資源簡介

專題13 復數的概念和意義
【題型01 復數的概念】
【題型02 復數相等】
【題型03 復數的幾何意義】
【題型04 共軛復數 】
一、復數的有關概念
1、復數的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中i叫做虛數單位，滿足i2=-1，實部是a，虛部是b.
2、虛數單位：把平方等于－1的數用符號i表示，規定i2＝－1.我們把i叫作虛數單位．
3、表示方法：復數通常用字母z表示，代數形式為z＝a＋bi(a，b∈R)．
4、復數集：①定義：全體復數所成的集合． ②表示：通常用大寫字母C表示．
【注意】復數概念說明：
（1）復數集是最大的數集，任何一個數都可以寫成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
（2）復數的實部是a，虛部是實數b而非bi.
（3）復數z＝a＋bi只有在a，b∈R時才是復數的代數形式，否則不是代數形式．
二、復數的分類：對于復數a＋bi，
（1）當且僅當b＝0時，它是實數； （2）當且僅當a＝b＝0時，它是實數0；
（3）當b≠0時，叫做虛數； （4）當a＝0且b≠0時，叫做純虛數．
這樣，復數z＝a＋bi可以分類如下：
復數=實數 b=0
虛數(b≠0)(當a=0時為純虛數).
【注意】復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系
三、復數相等
在復數集C中任取兩個數a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，
我們規定：a＋bi與c＋di相等的充要條件是a＝c且b＝d.
其中若Z=a＋bi=0則：a=0且b=0.解方程組即可
四、復數的幾何意義
1、復平面:當用直角坐標平面內的點來表示復數時，稱這個直角坐標系為復平面，x軸為實軸，y軸為虛軸．
2、復數的幾何意義
（1）任一個復數z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內的點Z(a，b)是一一對應的．
（2）一個復數z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內的向量OZ=(a,b)是一一對應的．
【注意】實軸、虛軸上的點與復數的對應關系
實軸上的點都表示實數；
除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數，
原點對應的有序實數對為(0，0)，它所確定的復數是z＝0＋0i＝0，表示的是實數．
五、復數的模
（1）定義：向量OZ的模r叫做復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模或絕對值
（2）記法：復數z＝a＋bi的模記為|z|或|a＋bi|.
（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，r∈R)．
六、共軛復數
如果兩個復數的實部相等，而虛部互為相反數，則這兩個復數叫做互為共軛復數．
復數z的共軛復數用z表示，即當z＝a＋bi(a，b∈R)時，z＝a－bi.
示例：z＝2＋3i的共軛復數是z＝2－3i.
【注意】（1）當復數z＝a＋bi的虛部b＝0時，有z＝z，
也就是，任一實數的共軛復數是它本身．
（2）在復平面內，表示兩個共軛復數的點關于實軸對稱，并且它們的模相等．
【題型01 復數的概念】
【典例1】給出下列說法：①復數2＋3i的虛部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的數一定是虛數；
③若a∈R，a≠0，則(a＋3)i是純虛數；④若兩個復數能夠比較大小，則它們都是實數．
其中錯誤說法的個數是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】C 解析】復數2＋3i的虛部是3，①錯；
形如a＋bi(b∈R)的數不一定是虛數，②錯；
只有當a∈R，a＋3≠0時，(a＋3)i是純虛數，③錯；
若兩個復數能夠比較大小，則它們都是實數，故④正確，所以有3個錯誤
【典例2】(1)復數的實部為（ ）
A．1 B． C． D．
（2）（2021·全國·高一課時練習）若復數z＝i（a+i）（a∈R，i為虛數單位）的虛部為2，則a＝（ ）
A．﹣2 B．2
C．﹣1 D．1
【答案】（1）B（2）B
【解析】（1），實部為，故選：B.
（2）z＝i（a+i）＝﹣1+ai，由于復數z＝i（a+i）（a∈R，i為虛數單位）的虛部為2，∴a＝2，故選：B.
【題型02 復數相等】
【典例1】已知x2－y2＋2xyi＝2i，求實數x，y的值.
【答案】x＝1，y＝1)或x＝－1，y＝－1.)
【解析】∵x2－y2＋2xyi＝2i，
∴x2－y2＝0，2xy＝2，)解得x＝1，y＝1)或x＝－1，y＝－1.)
【典例2】復數4－3a－a2i與復數a2＋4ai相等，則實數a的值為( )
A．1 B．1或－4 C．－4 D．0或－4
【答案】C
【解析】驗證：當a＝0或1時，復數4－3a－a2i與復數a2＋4ai不相等，排除A、B、D.
【題型03 復數方程有實根問題】
【典例1】已知方程有實根，且，則復數等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】A【解析】由是方程的根可得，
整理可得：，
所以，解得，所以，故選A.
【典例2】已知關于的方程有實數解，則_______.
【答案】2或3【解析】因為關于的方程有實數解，
所以使得成立.
或.
【題型04 復數的幾何意義】
【典例1】實部為－2，虛部為1的復數所對應的點位于復平面的( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B【解析】由題意可得復數z＝－2＋i，故在復平面內對應的點為(－2，1)，在第二象限.
【典例2】實數a取什么值時，復平面內表示復數z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的點
（1）位于第二象限； （2）位于直線y＝x上？
【答案】（1）(－2，1) （2）a=1
【解析】根據復數的幾何意義可知，復平面內表示復數z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的點
就是點Z(a2＋a－2，a2－3a＋2)．
（1）由點Z位于第二象限得a2＋a－2<0，a2－3a＋2>0，)解得－2故滿足條件的實數a的取值范圍為(－2，1)．
（2）由點Z位于直線y＝x上得a2＋a－2＝a2－3a＋2，解得a＝1.
故滿足條件的實數a的值為1.
【典例3】若復數滿足，則（ ）
A．1 B． C． D．2
【答案】B【解析】設，則，所以，即，
所以，，所以.故選：B
練 習
一、單選題
1.已知為虛數單位，則復數的虛部是（ ）
A． B．1 C． D．
【答案】A【詳解】的虛部是．故選：A．
2.復平面中的下列哪個向量對應的復數是純虛數（ ）
A．=(1，2) B．=(-3，0)
C． D．=(-1，-2)
3.若復數（，為虛數單位）是純虛數，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【詳解】由為純虛數，得解得.故選：.
4.（多選題）給出下列命題，其中是真命題的是（ ）
A．純虛數的共軛復數是 B．若，則
C．若，則與互為共軛復數 D．若，則與互為共軛復數
【答案】AD【解析】A．根據共軛復數的定義，顯然是真命題；
B．若，則，當均為實數時，則有，
當，是虛數時，，所以B是假命題；
C．若，則可能均為實數，但不一定相等，
或與的虛部互為相反數，但實部不一定相等，所以C是假命題；
D. 若，則，所以與互為共軛復數，故D是真命題.
5.復數z＝3+4i對應的點Z關于原點的對稱點為Z1，則對應的向量為（ ）
A．﹣3﹣4i B．4+3i C．﹣4﹣3i D．﹣3+4i
【答案】A【解析】∵復數z＝3+4i對應的點Z（3，4）∴Z關于原點的對稱點為Z1（﹣3，﹣4）
對應的向量＝﹣3﹣4i故選：A．
6.(多選)有下列四個命題，其中正確的是（ ）
①方程2x－5＝0在自然數集N中無解；
②方程2x2＋9x－5＝0在整數集Z中有一解，在有理數集Q中有兩解；
③x＝i是方程x2＋1＝0在復數集C中的一個解；
④x4＝1在R中有兩解，在復數集C中也有兩解.
A．① B．②
C．③ D．④
【答案】ABC【詳解】
①方程2x－5＝0根為，故方程在自然數集N中無解，正確；
②方程2x2＋9x－5＝0即，故在整數集Z中有一解-5，在有理數集Q中有兩解-5和，正確；
③x＝i代入方程x2＋1＝0成立，故x＝i是方程x2＋1＝0在復數集C中的一個解；
④x4＝1在R中有兩解，在復數集C中也有四解，，故錯誤.故選：ABC.
7.(多選)已知i為虛數單位,下列命題中正確的是
A．若,則是純虛數 B．虛部為的虛數有無數個
C．實數集是復數集的真子集 D．兩個復數相等的一個必要條件是它們的實部相等
【答案】BCD【詳解】對于A,若,則,不是純虛數,故A錯誤；
對于B,虛部為的虛數可以表示為,
有無數個,故B正確；根據復數的分類,判斷C正確；
兩個復數相等一定能推出實部相等,必要性成立,但兩個復數的實部相等推不出兩個復數相等,
充分性不成立,故D正確.故選:BCD.
8.復數z=(a2-2a)+(a2-a-2)i的共軛復數對應的點在虛軸上，則實數a的值為（ ）
A．a=0或a=2 B．a=0
C．a≠1，且a≠2 D．a≠1或a≠2
【答案】A【解析】∵復數=(a2-2a)+(a2-a-2)i對應的點在虛軸上，∴a2-2a=0，∴a=0或a=2故選：A.
9.在，，，，0.618，這幾個數中，純虛數的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】C【詳解】解：為實數，為純虛數，為虛數，為純虛數，0.618為實數，為實數，純虛數只有2個，故選：．
10.關于復數z的方程|z|+2z=13+6i的解是（）
A．3+4i B．4+3i
C．+3i D．3+i
解析:設,則有,于是，解得或
因為,故,所以不符合要求,故故選：B
11.四邊形ABCD是復平面內的平行四邊形，已知A、B、C三點對應的復數分別是1+3i，-i，2+i，則向量BD對應的復數是 ( )
A.1-2i B.2+2i C.2-2i D.3+6i
【答案】D【解析】由題意得點A，B，C的坐標分別為(1，3)，(0，-1)，(2，1)，
設點D的坐標為(x，y)，由AD=BC，得(x-1，y-3)=(2，2)，∴x-1=2，y-3=2，
解得x=3，y=5，故D(3，5)，∴BD=(3，6)，則BD對應的復數為3+6i.故選D.
12.在復平面內，向量AB=(2，-3)對應的復數為( )
A.2-3i B.2+3i C.3+2i D.-3-2i
13.（1）設，則在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）復數在復平面內的對應點在第四象限，則實數的取值范圍是______．
【答案】（1）C（2）
【解析】（1）由題意知：，復數在復平面內對應的點為，
故在復平面內對應的點位于第三象限.故選：C．
（2）因為復數在復平面內對應的點在第四象限，所以解得．故答案為：
14.復數（其中為虛數單位），則（ ）
A． B．5 C．7 D．25
【答案】B【詳解】解：∵，∴，∴，故選：B.
15．在復平面內，復數（為虛數單位）對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】A【詳解】復數在復平面內對應的點的坐標為，該點位于第一象限.故選：A.
16．已知，在復平面內，復數對應的點位于第二象限，則為（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．3
【答案】B【詳解】復數對應的點為，
依題意得，而，于是有.故選：B
17．已知復數的虛部為1，且，則可以是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C【詳解】因為復數的虛部為1，可設復數，又，所以整理得，
故，故選：C
18.(多選)下列命題中，正確的是（ ）
A．復數的模總是非負數
B．復數集與復平面內以原點為起點的所有向量組成的集合一一對應
C．如果復數對應的點在第一象限，則與該復數對應的向量的終點也一定在第一象限
D．相等的向量對應著相等的復數
【答案】ABD【詳解】設復數，對于A，，故A正確．
對于B，復數對應的向量為，
且對于平面內以原點為起點的任一向量，其對應的復數為，
故復數集與復平面內以原點為起點的所有向量組成的集合一一對應，故B正確．
對于B，復數對應的向量為，
且對于平面內的任一向量，其對應的復數為，
故復數集中的元素與復平面內以原點為起點的所有向量組成的集合中的元素是一一對應，故B正確．
對于C，如果復數對應的點在第一象限，則與該復數對應的向量的終點不一定在第一象限，
故C錯．
對于D，相等的向量的坐標一定是相同的，故它們對應的復數也相等，故D正確．故選：ABD．
19.(多選)實數滿足，設，則下列說法正確的是（ ）
A．在復平面內對應的點在第一象限
B．
C．的虛部是i
D．的實部是1
【答案】ABD【詳解】實數x，y滿足(1+i)x+(1-i)y=2，可化為x+y-2+(x-y)i=0，∴解得x=y=1，
∴z=x+yi=1+i.對于A，z在復平面內對應的點的坐標為(1，1)，位于第一象限，故A正確.
對于B，|z|=，故B正確.對于C，z的虛部是1，故C錯誤.對于D，z的實部是1，故D正確.
故選：ABD.
20.(多選)下列關于復數的命題中正確的是（ ）
A．若是虛數，則不是實數
B．若，且，則
C．一個復數為純虛數的充要條件是這個復數的實部等于零
D．復數對應的點在實軸上方
【答案】AD【詳解】對于A，根據虛數的定義，A正確；
對于B，虛數不能比較大小，B錯誤；
對于C，一個復數為純虛數的充要條件是這個復數的實部等于零且虛部不等于0，C錯誤；
對于D，對應點的坐標為，因為，所以點在軸上方，D正確．
故選：AD．
21．已知是復數z的共軛復數，若在復平面上的對應點位于第一象限，則z的對應點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D【詳解】設（）則，，由在復平面上的對應點位于第一象限，所以，所以，所以z的對應點位于第四象限，故選：D.
22．當時，復數在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】D【詳解】且，，，
因此，復數在復平面內對應的點位于第四象限.故選：D.
23.設，則“”是“復數為純虛數”的(　　)
A．充分必要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
【答案】A詳解：因為復數為純虛數，所以因為“x=1”是“x=1”的充要條件，所以“”是“復數為純虛數”的充分必要條件.故答案為A.
24.若復數是純虛數，則一定有（ ）
A． B．且 C．或 D．
【答案】B【詳解】，由純虛數定義可得且，故選B.
25.已知i為虛數單位，，則（ ）
A．5 B．7 C．9 D．25
【詳解】因為，所以，所以,故選：A.
26.設復數z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，則實數a的取值范圍是( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1，1) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
【答案】B【解析】因為|z1|＝ a2＋4，|z2|＝4＋1＝5，所以a2＋4＜5，即a2＋4＜5，
所以a2＜1，即－1＜a＜1.
二、填空題
1.給出下列命題：①任意兩個復數都不能比較大小；②若，則當且僅當且時，；③若，，且，則；④若，則.其中，________是假命題.（填序號）
【答案】①③④【詳解】
對①，當兩復數均為實數時，可比較大小，故①錯；②顯然正確；對③，若，則滿足，但，故C錯；對④，若，則，但，故④錯.故答案為：①③④
2.已知，復平面內表示復數的點在虛軸上，則m=_____________．
【答案】或6【詳解】復數對應點的坐標為，，若點在虛軸上，
則，解得或．故答案為：或6.
3.復數在復平面上對應的點在第______象限．
已知，，實部小于0，虛部大于0，對應點在第二象限．故答案為：二．
4.已知復數在復平面內的對應點在第三象限，則實數的取值范圍是____.
【答案】【詳解】由已知得：，解得：，即實數的取值范圍為.故答案為：.
5.給出下列命題：①若，且，則是純虛數；②，為復數，，則；③若，則z一定是純虛數；④虛數的平方根仍是虛數，其中正確的是______.（填序號）
【答案】③④【詳解】
①：當時，，顯然不是純虛數，本命題不正確；
②：當，時，顯然，但是不成立，本命題不正確；
③：設，由且，
當時，有，所以，
當時，有，顯然不可能成立，因此z一定是純虛數，所以本命題正確；
④：設，設，如果，
則有且，這與相矛盾，所以假設不成立，故不是實數，是虛數，因此本命題正確，
故答案為：③④
6.已知，則實數的取值分別為______．
【答案】1，1或【詳解】因為，所以解得或
故答案為：1，1或
三.解答題
1.在復平面內，點A，B，C對應的復數分別為1+4i，-3i，2，O為坐標原點.
（1）求向量OA+OB和AC對應的復數;
（2）求平行四邊形ABCD的頂點D對應的復數.
【答案】（1）1-4i （2）32，2
【解析】（1）由已知得OA，OB，OC所對應的復數分別為1+4i，-3i，2，
則OA=(1，4)，OB=(0，-3)，OC=(2，0)，
所以OA+OB=(1，1)，AC=OC-OA=(1，-4)，
故OA+OB對應的復數為1+i，AC對應的復數為1-4i.
（2）解法一:由已知得，點A，B，C的坐標分別為(1，4)，(0，-3)，(2，0)，
則AC的中點坐標為32，2，由平行四邊形的性質知，BD的中點坐標也是32，2.
設D(x0，y0)，則0+x02=32，-3+y02=2，解得x0=3，y0=7，所以D(3，7)，故D對應的復數為3+7i.
解法二:由已知得，點A，B，C的坐標分別為(1，4)，(0，-3)，(2，0)，
設D(x0，y0)，則AB=(-1，-7)，DC=(2-x0，-y0).
因為四邊形ABCD為平行四邊形，所以AB=DC，
所以-1=2-x0，-7=-y0，解得x0=3，y0=7.故D對應的復數為3+7i.
解法三:由(1)知OA=(1，4)，OB=(0，-3)，OC=(2，0)，
所以BA=(1，7)，BC=(2，3)，
由平行四邊形的性質得BD=BA+BC=(3，10)，
2.實數m取什么值時，復數lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i分別是：
（1）純虛數； （2）實數．
【答案】（1）m＝3 （2）m＝－2或m＝－1
【解析】（1）復數lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i為純虛數，則m2－2m－2＝1，m2＋3m＋2≠0，)
所以m＝3或m＝－1，m≠－2且m≠－1，)所以m＝3.
即m＝3時，lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i為純虛數．
（2）復數lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i為實數，
則m2－2m－2>0，　　　　　　　　　　　　　　①m2＋3m＋2＝0，　　　　　　　　　　　　　　②)解②得m＝－2或m＝－1，
代入①檢驗知滿足不等式，
所以當m＝－2或m＝－1時，lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i為實數．
3.當實數為何值時，復數為
（1）實數？（2）虛數？（3）純虛數？
【答案】（1）；（2）且；（3）.
（1）若復數為實數，則 ，可得，所以當時，復數表示實數.
（2）若復數為虛數，則，可得且，
所以當且時，復數表示虛數.
（3）若復數為純虛數，則，解得：．
當時，復數為純虛數.
4.已知復數，求實數x的值.
【答案】1【詳解】,解得或
對于不等式,適合,不適合,.
5.在復平面內，若復數的對應點在虛軸上和實軸負半軸上，分別求復數.
【詳解】
①若復數的對應點在虛軸上，則，
解得或，則或；
②若復數的對應點在實軸負半軸上，
則，解得，所以.
6.已知復數（），．
（1）若為純虛數，求的值；
（2）若在復平面內對應的點在第二象限，求的取值范圍．
【答案】（1）a＝1+ ；（2） a＞1+．
【詳解】解：由x＝+ai得|x|＝＝|a+1|，
∵2a+1≥0，∴a≥﹣，∴a+1≥．∴|x|＝a+1．
∴z＝+ai﹣（a+1）+（1﹣i）＝（﹣a）+（a﹣1）i．
（1）若z為純虛數，則，解得a＝1+；
（2）若z在復平面內對應的點在第二象限，
則，解得a＞1+．
7.已知，，若，求實數的取值集合．
【答案】【詳解】因為，所以.
因為，，所以當時，解得或；
若，則有，，符合；
若，則有，，不符合，應舍去；
當，要使，只需：解得：，符合題意.所以實數的取值集合為.
1專題13 復數的概念和意義
【題型01 復數的概念】
【題型02 復數相等】
【題型03 復數的幾何意義】
【題型04 共軛復數 】
一、復數的有關概念
1、復數的定義：形如a＋bi(a，b∈R)的數叫做復數，其中i叫做虛數單位，滿足i2=-1，實部是a，虛部是b.
2、虛數單位：把平方等于－1的數用符號i表示，規定i2＝－1.我們把i叫作虛數單位．
3、表示方法：復數通常用字母z表示，代數形式為z＝a＋bi(a，b∈R)．
4、復數集：①定義：全體復數所成的集合． ②表示：通常用大寫字母C表示．
【注意】復數概念說明：
（1）復數集是最大的數集，任何一個數都可以寫成a＋bi(a，b∈R)的形式，其中0＝0＋0i.
（2）復數的實部是a，虛部是實數b而非bi.
（3）復數z＝a＋bi只有在a，b∈R時才是復數的代數形式，否則不是代數形式．
二、復數的分類：對于復數a＋bi，
（1）當且僅當b＝0時，它是實數； （2）當且僅當a＝b＝0時，它是實數0；
（3）當b≠0時，叫做虛數； （4）當a＝0且b≠0時，叫做純虛數．
這樣，復數z＝a＋bi可以分類如下：
復數=實數 b=0
虛數(b≠0)(當a=0時為純虛數).
【注意】復數集、實數集、虛數集、純虛數集之間的關系
三、復數相等
在復數集C中任取兩個數a＋bi，c＋di(a，b，c，d∈R)，
我們規定：a＋bi與c＋di相等的充要條件是a＝c且b＝d.
其中若Z=a＋bi=0則：a=0且b=0.解方程組即可
四、復數的幾何意義
1、復平面:當用直角坐標平面內的點來表示復數時，稱這個直角坐標系為復平面，x軸為實軸，y軸為虛軸．
2、復數的幾何意義
（1）任一個復數z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內的點Z(a，b)是一一對應的．
（2）一個復數z＝a＋bi(a，b∈R)與復平面內的向量OZ=(a,b)是一一對應的．
【注意】實軸、虛軸上的點與復數的對應關系
實軸上的點都表示實數；
除了原點外，虛軸上的點都表示純虛數，
原點對應的有序實數對為(0，0)，它所確定的復數是z＝0＋0i＝0，表示的是實數．
五、復數的模
（1）定義：向量OZ的模r叫做復數z＝a＋bi(a，b∈R)的模或絕對值
（2）記法：復數z＝a＋bi的模記為|z|或|a＋bi|.
（3）公式：|z|＝|a＋bi|＝r＝a2＋b2(r≥0，r∈R)．
六、共軛復數
如果兩個復數的實部相等，而虛部互為相反數，則這兩個復數叫做互為共軛復數．
復數z的共軛復數用z表示，即當z＝a＋bi(a，b∈R)時，z＝a－bi.
示例：z＝2＋3i的共軛復數是z＝2－3i.
【注意】（1）當復數z＝a＋bi的虛部b＝0時，有z＝z，
也就是，任一實數的共軛復數是它本身．
（2）在復平面內，表示兩個共軛復數的點關于實軸對稱，并且它們的模相等．
【題型01 復數的概念】
【典例1】給出下列說法：①復數2＋3i的虛部是3i；②形如a＋bi(b∈R)的數一定是虛數；
③若a∈R，a≠0，則(a＋3)i是純虛數；④若兩個復數能夠比較大小，則它們都是實數．
其中錯誤說法的個數是( )
A．1 B．2 C．3 D．4
【典例2】(1)復數的實部為（ ）
A．1 B． C． D．
（2）（2021·全國·高一課時練習）若復數z＝i（a+i）（a∈R，i為虛數單位）的虛部為2，則a＝（ ）
A．﹣2 B．2
C．﹣1 D．1
【題型02 復數相等】
【典例1】已知x2－y2＋2xyi＝2i，求實數x，y的值.
【典例2】復數4－3a－a2i與復數a2＋4ai相等，則實數a的值為( )
A．1 B．1或－4 C．－4 D．0或－4
【題型03 復數方程有實根問題】
【典例1】已知方程有實根，且，則復數等于（ ）
A． B． C． D．
【典例2】已知關于的方程有實數解，則_______.
【題型04 復數的幾何意義】
【典例1】實部為－2，虛部為1的復數所對應的點位于復平面的( )
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【典例2】實數a取什么值時，復平面內表示復數z＝a2＋a－2＋(a2－3a＋2)i的點
（1）位于第二象限； （2）位于直線y＝x上？
【典例3】若復數滿足，則（ ）
A．1 B． C． D．2
練 習
一、單選題
1.已知為虛數單位，則復數的虛部是（ ）
A． B．1 C． D．
2.復平面中的下列哪個向量對應的復數是純虛數（ ）
A．=(1，2) B．=(-3，0)
C． D．=(-1，-2)
3.若復數（，為虛數單位）是純虛數，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
4.（多選題）給出下列命題，其中是真命題的是（ ）
A．純虛數的共軛復數是 B．若，則
C．若，則與互為共軛復數 D．若，則與互為共軛復數
5.復數z＝3+4i對應的點Z關于原點的對稱點為Z1，則對應的向量為（ ）
A．﹣3﹣4i B．4+3i C．﹣4﹣3i D．﹣3+4i
6.(多選)有下列四個命題，其中正確的是（ ）
①方程2x－5＝0在自然數集N中無解；
②方程2x2＋9x－5＝0在整數集Z中有一解，在有理數集Q中有兩解；
③x＝i是方程x2＋1＝0在復數集C中的一個解；
④x4＝1在R中有兩解，在復數集C中也有兩解.
A．① B．②
C．③ D．④
7.(多選)已知i為虛數單位,下列命題中正確的是
A．若,則是純虛數 B．虛部為的虛數有無數個
C．實數集是復數集的真子集 D．兩個復數相等的一個必要條件是它們的實部相等
8.復數z=(a2-2a)+(a2-a-2)i的共軛復數對應的點在虛軸上，則實數a的值為（ ）
A．a=0或a=2 B．a=0
C．a≠1，且a≠2 D．a≠1或a≠2
9.在，，，，0.618，這幾個數中，純虛數的個數為（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
10.關于復數z的方程|z|+2z=13+6i的解是（）
A．3+4i B．4+3i
C．+3i D．3+i
11.四邊形ABCD是復平面內的平行四邊形，已知A、B、C三點對應的復數分別是1+3i，-i，2+i，則向量BD對應的復數是 ( )
A.1-2i B.2+2i C.2-2i D.3+6i
12.在復平面內，向量AB=(2，-3)對應的復數為( )
A.2-3i B.2+3i C.3+2i D.-3-2i
13.（1）設，則在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
（2）復數在復平面內的對應點在第四象限，則實數的取值范圍是______．
14.復數（其中為虛數單位），則（ ）
A． B．5 C．7 D．25
15．在復平面內，復數（為虛數單位）對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
16．已知，在復平面內，復數對應的點位于第二象限，則為（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．3
17．已知復數的虛部為1，且，則可以是（ ）
A． B． C． D．
18.(多選)下列命題中，正確的是（ ）
A．復數的模總是非負數
B．復數集與復平面內以原點為起點的所有向量組成的集合一一對應
C．如果復數對應的點在第一象限，則與該復數對應的向量的終點也一定在第一象限
D．相等的向量對應著相等的復數
19.(多選)實數滿足，設，則下列說法正確的是（ ）
A．在復平面內對應的點在第一象限
B．
C．的虛部是i
D．的實部是1
20.(多選)下列關于復數的命題中正確的是（ ）
A．若是虛數，則不是實數
B．若，且，則
C．一個復數為純虛數的充要條件是這個復數的實部等于零
D．復數對應的點在實軸上方
21．已知是復數z的共軛復數，若在復平面上的對應點位于第一象限，則z的對應點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
22．當時，復數在復平面內對應的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
23.設，則“”是“復數為純虛數”的(　　)
A．充分必要條件 B．必要不充分條件
C．充分不必要條件 D．既不充分也不必要條件
24.若復數是純虛數，則一定有（ ）
A． B．且 C．或 D．
25.已知i為虛數單位，，則（ ）
A．5 B．7 C．9 D．25
26.設復數z1＝a＋2i，z2＝－2＋i，且|z1|＜|z2|，則實數a的取值范圍是( )
A．(－∞，－1)∪(1，＋∞) B．(－1，1) C．(1，＋∞) D．(0，＋∞)
二、填空題
1.給出下列命題：①任意兩個復數都不能比較大小；②若，則當且僅當且時，；③若，，且，則；④若，則.其中，________是假命題.（填序號）
2.已知，復平面內表示復數的點在虛軸上，則m=_____________．
3.復數在復平面上對應的點在第______象限．
4.已知復數在復平面內的對應點在第三象限，則實數的取值范圍是____.
5.給出下列命題：①若，且，則是純虛數；②，為復數，，則；③若，則z一定是純虛數；④虛數的平方根仍是虛數，其中正確的是______.（填序號）
6.已知，則實數的取值分別為______．
三.解答題
1.在復平面內，點A，B，C對應的復數分別為1+4i，-3i，2，O為坐標原點.
（1）求向量OA+OB和AC對應的復數;
（2）求平行四邊形ABCD的頂點D對應的復數.
2.實數m取什么值時，復數lg(m2－2m－2)＋(m2＋3m＋2)i分別是：
（1）純虛數； （2）實數．
3.當實數為何值時，復數為
（1）實數？（2）虛數？（3）純虛數？
4.已知復數，求實數x的值.
5.在復平面內，若復數的對應點在虛軸上和實軸負半軸上，分別求復數.
6.已知復數（），．
（1）若為純虛數，求的值；
（2）若在復平面內對應的點在第二象限，求的取值范圍．
7.已知，，若，求實數的取值集合．
1

展開更多......

收起↑