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18.2.3正方形
學習淚標
1.掌握正方形的概念、性質及判定方法
2.會運用正方形的性質和判定方法進行有關的證
明和計算，
3.通過分析平行四邊形、矩形、菱形和正方形的
概念、性質之間的聯系與區別，進一步加深對
“特殊與一殷”的認識，培養辯證統一的思想.
4.掌握正方形的對稱性以及面積的計算方法.
@生活中，我們經常
瘟故知新
會遇到各種各樣的正方
1.矩形的判定：(1)三個角都是直角的四邊形；
形圖案，這節課大家
(2)對角線相等的平行四邊形；
起來認識一下正方
(3)有一個角是直角的平行四邊形
形吧！
2.菱形的判定：(1)四條邊都相等的四邊形；
(2)一組鄰邊相等的平行四邊形；
(3)對角線互相垂直的平行四邊形.
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沿能免所不能的你
1
正方形的概念和性質
②正方形的對角線相等且互相垂
(1)概念
直平分，每條對角線平分一組對角：
四條邊都相等，四個角都是直
③正方形是中心對稱圖形，對
角的四邊形叫做正方形.
角線的交點是它的對稱中心；
識多一點點丫正方形既是有一組鄰邊相等
④正方形是軸對稱圖形，兩條
的矩形，又是有一個角是直角的菱形，既是矩
對角線所在的直線以及過每一組對
形，又是菱形的四邊形是正方形.
邊中點的直線都是它的對稱軸，
識多一點點
(2)性質
(1)正方形具有菱形和矩形的
一切性質。
①正方形的四條邊都相等，四
(2)正方形的每一條對角線把正方形分成
個角都是直角：
配人教版數學八年級下199
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兩個全等的等腰直角三角形，兩

.四邊形PECF為矩形，
條對角線把正方形分成四個小的
.PC=EF,.'.AP=EF.
全等的等腰直角三角形
視頻講解
解題有妙招(1)在正方形中，常利用對角
(3)若正方形的邊長為，則對角線的長
線互相垂直平分證明線段相等：(2)無論是正
為√2a,面積為a2.
方形還是矩形，經常通過連接對角線使分散
(4)正方形是軸對稱圖形，它有四條對
的條件集中。
稱軸】
【即學即試】見P104各個擊破一
(5)正方形一條對角
平行四邊形
線上的一點到另一條對角
正方形的判定
正
線的兩瑞距離相等，
菱
判定一個四邊形是正方形可以
形
(6)矩形、菱形、正方
先判定它是矩形，再判定它是菱形；
形都是特殊的平行四邊形，它們的包含關系
或先判定它是菱形，再判定它是矩
如圖所示.
形.具體方法：(1)先證它是矩形，再
證它有一組鄰邊相等或對角線互相
18
例①如圖，過正方形ABCD的對角線
垂直；(2)先證它是菱形，再證它有
BD上一點P,作PE⊥BC于點E,
章
一個角是直角或對角線相等.
作PF⊥CD于點F.求證：AP=EF.
學霸筆記。
(1)正方形的兩種判定方法均要用到矩形
項井解
和菱形的判定定理，矩形和菱形的判定定理
是判定正方形的基礎.(2)上述兩種判定方法
是判定四邊形是正方形的一般方法，可當作
分析連接AC,PC,由PE⊥BC,PF
判定定理用，但由于判定平行四邊形、矩形、菱
⊥CD,知四邊形PECF為矩形，故
形的方法各異，所給出的條件各不相同，所以
有EF=PC,這時只需證AP=CP
判定一個四邊形是不是正方形的具體方法也
由正方形的對角線互相垂直平分，
可作相應變化，在應用時要仔細辨別，然后作
知AP=CP
出判斷.(3)對角線互相垂直平分且相等的四
證明膽如圖，連接AC,PC
邊形是正方形
四邊形ABCD是正方形，
例②如圖所示，在
.BD垂直平分AC,.AP=CP.
△ABC中，∠ACB=
,PE⊥BC,PF⊥CD,∠BCD
90°，CD
平分
=90°，
1001配人敦版數學八年級下~
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八級
數
424
17
cm.
∴BM=BC-CM=B-1，
2
學
當CD為斜邊時，CD3=AC2+AD2,即(34
∴.BH=√HME+BE=√2.
參
x)2=62+x2+242,解得x=8,即BC=8cm.
故答案為√2.
綜上，當點C距離點B號cm或8cm時，
案
△ACD是直角三角形，并且AD是其中一條
直角邊
第十八章
平行四邊形
9解曰四邊形ABCD是平行四邊形，
SABCD=2SAABC.
18.1平行四邊形
,'BF=2AF,△BEA與△BEF中過點E的
18.1.1平行四邊形的性質
高相等，S%E=號S6
“極速特訓營
同理，S△AC=
23
S△EF=
1解3圖中共有18個平行四邊形.
9
S△m.
表示略。
2D 3B 4D 5B 6B 7B
六SD=2SAc=2X號SAF=2X
8√2解析如圖所示，過點H作HM⊥BC于
9
X2=9(cm2).
點M,
18.1.2平行四邊形的判定
由作圖方法可知，BH平分∠ABC,
∠ABH=∠CBH,
極速特訓營
四邊形ABCD是平行四邊形，
1解9CD∥AE且CD=AE.
.BC=AD=√3+1，AB∥CD,
證明如下：，∠EAO=∠OCD,∴·AE∥CD
.∠CHB=∠ABH,∠C=180°-∠ABC=
又，EC∥AD,
30°，
四邊形ADCE為平行四邊形，
∴∠CBH=∠CHB,
.CD∥AE且CD=AE.
.CH=BC=√3+1，
2B3D
HM-CH-+1
4證明E在平行四邊形AECF中，OA=OC,OE
2
=OF.
∴CM-=√CH-HMP-3+E
:E,F分別是BO,OD的中點
2221配人敷版數學八年級下，
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D八級
..2OE=2OF,即OB=OD.
∠OBE=∠ODF,
數
又.OA=OC,
在△BOE和△DOF中，OB=OD,
學
四邊形ABCD是平行四邊形
∠BOE=∠DOF,
5證明3(1)，BE=CF,
∴.△BOE2△DOF(ASA).
..BE+EC=EC+CF.
(2),△BOE≌△DOF,
.BC=EF,
..EO=FO.
參考答案
在△ABC和△DFE中，
.OB=OD.
(AB=DF.
,四邊形BEDF是平行四邊形
AC=DE,
.DE=BF.
BC=FE.
7C解析如圖所示，過點B作BE⊥AC,垂足
..△ABC≌△DFE(SSS),
為E.由題意知OC是△ABE的中位線，則h1
∠ABC=∠DFE,
=20C,同理可得h2=2OC..h1=h2=2OC
∴.AB∥DF,
B
又AB=DF,
,四邊形ABDF是平行四邊形
(2)由(1)知，△ABC≌2△DFE.
8B
解折，D,E,F分別是BC,AC,AB的
∴∠ACB=∠DEF,AC=DE,
AE=AC,
中點，
.·∠AEC=∠ACE=∠DEF,AE=DE,
∴.EF,ED都是△ABC的中位線，
,.∠AEB=∠DEB,
:EF/∥BC,ED/AB且EF=合BC=號X8
在△AEB和△DEB中，
=4,ED=2AB=2×6=3,
EB=EB.
X∠AEB=∠DEB,
四邊形BDEF是平行四邊形，
AE=DE.
∴.BD=EF=4,BF=ED=3,
,.△AEBC2△DEB(SAS),
'.四邊形BDEF的周長為BF十BD十ED十
∴.AB=DB.
EF=3+4+3十4=14.
6證明照(1)，四邊形ABCD是平行四邊形，O
故選B.
是BD的中點，
9(1)證明E由題意，得
AB∥DC,OB=OD,
∠1=∠2，∠ANB=∠AND=90°
,.∠OBE=∠ODF
在△ABN和△ADN中，
配人數版數學八年級下1223
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