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片21世紀(jì)教息
18.2.2菱形
孕習(xí)目標(biāo)
1.探索并掌握菱形的概念與性質(zhì)，能夠正
確地應(yīng)用菱形的性質(zhì)進(jìn)行相關(guān)的計(jì)算和證明，
2.探索并掌握菱形的判定定理，并能利用菱形的
判定定理解決相關(guān)問(wèn)題，
3.通過(guò)應(yīng)用菱形的性質(zhì)與判定定理進(jìn)行證明，進(jìn)
回飛機(jī)在天空中組
一步發(fā)展邏輯思維能力和推理論證能力：
成了菱形編隊(duì)，讓我們
一起領(lǐng)略菱形之美吧！
溫故知新
平行四邊形的性質(zhì)：對(duì)邊平行且相等；對(duì)角相等，
鄰角互補(bǔ)；對(duì)角線互相平分
課堂直播間
驗(yàn)就無(wú)所不能的你
菱形的概念和性質(zhì)
(2)菱形的兩條對(duì)角線
有一組鄰邊相等的平行四邊形
互相垂直，并且每一條對(duì)角
動(dòng)畫演示
叫做菱形，
線平分一組對(duì)角；
識(shí)多一點(diǎn)點(diǎn)丫菱形的定義既是它的一條性
(3)菱形是軸對(duì)稱圖形，其對(duì)稱
質(zhì)也是它的一種判定方法，應(yīng)用較為廣泛.菱
形必須滿足兩個(gè)條件：(1)四邊形是平行四邊
軸是對(duì)角線所在的直線.
形；(2)一組鄰邊相等
識(shí)多一點(diǎn)點(diǎn)(1)由于菱形的對(duì)角線互相垂
菱形是一種特殊的平行四邊
直平分，許多涉及菱形的問(wèn)題都可以利用直
角三角形的性質(zhì)得以解決，因此要抓住這
形，因此菱形首先具有平行四邊形
有利條件.
的所有性質(zhì)，即兩組對(duì)邊分別平行
(2)菱形的兩條對(duì)角線將菱形分成四個(gè)全
且相等，對(duì)角線互相平分，是中心對(duì)
等的直角三角形，菱形的面積等于對(duì)角線長(zhǎng)
稱圖形.其次菱形還具有其獨(dú)特的
乘積的一半.由此拓展可以得出，對(duì)角線互相
性質(zhì)：
垂直的任意四邊形的面積等于對(duì)角線長(zhǎng)乘積
的一半
(1)菱形的四條邊都相等；
921配人救版數(shù)學(xué)八年級(jí)下>
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<例①(2022·黑龍江哈爾濱中考)如
圖，菱形ABCD的對(duì)角線AC,BD相
交于點(diǎn)O,點(diǎn)E在OB上，連接AE,
點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，連接OF,若AE
(1)求BD的長(zhǎng)；
=BE,OE=3,OA=4,則線段OF的
(2)求菱形ABCD的面積.
長(zhǎng)為
分析由菱形的性質(zhì)，知△AOD是直
角三角形，從Rt△AOD的有關(guān)計(jì)算
著手解此題.
解(1)，·四邊形ABCD為菱形，
解析已知四邊形ABCD是菱形，對(duì)
.BD平分∠ADC,OD=OB=
角線互相垂直平分，
3D,
.AC⊥BD,在Rt△AOE中，
.'OE=3,OA=4,
A0=0C=
AC-6/3 cm.
18
'.根據(jù)勾股定理得AE=√32十42
∴.∠ADB=60°.
章
=5,
又，AC⊥BD,∴.在Rt△AOD中，
.'AE=BE,
∠OAD=30°.
∴.OB=AE+OE=8,
設(shè)OD=xcm,則AD=2.xcm.根據(jù)
在Rt△AOB中，AB=√J42+82=
勾股定理，得(2x)2=(6√3)2十x2,
45,
解得x=6,
即菱形的邊長(zhǎng)為4√5，
.∴.BD=12cm.
點(diǎn)F為CD的中點(diǎn)，點(diǎn)O為DB
(2)S菱形ABCD=
AC·BD=X
的中點(diǎn)，
12√3×12=72√3(cm2).
∴0F=)BC=25.故答案為2V5.
解題有妙招當(dāng)菱形中給出一個(gè)角的度
數(shù)，如120°，60°時(shí)，通常需要聯(lián)想到等邊三角
2√5
形和直角三角形.
例②如圖，在菱形ABCD中，已知
【即學(xué)即試】見(jiàn)P97各個(gè)擊破一
∠ADC=120°，AC=12V3cm.
《配人數(shù)版數(shù)學(xué)八年級(jí)下193
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八級(jí)
數(shù)
424
17
cm.
∴BM=BC-CM=B-1，
2
學(xué)
當(dāng)CD為斜邊時(shí)，CD3=AC2+AD2,即(34
∴.BH=√HME+BE=√2.
參
x)2=62+x2+242,解得x=8,即BC=8cm.
故答案為√2.
綜上，當(dāng)點(diǎn)C距離點(diǎn)B號(hào)cm或8cm時(shí)，
案
△ACD是直角三角形，并且AD是其中一條
直角邊
第十八章
平行四邊形
9解曰四邊形ABCD是平行四邊形，
SABCD=2SAABC.
18.1平行四邊形
,'BF=2AF,△BEA與△BEF中過(guò)點(diǎn)E的
18.1.1平行四邊形的性質(zhì)
高相等，S%E=號(hào)S6
“極速特訓(xùn)營(yíng)
同理，S△AC=
23
S△EF=
1解3圖中共有18個(gè)平行四邊形.
9
S△m.
表示略。
2D 3B 4D 5B 6B 7B
六SD=2SAc=2X號(hào)SAF=2X
8√2解析如圖所示，過(guò)點(diǎn)H作HM⊥BC于
9
X2=9(cm2).
點(diǎn)M,
18.1.2平行四邊形的判定
由作圖方法可知，BH平分∠ABC,
∠ABH=∠CBH,
極速特訓(xùn)營(yíng)
四邊形ABCD是平行四邊形，
1解9CD∥AE且CD=AE.
.BC=AD=√3+1，AB∥CD,
證明如下：，∠EAO=∠OCD,∴·AE∥CD
.∠CHB=∠ABH,∠C=180°-∠ABC=
又，EC∥AD,
30°，
四邊形ADCE為平行四邊形，
∴∠CBH=∠CHB,
.CD∥AE且CD=AE.
.CH=BC=√3+1，
2B3D
HM-CH-+1
4證明E在平行四邊形AECF中，OA=OC,OE
2
=OF.
∴CM-=√CH-HMP-3+E
:E,F分別是BO,OD的中點(diǎn)
2221配人敷版數(shù)學(xué)八年級(jí)下，
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D八級(jí)
..2OE=2OF,即OB=OD.
∠OBE=∠ODF,
數(shù)
又.OA=OC,
在△BOE和△DOF中，OB=OD,
學(xué)
四邊形ABCD是平行四邊形
∠BOE=∠DOF,
5證明3(1)，BE=CF,
∴.△BOE2△DOF(ASA).
..BE+EC=EC+CF.
(2),△BOE≌△DOF,
.BC=EF,
..EO=FO.
參考答案
在△ABC和△DFE中，
.OB=OD.
(AB=DF.
,四邊形BEDF是平行四邊形
AC=DE,
.DE=BF.
BC=FE.
7C解析如圖所示，過(guò)點(diǎn)B作BE⊥AC,垂足
..△ABC≌△DFE(SSS),
為E.由題意知OC是△ABE的中位線，則h1
∠ABC=∠DFE,
=20C,同理可得h2=2OC..h1=h2=2OC
∴.AB∥DF,
B
又AB=DF,
,四邊形ABDF是平行四邊形
(2)由(1)知，△ABC≌2△DFE.
8B
解折，D,E,F分別是BC,AC,AB的
∴∠ACB=∠DEF,AC=DE,
AE=AC,
中點(diǎn)，
.·∠AEC=∠ACE=∠DEF,AE=DE,
∴.EF,ED都是△ABC的中位線，
,.∠AEB=∠DEB,
:EF/∥BC,ED/AB且EF=合BC=號(hào)X8
在△AEB和△DEB中，
=4,ED=2AB=2×6=3,
EB=EB.
X∠AEB=∠DEB,
四邊形BDEF是平行四邊形，
AE=DE.
∴.BD=EF=4,BF=ED=3,
,.△AEBC2△DEB(SAS),
'.四邊形BDEF的周長(zhǎng)為BF十BD十ED十
∴.AB=DB.
EF=3+4+3十4=14.
6證明照(1)，四邊形ABCD是平行四邊形，O
故選B.
是BD的中點(diǎn)，
9(1)證明E由題意，得
AB∥DC,OB=OD,
∠1=∠2，∠ANB=∠AND=90°
,.∠OBE=∠ODF
在△ABN和△ADN中，
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