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專題3 正弦型函數的圖像和性質
【題型01 五點作圖法】
【題型02 正弦型函數的伸縮平移變換】
知識點一：五點法作圖
必備方法：五點法步驟
③
①
②
對于復合函數， 第一步：將看做一個整體，用五點法作圖列表時，分別令等于，，，，，對應的則取，，，，。，（如上表中，先列出序號①②兩行） 第二步：逆向解出（如上表中，序號③行。） 第三步：得到五個關鍵點為：，,,,
知識點二：三角函數圖象變換
參數,,對函數圖象的影響
1.對函數,的圖象的影響
2、()對函數圖象的影響
3、()對的圖象的影響
4、由的圖象變換得到(，)的圖象的兩種方法
知識點三：根據圖象求解析式
形如的解析式求法：
1、求法：
①觀察法：代表偏離平衡位置的最大距離；平衡位置.
②代數法：記的最大值為,最小值為；則：，聯立求解.
2、求法：通過觀察圖象，計算周期，利用公式，求出.
【題型01 五點作圖法】
【典例1】已知函數.
(1)試用“五點法”畫出它的圖象；
列表：
作圖：
(2)求它的振幅、周期和初相.
【答案】(1)答案見解析
(2)振幅為，周期，初相為
(1)列表如下：
0
0 2 0 0
描點連線并向左右兩邊分別擴展，得到如圖所示的函數圖象：
(2)由可知，振幅，初相為，
最小正周期.
【典例2】 用“五點法”作y＝2sin2x的圖象，首先描出的五個點的橫坐標是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據“五點法”作圖，只需令2x＝0，，π，，2π，即可解得答案.
【詳解】由“五點法”作圖知：令2x＝0，，π，，2π，
解得x＝0，，，，π，即為五個關鍵點的橫坐標，
故選：B.
【典例3】函數的最大值和最小正周期分別是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據正弦函數有界性得到最大值，根據求出最小正周期.
【詳解】因為，所以，
故最大值為3，
且最小正周期為.
故選：D
【題型02 伸縮平移變換】
【典例1】為了得到函數的圖象，只要把函數圖象上所有的點（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
【答案】D
【詳解】因為，所以把函數圖象上的所有點向右平移個單位長度即可得到函數的圖象．
故選：D.
【典例2】將函數的圖像上的所有點向右平移個單位，則所得的圖像的函數表達式為___________.
【答案】
【詳解】解：將函數的圖像上的所有點向右平移個單位，則所得的圖像的函數表達式為.
故答案為：
【題型03 正弦型函數的性質】
【典例1】函數是（ ）
A．最小正周期為的偶函數 B．最小正周期為的偶函數
C．最小正周期為的奇函數 D．最小正周期為的奇函數
【答案】D
【分析】根據正弦型函數的周期公式和奇函數的定義即得.
【詳解】由知其最小正周期為，函數的定義域為，由知函數是奇函數.
故選：D.
【典例2】已知函數，.
(1)求出該函數的最小正周期；
(2)求出該函數取最大值時自變量的取值范圍.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）使用最小正周期公式進行求解即可；
（2）由，，求出的取值范圍即可.
【詳解】（1）設函數，的最小正周期為，
則，
∴函數，的最小正周期為.
（2）令，，
解得，，
∴函數，取最大值時，自變量的取值集合為.
練 習
一、單選題
1．從函數的圖象來看，對應于的x有（ ）
A．1個值 B．2個值 C．3個值 D．4個值
【答案】B
【分析】作出函數的圖象，確定直線與圖象交點個數即可.
【詳解】函數的圖象，如圖：

觀察圖象知，直線與函數的圖象有兩個交點，
所以使的x有2個值.
故選：B
2．函數的最大值與最小值分別是（ ）
A．最大值是，最小值是 B．最大值是2，最小值是
C．最大值是，最小值是 D．最大值是2，最小值是
【答案】C
【分析】根據正弦函數的有界性可得.
【詳解】由正弦函數性質可知，，
所以，所以，
所以，函數的最大值是，最小值是.
故選：C
3．下列函數是偶函數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先得到函數的定義域，再利用函數的奇偶性得到答案.
【詳解】A選項，的定義域為R，
且，故為奇函數，A錯誤；
B選項，的定義域為R，
且，故為奇函數，B錯誤；
C選項，的定義域為R，
且，故為偶函數，C正確；
D選項，的定義域為R，
且，故不是偶函數，D錯誤.
故選：C
4．要得到函數的圖象，只需將的圖象（ ）
A．向左平移個單位 B．向右平移個單位 C．向左平移個單位 D．向右平移個單位
【答案】D
【分析】利用三角函數的圖象變換關系求解.
【詳解】,
所以要得到函數的圖象，
只需將的圖象向右平移個單位，
故選:D.
5．為了得到函數的圖象，只需把函數圖象上所有的點（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
【答案】D
【分析】,根據三角函數的圖象變換即可求解.
【詳解】，
將函數的圖象向左平移個單位長度得到函數的圖象，
故將函數的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象.
故選:D.
6．為了得到函數的圖象，只要將函數圖象上所有點的（ ）
A．橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的圖象向右平移個單位長度
B．橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的圖象向左平移個單位長度
C．橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的圖象向右平移個單位長度
D．橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的圖象向右平移個單位長度
【答案】A
【分析】根據三角函數圖象變換規律分析判斷即可
【詳解】將圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，得，
再把得到的圖象向右平移個單位長度，得到函數的圖象．
故選：A
7．為了得到函數的圖象，只要把的圖象上所有的點（ ）
A．向右平行移動個單位長度
B．向右平行移動個單位長度
C．向左平行移動個單位長度
D．向左平行移動個單位長度
【答案】B
【分析】根據三角函數圖象變換規律求解即可
【詳解】因為，
所以只要把的圖象上所有的點向右平行移動個單位長度，可得的圖象，
故選：B
8．為了得到函數，的圖像，只需將正弦曲線上所有的點（ ）
A．向左平行移動個單位長度 B．向右平行移動個單位長度
C．向左平行移動個單位長度 D．向右平行移動個單位長度
【答案】A
【分析】利用三角函數的變換公式即可求解.
【詳解】到，變為，可得圖像向左平移了個單位；
故選：A.
二、填空題
1．五點法
（1）在函數的圖象上，以下五個點 ， ， ， ， 在確定函數圖象時取確定性作用，描出這5個點，就可確定出前者的圖象.
【答案】
【分析】略
【詳解】略
2．用“五點法”畫在一個周期內的簡圖時，所描的五個點分別是，，，， ．
【答案】.
【分析】根據三角函數的“五點法”作圖的規則，令，即可求解.
【詳解】用“五點法”畫在一個周期內的簡圖時，
分別令，當，可得，此時，
所以五個點分別為，，，，.
故答案為：.
3．函數的最小值為 ．
【答案】
【分析】根據得到函數的值域，得到答案.
【詳解】因為，所以，
故最小值為.
故答案為：
4．函數的最大值為 .
【答案】3
【分析】算出的最大值即可計算出的最大值.
【詳解】因為的最大值為，
所以的最大值為3.
故答案為：.
5．函數的最小正周期是，則 ．
【答案】
【分析】利用三角函數的周期公式直接求出即可.
【詳解】因為函數的最小正周期是，
所以可得，解得，
故答案為：.
6．已知函數的最小正周期為，則 .
【答案】/
【分析】利用正弦函數的周期公式即可得解.
【詳解】因為的最小正周期為，
所以，則.
故答案為：.
7．函數的最小正周期為 .
【答案】4
【分析】根據正弦型函數的周期公式計算即得.
【詳解】由正弦型函數的周期公式可得：,故數的最小正周期為4.
故答案為：4.
8.把函數的圖象向右平移個單位，得到的解析式是___________.
【答案】
【詳解】把函數的圖象向右平移個單位，
得到函數的圖象，即得到函數解析式為，
故答案為：
三、解答題
1．已知函數
(1)用“五點法”畫出函數在一個周期內的圖象；
列表：
作圖：
(2)直接寫出函數的值域和最小正周期．
【答案】(1)答案見解析；
(2)值域，最小正周期為.
【分析】（1）由正弦型函數解析式，列出一個周期內五個點，在坐標系中描點用平滑的曲線畫出函數圖象即可；
（2）由正弦型函數性質求值域，應用最小正周期的求法求最小正周期．
【詳解】（1）列表:
0
圖象如圖所示：
（2）因為，則，
故函數的值域為，最小正周期為.
2．利用“五點法”作出函數的簡圖.
【答案】簡圖見解析
【分析】利用“五點法”，列表、描點、連線，作出函數圖像.
【詳解】取值列表：
0
0 1 0 －1 0
1 0 1 2 1
描點連線，如圖所示.

3．用“五點法”畫出下列函數的簡圖：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
【答案】(1)見詳解
(2)見詳解
(3)見詳解
【分析】（1）（2）（3）在坐標系中描出相應的五點，在用平滑的曲線連起來.
【詳解】（1）按五個關鍵點列表
描點并將它們用光滑的曲線連接起來如下圖

（2）按五個關鍵點列表
描點并將它們用光滑的曲線連接起來如下圖

（3）按五個關鍵點列表
描點并將它們用光滑的曲線連接起來如下圖

4．用“五點法”畫出函數y＝＋sin x，x∈[0，2π]的簡圖．
【答案】作圖見解析
【分析】由于正弦函數的周期是，取一個周期內的五個關鍵點，即令，分別將五個點的橫坐標代入中，求出對應的縱坐標的值，列出表格，然后描點連線即可畫出函數簡圖.
【詳解】（1）取值列表如下：
x 0 π
0 1 0 －1 0
（2）描點、連線，如圖所示．
【點睛】本題考查了用五點法畫三角函數簡圖問題，考查了數學運算能力和畫圖能力，屬于一般題目.
5．用五點法作出下列函數在區間上的簡圖.
(1);
(2).
【答案】(1)見解析(2)見解析
【解析】(1) 取分別為，求出對應的，然后描點,用平滑的曲線連接即可；
(2) 取分別為，求出對應的，然后描點,用平滑的曲線連接即可；
【詳解】解:(1)列表,描點,連線得的圖像,如圖.
x 0
0 1 0 0
2 3 2 1 2
描點作圖，如圖所示，
(2)列表,描點,連線得的圖像,如圖.
x 0
0 1 0 0
0 3 0 0
描點作圖，如圖所示，
【點睛】本題考查五點法作圖，是基礎題.
6．函數的圖象與函數的圖象有什么關系？
【答案】向左平移個單位，即可得到的圖象
【分析】根據相位變換，即可得出答案.
【詳解】將函數的圖象，向左平移個單位，即可得到函數的圖象.
7．怎樣由函數的圖像變換得到的圖像
【答案】答案見解析
【分析】根據函數圖像變換的規則.
【詳解】現將向右平移個單位，得到，然后使得縱坐標不變，橫坐標變為原來的即可.
8．已知函數求的最大值及取得最大值時x的值.
【答案】時，最大值為1
【分析】利用正弦函數的圖像與性質求函數的最大值以及取得最大值時x的值.
【詳解】
當
即時，函數取最大值，且最大值為1.
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2專題3 正弦型函數的圖像和性質
【題型01 五點作圖法】
【題型02 正弦型函數的伸縮平移變換】
知識點一：五點法作圖
必備方法：五點法步驟
③
①
②
對于復合函數， 第一步：將看做一個整體，用五點法作圖列表時，分別令等于，，，，，對應的則取，，，，。，（如上表中，先列出序號①②兩行） 第二步：逆向解出（如上表中，序號③行。） 第三步：得到五個關鍵點為：，,,,
知識點二：三角函數圖象變換
參數,,對函數圖象的影響
1.對函數,的圖象的影響
2、()對函數圖象的影響
3、()對的圖象的影響
4、由的圖象變換得到(，)的圖象的兩種方法
知識點三：根據圖象求解析式
形如的解析式求法：
1、求法：
①觀察法：代表偏離平衡位置的最大距離；平衡位置.
②代數法：記的最大值為,最小值為；則：，聯立求解.
2、求法：通過觀察圖象，計算周期，利用公式，求出.
【題型01 五點作圖法】
【典例1】已知函數.
(1)試用“五點法”畫出它的圖象；
列表：
作圖：
(2)求它的振幅、周期和初相.
【典例2】 用“五點法”作y＝2sin2x的圖象，首先描出的五個點的橫坐標是（ ）
A． B．
C． D．
【典例3】函數的最大值和最小正周期分別是（ ）
A． B． C． D．
【題型02 伸縮平移變換】
【典例1】為了得到函數的圖象，只要把函數圖象上所有的點（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
【典例2】將函數的圖像上的所有點向右平移個單位，則所得的圖像的函數表達式為___________.
【題型03 正弦型函數的性質】
【典例1】函數是（ ）
A．最小正周期為的偶函數 B．最小正周期為的偶函數
C．最小正周期為的奇函數 D．最小正周期為的奇函數
【典例2】已知函數，.
(1)求出該函數的最小正周期；
(2)求出該函數取最大值時自變量的取值范圍.
練 習
一、單選題
1．從函數的圖象來看，對應于的x有（ ）
A．1個值 B．2個值 C．3個值 D．4個值
2．函數的最大值與最小值分別是（ ）
A．最大值是，最小值是 B．最大值是2，最小值是
C．最大值是，最小值是 D．最大值是2，最小值是
3．下列函數是偶函數的是（ ）
A． B． C． D．
4．要得到函數的圖象，只需將的圖象（ ）
A．向左平移個單位 B．向右平移個單位 C．向左平移個單位 D．向右平移個單位
5．為了得到函數的圖象，只需把函數圖象上所有的點（ ）
A．向左平移個單位長度 B．向右平移個單位長度
C．向左平移個單位長度 D．向右平移個單位長度
6．為了得到函數的圖象，只要將函數圖象上所有點的（ ）
A．橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的圖象向右平移個單位長度
B．橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的圖象向左平移個單位長度
C．橫坐標縮短到原來的，縱坐標不變，再把得到的圖象向右平移個單位長度
D．橫坐標伸長到原來的2倍，縱坐標不變，再把得到的圖象向右平移個單位長度
7．為了得到函數的圖象，只要把的圖象上所有的點（ ）
A．向右平行移動個單位長度
B．向右平行移動個單位長度
C．向左平行移動個單位長度
D．向左平行移動個單位長度
8．為了得到函數，的圖像，只需將正弦曲線上所有的點（ ）
A．向左平行移動個單位長度 B．向右平行移動個單位長度
C．向左平行移動個單位長度 D．向右平行移動個單位長度
二、填空題
1．五點法
（1）在函數的圖象上，以下五個點 ， ， ， ， 在確定函數圖象時取確定性作用，描出這5個點，就可確定出前者的圖象.
2．用“五點法”畫在一個周期內的簡圖時，所描的五個點分別是，，，， ．
3．函數的最小值為 ．
4．函數的最大值為 .
5．函數的最小正周期是，則 ．
6．已知函數的最小正周期為，則 .
7．函數的最小正周期為 .
8.把函數的圖象向右平移個單位，得到的解析式是___________.
三、解答題
1．已知函數
(1)用“五點法”畫出函數在一個周期內的圖象；
列表：
作圖：
(2)直接寫出函數的值域和最小正周期．
2．利用“五點法”作出函數的簡圖.
3．用“五點法”畫出下列函數的簡圖：
(1)，；
(2)，；
(3)，．
4．用“五點法”畫出函數y＝＋sin x，x∈[0，2π]的簡圖．
5．用五點法作出下列函數在區間上的簡圖.
(1);
(2).
6．函數的圖象與函數的圖象有什么關系？
7．怎樣由函數的圖像變換得到的圖像
8．已知函數求的最大值及取得最大值時x的值.
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