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例談三角問題中的隱含條件
胡勤慶
隱含條件是指隱而不顯，含而不露的已知條件，它們常常巧妙地隱藏在題目的背后，極易被解題者忽視，從而造成錯解，解題時必須認真審題，仔細體會題設條件，聯想相關的概念，深刻思考，否則將會導致解題錯誤。下面結合實例談談三角問題中的隱含條件。
例1 如果k，k+1，k+2是鈍角三角形的三邊，求k的取值范圍。
錯解：因k+2是三角形的最大邊，所以它所對的角必為鈍角。由余弦定理得，解得0剖析：上述解題中未能應用“三角形任意兩邊之和大于第三邊”這一隱含條件。設k+2所對角為，則。
∴解得1例2 若、、均為銳角，且等于（ ）
A、 B、 C、 D、
錯解1：由條件，兩式平方相加可得、均為銳角，知，應選A。
錯解2：由、均為銳角，知，故選C。
剖析：上述解法都沒有真正利用、、均為銳角這一條件。注意到為銳角，，知條件中隱含著、均為銳角，，所以，從而正確結論為B。
例3 若的取值范圍是（ ）。
A、[1,5] B、[1,2] C、[] D、[1,+∞]
錯解1：由條件得
，所以選D。
錯解2：因為，所以，應選A。
剖析：錯解1忽視了正弦函數的有界性，錯解2雖然考慮了正弦函數的有界性，但沒注意到中隱含的條件。
∴ ，從而應選B。
例4 已知，求cosxsiny的取值范圍。
錯解1：設cosxsiny=t ①. sinxcosy= ②.
①+②得sinxcosy+cosxsiny=t+，即sin(x+y)=t+。
因.
∴ cosxsiny的取值范圍為。
錯解2：由①－②得，即sin(y－x)=t－。由。
∴ ，即cosxsiny的取值范圍為。
剖析：sinxcosy=和cosxsiny=t其實隱含著同時成立。可知cosxsiny的取值范圍為。
例5 在△ABC中，已知求cosC的值。
錯解：由，得，由，得。故。
剖析：錯解中忽視了“A+B+C=”這一隱含條件。
若，則A為鈍角。由，從而A+B>，與A+B+C=矛盾。
所以A不可能為鈍角，因此。

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