資源簡介

專題14 復(fù)數(shù)的運算
【題型01 復(fù)數(shù)的加法與減法】
【題型02 復(fù)數(shù)的乘法】
【題型03 復(fù)數(shù)加減的幾何意義】
一、復(fù)數(shù)的加法
1、加法法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意兩個復(fù)數(shù)，
規(guī)定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
即兩個復(fù)數(shù)相加，就是實部與實部、虛部與虛部分別相加，顯然兩個復(fù)數(shù)的和仍然是復(fù)數(shù)．
注意：對于復(fù)數(shù)的加法可以推廣到多個復(fù)數(shù)相加的情形，
即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，
則z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i.
2、加法運算律：復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任意的z1、z2、z3∈C，
有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二、復(fù)數(shù)的減法
1、相反數(shù)：已知復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)，根據(jù)復(fù)數(shù)加法的定義，
存在唯一的復(fù)數(shù)－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反數(shù)．
2、減法法則：規(guī)定兩個復(fù)數(shù)的減法法則，設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復(fù)數(shù)，則z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i.
即兩個復(fù)數(shù)相減，就是實部與實部、虛部與虛部分別相減，顯然兩個復(fù)數(shù)的差仍是一個復(fù)數(shù)．
三、復(fù)數(shù)加法與減法的幾何意義
1、復(fù)數(shù)可以用向量來表示，已知復(fù)數(shù)z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)，
其對應(yīng)的向量，，
如圖1，且和不共線，以O(shè)Z1和OZ2為兩條鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2，
根據(jù)向量的加法法則，對角線OZ所對應(yīng)的向量，
而所對應(yīng)的坐標(biāo)是(x1＋x2，y1＋y2)，這正是兩個復(fù)數(shù)之和z1＋z2所對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對．
2、復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運算，如圖2，復(fù)數(shù)與向量等于）對應(yīng)，
這就是復(fù)數(shù)減法的幾何意義．
【注意】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)加減法的幾何意義知，兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)向量的和向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)就是這兩個復(fù)數(shù)的和；兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)向量的差向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)就是這兩個復(fù)數(shù)的差．
（2）求兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)向量的和，可使用平行四邊形法則或三角形法則．
（3）在確定兩復(fù)數(shù)的差所對應(yīng)的向量時，應(yīng)按照三角形法則進(jìn)行．
拓展：由復(fù)數(shù)加減運算的幾何意義可得出：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
四、復(fù)數(shù)的乘法
1、運算法則：兩個復(fù)數(shù)的乘法可以按照多項式的乘法運算來進(jìn)行，只是把i2換成－1，
并把最后結(jié)果寫成a＋bi(a、b∈R)的形式．設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，則
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.，顯然兩個復(fù)數(shù)的積仍是復(fù)數(shù)．
2、復(fù)數(shù)乘法的運算律：對于任意z1、z2、z3∈C，有
（1）z1·z2＝z2·z1(交換律)； （2）(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(結(jié)合律)；
（3）z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)．
【注意】實數(shù)范圍內(nèi)的乘法公式在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立．
【題型01 直接進(jìn)行加減運算】
【典例1】已知復(fù)數(shù)z滿足z＋1－3i＝5－2i，求z.
【答案】z＝4＋i
【解析】 法一：設(shè)z＝x＋yi(x，y∈R)，
因為z＋1－3i＝5－2i，所以x＋yi＋(1－3i)＝5－2i，
即x＋1＝5且y－3＝－2，解得x＝4，y＝1，所以z＝4＋i.
法二：因為z＋1－3i＝5－2i，
所以z＝(5－2i)－(1－3i)＝4＋i.
【典例2】已知復(fù)數(shù)z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是純虛數(shù)，則實數(shù)a＝________.
【答案】3
【解析】由條件知z1＋z2＝a2－2a－3＋(a2－1)i，又z1＋z2是純虛數(shù)，
所以a2－2a－3＝0，a2－1≠0，)解得a＝3.
【題型02 需要設(shè)復(fù)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)式的加減運算】
【典例1】設(shè)，（為虛數(shù)單位），且，則( )
A． B．
C． D．
【答案】B【解析】由，，得，
又，，即．
【典例2】已知|z|＝4，且z＋2i是實數(shù)，則復(fù)數(shù)z＝________．
【答案】±23－2i【解析】因為z＋2i是實數(shù)，可設(shè)z＝a－2i(a∈R)，由|z|＝4得a2＋4＝16，
所以a2＝12，所以a＝±23，所以z＝±23－2i.
【題型03 復(fù)數(shù)加減的幾何意義】
【典例1】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1＋i與1＋3i分別對應(yīng)向量和，其中O為坐標(biāo)原點，則等于( )
A.2 B．2 C.10 D．4
【答案】B【解析】∵復(fù)數(shù)1＋i與1＋3i分別對應(yīng)向量和
∴，，
∴
∴
【典例2】若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且在復(fù)平面內(nèi)z1＋z2所對應(yīng)的點在實軸上，則a的值為( )
A．3 B．2 C．1 D．－1
【答案】D【解析】z1＋z2＝2＋i＋3＋ai＝(2＋3)＋(1＋a)i＝5＋(1＋a)i.
∵在復(fù)平面內(nèi)z1＋z2所對應(yīng)的點在實軸上，
∴1＋a＝0，∴a＝－1.
【題型04 復(fù)數(shù)的乘法】
【典例1】設(shè)，，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【解析】，
在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點為，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第三象限.
【典例2】計算:（1）; （2）.
【解析】（1）
（2）
.
【典例3】設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的值為（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
【答案】D
【解析】因，故由題設(shè)，故，故選D．
練 習(xí)
一、單選題
1．已知i是虛數(shù)單位，若是實數(shù)，則實數(shù)（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
【答案】B【解析】為實數(shù)，∴．故選：B
2．若復(fù)數(shù) (為虛數(shù)單位)，則（ ）
A． B．
C． D．
【解析】，.故選：A.
3．已知，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A【解析】因為，所以所以
故選：A
4．（多選）若實數(shù)，滿足，則（ ）
A．的共軛復(fù)數(shù)為 B．
C．的值可能為 D．
【答案】BCD【解析】因為.
所以，，即，，則.解得或，
故A錯誤，B，C，D均正確.故選：BCD.
5．已知復(fù)數(shù)和，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B【解析】由題意，
6．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則（ ）
A．1 B．2 C． D．
【答案】C【解析】由，得，因此，故.故選：C.
7．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A解析】，，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點坐標(biāo)為，所以在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于第一象限，故選：A.
8．已知復(fù)數(shù)z滿足，（i為虛數(shù)單位），則（ ）
A． B．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為
C．復(fù)數(shù)z的虛部為 D．復(fù)數(shù)z是方程的一個虛根
【答案】D【解析】：，所以，故A錯誤；，故B錯誤；
復(fù)數(shù)z的虛部為－1，故C錯誤；因為，所以的根為，D正確．故選：D
二、解答題
1.計算：（1）； （2）已知，，求，．
【答案】（1）（2）
【解析】（1）；
（2），，
，
2.計算：①；②；③．
【答案】①；②；③．
【解析】①；
②；③．
3．計算下列各式的值.
（1）； （2）； （3）.
【答案】(1)2-2i(2)1+5i (3)-4+5i
【解析】解：（1）；（2）；（3）.
3．計算：（1）；
（2）；
（3）.
【答案】（1）1+i（2）6-2i（3）【解析】（1）原式.
（2）原式.（3）原式.
4.如圖所示，平行四邊形OABC的頂點O，A，C分別表示0，3＋2i，－2＋4i.求：
（1）表示的復(fù)數(shù)； （2）對角線表示的復(fù)數(shù)； （3）對角線表示的復(fù)數(shù)．
【答案】（1）－3－2i （2）5－2i （3）1＋6i
【解析】（1）因為，所以表示的復(fù)數(shù)為－3－2i.
（2）因為，所以對角線表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)－(－2＋4i)＝5－2i.
（3）因為對角線，
所以對角線表示的復(fù)數(shù)為(3＋2i)＋(－2＋4i)＝1＋6i.
1專題14 復(fù)數(shù)的運算
【題型01 復(fù)數(shù)的加法與減法】
【題型02 復(fù)數(shù)的乘法】
【題型03 復(fù)數(shù)加減的幾何意義】
一、復(fù)數(shù)的加法
1、加法法則：設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c、d∈R)是任意兩個復(fù)數(shù)，
規(guī)定z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i.
即兩個復(fù)數(shù)相加，就是實部與實部、虛部與虛部分別相加，顯然兩個復(fù)數(shù)的和仍然是復(fù)數(shù)．
注意：對于復(fù)數(shù)的加法可以推廣到多個復(fù)數(shù)相加的情形，
即z1＝1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z3＝a3＋b3i，…，zn＝an＋bni，
則z1＋z2＋…＋zn＝(a1＋a2＋…＋an)＋(b1＋b2＋…＋bn)i.
2、加法運算律：復(fù)數(shù)的加法滿足交換律、結(jié)合律，即對任意的z1、z2、z3∈C，
有z1＋z2＝z2＋z1，(z1＋z2)＋z3＝z1＋(z2＋z3)．
二、復(fù)數(shù)的減法
1、相反數(shù)：已知復(fù)數(shù)a＋bi(a，b∈R)，根據(jù)復(fù)數(shù)加法的定義，
存在唯一的復(fù)數(shù)－a－bi，使(a＋bi)＋(－a－bi)＝0.其中－a－bi叫做a＋bi的相反數(shù)．
2、減法法則：規(guī)定兩個復(fù)數(shù)的減法法則，設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)是任意兩個復(fù)數(shù)，則z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b＋d)i.
即兩個復(fù)數(shù)相減，就是實部與實部、虛部與虛部分別相減，顯然兩個復(fù)數(shù)的差仍是一個復(fù)數(shù)．
三、復(fù)數(shù)加法與減法的幾何意義
1、復(fù)數(shù)可以用向量來表示，已知復(fù)數(shù)z1＝x1＋y1i(x1、y1∈R)，z2＝x2＋y2i(x2、y2∈R)，
其對應(yīng)的向量，，
如圖1，且和不共線，以O(shè)Z1和OZ2為兩條鄰邊作平行四邊形OZ1ZZ2，
根據(jù)向量的加法法則，對角線OZ所對應(yīng)的向量，
而所對應(yīng)的坐標(biāo)是(x1＋x2，y1＋y2)，這正是兩個復(fù)數(shù)之和z1＋z2所對應(yīng)的有序?qū)崝?shù)對．
2、復(fù)數(shù)的減法是加法的逆運算，如圖2，復(fù)數(shù)與向量等于）對應(yīng)，
這就是復(fù)數(shù)減法的幾何意義．
【注意】（1）根據(jù)復(fù)數(shù)加減法的幾何意義知，兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)向量的和向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)就是這兩個復(fù)數(shù)的和；兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)向量的差向量所對應(yīng)的復(fù)數(shù)就是這兩個復(fù)數(shù)的差．
（2）求兩個復(fù)數(shù)對應(yīng)向量的和，可使用平行四邊形法則或三角形法則．
（3）在確定兩復(fù)數(shù)的差所對應(yīng)的向量時，應(yīng)按照三角形法則進(jìn)行．
拓展：由復(fù)數(shù)加減運算的幾何意義可得出：||z1|－|z2||≤|z1±z2|≤|z1|＋|z2|.
四、復(fù)數(shù)的乘法
1、運算法則：兩個復(fù)數(shù)的乘法可以按照多項式的乘法運算來進(jìn)行，只是把i2換成－1，
并把最后結(jié)果寫成a＋bi(a、b∈R)的形式．設(shè)z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a、b、c∈R)，則
z1z2＝(a＋bi)(c＋di)＝ac＋adi＋bci＋bdi2＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i.，顯然兩個復(fù)數(shù)的積仍是復(fù)數(shù)．
2、復(fù)數(shù)乘法的運算律：對于任意z1、z2、z3∈C，有
（1）z1·z2＝z2·z1(交換律)； （2）(z1·z2)·z3＝z1·(z2·z3)(結(jié)合律)；
（3）z1·(z2＋z3)＝z1z2＋z1z3(分配律)．
【注意】實數(shù)范圍內(nèi)的乘法公式在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)仍然成立．
【題型01 直接進(jìn)行加減運算】
【典例1】已知復(fù)數(shù)z滿足z＋1－3i＝5－2i，求z.
【典例2】已知復(fù)數(shù)z1＝a2－3－i，z2＝－2a＋a2i，若z1＋z2是純虛數(shù)，則實數(shù)a＝________.
【題型02 需要設(shè)復(fù)數(shù)標(biāo)準(zhǔn)式的加減運算】
【典例1】設(shè)，（為虛數(shù)單位），且，則( )
A． B．
C． D．
【典例2】已知|z|＝4，且z＋2i是實數(shù)，則復(fù)數(shù)z＝________．
【題型03 復(fù)數(shù)加減的幾何意義】
【典例1】在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)1＋i與1＋3i分別對應(yīng)向量和，其中O為坐標(biāo)原點，則等于( )
A.2 B．2 C.10 D．4
【典例2】若z1＝2＋i，z2＝3＋ai(a∈R)，且在復(fù)平面內(nèi)z1＋z2所對應(yīng)的點在實軸上，則a的值為( )
A．3 B．2 C．1 D．－1
【題型04 復(fù)數(shù)的乘法】
【典例1】設(shè)，，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【典例2】計算:（1）; （2）.
【典例3】設(shè)是虛數(shù)單位，若復(fù)數(shù)是純虛數(shù)，則的值為（ ）
A．-3 B．-1 C．1 D．3
練 習(xí)
一、單選題
1．已知i是虛數(shù)單位，若是實數(shù)，則實數(shù)（ ）
A．2 B．-2 C．1 D．-1
2．若復(fù)數(shù) (為虛數(shù)單位)，則（ ）
A． B．
C． D．
3．已知，則（ ）
A． B．
C． D．
4．（多選）若實數(shù)，滿足，則（ ）
A．的共軛復(fù)數(shù)為 B．
C．的值可能為 D．
5．已知復(fù)數(shù)和，則（ ）
A． B． C． D．
6．設(shè)復(fù)數(shù)滿足，為虛數(shù)單位，則（ ）
A．1 B．2 C． D．
7．已知為虛數(shù)單位，復(fù)數(shù)，則的共軛復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
8．已知復(fù)數(shù)z滿足，（i為虛數(shù)單位），則（ ）
A． B．復(fù)數(shù)z的共軛復(fù)數(shù)為
C．復(fù)數(shù)z的虛部為 D．復(fù)數(shù)z是方程的一個虛根
二、解答題
1.計算：（1）； （2）已知，，求，．
2.計算：①；②；③．
3．計算下列各式的值.
（1）； （2）； （3）.
3．計算：（1）；
（2）；
（3）.
4.如圖所示，平行四邊形OABC的頂點O，A，C分別表示0，3＋2i，－2＋4i.求：
（1）表示的復(fù)數(shù)； （2）對角線表示的復(fù)數(shù)； （3）對角線表示的復(fù)數(shù)．
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