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2008年高考圓錐曲線易錯點分析
河北省井陘一中備課組長 梁彥庭
一.用判別式不全面或沒有用判別式致錯
例1.實數為何值時，圓與拋物線有兩個公共點。
錯解：將圓與拋物線 聯立，消去，
得 ①
因為有兩個公共點，所以方程①有兩個相等正根，得 ， 解之得
失分會診：如圖，顯然，當時，圓與拋物線有兩個公共點。
要使圓與拋物線有兩個交點的充要條件是方程①有一正根、一負根；或有兩個相等正根。
當方程①有一正根、一負根時，得解之，得
因此，當或時，圓與拋物線有兩個公共點。
例2.已知雙曲線，過P(1,1)能否作一條直線L與雙曲線交于A、B兩點，且P為AB中點。
錯解：（1）過點P且與x軸垂直的直線顯然不符合要求。
（2）設過P的直線方程為，代入并整理得：
∴，又∵ ∴
解之得：k=2，故直線方程為：y=2x-1,即直線是存在的。
失分會診：本題的問題在于沒有考慮隱含條件“Δ>0”，當k=2時代入方程可知Δ<0，故這樣的直線不存在。所以，我們在使用一元二次方程的根與系數的關系必需要注意檢驗根的判別式是否成立。
例3 .過點的直線交拋物線于
A、B兩點，求以OA、OB鄰邊的平行四邊形OAMB
的頂點M的軌跡方程。
錯解：設，
直線的方程為。與拋物線方程
聯立消去得：
（1）
由韋達定理有
∴
又在平行四邊形OAMB中，AB中點即為OM中點。
∴
消去即得：，此即點M的軌跡方程。
失分會診：直線與拋物線交于不同兩點的前提條件是△>0，即在（1）中，
△
∴ 代入即得或
故M點的軌跡方程為 （或）。
例4.求過點的直線，使它與拋物線僅有一個交點。
錯解：設所求的過點的直線為，則它與拋物線的交點為
，消去得整理得
直線與拋物線僅有一個交點，解得所求直線為
失分會診： 此處解法共有三處錯誤：1.設所求直線為時，沒有考慮與斜率不存在的情形，實際上就是承認了該直線的斜率是存在的，且不為零，這是不嚴密的;
2.題中要求直線與拋物線只有一個交點，它包含相交和相切兩種情況，而上述解法沒有考慮相切的情況，只考慮相交的情況。原因是對于直線與拋物線“相切”和“只有一個交點”的關系理解不透;3.將直線方程與拋物線方程聯立后得一個一元二次方程，要考慮它的判別式，所以它的二次項系數不能為零，即而上述解法沒作考慮，表現出思維不嚴密。
正確解法 1.當所求直線斜率不存在時，即直線垂直軸，因為過點，所以即軸，它正好與拋物線相切。
2.當所求直線斜率為零時，直線為y = 1平行軸，它正好與拋物線只有一個交點。
3.一般地，設所求的過點的直線為,則，
令解得k = ,∴ 所求直線為
綜上，滿足條件的直線為：
二.沒有考慮是不是標準方程致錯
例5.已知雙曲線的右準線為，右焦點,離心率,求雙曲線方程。
錯解1 故所求的雙曲線方程為
錯解2 由焦點知
故所求的雙曲線方程為
失分會診：這兩個解法都是誤認為雙曲線的中心在原點，而題中并沒有告訴中心在原點這個條件。由于判斷錯誤，而造成解法錯誤。隨意增加、遺漏題設條件，都會產生錯誤解法。即此方程并不是標準方程，而我們把它當作了標準方程。正確的做法是利用雙曲線的第二定義來求出方程。由此看來，判斷準方程的類型是個關鍵。
正解1 設為雙曲線上任意一點，因為雙曲線的右準線為，右焦點，離心率，由雙曲線的定義知 整理得
正解2 依題意，設雙曲線的中心為,
則 解得 ,所以
故所求雙曲線方程為
三.主觀臆斷致錯
例6.如圖，具有公共軸的兩個直角坐標平面和所成的二面角等于.已知內的曲線的方程是，求曲線在內的射影的曲線方程。
錯解：依題意，可知曲線是拋物線，
在內的焦點坐標是
因為二面角等于，
且所以
設焦點在內的射影是，那么，位于軸上，
從而
所以所以點是所求射影的焦點。依題意，射影是一條拋物線，開口向右，頂點在原點。所以曲線在內的射影的曲線方程是
失分會診：上述解答錯誤的主要原因是，憑直觀誤認為F是射影(曲線)的焦點，其次，沒有證明默認C/在( 內的射影(曲線)是一條拋物線。
正確解法 在內，設點是曲線上任意一點
過點作，垂足為，
過作軸，垂足為連接，
則軸。所以是二面角
的平面角，依題意，.
在
又知軸（或與重合），
軸（或與重合），設，
則
因為點在曲線上，所以
即所求射影的方程為

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