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〔北教傳媒
公27世紀載自
⊙3線段的垂直平分線
學習淚標
1.掌握線段垂直平分線的性質定理、判定定理
以及三角形三條邊的垂直平分線的性質，并能運
用它們進行有關的計算和證明。
2.能夠利用尺規作出已知線段的垂直平分線.已
回在△ABC中，已知
知底邊和底邊上的高，能利用尺規作出等腰三
CD是線段BA的垂直
角形.
平分線，那么點C到點
溫故知新
A,點B的距離是否
相等？
1.線段的中點：把一條線段分成相等的兩條線段的
點叫做線段的中點。
2.直角三角形全等的判定方法：SSS,ASA,AAS
SAS,HL.
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線段垂直平分線的性質定理及
狀元說
(1)此性質是證明兩條線段相等的
其逆定理
常用方法之一
(2)到線段兩個端點的距離不相等的點一
定理：線段垂直平分線上的點
定不在這條線段的垂直平分線上
到這條線段兩個端點的距離相等，
如圖所示，直線CD⊥AB于
線段的垂直平分線上的任意一
點C,且C為線段AB的中點，則
點到線段兩個端點的距離相等.反
直線CD是線段AB的垂直平分
過來，到一條線段兩個端點距離相
線，M是直線CD上任意一點，則
等的點，在這條線段的垂直平分線
MA-MB.
上.這是線段垂直平分線性質定理
0
的逆定理，同時也是線段垂直平分
M
線的判定定理，
線段的軸對稱性：在平面上任
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意畫一條線段，沿它的垂直平分線
分析連接BD.由到線段兩個端點
將該線段對折后，線段中點兩旁的
距離相等的點在這條線段的垂直平
部分一定可以互相重合，所以線段
分線上，得直線AC垂直平分線段
是軸對稱圖形，它的對稱軸是這條
BD,然后即可求證.
線段的垂直平分線。
證明3(1)連接BD,如圖示，
例①(2022·內蒙古鄂爾多斯中考)】
.'AB=AD,
如圖，在△ABC中，邊BC的垂直平
.點A在線段BD的垂直平分
分線DE交AB于點D,連接DC,若
線上
AB=3.7,AC=2.3,則△ADC的周
.BC=DC,
長是
.點C在線段BD的垂直平分線上
兩點確定一條直線，
∴.直線AC是線段BD的垂直平分線，
又點E在AC上，BE=DE
(2)在△ABE和△ADE中，
解析，邊BC的垂直平分線DE交
AB-AD.
AB于點D,
.BE=DE,
.'.BD=CD.
AE-AE,
AB=3.7,AC=2.3,
∴.△ABE≌△ADE(SSS),
.·△ADC的周長為AD+CD+AC
∴.∠ABE=∠ADE.
=AB+AC=6.
故答案為6.
6
解題有妙招欲證線段相等，可通過證明
三角形全等或用線段垂直平分線的性質定理
例②如圖所示，AB=AD,BC=DC,
得到，本題綜合運用線段的垂直平分線的性
點E是AC上的一點.求證：
質定理和性質定理的逆定理得出BE=DE,再
證明三角形全等，得到對應角相等，
【即學即試】見P33各個擊破一
2
三角形三條邊的垂直平分線的
(1)BE=DE;
性質
(2)∠ABE=∠ADE.
三角形三條邊的垂直平分線相
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D八年級
附：本書參考答案及解析
第一章
三角形的證明
∴.△ABE≌△ABD(SAS),
∴BE=BD(③正確).
參考答案
1
等腰三角形
5100
解析由已知可得△ADC≌△CEB,
'極速特訓營
六∠ACD=∠CBE-號∠ABC=40.
1C解析利用全等三角形的判定定理可得
.∠BDP=∠A+∠ACD=60°+40°=100°.
△ADE≌△ADC,.DE=DC,AE=AC=BC
6D(解折}在△ABC中，，∠A=36°，AB=
.BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE
AC,.∠ABC=∠C=72.
=AE+BE=AB=6 cm.
.BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36°，
2A
∠A=∠ABD,∴△ABD是等腰三角形.
3D(解析，AC=BC,
.∠CDB=-∠A+∠ABD=72,
△ABC是等腰三角形，
.∠C=∠CDB=72°，
,∠C=120°，
∴△CBD是等腰三角形，BC=BD.
∴∠AB=2180°-∠C0=2(180°-120）
,BE=BC,∴，BD=BE,
=30°，
∴△EBD是等腰三角形，易得∠BED=72
.∠ABC+∠1=30°+43=73°，
在△AED中，，∠A=36,
a∥b,
∴.∠ADE=∠BED-∠A=36,
.∠2=∠ABC+∠1=73.
∴∠ADE=∠A,
故選D.
∴△AED是等腰三角形.
4D
解析，△ABC是等邊三角形，AD是
:在△ABC中，AB=AC
△ABC的角平分線，AD⊥BC(①正確)，且
∴△ABC是等腰三角形.
∠BMD-號∠BAC=30
故共有5個等腰三角形.故選D.
,△ADE是等邊三角形，∴.∠EAD=60,
7解9AB=AC,∴∠B=∠C
又∠BAD=30°，.∠EAB=30°，
:∠BAD=∠CAE,
AB是∠EAD的平分線，
.∠B+∠BAD=∠C+∠CAE,
∴.EF=FD(②正確).
∴∠ADE=∠AED,AD=AE,
AE=AD.
∴.△ADE是等腰三角形
在△ABE和△ABD中，
∠EAB=∠DAB,
8三角形中沒有大于或等于60°的角（或者三角
AB=AB,
形的所有內角都小于60)
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數
954
解析設AB交EF、FD于點N,M,AC交
'D為BC的中點，AB=AC,∠ABC=30°，
學
EF、ED于點G、H,BC交FD、ED于點O、P,
∴.AD⊥BC,A'D⊥B'C,A'D是∠BA'C的
連接MG.MH,MP,如圖，
平分線，AD是∠BAC的平分線，
參考答
.∠BA'C=∠BAC=120°，
.∠BAD=∠CA'D=60,
.A'D=AD.
.△A'AD是等邊三角形，
..A'A=AD=A'D=1.
由三角形內角和定理可得∠GNM+∠NMO
∠BA'B'=180°-∠BA'C'=60,
+∠MOP+∠OPH+∠PHG+∠HGN=
∴.∠BA'B'=∠A'AD,
180°×4=720°，
∴.A'B'∥AD,
,六邊形MNGHPO是正六邊形，
.A'O⊥BC
..∠GNM=∠NMO=720°÷6=120°，
..∠FNM=∠FMN=60°，
在Rt△BAD中，∠ABD=30°，
△FMN是等邊三角形，
..AB=2AD=2,..BA'=BA-AA'=1,
同理可證明△ANG、△BMO、△DOP、
在R△AB0中，AO=合BA=2
△CPH、△EGH是等邊三角形，
..MO=BM,NG=AN.OP=PD,GH=HE,
0=7-9
..NG+MN+MO=AN+MN+BM=AB,
易得∠A'BD=∠A'DO=30°，
GH+PH+OP-HE+PH+PD-DE,
∴.BO=OD,.BD=2OD=√3，
,等邊△ABC≌等邊△DEF,
..AB=DE,
.A'B'=2A'D=2.∴.OB=2-
3
2
2
.AB=27 cm,
1
.'DE=27 cm,
∴.S△B'D=
2
X BDX B(0=XV5X號
.正六邊形MNGHPO的周長為NG+MN+
3W3
MO+GH+PH+OP=AB+DE=54 cm.
4
故答案為54.
1110或100°
解如圖，
103v3
在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，
4
解如圖所示，設A'B與BD交于點
.∠ACB=180°-40°-80°=60°，
O,連接A'D和AD,
由作圖可知，AC=AD.
∴.∠ACD=∠ADC=2(180°-80)=50，
∴.∠BCD=∠ACB-∠ACD=60°-50
=10°：
由作圖可知，AC=AD,
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