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16.2二次根式的乘除
學習淚標
1.理解二次根式的乘法和除法法則，能熟
互×3=？
練運用二次根式的乘法和除法法則進行計算與
7÷5=？
化簡。
2.會進行二次根式的乘除混合運算
3.理解最簡二次根式的定義，能判斷一個式子是
回我們已經學過整
不是最簡二次根式，
式和分式的乘除運算，
這一節我們來學習一下
溫故知新
二次根式的乘除運算.
二次根式的概念：把形如√a(a≥0)的式子叫做二
次根式.使va有意義的條件是a≥0.
課堂直播問
造念免所不能的你
1
二次根式的乘法法則
(5)二次根式相乘，被開方數中有開得盡
般地，二次根式的乘法法則
方的因數或因式時一定要開方，
是Va·√b=√ab(a≥0，b≥0).
例①給出下列運算：①23×3√3=63；
狀元說(1)此法則可推廣到多個二次根式
②w(-49)X(-6)=-7w6:③4wa·√b
相乘的情況，即√a·√B·√c=√abc(a≥0，b≥
=4a√石.其中正確的有()
0,c≥20).
(2)當二次根式的系數不為1時，可類比
A.0個B.1個C.2個D.3個
單項式與單項式相乘的法則，即4石·c√a=
解析①2√3×3√3=2×3X/3X3
acbd(b≥0，d≥0).
6X3=18,故①錯誤；②原式=7√6，
(3)運用法則進行二次根式的乘法運算
故②錯誤；③4√a·√i=4√ab,故
時，一定不能忽略被開方數均為非負數這一
③錯誤.故選A.
A
限制條件
(4)當√ā與b可以化簡時，一般先化簡再
高分決勝點/幾個二次根式相乘，把它們
的系數相乘得到的積作為積的系數，把它們
相乘，但對a,b相乘后乘積為完全平方數的情
的被開方數相乘，根指數不變
況可以先相乘再化簡，
【即學即試】見P16各個擊破一
101配人敷版數學八年級下
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<2
二次根式乘法法則的逆用
=3√6.
把a·b=√ab(a≥0，b≥0)反
(5)/m4十m2n2=√/m2(m2+n2)=
過來，就得到Wab=√a·Vb(a≥0，b
/m2·m2+n2=m√/m2+n2(m≥
≥0)，即積的算術平方根等于積中
0)
各因數或因式的算術平方根的積.
解題有妙招在逆用二次根式的乘法法則
利用它可以進行二次根式的化簡.
章
進行化簡時，一要注意公式中的限制條件；二
識多一點點(1)公式中的“，b既可以是數
要注意被開方數一定是乘積的形式，不要出
也可以足代數式，但必須都是非負的
現√a十=十√匠這樣的錯誤；三要注
(2)在進行二次根式的化簡時，將能開得
意被開方數中有兩個負因數相乘時，耍先去
盡方的因式或因數開方后移到根號外，
掉負號，再進行化簡。
(3)此公式可以推廣到含有多個非負因式
【即學即試】見P17各個擊破二
(或因數)的形式，即√ab=√a·√b·√(a
3
二次根式的除法法則
0,b≥0，c≥0).
般地，二次根式的除法法則
例②化簡：
(a≥0，b>0)
(1)W/9×16;
(2)/(-36)X(-100);
狀元說
(1)應特別注意a,b的符號，a≥0，
6>0,不要誤以為b0.
(3)√/9x2y2(x≥0，y≥0)；
視頻講解
(2)當二次根式前面的系數不為1時，可
(4)/54;(5)w/m4+m2n2(m≥0)
類比單項式除以單項式的運算法則進行計
分析利用ab=√a·√b(a≥0，b≥0)
算，即系數的商作為商的系數，被開方數的商
作為商的被開方數，
直接化簡即可.
(3)在二次根式的計算中，最后結果應不
解3(1)√/9×16=√9×√16=3×4
含能開得盡方的因數或因式，若為分數或分
=12
式，則分母不含二次根式
(2)√/(-36)×(-100)=√/36X100
例③計算：
=√/36×/100=6×10=60
(1)√24÷√6；
(3)W9x2y2=√9XwWx2X√y2=3xy
(2)
(x≥0，y≥0).
(4W54=√9X6=√9X6=√32X√6
分析)(1)題可直接利用二次根式的
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八年級
學
附：本書參考答案及解析
第十六章
二次根式
10曜E因為a,b,c為△ABC的三邊長，
參考答
所以a十b十c>0,a-b-c<0,b-a-c<0,c
16.1二次根式
-b-a0,所以原式=|a十b十c十|a-b
極速特訓營
c+b-a-cl-c-b-al=a+b+c-a+b
1D
,解折要使式子十巴在實數范國內有意
+c-b+a+c+c-8-a=4c.
a
11解E該同學的答案是不正確的.
「a+2≥0，
義，則
所以a≥一2且a≠0.
理由如下：a十√a2-2a十1=a十|a-1.
la≠0，
當a≥1時，原式=a十a-1=2a-1;
2x≥8
當a<1時，原式=a一a十1=1.
3x>-2且x≠1
4解v2,w√x,√x-1(x≥1)，√1+m2,
:該同學求得的答案為了∴≥1，
0.35,V2+2x+,1+2x(≥-2）
.2a-1=
解得a=子，與≥1不-致。
都是二次根式：π，一8不是二次根式.
該同學的答案不正確.
(x2-4≥0，
16.2二次根式的乘除
51解由題意，得4-x2≥0，解得x=-2,
極速特訓營
1-x>0,
1懈e(1)5×√6×√/30=√5×6×30=
∴y=2,
5-2+-2
√/30×30=30.
6D
解析因為a<3,所以a一3<0，所以
√a2-6a+9=√/(a-3)2=-(a-3)=3-a.
故選D.
2解 (1)W3×√7=√/3X7=√/21.
7x≤3
群析}因為√(x一3)2=3一x=
(2)W2X√8=√/16=4.
(x一3)，所以x一30，所以x3.
4v=4…=4
8號
23a-號
3解@√/-25)×(-8)=√25X8=√/25×W8
93
=5×2√2=10√2
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八牛級
數
=(2+號+1)×6+(-號-)×E
學
1
考答
4 3vs+號0-4月
=√/15.
=9√2十√2-2V2=8√2.
5A
5解9(1)(2√G-4)(x+2)
6E√2-√
289_/289_17
=2(x-2)(√x+2)=2[(√x)2-22]
√/14412
=2(x-4)=2.x-8.
7A解折因為一3b>0,所以a,b異號】又a
(2)(3√2-45)2
b,所以b>0,a<0,則√-a3b=√a2·(-ab)
=(3√2)2-2×3√2×4W5+(45)2
=a√一ab=-a√一ab.故選A
=18-24√10+80=98-24/10.
8A9A
(3)(2-√3十5)(2+3-√5)
=[2-(w3-√5)][2+(w3-5)]
5
=22-(w3-√5)2=4-(3-2√/15+5)
=4-(8-2W/15)=-4+215.
3W49
62(解折，1<√2<2，
27v10.
.1<3-√2<2，
,3一√2的整數部分為a,小數部分為b,
16.3二次根式的加減
a=1,b=3-2-1=2-2,
”極速特訓營
∴.(2十√2a)·b=(2十√2)(2-√2)=2.
ID
故答案為2.
2解3，最簡二次根式Vm與√3m十n是可
7l解9(1)①原式=a2-3a十1-a2=1-3a.當a
以合并的二次根五武，
=時，原式=1-3×號=1-.
1十n=2,
m=0.
∴可列方程組
解得
n=3m十1，
n=2,
②原式=2-2.3=(x2.-3
x-3
x一3
.m=20=1.
x-2.
3E原式=26-2+號6-2+6
當x=7+1時，原式=√7+1-2=√7-1.
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