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4角平分線
4
學習淚標
1.掌握角平分線的性質定理、判定定理，并能運
用它們解決實際問題，
2.掌握三角形三個內角平分線的性質，并能運用
其解決問題
3.能夠用尺規作已知角的平分線.
回給定一個角，你能
熟練地畫出該角的平分
盒敵知新
線嗎？角平分線又有哪
1.角平分線的定義：從一個角的頂點引出一條射
些性質呢？下面就讓我
線，如果這條射線把這個角分為兩個相等的角，
們一起來探索吧
那么這條射線叫做這個角的平分線
2.點到直線的距離：直線外任意一點到這條直線的
垂線段的長度，叫做點到直線的距離。
課堂直播間
沿鹿免階不能的你
1
角平分線的性質定理
例①如圖所示，在△ABC中，∠C=
定理：角平分線上的點到這個
90°，BD平分∠ABC,交AC于點D,
角的兩邊的距離相等。
AC=15cm,且CD：AD=2：3,求
如圖所示，O℃是
B
點D到AB的距離，
D
∠AOB的平分線，點
P為OC上任意一點，
PE⊥OA,PF⊥OB,垂足分別為點
E,F,則PE=PF
分析如圖，過點D作DEAB,
另外，此圖中還有∠BOC=
垂足為E,則DE的長就是點D
∠AOC,OF=OE
到AB的距離.又因為BD是
識多一點點角平分線的性質定理中的
∠ABC的平分線，∠C=90°，所
“距島是指點到射線的距離，是垂線段的長度
以DE=DC.再由已知條件求出
×配北師大版數學八年級下135
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DC的長度即可.
解 如圖，過點D作DE⊥AB,垂足
視頻講解
為E.
D
章
,DE⊥AB,DC⊥BC,BD是
分析要證明點P在∠A的平分線
∠ABC的平分線，
上，只需證明點P到∠A的兩邊距
∴.DE=DC
離相等即可.因此過點P作PD
.'CD:AD=2:3,AC=15 cm,
BC,PM⊥AC,PN⊥AB,利用已知
.'.CD=6 cm,
條件證明PM=PN.
.'DE=6 cm,
證明E如圖，過點P作PD⊥BC,PM
∴.點D到AB的距離是6cm.
⊥AC,PN⊥AB,垂足分別為D,
小解題有妙招本題主要是利用角平分線上
M.N.
的點到這個角的兩邊的距離相等，將，點D到
邊AB的距離轉化為線段CD的長。
因為BE平分∠ABC,PD⊥BC,PN
【即學即試】見P39各個擊破
⊥AB,
所以PD=PN(角平分線上的點到
2
角平分線性質定理的逆定理
這個角兩邊的距離相等).同理，PD
(判定定理)
=PM,所以PM=PN,所以點P在
定理：在一個角的內部，到角的
∠A的平分線上（在一個角的內部，
兩邊距離相等的點在這個角的平分
到角的兩邊距離相等的點在這個角
線上
的平分線上).
如圖所示，已知
解題有妙招要證明一個點在某角的平分
∠AOB及其內部一
線上，只需證明這個點到角兩邊的距離相等
點P,PE⊥OB于點
即可
E,PF⊥OA于點F,
【即學即試】見P40各個擊破二
連接OP.若PE=PF,則OP平
3
三角形三個內角平分線的性質
分∠AOB.
性質：三角形的三條角平分線
例②如圖所示，已知△ABC的兩內角
相交于一點，并且這一點到三條邊
的平分線BE,CF相交于點P.求證：
的距離相等。
點P在∠A的平分線上
如圖所示，具備條件“在△ABC
361配北師大版數學八年級下
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D八年級
附：本書參考答案及解析
第一章
三角形的證明
∴.△ABE≌△ABD(SAS),
∴BE=BD(③正確).
參考答案
1
等腰三角形
5100
解析由已知可得△ADC≌△CEB,
'極速特訓營
六∠ACD=∠CBE-號∠ABC=40.
1C解析利用全等三角形的判定定理可得
.∠BDP=∠A+∠ACD=60°+40°=100°.
△ADE≌△ADC,.DE=DC,AE=AC=BC
6D(解折}在△ABC中，，∠A=36°，AB=
.BD+DE+BE=BD+DC+BE=BC+BE
AC,.∠ABC=∠C=72.
=AE+BE=AB=6 cm.
.BD平分∠ABC,∴∠ABD=∠CBD=36°，
2A
∠A=∠ABD,∴△ABD是等腰三角形.
3D(解析，AC=BC,
.∠CDB=-∠A+∠ABD=72,
△ABC是等腰三角形，
.∠C=∠CDB=72°，
,∠C=120°，
∴△CBD是等腰三角形，BC=BD.
∴∠AB=2180°-∠C0=2(180°-120）
,BE=BC,∴，BD=BE,
=30°，
∴△EBD是等腰三角形，易得∠BED=72
.∠ABC+∠1=30°+43=73°，
在△AED中，，∠A=36,
a∥b,
∴.∠ADE=∠BED-∠A=36,
.∠2=∠ABC+∠1=73.
∴∠ADE=∠A,
故選D.
∴△AED是等腰三角形.
4D
解析，△ABC是等邊三角形，AD是
:在△ABC中，AB=AC
△ABC的角平分線，AD⊥BC(①正確)，且
∴△ABC是等腰三角形.
∠BMD-號∠BAC=30
故共有5個等腰三角形.故選D.
,△ADE是等邊三角形，∴.∠EAD=60,
7解9AB=AC,∴∠B=∠C
又∠BAD=30°，.∠EAB=30°，
:∠BAD=∠CAE,
AB是∠EAD的平分線，
.∠B+∠BAD=∠C+∠CAE,
∴.EF=FD(②正確).
∴∠ADE=∠AED,AD=AE,
AE=AD.
∴.△ADE是等腰三角形
在△ABE和△ABD中，
∠EAB=∠DAB,
8三角形中沒有大于或等于60°的角（或者三角
AB=AB,
形的所有內角都小于60)
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數
954
解析設AB交EF、FD于點N,M,AC交
'D為BC的中點，AB=AC,∠ABC=30°，
學
EF、ED于點G、H,BC交FD、ED于點O、P,
∴.AD⊥BC,A'D⊥B'C,A'D是∠BA'C的
連接MG.MH,MP,如圖，
平分線，AD是∠BAC的平分線，
參考答
.∠BA'C=∠BAC=120°，
.∠BAD=∠CA'D=60,
.A'D=AD.
.△A'AD是等邊三角形，
..A'A=AD=A'D=1.
由三角形內角和定理可得∠GNM+∠NMO
∠BA'B'=180°-∠BA'C'=60,
+∠MOP+∠OPH+∠PHG+∠HGN=
∴.∠BA'B'=∠A'AD,
180°×4=720°，
∴.A'B'∥AD,
,六邊形MNGHPO是正六邊形，
.A'O⊥BC
..∠GNM=∠NMO=720°÷6=120°，
..∠FNM=∠FMN=60°，
在Rt△BAD中，∠ABD=30°，
△FMN是等邊三角形，
..AB=2AD=2,..BA'=BA-AA'=1,
同理可證明△ANG、△BMO、△DOP、
在R△AB0中，AO=合BA=2
△CPH、△EGH是等邊三角形，
..MO=BM,NG=AN.OP=PD,GH=HE,
0=7-9
..NG+MN+MO=AN+MN+BM=AB,
易得∠A'BD=∠A'DO=30°，
GH+PH+OP-HE+PH+PD-DE,
∴.BO=OD,.BD=2OD=√3，
,等邊△ABC≌等邊△DEF,
..AB=DE,
.A'B'=2A'D=2.∴.OB=2-
3
2
2
.AB=27 cm,
1
.'DE=27 cm,
∴.S△B'D=
2
X BDX B(0=XV5X號
.正六邊形MNGHPO的周長為NG+MN+
3W3
MO+GH+PH+OP=AB+DE=54 cm.
4
故答案為54.
1110或100°
解如圖，
103v3
在△ABC中，∠ABC=40°，∠BAC=80°，
4
I解如圖所示，設A'B與BD交于點
.∠ACB=180°-40°-80°=60°，
O,連接A'D和AD,
由作圖可知，AC=AD.
∴.∠ACD=∠ADC=2(180°-80)=50，
∴.∠BCD=∠ACB-∠ACD=60°-50
=10°：
由作圖可知，AC=AD,
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