資源簡介

串講 復(fù)數(shù)
一、知識網(wǎng)絡(luò)
二、常考題型
三、知識梳理
（一）復(fù)數(shù)的概念
1.虛數(shù)單位
（1）它的平方等于，即；
（2）與－1的關(guān)系: 就是－1的一個(gè)平方根，即方程的一個(gè)根，方程的另一個(gè)根是；
（3）實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律）.
2. 概念
形如（）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫復(fù)數(shù)的虛部。
說明：這里容易忽視但卻是列方程求復(fù)數(shù)的重要依據(jù)。
3.復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛、0的關(guān)系
對于復(fù)數(shù)（），
復(fù)數(shù)的分類如下:
（）
4.復(fù)數(shù)相等的充要條件
兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等。即：
如果，那么.
特別地: .
5.復(fù)數(shù)相等的模
定義：向量的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模或絕對值.
記法：復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模記為|z|或|a＋bi|.
公式：|z|＝|a＋bi|＝.
6.共軛復(fù)數(shù)
兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而且虛部相反，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做共軛復(fù)數(shù)。即：
復(fù)數(shù)和（）互為共軛復(fù)數(shù)。
（二）復(fù)數(shù)的運(yùn)算
1.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式
復(fù)數(shù)通常用字母表示，即（），把復(fù)數(shù)表示成的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。
2.四則運(yùn)算
；；
復(fù)數(shù)除法通常上下同乘分母的共軛復(fù)數(shù)：
（三）復(fù)數(shù)范圍內(nèi)實(shí)系數(shù)一元二次方程的解
在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)討論實(shí)系數(shù)一元二次方程(a≠0)的解的情況為
四、常考題型探究
考點(diǎn)一 復(fù)數(shù)的概念
例1．復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別是（ ）
A．3，2 B．3，2i C．1，2 D．1，2i
【答案】C
【詳解】由題意，則復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別是1和2.
故選：C
例2．已知復(fù)數(shù)，試求實(shí)數(shù)為什么值時(shí)，復(fù)數(shù)分別為：
(1)實(shí)數(shù)；(2)純虛數(shù).
【答案】(1)(2)
【詳解】（1）解：若為實(shí)數(shù)，則，得：.
（2）解：若為純虛數(shù)，則且，解得：.
例3．適合的實(shí)數(shù)x、y的值為（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【答案】A
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義，聯(lián)立關(guān)于x、y的方程組求解即可．
【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)相等的定義可得，，解得.
故選：A．
【變式探究】1. 已知復(fù)數(shù)，，則的實(shí)部與虛部分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
【答案】A
【分析】應(yīng)用復(fù)數(shù)加法求，根據(jù)實(shí)部、虛部定義得答案.
【詳解】因?yàn)椋裕鋵?shí)部與虛部分別為，.
故選：A
2．已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【答案】D
【分析】化簡后，得到方程與不等式，求出.
【詳解】因?yàn)闉榧兲摂?shù)，
所以，解得.
故選：D．
3．若，則____.
【答案】0
【詳解】，又，
則，解之得，則
故答案為：0
考點(diǎn)二 復(fù)數(shù)的幾何意義
例1．設(shè)復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】A
【詳解】，，
在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為，在第一象限，
故選：A.
例2．設(shè)，則對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【詳解】因?yàn)椋裕詫?yīng)的復(fù)數(shù)是.
故選：D.
例3．復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（ ）
A．1 B． C． D．
【答案】D
【詳解】由已知．
故選：D．
例4．關(guān)于復(fù)數(shù)的方程在復(fù)平面上表示的圖形是（ ）
A．橢圓 B．圓 C．拋物線 D．雙曲線
【答案】B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)差的模的幾何意義，分析即可得答案.
【詳解】由于兩個(gè)復(fù)數(shù)差的模表示兩個(gè)復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)之間的距離，
所以關(guān)于復(fù)數(shù)的方程在復(fù)平面上表示的圖形是以（3,0）為圓心，1為半徑的圓.
故選：B
【變式探究】1. 設(shè)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義求出即可.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以對應(yīng)復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)的坐標(biāo)，
所以位于第二象限，
故選：B
2. 如圖，若向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，則z表示的復(fù)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【詳解】由圖可知，，所以z在復(fù)平面內(nèi)所對應(yīng)的點(diǎn)為，
則.
故選：C.
3. 若，則（ ）
A． B． C．3 D．2
【答案】A
【詳解】由，
故選：A
4. 若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)組成圖形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的幾何意義判斷在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)是半徑為2的圓及圓內(nèi)所有點(diǎn)，進(jìn)而求出其面積.
【詳解】在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)是半徑為2的圓及圓內(nèi)所有點(diǎn)，，
故選：D.
考點(diǎn)三 復(fù)數(shù)的運(yùn)算
例1. 計(jì)算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
【答案】(1)
(2)
(3)
(4)
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的加減運(yùn)算逐一計(jì)算即可得出（1）~（4）的答案；
【詳解】（1）
（2）
（3）
（4）
例2. 若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】計(jì)算出復(fù)數(shù)后再計(jì)算模長即可得.
【詳解】由，則，
則.
故選：A.
例3. 已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A． B． C．0 D．1
【答案】D
【分析】利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算，得到復(fù)數(shù)的代數(shù)形式，由此求得復(fù)數(shù)的虛部.
【詳解】因?yàn)椋蕴摬繛?.
故選：D．
例4. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于 ．
【答案】第一象限
【分析】先化簡，再利用復(fù)數(shù)的幾何意義即可判斷.
【詳解】因?yàn)?所以復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)，位于第一象限.
故答案為：第一象限
【變式探究】1. 設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【答案】B
【分析】講復(fù)數(shù)轉(zhuǎn)化為復(fù)平面上的點(diǎn)的坐標(biāo)進(jìn)行判斷即可.
【詳解】根據(jù)復(fù)數(shù)運(yùn)算可知：，在復(fù)平面對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為，
位于第二象限.
故選：B
2. 已知，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的除法法則直接計(jì)算.
【詳解】由，
得，
故選：C．
3. 計(jì)算：
(1)；
(2)．
【答案】(1)
(2)
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)的乘法運(yùn)算計(jì)算即可得出答案.
【詳解】（1）解：；
（2）解：.
考點(diǎn)四 解實(shí)系數(shù)一元二次方程
例1. 已知是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛數(shù)根，且滿足方程．
(1)求和．
(2)寫出一個(gè)以和為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程．
【答案】(1)，(2)（答案不唯一）
【詳解】（1）解：因?yàn)槭菍?shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛數(shù)根，
則互為共軛復(fù)數(shù)，
設(shè)，，代入中，
得，整理得，
，解得，，；
（2）；，
以和為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程可以為．
【變式探究】已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則__________.
【答案】
【詳解】由求根公式可得或，
所以
故答案為：串講 復(fù)數(shù)
一、知識網(wǎng)絡(luò)
二、常考題型
三、知識梳理
（一）復(fù)數(shù)的概念
1.虛數(shù)單位
（1）它的平方等于，即；
（2）與－1的關(guān)系: 就是－1的一個(gè)平方根，即方程的一個(gè)根，方程的另一個(gè)根是；
（3）實(shí)數(shù)可以與它進(jìn)行四則運(yùn)算，進(jìn)行四則運(yùn)算時(shí)，原有加、乘運(yùn)算律）.
2. 概念
形如（）的數(shù)叫復(fù)數(shù)，叫復(fù)數(shù)的實(shí)部，叫復(fù)數(shù)的虛部。
說明：這里容易忽視但卻是列方程求復(fù)數(shù)的重要依據(jù)。
3.復(fù)數(shù)與實(shí)數(shù)、虛數(shù)、純虛、0的關(guān)系
對于復(fù)數(shù)（），
復(fù)數(shù)的分類如下:
（）
4.復(fù)數(shù)相等的充要條件
兩個(gè)復(fù)數(shù)相等的定義：如果兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別相等，那么我們就說這兩個(gè)復(fù)數(shù)相等。即：
如果，那么.
特別地: .
5.復(fù)數(shù)相等的模
定義：向量的模叫做復(fù)數(shù)z＝a＋bi(a，b∈R)的模或絕對值.
記法：復(fù)數(shù)z＝a＋bi的模記為|z|或|a＋bi|.
公式：|z|＝|a＋bi|＝.
6.共軛復(fù)數(shù)
兩個(gè)復(fù)數(shù)的實(shí)部相等，而且虛部相反，那么這兩個(gè)復(fù)數(shù)叫做共軛復(fù)數(shù)。即：
復(fù)數(shù)和（）互為共軛復(fù)數(shù)。
（二）復(fù)數(shù)的運(yùn)算
1.復(fù)數(shù)的代數(shù)形式
復(fù)數(shù)通常用字母表示，即（），把復(fù)數(shù)表示成的形式，叫做復(fù)數(shù)的代數(shù)形式。
2.四則運(yùn)算
；；
復(fù)數(shù)除法通常上下同乘分母的共軛復(fù)數(shù)：
（三）復(fù)數(shù)范圍內(nèi)實(shí)系數(shù)一元二次方程的解
在復(fù)數(shù)范圍內(nèi)討論實(shí)系數(shù)一元二次方程(a≠0)的解的情況為
四、常考題型探究
考點(diǎn)一 復(fù)數(shù)的概念
例1．復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)的實(shí)部和虛部分別是（ ）
A．3，2 B．3，2i C．1，2 D．1，2i
例2．已知復(fù)數(shù)，試求實(shí)數(shù)為什么值時(shí)，復(fù)數(shù)分別為：
(1)實(shí)數(shù)；(2)純虛數(shù).
例3．適合的實(shí)數(shù)x、y的值為（ ）
A．且 B．且
C．且 D．且
【變式探究】1. 已知復(fù)數(shù)，，則的實(shí)部與虛部分別為（ ）
A．， B．， C．， D．，
2．已知復(fù)數(shù)為純虛數(shù)，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
3．若，則____.
考點(diǎn)二 復(fù)數(shù)的幾何意義
例1．設(shè)復(fù)數(shù)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
例2．設(shè)，則對應(yīng)的復(fù)數(shù)是（　　）
A． B． C． D．
例3．復(fù)數(shù)（i為虛數(shù)單位），則（ ）
A．1 B． C． D．
例4．關(guān)于復(fù)數(shù)的方程在復(fù)平面上表示的圖形是（ ）
A．橢圓 B．圓 C．拋物線 D．雙曲線
【變式探究】1. 設(shè)，則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限
C．第三象限 D．第四象限
2. 如圖，若向量對應(yīng)的復(fù)數(shù)為z，則z表示的復(fù)數(shù)為（ ）
A． B． C． D．
3. 若，則（ ）
A． B． C．3 D．2
4. 若復(fù)數(shù)滿足，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)組成圖形的面積為（ ）
A． B． C． D．
考點(diǎn)三 復(fù)數(shù)的運(yùn)算
例1. 計(jì)算：
(1)；
(2)；
(3)；
(4)．
例2. 若復(fù)數(shù)滿足，則（ ）
A． B． C． D．
例3. 已知為虛數(shù)單位，則復(fù)數(shù)的虛部為（ ）
A． B． C．0 D．1
例4. 在復(fù)平面內(nèi)，復(fù)數(shù)對應(yīng)的點(diǎn)位于 ．
【變式探究】1. 設(shè)復(fù)數(shù)，則復(fù)數(shù)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)所在的象限是（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2. 已知，則（ ）
A． B． C． D．
3. 計(jì)算：
(1)；
(2)．
考點(diǎn)四 解實(shí)系數(shù)一元二次方程
例1. 已知是實(shí)系數(shù)一元二次方程的兩個(gè)虛數(shù)根，且滿足方程．
(1)求和．
(2)寫出一個(gè)以和為根的實(shí)系數(shù)一元二次方程．
【變式探究】已知復(fù)數(shù)是關(guān)于的方程的一個(gè)根，則__________.

展開更多......

收起↑