資源簡介

專題12 平面與平面的位置關系
【題型01 平面與平面的位置關系】
【題型02 平面與平面平行】
【題型03 平面與平面垂直】
【題型04 二面角 】
1．兩個平面之間的位置關系
(1)兩個平面平行一一沒有公共點；
(2)兩個平面相交一一有一條公共直線．
2．平面與平面位置關系的圖形表示和符號表示
3.平面與平面平行的判定定理
1、文字語言：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行
(簡記為“線面平行 面面平行”)
2、符號語言：a β，b β，a∩b＝P，且a∥α，b∥α β∥α.
3、圖形：
4、判定定理推論：如果一個平面內兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線，
則這兩個平面平行．
4、平面與平面平行的性質定理
1、文字語言：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行
2、符號語言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b.
3、圖形：
4、平面與平面平行其他常用性質推論
（1）平行于同一個平面的兩個平面平行.
（2）垂直于同一條直線的兩個平面平行.
（3）如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的直線平行于另一個平面.
（4）如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另一個平面.
5.利用判定定理證明兩平面平行的步驟
1、在一個平面內找出兩條相交直線；
2、證明著兩條相交直線分別平行于另一個平面；
3、利用平面與平面平行的判定定理得出結論。
6.二面角的概念
1、定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形．
2、相關概念：①這條直線叫做二面角的棱，②兩個半平面叫做二面角的面．
3、畫法：
4、記法：二面角或或或.
5、二面角的平面角：若有①；②，；
③，，則二面角的平面角是．
7.平面與平面垂直概念
1、定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．
2、圖形語言：
3、符號語言：α⊥β.
8.平面與平面垂直的判定定理
1、文字語言：如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直
2、圖形語言：
3、符號語言：
9.平面與平面垂直的性質定理
1、文字語言：兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，
那么這條直線與另一個平面垂直
2、圖形語言：
3、符號語言：
4、作用：①面面垂直 線面垂直；②作面的垂線
5、平面與平面垂直的其他性質
（1）如果兩個平面互相垂直，那么經過第一個平面內一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內，即
（2）如果兩個平面互相垂直，那么與其中一個平面平行的平面垂直于另一個平面，即；
（3）如果兩個平面互相垂直，那么其中一個平面的垂線平行于另一個平面或在另一個平面內，即；
（4）如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面，即；
（5）三個涼涼垂直的平面的交線也兩兩垂直，即
10.垂直問題轉化關系如下所示
【題型01 面面平行的辨析】
【典例1】已知l，m是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則可以用來判斷的條件有（ ）
①，
②，
③，，
④，，
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
【答案】D
【分析】根據題意，由直線與平面平行的性質和判定定理分析4個條件，綜合可得答案．
【詳解】根據題意，依次分析4個條件：
對于①，垂直于同一平面的兩條直線平行，可以判斷，
對于②，平面同一平面的兩條直線可以平行、也可以相交或異面，不可以判斷，
對于③，兩個平行平面內的兩條直線，可以平行、也可以相交或異面，不可以判斷，
對于④，由直線與平面平行的性質分析，可以判斷，
則可以判斷的是①④；故A，B，C錯誤.
故選：D．
【典例2】如圖所示，A1B1C1D1-ABCD是四棱臺，求證：B1D1∥BD.
【答案】證明見解析.
【分析】根據棱臺的特征易知平面BB1D1D，再由面面平行的性質即可證結論.
【詳解】根據棱臺的特征知：側棱BB1與DD1相交，所以平面BB1D1D.
又平面ABCD∥平面A1B1C1D1，且平面BB1D1D∩平面ABCD＝BD，平面BB1D1D∩平面A1B1C1D1＝B1D1，
所以B1D1∥BD.
【題型02 面面垂直的辨析】
【典例1】已知兩條不同的直線，與兩個不同的平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，則
B．若且，則
C．若，，則直線與是異面直線
D．若，，，則直線與是異面直線
【答案】B
【分析】利用線面平行的性質定理，面面平行性質定理，面面垂直的判定定理逐個判斷即可.
【詳解】若，，則與平行或異面，A錯；
若且，則內有垂直于的直線，故，B正確；
若，，則直線與是相交，平行或異面直線，C錯；
若，，，則直線與平行或異面，D錯.
故選：B
【典例2】在如圖所示的正方體中，垂直于平面的平面有 .（寫出兩個，多寫不加分，寫錯扣分）

【答案】平面，平面（答案不唯一）
【分析】證明出線面垂直，得到面面垂直，得到答案.
【詳解】連接，
因為四邊形為正方形，所以⊥，
因為⊥平面，平面，
所以⊥，
因為，平面，
所以⊥平面，
因為平面，
所以平面⊥平面，
同理平面，
所以平面⊥平面，
故垂直于平面的平面有平面，平面

故答案為：平面，平面(答案不唯一)
【題型03 二面角】
【典例1】如圖，在長方體中，為的中點，則二面角的大小為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】由二面角的定義證明即為二面角的平面角，求出此角即得．
【詳解】如圖，在長方體中，平面，平面，平面，所以，且，所以即為二面角的平面角，又，易得.
故選：B.
【典例2】若一個二面角的兩個半平面分別平行于另一個二面角的兩個半平面，則這兩個二面角的大小關系是（ ）
A．相等 B．互補
C．相等或互補 D．不確定
【答案】C
【分析】根據二面角的性質進行求解即可.
【詳解】若方向相同則相等，若方向相反則互補，
故選：C.
練 習
一、單選題
1．平面α//平面β，直線l//α，則（　　）
A．l//β B．l β
C．l//β或l β D．l，β相交
【答案】C
【分析】根據面面平行的性質結合選項可得答案.
【詳解】因為平面α//平面β，直線l//α，
所以直線l可能和平面β平行，也可能在平面β內．
故選：C.
2．已知，，是三個不同的平面，，是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【答案】C
【分析】ABD均可舉出反例，
由線面垂直的性質可得得到C正確.
【詳解】對于A，垂直于同一平面的兩平面相交或平行，如圖1，，，而，相交，故A錯誤；
對于B，平行于同一直線的兩平面相交或平行，如圖2，
滿足，，但相交，B錯誤；
對于C，垂直于同一平面的兩直線平行，故C正確；
對于D，平行于同一平面的兩直線相交、平行或異面，
如圖3，滿足，，但相交，故D錯誤.
故選：C.
3．設為兩兩不重合的平面，為兩兩不重合的直線，給出下列四個命題：
（1）若，則；
（2）若，則；
（3）若，則；
（4）若，則．
其中正確的命題是（　　）
A．（1）（3） B．（2）（4） C．（3）（4） D．（1）（2）
【答案】C
【分析】根據線線，線面位置關系，數形結合解決即可.
【詳解】對于（1），，則可能平行，也可能相交，參照正方體同一頂點處相鄰的三個面即可，故（1）錯誤；
對于（2），當時，就不能得出，如圖，故（2）錯誤；
對于（3），若，則平面與平面無公共點，又，所以直線與平面也沒有公共點，所以，故（3）正確；
對于（4），因為，由得，又，所以，同理，所以，故（4）正確.
故選：C
4．已知是空間中三個不同的平面，是空間中兩條不同的直線，則下列結論錯誤的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】B
【分析】根據空間中線面之間的關系逐一判斷即可.
【詳解】對于A ，若，則，故A正確；
對于B，若，則，平行或相交，故B錯誤；
對于C，若，則，故C正確；
對于D，若，則，故D正確.
故選：B.
5．設，為兩個不同的平面，則∥的一個充分條件是（ ）
A．內有無數條直線與平行 B．，垂直于同一個平面
C．，平行于同一條直線 D．，垂直于同一條直線
【答案】D
【分析】根據面面平行的判定一一判定即可.
【詳解】對于A：內有無數條直線與平行推不出∥，只有內所有直線與平行才能推出，故A錯誤；
對于B：，垂直于同一平面，得到∥或與相交，故B錯誤；
對于C：，平行于同一條直線，得到∥或與相交，故C錯誤；
對于D：因為垂直與同一條直線的兩平面平行，故，垂直于同一條直線可得∥，故：D正確．
故選：D
6．若平面平面，直線，點，過點M的所有直線中( )
A．不一定存在與a平行的直線 B．只有兩條與a平行的直線
C．存在無數條與a平行的直線 D．有且只有一條與a平行的直線
【答案】D
【詳解】平面平面，直線，點，故點，過直線和點可以確定唯一一個平面，且，則直線就是唯一的一條滿足條件的直線，故選D.
7．已知是空間中三個不同的平面，是空間中兩條不同的直線，則下列結論錯誤的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【答案】B
【分析】根據空間中線面之間的關系逐一判斷即可.
【詳解】對于A ，若，則，故A正確；
對于B，若，則，平行或相交，故B錯誤；
對于C，若，則，故C正確；
對于D，若，則，故D正確.
故選：B.
8．已知直線a、b與平面、，下列命題正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
【答案】C
【分析】由線面位置關系的判定，分析選項中結論是否正確.
【詳解】A選項，缺條件，結論不成立；
B選項，直線與直線可能平行可能異面，結論不成立；
C選項，由直線與平面垂直的定義可知，結論正確
D選項，直線可能與平行，可能在內，也可能與相交，不一定滿足垂直，結論不成立.
故選：C
9．已知空間中三條不重合的直線，兩個不重合平面，以下證明推導過程錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【分析】A選項為面面平行的性質，B選項為線面平行的性質；C選項，可以通過垂直關系推導出線面平行；D選項可以舉出反例
【詳解】A選項，由面面平行的性質可以得到線面平行，A正確；
B選項，由線面平行的性質得到線線平行，B正確；
C選項，設，因為，設，且，則有，
因為，，所以，因為，，所以，C正確；
D選項，若，則此時不能推出，D錯誤
故選：D
10．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】C
【分析】AB選項，可以舉出反例，C選項，可以通過面面垂直的性質和線面垂直的性質進行證明；D選項可以證明出.
【詳解】如圖，滿足，但不垂直，A錯誤；
若，則或異面，或相交，B錯誤；
因為，則或，又因為，所以，C正確；
因為，所以，
又因為，設，則，所以
則，D錯誤.
故選：C
11．自二面角棱l上任選一點O，若∠AOB是二面角α l β的平面角，則必須具有條件（　　）
A．AO⊥BO，AO α，BO β B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO α，BO β D．AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
【答案】D
【分析】根據二面角的定義即可判斷得到答案
【詳解】根據題意， 是與平面的交線，則根據二面角的定義，若， ，且 ,則為二面角的平面角
故選：D
12．二面角為，異面直線、分別垂直于、，則與所成的角為（ ）
A． B．
C． D．
【答案】B
【分析】根據二面角的定義和線面垂直的性質可得選項.
【詳解】解：因為二面角為，異面直線、分別垂直于、，則與所成的角為，
故選：B.
13．長方體中，，，則二面角為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】首先二面角的定義得到是二面角的平面角，根據圖形即可計算.
【詳解】由圖可知，，所以是二面角的平面角，
，所以.
故選：D
14．已知直線和兩個不同的平面，則下列結論正確的為（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【答案】C
【分析】根據條件作出相應圖形，結合圖形證明或舉出反例即可求解.
【詳解】對于A，如下圖，，則，
滿足題中條件，但與相交，故錯誤;
對于B，若，
當在內且與的交線垂直時，符合題中條件，但不滿足結論，故B錯誤;
對于C，設過的平面與相交于直線，則，且，
由，則，由面面垂直的判定定理可得：，故C正確;
對于D，若，則與可能平行，如下圖中，
也可能在內，如圖中，故D錯誤.
故選：C.
15．設，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，下列命題中正確的是（ ）
A．若，，，則
B．若，，，則
C．若，，，則
D．若，，則
【答案】C
【分析】ABD選項，可以舉出反例，C選項，可以利用面面垂直的性質進行證明
【詳解】A選項，若，，，則或異面，A錯誤；
B選項，如圖，
滿足，，，而，故B錯誤；
C選項，因為，設，，
所以，因為，所以，
因為，，所以，則，
C正確；
D選項，如圖，
滿足，，而，D錯誤.
故選：C
16．下列說法：
①兩個相交平面所組成的圖形叫做二面角；
②二面角的平面角是從棱上一點出發，分別在兩個面內作射線所成的角；
③二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置有關系．
其中正確的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】A
【分析】由二面角的定義判斷.
【詳解】根據二面角的定義知①兩個相交的半平面所組成的圖形叫做二面角，故錯誤；
②二面角的平面角是從棱上一點出發，分別在兩個面內作棱的垂線所成的角，故錯誤；
③二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置無關，故錯誤．
所以①②③都不正確．
故選：A
17．在長方體中，，，則二面角的正切值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】因為，，可得就是二面角的平面角，又因為，在直角三角形中計算正切值.
【詳解】∵，，由二面角的平面角的定義知，就是二面角的平面角，又，所以 .
故選：D
二、填空題
1．以下四個命題中，真命題是 （只填真命題的序號）.
①若a，b是兩條直線，且，則a平行于經過b的任何平面；
②若直線a和平面滿足，則a與內的任何直線平行；
③若直線a，b和平面滿足，，則；
④若直線a，b和平面滿足，，，則.
【答案】④
【分析】根據點線面的位置關系即可判斷.
【詳解】解析：對于①，當經過b的平面也經過a時，不成立，故①為假命題；
對于②，a與內的直線平行或異面，故②為假命題；
對于③，直線a與b三種位置關系都有可能，故③也為假命題；
對于④，因為，過作平面交于直線，則，
又因為，所以，而，，所以.故④為真命題.
故答案為：④
2．兩個平面平行的性質定理
文字語言 兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線
符號語言 ，，
圖形語言
【答案】 平行 //
【詳解】略
3．正方體中，平面平面，點在上，點在上，且，則四邊形的形狀是 ．
【答案】平行四邊形
【分析】由面面平行的性質得到，結合，得到四邊形的形狀.
【詳解】因為，所以四點共面，
因為平面平面， 平面平面，平面平面，
由面面平行的性質可得：，
又因為，
所以四邊形是平行四邊形.
故答案為：平行四邊形
4．如圖，三條直線、、不共面，但交于一點，若，，，那么平面和平面的位置關系是 ．
【答案】平行
【分析】根據線線平行即可判斷面面平行.
【詳解】由，，且,故，因此,故,平面,平面,故平面,同理可得平面,平面,故平面平面,
故答案為：平行
5．二面角的平面角的取值范圍是 .
【答案】
【分析】利用二面角的取值范圍可得結果.
【詳解】二面角的平面角的取值范圍是.
故答案為：.
6．在60°的二面角的一個面內有一個點，若它到另一個面的距離是10cm，則該點到二面角的棱的距離是 ．
【答案】/
【分析】畫出空間圖形，說明為二面角的平面角，且，再結合三角函數求解.
【詳解】解：如圖所示，兩平面相交于，，，，
，，．
則為二面角的平面角，且，
所以所以.
即點到二面角的棱的距離為．
故答案為：．
7．如圖，已知，，垂足為、，若，則二面角的大小是 ．
【答案】/
【分析】根據與二面角大小互補進行求解.
【詳解】設二面角的大小為，
因為，，垂足為、，
所以，又，所以.
故答案為：
8．如果兩個平面相交所成的二面角是直二面角，那么就說這兩個平面互相 ．
【答案】垂直
【分析】略
【詳解】略
9．在正方體中，二面角的大小是 .
【答案】/
【分析】根據二面角的定義判斷二面角的大小.
【詳解】畫出圖象如下圖所示，
由于，
所以是二面角的平面角，
根據正方體的性質可知.
故答案為：
10．如圖，在長方體中，，則二面角的平面角大小是，則 ．
【答案】/0.5
【分析】由題可得為二面角的平面角，即可求解.
【詳解】在長方體中，平面，為二面角的平面角，
在中，，
，即.
故答案為：.
11．已知平面，和直線，且，則“”是“”的 條件．（在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”選一填寫．）
【答案】充分不必要
【分析】從充分性和必要性兩方面分析判斷得解.
【詳解】由題得，所以“”是“”的充分條件；
當時，不一定有，有可能不與平面b垂直，也有可能在平面b內.
所以“”是“”的非必要條件.
所以“”是“”的充分非必要條件.
故答案為：充分不必要
【點睛】本題主要考查充要條件的判斷和空間幾何元素的位置關系的判斷，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.
12．如圖所示，在三棱錐中，若，，是的中點，則下列命題中正確的是 (填序號)． ①平面ABC⊥平面； ②平面ABC⊥平面；③平面ABC⊥平面，且平面平面； ④平面ABC⊥平面，且平面平面.
【答案】③
【分析】由AB=BC，AD=CD，說明對棱垂直，推出平面ABC⊥平面BDE，且平面ADC⊥平面BDE，即可得出結論．
【詳解】因為AB＝CB，且E是AC的中點，所以BE⊥AC，同理有DE⊥AC，于是AC⊥平面BDE．
因為AC在平面ABC內，所以平面ABC⊥平面BDE．又由于AC 平面ACD，所以平面ACD⊥平面BDE，
故答案為：③．
【點睛】本題考查了平面與平面垂直的判定，考查學生分析解決問題的能力，屬于基礎題．
25．如圖，在三棱錐內，側面底面，且，則 ．
【答案】
【分析】由側面底面及，利用面面垂直的性質定理可得平面，從而，利用勾股定理計算即可得解.
【詳解】∵側面底面，交線為，(即)，平面PAC，
∴平面，又平面，
∴，∴.
【點睛】本題考查了面面垂直的性質定理的應用，考查了空間線、面垂直的相互轉化，屬于基礎題.
三、解答題
1．如圖，在四棱錐中，平面底面，，，，．證明：
【答案】證明見解析
【分析】利用余弦定理和勾股定理可得，根據面面垂直的性質定理可得平面，進而即得.
【詳解】證明：在四邊形中，因為，，，，
由余弦定理得，，
解得，
所以，即，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又因為平面，
所以．
2．如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為4的正方形，平面平面．
(1)求證：平面；
【答案】(1)證明見解析
【分析】(1)利用面面垂直的性質定理即可證明;(2)建立空間直角坐標系，利用空間角的坐標運算求解方法進行求解.
【詳解】（1）∵四邊形是正方形，
∴．
又∵平面平面，平面平面，
且平面
∴平面．
3．如圖，在四面體PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA
(1)求證：PB⊥平面APD；
(2)若AG⊥PD，G為垂足，求證：AG⊥BD．
【答案】(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
【分析】（1）由線面垂直的性質有，再根據線面垂直的判定證結論.
（2）由（1）及面面垂直的判定可得面面APD，再由面面垂直的性質有面，根據線面垂直的性質即可證結論.
【詳解】（1）由AD⊥平面PAB，面，則，
又PB⊥PA，，則PB⊥平面APD；
（2）由（1）及面，則面面APD，
又面面APD，AG⊥PD，面APD，
所以面，而面，
所以AG⊥BD．
4．如圖，在正方體中，
(1)求異面直線與所成的角的大?。?br/>(2)求二面角的大小.
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）作出異面直線與所成的角，并求得角的大小.
（2）判斷二面角的平面角，并求得角的大小.
【詳解】（1）在正方體中，連接，
由于，所以是異面直線與所成的角，
由于三角形是等邊三角形，所以，
所以異面直線與所成的角的大小為.
（2）在正方體中，，
所以是二面角的平面角，
根據正方體的性質可知，
所以二面角的大小為.
5．如圖，直三棱柱內接于高為的圓柱中，已知，，，為的中點.
(1)求圓柱的表面積；
(2)求二面角的正切值
【答案】(1)
(2)
【分析】（1）由勾股定理可求得底面圓的半徑，分別求得圓柱的側面積和底面積，進而可求得表面積；
（2）方法一：連接，可證得，則可得所求二面角的平面角為，根據長度關系可得結果；
【詳解】（1），，，
底面圓的半徑，圓柱的側面積為，
又圓柱的底面積為，圓柱的表面積.
（2）方法一：連接，
平面，平面，；
，即，，平面，
平面，又平面，；
即為二面角的平面角，
，，，，
6．如圖，棱錐的底面是矩形，平面，．
(1)求證：平面；
(2)求平面和平面夾角的余弦值的大?。?br/>【答案】(1)證明過程見解析；
(2)
【分析】（1）求出，得到底面ABCD是正方形，對角線互相垂直，進而證明出線面垂直；（2）找到兩平面的夾角的平面角，再進行求解.
【詳解】（1）因為平面，BD平面，所以PA⊥BD，因為，底面是矩形，所以由勾股定理得：，所以底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又PA=A，所以BD⊥平面PAC.
（2）因為PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，PA，所以CD⊥平面PAD，因為PD平面PAD，所以CD⊥PD，又因為CD⊥AD，所以∠PDA是平面和平面的夾角，由于PA=AD，∠PAD=90°，所以∠PDA=45°，所以，所以平面PCD與平面ABCD的夾角余弦值為.
7．如圖，在矩形中，，，沿對角線把△折起，使點移到點，且在平面內的射影恰好落在上．
（1）求證：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
【答案】（1）證明見解析；（2）.
【分析】（1）由題意易知，根據線面垂直的判定可得平面，再由面面垂直的判定證平面平面．
（2）由（1）結合勾股逆定理知，根據線面垂直的判定有面，有是二面角的平面角，即可求余弦值.
【詳解】（1）證明：在平面內的射影恰好落在上，即為在面上的射影，而，所以，
∵，，
∴平面，又平面，
∴平面平面．
（2）由（1）知：，在中，有，即，
∴，又，，即面，
∴二面角的平面角是，
∴，
∴二面角的余弦值是．
8．如圖,在四棱錐P－ABCD中,四邊形ABCD是菱形,PA=PC,E為PB的中點．求證:
(1)平面AEC;
(2)平面AEC⊥平面PBD．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】(1) 設,連接,根據中位線可得,再根據線面平行的判定定理即可證明;
(2)根據可得,根據四邊形為菱形,可得,再根據線面垂直的判斷定理可得平面,再根據面面垂直的判定定理即可得出結果.
【詳解】（1）設,連接,如圖所示:
因為O,E分別為,的中點,所以,
又因為平面,平面,
所以平面．
（2）連接,如圖所示:
因為,為的中點,所以,
又因為四邊形為菱形,所以,
因為平面,平面,且,
所以平面,又因為平面,
所以平面平面．
9．如圖所示，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，為中點，平面，，為中點.
(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）利用直線和平面平行的判定定理即可證明；
（2）利用平面和平面垂直的判定定理即可證明；
【詳解】（1）證明：連接、，在平行四邊形中，為、的中點，
∵為中點，∴，
又∵平面，平面，
∴平面；
（2）證明：∵，且，
∴，即，
∵平面，平面，∴，
∵，、平面，∴平面，
又∵平面，∴平面平面.
10．如圖，是正方形，O是正方形的中心，底面，E是的中點．
(1)求證：∥平面；
(2)求證：面面．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】(1)連接AC交BD于O，連接OE，由中位線即可得，得證；
(2)證明BD⊥平面PAC即可.
【詳解】（1）連接AC，交BD于O，連接OE，
在△CAP中，，∴，
又∵平面BDE，平面BDE，∴∥平面BDE；
（2）∵PO⊥底面ABCD，則PO⊥BD，
又∵是正方形，則AC⊥BD，且，∴BD⊥平面PAC.
∵平面PBD，∴平面PAC⊥平面PBD.
11．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是菱形，且PA面ABCD，E，F分別是棱PB，PC的中點.
求證：（1）EF平面PAD；
（2）面PBD面PAC.
【答案】（1）證明見詳解；（2）證明見詳解.
【分析】（1）利用線面平行的判定定理即可證明.
（2）利用面面垂直的判定定理即可證明.
【詳解】（1）由E，F分別是棱PB，PC的中點.
則且，
又底面ABCD是菱形，，，
又平面PAD，平面PAD，
EF平面PAD.
（2）由PA面ABCD，是平面ABCD的對角線，
，
四棱錐P-ABCD的底面是菱形，
，
，且平面PAC，
平面PAC，
又因為平面PBD，
所以面PBD面PAC
12．如圖所示，在四棱錐中，底面是矩形，側面底面，求證：平面平面．
【答案】證明見解析
【分析】由面面垂直的性質可得面，根據面面垂直的判定即可證平面平面．
【詳解】證明：由底面為矩形，則，
∵面面，面面，面，
∴面，又平面，
∴平面平面．
13．如圖,在三棱錐中,是等邊三角形,,點是 的中點,連接．
（1）證明:平面平面;
【答案】（1）見解析【分析】（1）由是等邊三角形,,得．再證明,,從而和證明平面,故平面平面得證．
【詳解】解:（1）證明:因為是等邊三角形,,
所以,可得．
因為點是的中點,則,,
因為,平面PBD,平面,
所以平面,因為平面,
所以平面平面．
14．如圖，在正方體中，是的中點，分別是的中點，求證：
(1)平面；
(2)平面平面.
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】(1)利用線面平行的判定定理即可證明；(2)利用面面平行的判定定理證明.
【詳解】（1）
如圖，連接，∵分別是的中點，∴.
又∵平面，平面，∴直線平面.
（2）連接SD，∵分別是 的中點，
∴.又∵平面，平面，
∴平面，由(1)知，平面，
且平面，平面，，
∴平面∥平面.
15．如圖所示，在三棱柱中，E，F，G，H分別是AB，AC，，的中點．求證：平面平面BCHG．
【答案】證明見解析
【分析】證明，進而證明出平面BCHG，再證明，得到平面BCHG，從而證明面面平行.
【詳解】證明：∵E，F分別是AB，AC的中點，
∴．
∵平面BCHG，平面BCHG，
∴平面BCHG．
∵，且
∴四邊形是平行四邊形，
∴．
∵平面BCHG，平面BCHG，
∴平面BCHG．
∵，
∴平面平面BCHG．
16．如圖，在四棱錐中，是正方形，平面，， 分別是的中點．
(1)求證：；
(2)求證：平面平面．
【答案】(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）由平面，得，再根據線面垂直的判定定理和性質定理得證（2）由證明平面，由證明平面，再由面面平行的判定定理證明即可.
【詳解】（1）由平面，得，又(是正方形)，，所以平面，所以.
（2）由分別是線段的中點，所以，又為正方形，，所以，又平面，所以平面.因為分別是線段的中點，所以，又平面，所以平面.因為平面，所以平面平面.
17．如圖，在多面體中，面是正方形，平面，平面平面，四點共面，，．求證：.
【答案】證明見解析
【分析】由面面平行的性質得到線線平行.
【詳解】因為平面平面，四點共面，
且平面平面，平面平面，
所以．
1專題12 平面與平面的位置關系
【題型01 平面與平面的位置關系】
【題型02 平面與平面平行】
【題型03 平面與平面垂直】
【題型04 二面角 】
1．兩個平面之間的位置關系
(1)兩個平面平行一一沒有公共點；
(2)兩個平面相交一一有一條公共直線．
2．平面與平面位置關系的圖形表示和符號表示
3.平面與平面平行的判定定理
1、文字語言：一個平面內的兩條相交直線與另一個平面平行，則這兩個平面平行
(簡記為“線面平行 面面平行”)
2、符號語言：a β，b β，a∩b＝P，且a∥α，b∥α β∥α.
3、圖形：
4、判定定理推論：如果一個平面內兩條相交直線分別平行于另一個平面內的兩條相交直線，
則這兩個平面平行．
4、平面與平面平行的性質定理
1、文字語言：如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行
2、符號語言：α∥β，α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b.
3、圖形：
4、平面與平面平行其他常用性質推論
（1）平行于同一個平面的兩個平面平行.
（2）垂直于同一條直線的兩個平面平行.
（3）如果兩個平面平行，那么其中一個平面內的直線平行于另一個平面.
（4）如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，那么它也垂直于另一個平面.
5.利用判定定理證明兩平面平行的步驟
1、在一個平面內找出兩條相交直線；
2、證明著兩條相交直線分別平行于另一個平面；
3、利用平面與平面平行的判定定理得出結論。
6.二面角的概念
1、定義：從一條直線出發的兩個半平面所組成的圖形．
2、相關概念：①這條直線叫做二面角的棱，②兩個半平面叫做二面角的面．
3、畫法：
4、記法：二面角或或或.
5、二面角的平面角：若有①；②，；
③，，則二面角的平面角是．
7.平面與平面垂直概念
1、定義：一般地，兩個平面相交，如果它們所成的二面角是直二面角，就說這兩個平面互相垂直．
2、圖形語言：
3、符號語言：α⊥β.
8.平面與平面垂直的判定定理
1、文字語言：如果一個平面過另一個平面的垂線，那么這兩個平面垂直
2、圖形語言：
3、符號語言：
9.平面與平面垂直的性質定理
1、文字語言：兩個平面垂直，如果一個平面內有一直線垂直于這兩個平面的交線，
那么這條直線與另一個平面垂直
2、圖形語言：
3、符號語言：
4、作用：①面面垂直 線面垂直；②作面的垂線
5、平面與平面垂直的其他性質
（1）如果兩個平面互相垂直，那么經過第一個平面內一點垂直于第二個平面的直線在第一個平面內，即
（2）如果兩個平面互相垂直，那么與其中一個平面平行的平面垂直于另一個平面，即；
（3）如果兩個平面互相垂直，那么其中一個平面的垂線平行于另一個平面或在另一個平面內，即；
（4）如果兩個相交平面都垂直于第三個平面，那么它們的交線垂直于第三個平面，即；
（5）三個涼涼垂直的平面的交線也兩兩垂直，即
10.垂直問題轉化關系如下所示
【題型01 面面平行的辨析】
【典例1】已知l，m是兩條不同的直線，，是兩個不同的平面，則可以用來判斷的條件有（ ）
①，
②，
③，，
④，，
A．①② B．①③ C．②③ D．①④
【典例2】如圖所示，A1B1C1D1-ABCD是四棱臺，求證：B1D1∥BD.
【題型02 面面垂直的辨析】
【典例1】已知兩條不同的直線，與兩個不同的平面，則下列說法正確的是（ ）
A．若，，則
B．若且，則
C．若，，則直線與是異面直線
D．若，，，則直線與是異面直線
【典例2】在如圖所示的正方體中，垂直于平面的平面有 .（寫出兩個，多寫不加分，寫錯扣分）

【題型03 二面角】
【典例1】如圖，在長方體中，為的中點，則二面角的大小為（ ）
A． B． C． D．
【典例2】若一個二面角的兩個半平面分別平行于另一個二面角的兩個半平面，則這兩個二面角的大小關系是（ ）
A．相等 B．互補
C．相等或互補 D．不確定
練 習
一、單選題
1．平面α//平面β，直線l//α，則（　?。?br/>A．l//β B．l β
C．l//β或l β D．l，β相交
2．已知，，是三個不同的平面，，是兩條不同的直線，則下列命題中正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
3．設為兩兩不重合的平面，為兩兩不重合的直線，給出下列四個命題：
（1）若，則；
（2）若，則；
（3）若，則；
（4）若，則．
其中正確的命題是（　?。?br/>A．（1）（3） B．（2）（4） C．（3）（4） D．（1）（2）
4．已知是空間中三個不同的平面，是空間中兩條不同的直線，則下列結論錯誤的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
5．設，為兩個不同的平面，則∥的一個充分條件是（ ）
A．內有無數條直線與平行 B．，垂直于同一個平面
C．，平行于同一條直線 D．，垂直于同一條直線
6．若平面平面，直線，點，過點M的所有直線中( )
A．不一定存在與a平行的直線 B．只有兩條與a平行的直線
C．存在無數條與a平行的直線 D．有且只有一條與a平行的直線
7．已知是空間中三個不同的平面，是空間中兩條不同的直線，則下列結論錯誤的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
8．已知直線a、b與平面、，下列命題正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
9．已知空間中三條不重合的直線，兩個不重合平面，以下證明推導過程錯誤的是（ ）
A． B．
C． D．
10．設是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
11．自二面角棱l上任選一點O，若∠AOB是二面角α l β的平面角，則必須具有條件（　?。?br/>A．AO⊥BO，AO α，BO β B．AO⊥l，BO⊥l
C．AB⊥l，AO α，BO β D．AO⊥l，BO⊥l，且AO α，BO β
12．二面角為，異面直線、分別垂直于、，則與所成的角為（ ）
A． B．
C． D．
13．長方體中，，，則二面角為（ ）
A． B． C． D．
14．已知直線和兩個不同的平面，則下列結論正確的為（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
15．設，是兩條不同的直線，，，是三個不同的平面，下列命題中正確的是（ ）
A．若，，，則
B．若，，，則
C．若，，，則
D．若，，則
16．下列說法：
①兩個相交平面所組成的圖形叫做二面角；
②二面角的平面角是從棱上一點出發，分別在兩個面內作射線所成的角；
③二面角的大小與其平面角的頂點在棱上的位置有關系．
其中正確的個數是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
17．在長方體中，，，則二面角的正切值為（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
1．以下四個命題中，真命題是 （只填真命題的序號）.
①若a，b是兩條直線，且，則a平行于經過b的任何平面；
②若直線a和平面滿足，則a與內的任何直線平行；
③若直線a，b和平面滿足，，則；
④若直線a，b和平面滿足，，，則.
2．兩個平面平行的性質定理
文字語言 兩個平面平行，如果另一個平面與這兩個平面相交，那么兩條交線
符號語言 ，，
圖形語言
3．正方體中，平面平面，點在上，點在上，且，則四邊形的形狀是 ．
4．如圖，三條直線、、不共面，但交于一點，若，，，那么平面和平面的位置關系是 ．
5．二面角的平面角的取值范圍是 .
6．在60°的二面角的一個面內有一個點，若它到另一個面的距離是10cm，則該點到二面角的棱的距離是 ．
7．如圖，已知，，垂足為、，若，則二面角的大小是 ．
8．如果兩個平面相交所成的二面角是直二面角，那么就說這兩個平面互相 ．
9．在正方體中，二面角的大小是 .
10．如圖，在長方體中，，則二面角的平面角大小是，則 ．
11．已知平面，和直線，且，則“”是“”的 條件．（在“充分不必要、必要不充分、充要、既不充分又不必要”選一填寫．）
12．如圖所示，在三棱錐中，若，，是的中點，則下列命題中正確的是 (填序號)． ①平面ABC⊥平面； ②平面ABC⊥平面；③平面ABC⊥平面，且平面平面； ④平面ABC⊥平面，且平面平面.
25．如圖，在三棱錐內，側面底面，且，則 ．
三、解答題
1．如圖，在四棱錐中，平面底面，，，，．證明：
2．如圖，在三棱柱中，四邊形是邊長為4的正方形，平面平面．
(1)求證：平面；
3．如圖，在四面體PABD中，AD⊥平面PAB，PB⊥PA
(1)求證：PB⊥平面APD；
(2)若AG⊥PD，G為垂足，求證：AG⊥BD．
4．如圖，在正方體中，
(1)求異面直線與所成的角的大?。?br/>(2)求二面角的大小.
5．如圖，直三棱柱內接于高為的圓柱中，已知，，，為的中點.
(1)求圓柱的表面積；
(2)求二面角的正切值
6．如圖，棱錐的底面是矩形，平面，．
(1)求證：平面；
(2)求平面和平面夾角的余弦值的大小．
7．如圖，在矩形中，，，沿對角線把△折起，使點移到點，且在平面內的射影恰好落在上．
（1）求證：平面平面；
（2）求二面角的余弦值．
8．如圖,在四棱錐P－ABCD中,四邊形ABCD是菱形,PA=PC,E為PB的中點．求證:
(1)平面AEC;
(2)平面AEC⊥平面PBD．
9．如圖所示，在四棱錐中，底面為平行四邊形，，為中點，平面，，為中點.
(1)證明：平面；
(2)證明：平面平面.
10．如圖，是正方形，O是正方形的中心，底面，E是的中點．
(1)求證：∥平面；
(2)求證：面面．
11．如圖，四棱錐P-ABCD的底面是菱形，且PA面ABCD，E，F分別是棱PB，PC的中點.
求證：（1）EF平面PAD；
（2）面PBD面PAC.
12．如圖所示，在四棱錐中，底面是矩形，側面底面，求證：平面平面．
13．如圖,在三棱錐中,是等邊三角形,,點是 的中點,連接．
（1）證明:平面平面;
14．如圖，在正方體中，是的中點，分別是的中點，求證：
(1)平面；
(2)平面平面.
15．如圖所示，在三棱柱中，E，F，G，H分別是AB，AC，，的中點．求證：平面平面BCHG．
16．如圖，在四棱錐中，是正方形，平面，， 分別是的中點．
(1)求證：；
(2)求證：平面平面．
17．如圖，在多面體中，面是正方形，平面，平面平面，四點共面，，．求證：.
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