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三角形性質小結
下面就三角形的邊、角、以及五心（外心、內心、重心、垂心、旁心）進行小結。
對于△ABC，BC=a，CA=b，AB=c；外接圓為⊙O，半徑為R；內切圓為⊙I，半徑為r。△ABC的面積記為S。再設△ABC的垂心為H，重心為G。
則：
（1）
（2）正弦定理：
證明：
方法一、由于
所以有
證畢。
方法二、如圖（1）；作△ABC外接圓⊙O的直徑BD，連接CD。


同理有
得證。
證畢。
方法三、如圖（2）；作的單位向量，再過A作單位向量，使


同理有
于是
證畢。
上述三種方法對于鈍角、直角三角形也成立。證明過程略。
（3）余弦定理：
證明：
方法一、如圖（3）；
即
亦即
同理有
方法二、如圖（4）；作出AB邊上的高CD，垂足為D。
設
則△ADC中，△BDC中
于是有
解得
所以

于是有
同理有
（4）射影定理：
作出各邊上的高，易得：
（5）記O為△ABC的外心，有
（證明略）
（6）設AG、BG、CG的延長線交BC、CA、AB于D、E、F。則：
（證明略）
（7）記則：
………………………………………………………⑴
…………………………⑵
…………………………………………………⑶
下面僅證明（1）和（3）式。
先證（1）式：
如圖（5），記△IBC，△ICA，△IAB的面積分別為則
證畢。
再證明（3）式。（3）式的證明方法很多，下面僅用一種方法證明。
證畢。
（8）歐拉定理：O、G、H三點共線，且
證明：
方法一、如圖（6）。作⊙O的直徑BF，連接AF、OD。則有


故OD∥AF。
于是△GCH∽△GDO。…………………………………………………………………（4）
有
所以O、C、H三點共線。
并且（4）知：
故
（9）（三角形（外）角平分線性質定理）設AD為△ABC的角A的角平分線（或角A的外角平分線），則有
證明：如圖（7）。
方法一、記△ABD、△ACD的面積分別為、
則有
故
方法二、設
因為B、D、C三點共線，應有

因此………………（5）
再設則
……（6）
由（5）（6）式得
。
得
故
（10）設A的旁切圓圓心M（角A的平分線與角B、C的外角平分線的交點），若BC與⊙M的切點為N。則
證明：如圖（8）。由切線長定理有：
…………………………………………………………（7）
并有
………………………………（8）
……………………………………（9）
聯立（7）（8）（9），得
（11）記G為△ABC的重心。則有
證明：如圖（9）。延長AG交BC于D，再延長GD到E，使DE=GD；連接BE、CE。
因為BD=CD，GD=DE，
所以四邊形GBEC為平行四邊形。
所以有
又
所以有
即
（12）設H為△ABC的垂心，則有
（證明從略）
（13）O、H分別為△ABC的外心、垂心。，則有
證明：如圖（10）。作直徑BD，再連接AH、CH、DC、AD。
則有DC⊥BC，AH⊥BC，于是有
DC∥AH；
又CH⊥AB，AD⊥AB，于是有
AD∥CH。
所以四邊形AHCD為平行四邊形。
于是有
證畢。
（14）I為△ABC的內心。有
證明：如圖（11），設AI的延長線交BC于D，連接IB、IC。
由性質（9）（三角形角平分線性質定理）有
故
即
……………………………………（10）
再由性質（9）中的第二種方法知
…………………………………（11）
把（11）代入（10）中有
……………（12）
同理有：
…………………………………（13）
聯立（12）（13），得
即
證畢。
（15）記M為△ABC的A的旁切圓的圓心，則有
證明：如圖（12）。延長BM、CM分別交AC、AB于E、F。
由性質（9）（三角形外角平分線性質定理）知
于是有
于是有
故
………………………（14）
同理有
……………………………（15）
由（14）（15）得：
即
亦即
證畢。
（16）設△ABC的外心、內心分別為O、I，且外接圓、內切圓的半徑分別為R、r。則
證明：如圖（13），延長CI交⊙O于N，連接AI、IN。
又
所以：
于是
由相交弦定理有
又
所以
故
證畢。
三角形性質的一些推論：
（1）平行四邊形的對角線平方和與四邊平方和相等。
證明：如圖（14），△ABC中，由余弦定理：
……………………………………………………（16）
△BCD中，由余弦定理：
……………………………………………………（17）
因為
故
證畢。
（2）平行六面體的對角線平方和等于十二條棱的平方和。
證明：如圖（15），
平行四邊形ACC1A1中，由推論（1）知：
（18）
同理：平行四邊形BDD1B1中，有：
（19）
而在平行四邊形ABCD中，有：
（20）
在平行四邊形A1B1C1D1中，有：
（21）
（18）+（19），并結合（20）（21），有：
證畢。
（3）△ABC的邊BC上的中線AD長為
　（帕普斯( Pappus) 定理( 中線公式)）
證明：如圖（16），延長AD到E，使DE=AD，連接BE，EC。
則四邊形ABEC為平行四邊形。
于是有
△ACE中，由余弦定理，有：
而
于是
故
證畢。
（此題的方法可以作為一種解決2005年湖北卷的第18題，原題如下：
在△ABC中，已知邊上的中線求的值。
在此，不給出答案了。）
（4）運用三角形性質小結中的第（13），可得2005年全國I卷中的第（15）題，原題如下：
的外接圓的圓心為O，兩條邊上的高的交點為H，，則實數m =
顯然答案是m=1。

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