（3）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律得出答案即可；
（5）利用（3）中發(fā)現(xiàn)的規(guī)律得出答案即可．
【詳解】（1）解：第一層有1個小圓圈，
第二層有3個圓圈，
第三層有5個圓圈，
…，
依此規(guī)律：每一層小圓圈個數(shù)是連續(xù)的奇數(shù)，
第n層有個小圓圈；
故答案為：；
（2）解：令，
解得：，
這是第34層，
故答案為：34；
（3）解：前一層的圓圈個數(shù)和得：，
前兩層的圓圈個數(shù)和得：，
由前三層的圓圈個數(shù)和得：，
由前四層的圓圈個數(shù)和得：，
由前五層的圓圈個數(shù)和得：，
，
從1開始的n個連續(xù)奇數(shù)之和是，
用公式表示為：；
（4）解：；
（5）解：
．
【例3-3】如圖是我國古代窗格的一部分，其中“〇”代表窗紙上所貼的剪紙．圖1中所貼剪紙“O”為5個，圖2中所貼剪紙“O”為8個，圖3中所貼剪紙“〇”為11個，…，以此類推．

(1)求圖4和圖10中所貼剪紙“〇”的個數(shù)；
(2)第n個圖中所貼剪紙“〇”的個數(shù)．
【答案】(1)14，32
(2)
【分析】本題主要考查觀察圖形找規(guī)律，
（1）通過觀察圖形發(fā)現(xiàn)，后一個圖形比前一個圖形多3個剪紙“〇”，從第一個開始遞推到第四個，根據(jù)規(guī)律可寫出第十個；
（2）根據(jù)第一問寫出第n個圖形的剪紙“〇”的表達(dá)式．
【詳解】（1）解：第一個圖案為個“〇”；
第二個圖案為個“〇”；
第三個圖案為個“〇”；
第4個圖，案為個“〇”；
第10個圖案為個“〇”；
根據(jù)第一問的規(guī)律可得，第n個圖案所貼剪紙“〇”數(shù)為個．
【例3-4】如圖是一組有規(guī)律的圖案,第個圖案由個▲組成,第個圖案由個▲組成,第個圖案由個▲組成,第個圖案由個▲組成,……,則第 (為正整數(shù))個圖案由_____個▲組成。
答案：
解析：觀察發(fā)現(xiàn):第一個圖形有個三角形;
第二個圖形有個三角形;
第一個圖形有個三角形;
…
第個圖形有個三角形
針對練習(xí)3
1．如圖，由等圓組成的一組圖中，第1個圖由1個圓組成，第2個圖由7個圓組成，第3個圖由19個圓組成，，按照這樣的規(guī)律排列下去，則第個圖形由( )個圓組成．
A．37 B．61 C．91 D．127
【答案】C
【分析】本題考查了圖形的變化類問題，所構(gòu)成的圖形是軸對稱圖形，沿中間的一排分開，兩邊對稱，最上邊的一行是個圓，下面一排比上邊的一排多一個，直到中間的一排，中間的一排是個．中間的下邊的每排依次減少．
【詳解】解：最上邊的一排是，第二排是，第三排是，，第排是；
第排以下，各排的個數(shù)分別是，，．
則第個圖形的圓的個數(shù)是：
．
當(dāng)時，，
故選：C．
2．如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由邊長相同的灰白兩種顏色的小正方形組成的，按照這樣的規(guī)律，若組成的圖案中有個灰色小正方形，則這個圖案是（ ）
A．第個 B．第個 C．第個 D．第個
【答案】B
【分析】本題考查了規(guī)律型，圖形變化類，根據(jù)圖形的變化尋找規(guī)律，總結(jié)規(guī)律，運(yùn)用規(guī)律，是解答本題的關(guān)鍵．
根據(jù)圖形變化發(fā)現(xiàn)規(guī)律，第個圖案中，涂有陰影的小正方形個數(shù)為：，求出組成的圖案中有個灰色小正方形時圖案的個數(shù)，由此得到答案．
【詳解】解：根據(jù)題意，觀察圖形的變化可知：
第個圖案中，涂有陰影的小正方形個數(shù)為：；
第個圖案中，涂有陰影的小正方形個數(shù)為：；
第個圖案中，涂有陰影的小正方形個數(shù)為：；
第個圖案中，涂有陰影的小正方形個數(shù)為：，
若組成的圖案中有個灰色小正方形，
則，
解得：，
故選：．
3．如圖是一組有規(guī)律的圖案，它們是由大小相同的五角星組合而成，第1個圖案中有4個五角星，第2個圖案中有7個五角星，第3個圖案中有10個五角星……按照此規(guī)律擺下去，第20個圖案中有 個五角星．
【答案】61
【分析】本題考查圖形的變化規(guī)律，根據(jù)圖形的排列、歸納圖形的變化規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．由圖形可知第1個圖案有個三角形，第2個圖案有個三角形，第3個圖案有個三角形...依此類推即可解答．
【詳解】解：由圖形可知：
第1個圖案有個三角形，
第2個圖案有個三角形，
第3個圖案有個三角形，
...
第n個圖案有個三角形，
∴第20個圖案中有（個）．
故答案為：61．
4．觀察下列一組圖形中的個數(shù)，其中第1個圖中共有4個點(diǎn)，第2個圖中共有10個點(diǎn)，第3個圖中共有19個點(diǎn)，……，按此規(guī)律第2022個圖中共有點(diǎn)的個數(shù)是( )
【答案】6135760
【分析】本題考查了圖形中數(shù)字的規(guī)律，利用枚舉法，找到規(guī)律，一般化后代入計(jì)算即可．
【詳解】根據(jù)題意，得
第1個圖形中的點(diǎn)數(shù)為，
第2個圖形中的點(diǎn)數(shù)為，
第3個圖形中的點(diǎn)數(shù)為，
第n個圖形中的點(diǎn)數(shù)為，
故當(dāng)時，原式，
故答案為：．
5．觀察并找出圖形變化的規(guī)律，則第2023個圖形中黑色正方形的數(shù)量是 ．
【答案】3035
【分析】本題主要考查了圖形規(guī)律變化類問題，解決這類問題的基本思路是：仔細(xì)地觀察圖形并正確地找到規(guī)律，利用所得的規(guī)律解決問題．根據(jù)圖形找出規(guī)律：當(dāng)n為偶數(shù)時，第n個圖形中黑色正方形的數(shù)量為（）個；當(dāng)n為奇數(shù)時，第n個圖形中黑色正方形的數(shù)量為（）個；然后算出第2023個圖形中黑色正方形的數(shù)量即可．
【詳解】解：觀察圖形可得，當(dāng)n為偶數(shù)時，第n個圖形中黑色正方形的數(shù)量為（）個；當(dāng)n為奇數(shù)時，第n個圖形中黑色正方形的數(shù)量為（）個，
∴當(dāng)時，黑色正方形的個數(shù)為：（個）．
故答案為：3035．
類型四、算式規(guī)律
一般是先寫出算式的基本結(jié)構(gòu)，然后通過橫比(比較同一等式中不同部分的數(shù)量關(guān)系)或縱比(比較不同等式間相同位置的數(shù)量關(guān)系)找出各部分的特征，改寫成要求的格式．
【例4-1】觀察下列等式：；；；
；…
(1)根據(jù)上述規(guī)律，可以得出 ＝ ．
(2)請直接用一個含有n（n為正整數(shù)）的等式表示這個規(guī)律．
(3)根據(jù)你發(fā)現(xiàn)的規(guī)律，計(jì)算下面算式的值：．
【答案】(1)；
(2)
(3)
【分析】本題考查數(shù)字的變化類、有理數(shù)的混合運(yùn)算、列代數(shù)式；
（1）根據(jù)題目中的等式，可以計(jì)算出的值；
（2）根據(jù)題目中的等式，可以發(fā)現(xiàn)結(jié)果的分母都是6，分子的第一個數(shù)字和這是第幾個等式對應(yīng)的數(shù)字一樣，第二數(shù)字比第一個數(shù)字大1，第三個數(shù)字是(2n+1)，這里的n和第幾個式子對應(yīng)的數(shù)字相同，從而可以寫出第n個等式；
（3）根據(jù)題目中式子，可以得到，然后計(jì)算即可解答本題．
【詳解】（1），
故答案為：，．
（2）解：∵；；；
；…
∴第個算式是；
（3）解：
．
【例4-2】觀察下列兩組等式：
①
②
(1)根據(jù)你的觀察，先寫出猜想：
①_____________
②_____________
(2)然后，用簡便方法計(jì)算下列各題：
①
②若有理數(shù)滿足，試求：
的值
【答案】(1)①；②
(2)① ②
【分析】本題考查了有理數(shù)的運(yùn)算、代數(shù)式求值以及數(shù)字類規(guī)律探求；
（1）①根據(jù)已知的式子得出規(guī)律解答即可；②根據(jù)已知的式子得出規(guī)律解答即可；
（2）①利用（1）中規(guī)律展開運(yùn)算即可；②先根據(jù)非負(fù)數(shù)的性質(zhì)求出a、b，再根據(jù)（1）的規(guī)律解答即可．
屬于常見題型，找到規(guī)律并正確運(yùn)用規(guī)律是解題的關(guān)鍵.
【詳解】（1）解：①因?yàn)椋?br/>所以；
故答案為：；
②因?yàn)椋?br/>所以；
故答案為：；
（2）①解：
；
②解：∵，，
∴，
∴，
∴
.
【例4-3】觀察下列等式，探究其中的規(guī)律并解答問題：
．
……
(1)第4個等式中，______；
(2)第n個等式為：______（其中n為正整數(shù)）．
【答案】(1)7
(2)
【分析】本題考查數(shù)字類規(guī)律探究；
（1）根據(jù)前三個式子得出規(guī)律：結(jié)果是奇數(shù)的平方即可解答；
（2）根據(jù)前三個式子的規(guī)律：每一行的第一個數(shù)是行數(shù)，后面是奇數(shù)個連續(xù)整數(shù)的和，右邊是奇數(shù)的平方，據(jù)此即可寫出結(jié)果；
理解題意，找到等式的規(guī)律是解答的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：由前三個等式知，第4個等式為：，
∴，
故答案為：7；
（2）解：由所給等式可知，
第n個等式為：，
故答案為：．
【例4-4】觀察以下等式：
第1個等式：，
第2個等式：，
第3個等式：，
第4個等式：，
第5個等式：，
……
按照以上規(guī)律，解決下列問題：
（1）寫出第6個等式；
（2）寫出你猜想的第n個等式(用含n的等式表示），并說明理由.
答案：（1）
（2）
證明：左邊
右邊=1
∴左邊=右邊
∴原等式成立
解析：（1）根據(jù)已知規(guī)律，第6個等式分母為6和7,分子分別為1和5，
故應(yīng)填.
（2）根據(jù)題意，第n個等式分母為n和.分子分別為1和，
故應(yīng)填.
理由如下：
所以等式成立.
針對練習(xí)4
1．觀察下列等式：
……
探究：直接寫出第個等式為 ．
【答案】
【分析】根據(jù)前4個等式，找到規(guī)律，左邊為，等式的右邊連續(xù)的奇數(shù)的平方，據(jù)此即可求解．
【詳解】解：
……
第個等式為
故答案為：．
2．下列是一些兩位數(shù)減法運(yùn)算：
，
觀察上述算式及其計(jì)算結(jié)果，對兩位數(shù)減法運(yùn)算中的某種特殊情形進(jìn)行探究：
（1）請另外寫出一個符合上述規(guī)律的算式： ；
（2）用字母表示你所觀察到的規(guī)律 ．
【答案】 （答案不唯一）
【分析】本題考查了兩位數(shù)的表示法，及其交換數(shù)位數(shù)字后新舊兩位數(shù)的差，
（1）根據(jù)題意找一個兩位數(shù)并將其個位與十位交換后做差即可；
（2）根據(jù)兩位數(shù)的表示法，計(jì)算原來的兩位數(shù)與交換十位數(shù)字和個位數(shù)字得到新兩位數(shù)的差即可
【詳解】解：（1），
（2）
3．觀察下列各式，回答問題：
第一個等式：
第二個等式：
第三個等式：
(1)猜想并寫出：第n個等式為__________________（n為正整數(shù)）；
(2)請直接寫出下列各式的計(jì)算結(jié)果：
①________________；
②__________________；
(3)探究并計(jì)算：的值．
【答案】(1)
(2)①；②
(3)
【分析】本題考查了數(shù)字的變化類：
（1）根據(jù)題中的拆項(xiàng)規(guī)則求解；
（2）先把每一項(xiàng)都拆成兩項(xiàng)，再把相反數(shù)結(jié)合求解；
（3）先把每一項(xiàng)都拆成兩項(xiàng)，再把相反數(shù)結(jié)合求解．
【詳解】（1）解：根據(jù)題意得：第n個等式為；
故答案為：
（2）解：①
；
②
；
（3）解：
．
4．①．
②．
③．
④．…
(1)根據(jù)上述式子所呈現(xiàn)的規(guī)律，請寫出第n個等式：　　；
(2)按（1）中的規(guī)律計(jì)算：
①；
②．
【答案】(1)
(2)①240；②540
【分析】（1）根據(jù)題中的等式，找到規(guī)律，用字母表示即可；發(fā)現(xiàn)數(shù)字間的規(guī)律是解題的關(guān)鍵；
（2）①直接運(yùn)用（1）所得的規(guī)律是解題的關(guān)鍵；②將原式寫成，再根據(jù)（1）中等式計(jì)算即可．理解（1）所得的規(guī)律是解題的關(guān)鍵．
【詳解】（1）解：第n個等式：．
故答案為：．
（2）解：①
=
．
②
．
5．小明同學(xué)平時愛好數(shù)學(xué)，他探索發(fā)現(xiàn)了：從2開始，連續(xù)的幾個偶數(shù)相加，如表所示：
加數(shù)的個數(shù)n 連續(xù)偶數(shù)的和S
1
2
3
4
5
請你根據(jù)表中提供的規(guī)律解答下列問題：
(1)如果時，那么S的值為 　　；
(2)根據(jù)表中的規(guī)律猜想：用字母n的式子表示S，則　　；
(3)利用上題的猜想結(jié)果，計(jì)算的值（要有計(jì)算過程）．
【答案】(1)72
(2)
(3)990900
【分析】本題主要考查數(shù)字規(guī)律類問題，解題的關(guān)鍵是理解題意；
（1）根據(jù)表中的規(guī)律發(fā)現(xiàn)：第n個式子的和是，把代入求得數(shù)值即可；
（2）根據(jù)特殊的式子即可發(fā)現(xiàn)規(guī)律；
（3）結(jié)合上述規(guī)律，只需加上再減去即可計(jì)算．
【詳解】（1）解：當(dāng)時，那么；
故答案為：72；
（2）解：∵，
，
，
，
∴；
（3）解：
．
類型五、綜合性問題
【例5-1】綜合與實(shí)踐
【問題情境】數(shù)形結(jié)合是解決數(shù)學(xué)問題的一種重要思想，有時我們可以借助圖形的直觀性研究數(shù)之間的某種關(guān)系．?dāng)?shù)學(xué)課上數(shù)學(xué)老師組織同學(xué)們以探究“？”為主題開展數(shù)學(xué)活動．
【實(shí)踐探究】小明所在這個數(shù)學(xué)小組想到了用圖形來幫忙解決這個問題，解決方法如下：
； ；
．
【問題解決】
（1）請你觀察上面圖形和式子填空：
______；
（2）根據(jù)以上分析，他們得出“？”的計(jì)算方法為______（用含的代數(shù)式表示，為正整數(shù)）
（3）利用上述結(jié)論計(jì)算：．
【拓展延伸】
計(jì)算：．
【答案】【問題解決】（1）；（2）；（3）；【拓展延伸】．
【分析】本題考查了新定義運(yùn)算以及有理數(shù)的混合運(yùn)算，
（1）根據(jù)題干的新定義運(yùn)算法則，代入計(jì)算，即可作答．
（2）根據(jù)（1）的現(xiàn)有式子，總結(jié)，即可作答．
（3）比較（2），此時，代入計(jì)算即可；
拓展延伸：先把整理得，再對括號內(nèi)的式子進(jìn)行整理，即可作答．
正確掌握相關(guān)性質(zhì)內(nèi)容是解題的關(guān)鍵．
【詳解】解：（1）依題意：
；
故答案為：．
（2）因?yàn)?br/> ；
；
；
；
，
故答案為：；
（3）結(jié)合，
把代入，
即
，
拓展延伸：依題意，
．
【例5-2】探索規(guī)律．
(1)觀察上面的各圖形，我們會發(fā)現(xiàn)：
圖①空白部分小正方形的個數(shù)是，
圖②空白部分小正方形的個數(shù)是，
圖③空白部分小正方形的個數(shù)是____________；
(2)像這樣繼續(xù)排列下去請你再寫出一道算式：______，
你會發(fā)現(xiàn)這些算式存在一個規(guī)律：
請歸納______（用含有字母的算式表示，其中為正整數(shù)）；
(3)運(yùn)用這個規(guī)律計(jì)算：．
【答案】(1)
(2)（答案不唯一）；
(3)
【分析】本題考查了圖形規(guī)律，觀察圖形的變化規(guī)律將圖形的變化規(guī)律轉(zhuǎn)化為數(shù)字規(guī)律是解題關(guān)鍵，再由數(shù)字規(guī)律求解即可．空白部分小正方形的個數(shù)等于大正方形的邊長個數(shù)加陰影部分正方形的邊長個數(shù)．
【詳解】（1）解：；
（2）（答案不唯一）；
規(guī)律為：，為正整數(shù)；
（3）
．
針對練習(xí)5
1．觀察下面的點(diǎn)陣圖和相應(yīng)的等式，探究其中的規(guī)律：
(1)在④后面的橫線上寫出相應(yīng)的等式；
①；②；③；④ ；
(2)試用含有n的式子表示這一規(guī)律： ；（為正整數(shù)）
(3)請計(jì)算：．
【答案】(1)
(2)
(3)
【分析】本題考查了圖形的變化類問題，仔細(xì)觀察圖形和算式找到規(guī)律是解答本題的關(guān)鍵．
（1）根據(jù)圖形結(jié)合算式規(guī)律直接得到第個圖案所代表的算式為：，得到答案；
（2）根據(jù)圖形結(jié)合算式規(guī)律可以找到一般規(guī)律：第個圖案所代表的算式為：，寫出答案．
（3）根據(jù)（2）得出的一般規(guī)律，將，寫成即即可得到答案．
【詳解】（1）解：由已知可知：
第個圖案所代表的算式為：；
第個圖案所代表的算式為：；
第個圖案所代表的算式為：；
第個圖案所代表的算式為：；
（2）由已知可知：
第個圖案所代表的算式為：；
第個圖案所代表的算式為：；
第個圖案所代表的算式為：；
第個圖案所代表的算式為：；
以此類推：
第個圖案所代表的算式為：．
故答案為：．
（3）根據(jù)（2）得出的一般規(guī)律，
，
，
，
．
2．探索規(guī)律．
(1)觀察上面的圖，發(fā)現(xiàn)：
圖①空白部分小正方形的個數(shù)是
圖②空白部分小正方形的個數(shù)是
圖③空白部分小正方形的個數(shù)是______＋______．
(2)像這樣繼續(xù)排列下去，你會發(fā)現(xiàn)一些有趣的規(guī)律，請你再寫出一道算式：______．
(3)運(yùn)用規(guī)律計(jì)算：．
【答案】(1)
(2)（答案不唯一）
(3)
【分析】本題考查圖形類規(guī)律探究；
（1）結(jié)合圖形，進(jìn)行作答即可；
（2）根據(jù)已有的等式得到，寫出一道算式即可；
（3）先運(yùn)用規(guī)律，計(jì)算括號內(nèi)，再進(jìn)行除法計(jì)算即可．
【詳解】（1）解：圖③空白部分小正方形的個數(shù)是；
故答案為：；
（2）由：，，， ，可得：
，
則：再寫出一道算式可以為：；（答案不唯一）；
故答案為：（答案不唯一）；
（3）
．
3．用邊長為1的兩種不同顏色的正方形紙片，按下圖方式拼正方形．
第（1）個圖形用了1張正方形紙片；
第（2）個圖形用了張正方形紙片；
第（3）個圖形用了張正方形紙片；
第（4）個圖形用了張正方形紙片；……
(1)由此可得：______(用含n的式子表示)；
(2)完成下列問題：
①直接寫出的計(jì)算結(jié)果是______；
②計(jì)算的結(jié)果．
【答案】(1)
(2)①；②
【分析】本題考查了規(guī)律型之圖形的變化類，關(guān)鍵是發(fā)現(xiàn)變化規(guī)律并靈活運(yùn)用．
（1）觀察圖形的變化可得規(guī)律，根據(jù)發(fā)現(xiàn)的規(guī)律即可猜想的值；
（2）①根據(jù)（1）中的規(guī)律即可求解；
②根據(jù)（1）中的規(guī)律和①的結(jié)果，即可求得的值．
【詳解】（1）解：第（1）個圖形中有1個正方形；
第（2）個圖形有個小正方形；
第（3）個圖形有個小正方形；
第（4）個圖形有小正方形；
；
故答案為：；
（2）①
；
故答案為：
②
，
．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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